exercicios cjmcl

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A) 10 
 
Claro! Aqui estão 100 problemas de cálculo complexo de múltipla escolha, com 
explicações detalhadas. Cada questão é única e possui um nível de dificuldade adequado 
ao ensino superior. 
 
1. Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 5 
D) 10 
**Resposta: C) 5** 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k 
\), onde \( k = 5 \), o limite se torna \( 5 \). 
 
2. Determine a integral \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
B) \( x^3 - x^2 + x \) 
C) \( 3x^3 - x^2 + C \) 
D) \( x^3 - x + C \) 
**Resposta: A) \( x^3 - x^2 + x + C \)** 
**Explicação:** Integrando termo a termo, temos \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -2x \, dx = 
-x^2 \) e \( \int 1 \, dx = x \). Assim, a integral é \( x^3 - x^2 + x + C \). 
 
3. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \cdot \cos(3x) \)? 
A) \( 2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x) \) 
B) \( e^{2x} \cos(3x) \) 
C) \( 2e^{2x} \sin(3x) + 3e^{2x} \cos(3x) \) 
D) \( 6e^{2x} \cos(3x) \) 
**Resposta: A) \( 2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x) \)** 
**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = e^{2x} \cdot (-3\sin(3x)) \cdot 2 
+ \cos(3x) \cdot 2e^{2x} = 2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x) \). 
 
4. Calcule \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \). 
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
D) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
**Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot 
\frac{du}{dx} \), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( \frac{du}{dx} = 2x \). Portanto, \( \frac{d}{dx} \left( 
\ln(x^2 + 1) \right) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
5. Encontre a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
A) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots \) 
B) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots \) 
C) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \ldots \) 
D) \( x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots \) 
**Resposta: A) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots \)** 
**Explicação:** A série de Taylor para \( \sin(x) \) é dada por \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-
1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \), resultando em \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots \). 
 
6. Qual é a integral definida \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) \( \frac{5}{12} \) 
**Resposta: D) \( \frac{5}{12} \)** 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 
\right]_{0}^{1} = (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) - (0) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{6} - 
\frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{12} \). 
 
7. Determine o valor de \( \int e^{3x} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
B) \( e^{3x} + C \) 
C) \( 3e^{3x} + C \) 
D) \( \frac{1}{3} e^{3x} \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \)** 
**Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Aqui, \( k = 3 \), então \( 
\int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \). 
 
8. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(2x) \)? 
A) \( \frac{2}{1 + (2x)^2} \) 
B) \( \frac{1}{1 + (2x)^2} \) 
C) \( \frac{2}{1 + x^2} \) 
D) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
**Resposta: A) \( \frac{2}{1 + (2x)^2} \)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1 + u^2} 
\cdot \frac{du}{dx} \), onde \( u = 2x \) e \( \frac{du}{dx} = 2 \). Portanto, \( \frac{d}{dx} \tan^{-
1}(2x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} \). 
 
9. Encontre a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
C) \( \ln(x) + C \) 
D) \( \frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
**Resposta: A) \( \ln(\ln(x)) + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), temos \( du = \frac{1}{x} dx \), então a 
integral se torna \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
10. Qual o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta: A) 0** 
**Explicação:** Este é um limite que pode ser resolvido usando a regra de L'Hôpital. 
Derivando o numerador e o denominador, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \).