diarios de exercicios ABNV

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- D) \(y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{-2x}\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x}\) 
 **Explicação:** Usando o fator integrante \(e^{\int 2 \, dx} = e^{2x}\), multiplicamos a 
equação e integramos ambos os lados. 
 
39. **Problema 39:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\). 
 - A) 0 
 - B) \(\frac{1}{5}\) 
 - C) \(-\frac{1}{5}\) 
 - D) \(\frac{1}{6}\) 
 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 
\right]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 0\). 
 
40. **Problema 40:** Determine a derivada da função \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 - A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 - B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 - C) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 - D) \(\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2\). 
 
41. **Problema 41:** Resolva a equação diferencial \(y' = y^3\). 
 - A) \(y = \frac{1}{C - x}\) 
 - B) \(y = C e^{x}\) 
 - C) \(y = \frac{C}{1 - Cx}\) 
 - D) \(y = C + x\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = \frac{1}{C - x}\) 
 **Explicação:** Separando variáveis, obtemos \(\frac{dy}{y^3} = dx\) e integrando 
ambos os lados, encontramos a solução geral. 
 
42. **Problema 42:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\). 
 - A) 5 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta:** A) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 5\), obtemos que o limite é \(5\). 
 
43. **Problema 43:** Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^2 - 3x + 1) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{3}\) 
 - B) \(\frac{5}{12}\) 
 - C) \(\frac{1}{4}\) 
 - D) \(\frac{2}{3}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \right]_0^1 = 
\frac{4}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3}\). 
 
44. **Problema 44:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\) 
 - B) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 - C) \(\frac{1}{2} \ln|x^3 + 1| + C\) 
 - D) \(\frac{1}{x^2} + C\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida através de substituições e técnicas de 
integração. 
 
45. **Problema 45:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 2}{5x^2 + 1}\). 
 - A) \(\frac{6}{5}\) 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) \(\frac{2}{5}\) 
 
 **Resposta:** A) \(\frac{6}{5}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x\) no denominador, 
obtemos \(\frac{6 + \frac{2}{x^2}}{5 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{6}{5}\) quando \(x \to \infty\). 
 
46. **Problema 46:** Resolva a equação \(y' + y = e^{-x}\). 
 - A) \(y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x}\) 
 - B) \(y = Ce^{-x} + \frac{1}{3} e^{-x}\) 
 - C) \(y = Ce^{-x} + e^{-x}\) 
 - D) \(y = Ce^{-x} + \frac{1}{4} e^{-x}\) 
 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x}\) 
 **Explicação:** Usando o fator integrante \(e^{\int 1 \, dx} = e^{x}\), multiplicamos a 
equação e integramos ambos os lados. 
 
47. **Problema 47:** Calcule a integral \(\int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 3x^2) \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{5}\) 
 - B) \(\frac{7}{15}\) 
 - C) \(\frac{1}{3}\) 
 - D) \(\frac{2}{15}\) 
 
 **Resposta:** B) \(\frac{7}{15}\) 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\left[ x^5 - x^4 + x^3 \right]_0^1 = 1 - 1 + 1 = 
\frac{7}{15}\). 
 
48. **Problema 48:** Determine a derivada da função \(f(x) = e^{x^2}\).