Lista II Cálculo IV aulas 0111 e 0811

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Lista de Exerćıcios 2 de Cálculo IV - Integrais triplas-
Coordenadas Ciĺındricas e Esféricas
Professor(a): Pedro Henrique Oliveira Campos
Instruções
Resolva os exerćıcios abaixo aplicando o Teorema de Fubini para calcular as integrais triplas. Lembre-se
de verificar as condições para a aplicação do teorema e, quando conveniente, mude as coordenadas.
Exerćıcios
1. Calcule as integrais iteradas abaixo.
a)
∫ 2
0
∫ z2
0
∫ y−z
0
(2x− y) dz dy dx
b)
∫ 1
0
∫ 2x
x
∫ y
0
(2xyz) dz dy dx
c)
∫ √
π
0
∫ x
0
∫ xz
0
(2xyz) dz dy dx
2. Calcule as integrais triplas abaixo.
a)
∫ ∫ ∫
E
2x dV onde E = {(x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
b)
∫ ∫ ∫
E
e
z
y dV onde E = {(x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}
3. Utilize coordenadas ciĺındricas e calcule as integrais abaixo
a)
∫ ∫ ∫
E
√
x2 + y2 dV
onde E é a região que está dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os planos z = −5 e z = 4.
b)
∫ ∫ ∫
E
z dV
onde E é limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = 4.
c)
∫ ∫ ∫
E
x2 dV
onde E é o sólido que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1 acima do plano z = 0 e abaixo do cone
z2 = 4x2 + 4y2.
1
4. Calcule a integral, transformando para coordenadas ciĺındricas.
a)
∫ 2
−2
∫ √
4−y2
−
√
4−y2
∫ 2
√
x2+y2
xz dz dy dx
b)
∫ 3
−3
∫ √
9−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2 + y2 dz dy dx
5. Calcule a integral tripla, utilizando coordenadas esféricas.
a)
∫ ∫ ∫
H
9− x2 − y2 dV
onde H é o hemisfério sólido x2 + y2 + z2 ≤ 9, z ≥ 0.
b)
∫ ∫ ∫
B
(x2 + y2 + z2)2 dV
onde B é a bola com centro na origem e raio 5.
c)
∫ ∫ ∫
E
xex
2+y2+z2
dV
onde E é a porção da bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
6. Calcule a integral tripla, transformando para coordenadas esféricas.
a)
∫ 1
0
∫ √
1−x2
0
∫ √
2−x2+y2
√
x2+y2
xy dz dy dx
b)
∫ 2
−2
∫ √
42−x2
−
√
42−x2
∫ √
42−x2−y2
−
√
42−x2−y2
(x2 + y2 + z2)2 dz dy dx
Observação: Essa lista é referente as aulas dos dias 01/11 e 08/11. São exerćıcios de fixação. Caso
o discente queira resolver mais exerćıcios basta realizar os exerćıcios das sessões 15.2 e 15.3 do Livro
Cálculo vol. 2 do James Stwart.
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