feito a mão jgoo

Prévia do material em texto

**Explicação:** Este é um limite fundamental, que pode ser derivado pela regra de 
L'Hôpital, onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Derivando, 
obtemos \(e^x\) e \(1\), resultando em \(1\). 
 
16. **Qual é o valor da integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Assim, 
\(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} \left[ 
x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 \right] = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
17. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x\). Avaliando de 0 a 
1: \( (1^3 - 2(1)^2 + 1) - (0) = 1 - 2 + 1 = 0\). 
 
18. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx}(\tan(x))\)?** 
 a) \(\sec^2(x)\) 
 b) \(\tan^2(x)\) 
 c) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) 
 d) \(\cos(x)\) 
 **Resposta:** a) \(\sec^2(x)\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan(x)\) é \(\sec^2(x)\) por definição. 
 
19. **Qual é o resultado de \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** O limite é indeterminado na forma \(0/0\). Fatorando, temos \(\lim_{x \to 
1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\). 
 
20. **Qual é o valor da integral \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 c) 0 
 d) \(\ln(e)\) 
 **Resposta:** b) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de 1 a \(e\): \(\ln(e) - 
\ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
21. **Qual é o resultado da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)?** 
 a) \(\frac{\pi^3}{6}\) 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi^3}{6}\) 
 **Explicação:** Esta série converge e é conhecida como a série de Basel para \(p=3\). 
 
22. **Qual é o valor de \(\frac{d^3}{dx^3}(x^5 - 5x^3 + 4x)\)?** 
 a) 60 
 b) 0 
 c) 30 
 d) 12 
 **Resposta:** a) 60 
 **Explicação:** Derivando três vezes, obtemos \(f'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 4\), \(f''(x) = 20x^3 
- 30x\), \(f'''(x) = 60x^2 - 30\). Portanto, \(f'''(0) = 60(0) - 30 = 0\). 
 
23. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 3 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 3 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 3\), então o limite é 3. 
 
24. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3x^2) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\frac{1}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\int (x^4 - 2x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 
x^3\). Avaliando de 0 a 1, obtemos \(\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2.5}{5} + 
\frac{5}{5} = 1\). 
 
25. **Qual é a solução da equação diferencial \(y'' + 4y = 0\)?** 
 a) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 b) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 c) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
 d) \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 **Explicação:** A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. As raízes da equação característica são \(r^2 + 4 = 0\), 
resultando em \(r = \pm 2i\). 
 
26. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3) \, dx\)?**