VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Prévia do material em texto

VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
· Para calcular o volume de um sólido geométrico, utilizamos uma fórmula específica para cada um deles.
· A unidade de medida do volume é o metro cúbico (m³), e seus múltiplos e submúltiplos, como o km³ e o cm³.
· As fórmulas para calcular o volume dos principais sólidos geométricos são:
→ Fórmula do volume do prisma:
V = Ab · h
→ Fórmula do volume da pirâmide:
→ Fórmula do volume do cilindro: 
V = πr² · h
→ Fórmula do volume do cone:
→ Fórmula do volume da esfera:
MEDIDAS DE VOLUME 
Para realizar a medição do volume de sólidos geométricos, é necessário utilizarmos uma unidade de medida. O volume é calculado para figuras tridimensionais, logo, a sua unidade de medida são as unidades de comprimento elevadas à terceira potência, ou seja, unidades cúbicas. Utilizamos como unidade de medida:
· Metro cúbico → m³
· Múltiplos do metro cúbico:
- Decâmetro cúbico → dam³
- Hectômetro cúbico → hm³
- Quilômetro cúbico → km³
· Submúltiplos do metro cúbico:
- Decímetro cúbico → dm³
- Centímetro cúbico → cm³
- Milímetro cúbico → mm³
Veja a tabela com as unidades de medidas de volume ordenadas:
	Quilômetros cúbicos
km³
	Hectômetros cúbicos
hm³
	Decâmetros cúbicos
dam³
	Metros cúbicos
m³
	Decímetros cúbicos
dm³
	Centímetros cúbicos
cm³
	Milímetros cúbicos
mm³
CÁLCULO DE VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
Vejamos, a seguir, a fórmula para o cálculo do volume dos principais sólidos geométricos.
· Volume do prisma
Chamamos de prisma o sólido geométrico formado por duas bases que são polígonos quaisquer e por faces laterais formadas por paralelogramos. Para calcular o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base Ab e a altura h.
→ Exemplo de cálculo de volume do prisma 
Um prisma possui base quadrada de lado igual a 6 cm e altura igual a 15 cm, então, quanto será o seu volume?
Resolução:
Como a base é quadrada, sabemos que a área da base é dada por:
Ab = l²
Ab = 6²
Ab = 36 cm²
Assim, o volume desse prisma é dado por:
V = Ab · h
V = 36 · 15
V = 540 cm³
· Volume do paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é um caso particular de prisma, pois tem base quadrangular. Quando a base do prisma é um retângulo, sabemos que a área da base é calculada pela multiplicação do comprimento com a largura. Desse modo, para calcular o volume, basta multiplicarmos as três dimensões do paralelepípedo retângulo.
→ Exemplo de cálculo de volume do paralelepípedo retângulo
Considerando um prisma que possui 10 cm de altura e base retangular com lados medindo 6 cm e 8 cm, calcule seu volume.
Resolução:
Note que esse prisma é um paralelepípedo retângulo, pois sua base é retangular. Para calcular seu volume, basta multiplicar as três dimensões:
V = a · b · c
V = 6 · 8 · 10
V = 480 cm³
· Volume do cubo 
Tratando-se de outro caso especial de prisma, para calcular o volume do cubo, basta calcular a área da base, vezes a sua altura. Entretanto, no cubo, todas as suas dimensões possuem a mesma medida, geralmente representada por L de aresta. Assim, para calcular seu volume, basta calcular a medida da sua aresta ao cubo.
→ Exemplo de cálculo de volume do cubo 
Um recipiente possui formato de um cubo com 12 cm de aresta, então, qual será o seu volume?
Resolução:
Calculando o volume do cubo, temos que:
V = a³
V = 12³
V = 1728 cm³
· Volume da pirâmide
A pirâmide é o sólido geométrico que possui uma base formada por um polígono, com faces laterais triangulares ligadas a um vértice, que é o topo da pirâmide. Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da sua base pela sua altura e dividimos por 3.
→ Exemplo de cálculo de volume da pirâmide 
Uma pirâmide possui base retangular de lados iguais a 3 metros e 4 metros, e altura de 5 metros, qual será o seu volume?
Resolução:
Como a base é um retângulo, temos que:
Ab = 3 · 4 = 12 m²
Então, o volume da pirâmide será de:
· Volume do cilindro
O cilindro é considerado um corpo redondo pela sua forma arredondada. Ele possui duas bases circulares, logo, para calcular a sua área, calculamos a área da base, que é a área de um círculo, vezes a altura. Dessa forma, o volume do cilindro pode ser calculado pela fórmula a seguir:
→ Exemplo de cálculo de volume do cilindro
Calcule o volume de um cilindro que possui 3 cm de raio e 10 cm de altura.
Resolução: 
V = πr² · h
V = π · 3² · 10
V = π · 9 · 10
V = 90π cm³
· Volume do cone
O cone também possui uma base formada por um círculo. Para encontrar o volume do cone, calculamos a área da sua base, que é a área do círculo, vezes a sua altura, dividido por 3.
→ Exemplo de cálculo de volume do cone
Qual é o volume de um cone que possui raio da base igual a 4 m e altura igual a 9 m?
Resolução:
· Volume da esfera
Sendo considerado o último corpo redondo, a esfera é um formato bastante comum no cotidiano. Para calcular o volume de uma esfera, é necessário conhecer o valor do seu raio:
→ Exemplo de cálculo de volume da esfera
Calcule o volume de uma esfera que possui raio medindo 3 cm (use π = 3,1).
Resolução:
Calculando o volume, temos que:
V = 4 · 3,1 · 3³ : 3
V = 4 · 3,1 · 27 : 3
V = 12,4 · 9
V = 111,6 cm³
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Questão 1
(Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. 
Utilize 3 como aproximação para π. 
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é
A) 6. 
B) 16. 
C) 17. 
D) 18. 
E) 21.
Resolução
Alternativa D
Primeiro calcularemos o volume do cone:
Agora encontraremos o volume do cilindro:
Vcilindro = πr²h
Vcilindro = π ⸳ 3² ⸳ 12
Vcilindro = π ⸳ 9 ⸳ 12
Vcilindro = 108π
Utilizando π = 3, temos que:
Vsilo = 9 ⸳ 3 + 108 ⸳ 3 = 351 m³
Como o caminhão leva 20 m³ por viagem, então o número de viagens necessárias é calculado pela divisão 351 : 20 = 17,55. Como não é possível que ele faça 17 viagens e meia, então serão necessárias 18 viagens no mínimo.
Questão 2
(Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Resolução:
Alternativa B
Calcularemos a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor (que foi retirada). Sabemos que a altura da pirâmide maior é 19 – 3 = 16 cm, pois há um espaço de 1 cm a cada bloco.
A pirâmide maior possui base quadrada com 6 cm de lado, e, como a base é um quadrado, então:
A b = l² = 6² = 36
Calculando o volume da pirâmide maior, temos que:
A altura da pirâmide menor na parte superior é 16 : 4 = 4, e a aresta é 6 : 4 = 1,5. Então, a área da base dessa pirâmide menor é 1,5² = 2,25. Calculando o volume, temos que:
A diferença entre os volumes é 192 – 3 = 189.
image4.jpeg
image5.jpeg
image6.jpeg
image7.jpeg
image8.png
image9.jpeg
image10.jpeg
image11.png
image12.jpeg
image13.png
image14.png
image15.jpeg
image16.png
image17.png
image1.png
image2.png
image3.png