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6. **Qual é a transformada de Laplace de \( f(t) = t^2 e^{3t} \)?** 
 a) \( \frac{2}{(s-3)^3} \) 
 b) \( \frac{2}{(s-3)^2} \) 
 c) \( \frac{2}{(s-3)^4} \) 
 d) \( \frac{6}{(s-3)^3} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{2}{(s-3)^4} \). **Explicação:** Usamos a propriedade da 
transformada de Laplace que diz que \( \mathcal{L}\{t^n e^{at}\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \). 
Para \( n=2 \) e \( a=3 \), temos \( \mathcal{L}\{t^2 e^{3t}\} = \frac{2!}{(s-3)^{2+1}} = 
\frac{2}{(s-3)^3} \). 
 
7. **Qual é o resultado da integral impropria \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) Não converge 
 **Resposta:** a) 1. **Explicação:** Para resolver a integral imprópria, calculamos o 
limite: \( \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{x}]_1^b = 
\lim_{b \to \infty} (0 + 1) = 1 \). 
 
8. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{1+x^4} \) 
 b) \( \frac{1}{1+x^4} \) 
 c) \( \frac{2x}{1+x^2} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{1+x^4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{1+x^4} \). **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = 
\frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} \). 
 
9. **Qual é o determinante da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 
\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) -2 
 d) -1 
 **Resposta:** c) -2. **Explicação:** O determinante de uma matriz \( 2x2 \) é calculado 
por \( ad - bc \). Para \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \), temos \( 1 \cdot 4 
- 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \). 
 
10. **Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \). **Explicação:** Usamos a identidade de redução: \( 
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, a integral se torna \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - 
\cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 
\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{\pi}{4} \). 
 
11. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?** 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** b) 3. **Explicação:** Usamos a fatoração \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \). 
Assim, \( \frac{x^3 - 1}{x-1} = x^2 + x + 1 \). Avaliando o limite, \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 
3 \). 
 
12. **Qual é a equação da reta tangente a \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) no ponto \( (1, -1) \)?** 
 a) \( y = -2x + 1 \) 
 b) \( y = 2x - 3 \) 
 c) \( y = 3x - 4 \) 
 d) \( y = -3x + 2 \) 
 **Resposta:** a) \( y = -2x + 1 \). **Explicação:** A derivada \( f'(x) = 3x^2 - 3 \), então \( 
f'(1) = 0 \) (ponto de inflexão). Usamos \( y = f'(1)(x-1) + f(1) \) com \( f'(1) = 0 \) e \( f(1) = -1 \), 
resultando em \( y = -1 \). 
 
13. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{5}{4} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{4} \). **Explicação:** Calculamos a integral: \( \int_0^1 (x^3 + 
2x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} 
\right) = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \). 
 
14. **Qual é a série de Fourier de uma função periódica \( f(x) = x \) no intervalo \([-\pi, 
\pi]\)?** 
 a) \( a_0 + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \) 
 b) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin(nx) \) 
 c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx) \) 
 d) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{2}{n+2}) \sin(nx) \) 
 **Resposta:** c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx) \). **Explicação:** Para \( f(x) = 
x \), a fórmula da série de Fourier resulta em apenas termos senoidais por ser uma função 
ímpar. Os coeficientes \( b_n = \frac{2}{n} \). 
 
15. **Determine o valor de \( \int_0^1 e^{-x^2} \, dx \) (usando a substituição adequada).** 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{e}} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{e}}{2} \) 
 d) Não existe forma elementar 
 **Resposta:** d) Não existe forma elementar. **Explicação:** A integral \( \int e^{-x^2} \, 
dx \) não tem expressão fechada em termos de funções elementares. Usualmente, é 
aproximada com a função erro. 
 
Continuando a geração de questões. 
 
16. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (e^{3x} \cos(2x)) \)?** 
 a) \( 3e^{3x} \cos(2x) - 2e^{3x} \sin(2x) \) 
 b) \( 3e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \) 
 c) \( e^{3x} (3 \cos(2x) - 2 \sin(2x)) \) 
 d) \( e^{3x} (2\cos(2x) + 3\sin(2x)) \)