teste para alunos TWDM

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**Explicação:** A fração \( \frac{1}{z} \) resulta no inverso multiplicativo de \( z \). 
 
37. Qual é o valor de \( z^3 - 8 = 0 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 2, -2 + 2\sqrt{3}i, -2 - 2\sqrt{3}i \) 
 c) \( -2 \) 
 d) As raízes não existem 
 **Resposta:** b) \( 2, -2 + 2\sqrt{3}i, -2 - 2\sqrt{3}i \) 
 **Explicação:** As raízes são encontradas pela extração da raiz cúbica, levando a três 
soluções. 
 
38. Determine \( z \) tal que \( |z| = 4 \) e \( \text{Arg}(z) = \frac{\pi}{3} \). 
 a) \( 2 + 2i \) 
 b) \( 4\cos\frac{\pi}{3} + 4i\sin\frac{\pi}{3} \) 
 c) \( 4 - 4i \) 
 d) \( -2 + 2\sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** b) \( 4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 4i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \) 
 **Explicação:** Conversão para forma cartesiana resulta em \( z = 
4\left(\frac{1}{2}\right) + 4i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + 2\sqrt{3}i \). 
 
39. Se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 - 2i \), calcule o produto \( z_1 z_2 \). 
 a) \( -1 + 8i \) 
 b) \( 3 + 4i \) 
 c) \( 7 - i \) 
 d) \( 1 + i \) 
 **Resposta:** b) \( 3 + 4i \) 
 **Explicação:** O produto é dado pela multiplicação utilizando a fórmula de 
distributiva. 
 
40. Para \( z = 2(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \), qual é a forma cartesiana de \( z \)? 
 a) \( (2\cos^2(\theta) + 2\sin^2(\theta)i) \) 
 b) \( 2\cos(\theta) + 2\sin(\theta)i \) 
 c) \( \sqrt{2} + i\sqrt{2} \) 
 d) \( \cos(2\theta) + i\sin(2\theta) \) 
 **Resposta:** b) \( 2\cos(\theta) + 2\sin(\theta)i \) 
 **Explicação:** A expressão \( z = 2(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \) é diretamente a forma 
cartesiana. 
 
41. Determine os polos da função \( f(z) = \frac{1}{z^2 + 4} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2i, -2i \) 
 c) \( 4 \) 
 d) \( 2i \pm 1 \) 
 **Resposta:** b) \( 2i, -2i \) 
 **Explicação:** Os polos são localizados nas raizes da equação \( z^2 + 4 = 0 \), ou seja, 
\( z = 2i, -2i \). 
 
42. Se \( z = 2 - 3i \), determine \( z + \overline{z} \). 
 a) \( 4 + 3i \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( -3 \) 
 d) \( -6i \) 
 **Resposta:** b) \( 4 \) 
 **Explicação:** A soma \( z + \overline{z} = (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4 \). 
 
43. Determine a forma binomial de \( 3 + 4i \). 
 a) \( 3 + 4i + 0 = 4 \) 
 b) \( 3 + 4\sqrt{-1} \) 
 c) Não existe 
 d) \( 3, 4i \) 
 **Resposta:** d) \( 3, 4i \) 
 **Explicação:** Um número complexo é expresso como a soma de seus componentes 
reais e imaginários. 
 
44. Se \( z = e^{i\pi/6} \), qual é o valor de \( \sin z \)? 
 a) \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 b) \( e^{i\pi/6} \) 
 c) \( e^{- i\theta} \) 
 d) Nenhuma das anteriores 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Explicação:** A função seno pode ser expressa na forma de série ou usando a 
definição e substituição na forma exponencial. 
 
45. Qual é a rotação de \( z \) em 90° anti-horário? 
 a) \( iz \) 
 b) \( -iz \) 
 c) \( \bar{z} \) 
 d) \( z^2 \) 
 **Resposta:** a) \( iz \) 
 **Explicação:** Multiplicando um número complexo por \( i \) resulta em uma rotação 
de 90° anti-horário no plano complexo. 
 
46. Qual é a representação polar de \( z = 0 \)? 
 a) Definido 
 b) Não definido 
 c) \( (0, \theta) \) onde \( \theta \) é qualquer ângulo 
 d) \( (0, 0) \) 
 **Resposta:** d) \( (0, 0) \) 
 **Explicação:** O zero tem módulo 0 e argumento indefinido, mas é frequentemente 
representado como \( (0, 0) \). 
 
47. Se \( |z| = r \), qual é a representação de \( z \)? 
 a) \( z = \frac{r}{\bar{z}} \) 
 b) \( z^2 = r e^{i\theta} \) 
 c) \( z = re^{i\theta} \) 
 d) \( |z^2| = r^2 \)