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Assim, (a + b - |a – b|)/2 = (a + b –a + b)/2 = b = Min(a, b). 
Pelas duas únicas possibilidades, Min(a, b) = (a + b - |a – b|)/2, cqd. 
 
29 – Determinar o inteiro n > 1 de modo que a soma 1! + 2! + 3! + ... + n! seja 
um quadrado perfeito. 
SOLUÇÃO:- 
Para n = 2, 1! + 2! = 1 + 2 =3 (não é quadrado perfeito). 
Para n = 3, 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9 (é quadrado perfeito). 
Para n = 4, 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33. (não é quadrado perfeito). 
Para n = 5, 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153 (não é quadrado 
perfeito). 
Todo n!, para n > 5 termina em zero. Portanto a soma 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... 
+n! será sempre um número terminado em 3. Como apenas números terminados 
em 0, 1, 4, 5, 6 e 9 podem ser quadrados, o único valor para n é 3. 
Resposta: n = 3. 
 
30 – A média aritmética de dois inteiros positivos é 5 e a média geométrica é 4. 
Quais são estes dois inteiros? 
SOLUÇÃO:- Sejam a e b os números. Temos: 
média aritmética (a + b)/2 = 5  a + b = 10. 
Média geométrica: (a . b)1/2 = 4  ab = 16. 
Os dois inteiros que somados resulta em 10 e cujo produto é 16 são os inteiros 8 e 
2. 
Resposta: 8 e 2. 
 
CAPÍTULO 1 - QUESTÕES 31 A 40 
31 – Achar cinco inteiros positivos consecutivos cuja soma dos quadrados é igual a 
2010. 
SOLUÇÃO: - Como os números são consecutivos, o terceiro termo é próximo da 
média dos cinco números. Como a soma é 2010, a média é 2010 : 5 = 402. O 
quadrado mais próximo é 400, cuja raiz quadrada é 20. 
Os dois anteriores são 192 = 361, 182 = 324 e os dois posteriores são 212 = 441 e 
222 = 484. Portanto os números são: 18, 19, 20, 21 e 22. 
Obs. A solução da equação x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 = 2010 também 
resolveria o item. 
Resposta: 18, 19, 20, 21 e 22. 
 
32 – O resto por falta da raiz quadrada de um inteiro positivo é 135 e o resto por 
excesso é 38. Achar esse inteiro. 
SOLUÇÃO:- Seja N o número e x a sua raiz quadrada por falta. Temos N = x2 + 
135. A raiz quadrada por excesso é (x + 1). Neste caso: N = (x + 1)2 - 38. 
Assim, x2 + 135 = (x + 1)2 – 38  x2 + 135 = x2 + 2x + 1 – 38  2x = 172  x