MODELAGEM E Otimização

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MODELAGEM E 
OTIMIZAÇÃO DE 
SISTEMA DA 
PRODUÇÃO
Rubens Zolar da 
Cunha Gehlen
Revisão técnica:
Henrique Martins Rocha
Graduado em Engenharia Mecânica
Mestre em Sistemas de Gestão
Doutor em Engenharia Mecânica
Pós-Doutor em Projetos e Desenvolvimento de Novos Produtos
 
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin - CRB -10/2147
M689 Modelagem e otimização de sistemas da produção / Ronei Stein
 ... [et al.]; [revisão técnica : Henrique Martins Rocha]. – 
Porto Alegre: SAGAH, 2018.
167 p. : il. ; 22,5 cm.
ISBN 978-85-9502-414-5
1. Engenharia de produção. I. Stein, Ronei.
CDU 658.51
1_Iniciais.indd 2 17/05/2018 13:49:46
Ferramenta 
computacional: Solver
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever os comandos e a forma de uso do Solver.
  Interpretar os resultados do Solver.
  Aplicar o Solver para solucionar problemas práticos.
Introdução
A aplicação das técnicas clássicas da Pesquisa Operacional para oti-
mização de sistemas e sua modelagem, como a programação linear, 
não linear e a programação dinâmica, enfrentou, durante muitos anos, 
dificuldades de resolução em função da inexistência de ferramentas 
computacionais suficientemente eficientes para tratar esses sistemas 
de forma econômica e em tempo razoável.
A evolução dos softwares e hardwares permitiu a criação de ferra-
mentas de processamento matemático poderosas, com capacidade de 
trabalhar com milhares de variáveis e restrições. Muitas dessas ferra-
mentas incluem o suplemento Solver como forma de facilitar seu uso. 
Planilhas eletrônicas, como o Microsoft Excel e seu suplemento Solver, 
permitem tratar de problemas de otimização, desde os mais simples 
até os razoavelmente complexos. 
Neste capítulo, você vai aprofundar seus estudos sobre o Solver, 
seus comandos, interpretando seus resultados e aplicando-o para a 
resolução de problemas práticos.
Solver: comandos e utilização
O desenvolvimento dos recursos de informática nos últimos anos deu 
grande impulso nas aplicações da Pesquisa Operacional do ponto de vista 
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da utilização de softwares para resolver os problemas de otimização e 
modelagem (VECHIA, 2016).
Dentre os diversos métodos e ferramentas disponíveis ao engenheiro de 
produção, certamente a modelagem e a otimização de processos via Pro-
gramação Linear (PL) se destaca. Em função de sua importância, diversos 
mecanismos de solução para problemas de PL foram estabelecidos e um 
procedimento muito eficiente de solução chamado “Método Simplex” foi 
criado (HILLIER; LIEBERMAN, 2012).
Muitos softwares permitem a solução de problemas matemáticos tanto 
lineares quanto não lineares (por exemplo, ILOG CPLEX e GNU Linear 
Programming Kit). Entretanto, esses softwares demandam a programação 
das linhas de comando para resolver os modelos. Para contornar essa di-
ficuldade, muitos desses softwares apresentam um suplemento chamado 
SOLVER, que simplifica tremendamente o trabalho de otimização dos 
modelos. Dentre eles, destaca-se o suplemento Solver da planilha Excel da 
empresa Microsoft (VECHIA, 2016). Contudo, é preciso lembrar que outras 
planilhas eletrônicas também apresentam suplementos Solver, como, por 
exemplo, a planilha CALC do software livre OpenOffice.
Independentemente do suplemento Solver utilizado, alguns pontos devem 
ser definidos antes de iniciarmos o lançamento de informações na planilha, a 
saber (HILLIER; LIEBERMAN, 2012):
a) Que decisões devem ser tomadas? Por exemplo, a taxa de produção 
mensal, o mix de produtos, etc.
b) Quais são as restrições aplicadas ao modelo? Por exemplo, número de 
horas disponíveis, quantidade de equipamentos, etc.
c) Qual é o indicador de desempenho global para as decisões? Por exemplo, 
lucro total que a taxa de produção maximizada pode atingir, custo de 
estoque mínimo que o mix de produtos deve garantir, etc.
Devido à sua praticidade, à facilidade de acesso e ao uso amigável, o 
suplemento Solver do Excel será detalhado aqui. Além dessas característi-
cas, ele também tem a capacidade de trabalhar com centenas de variáveis, 
utilizando ferramentas poderosas de processamento (VECHIA, 2016).
Instalação do suplemento Solver – Excel
Apesar de presente em todas as versões do software Excel, o suplemento 
Solver não vem instalado na barra de ferramentas, sendo necessária 
Ferramenta computacional: Solver126
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sua “instalação”. Esse procedimento é realizado pelo botão Offi ce, pre-
sente no canto superior esquerdo da planilha (até a versão Excel 2007) 
ou pela linha de comando “arquivo”, de acordo com a versão do Excel 
(MICROSOFT, 2018).
A seguir, nas Figuras 1 a 7, apresenta-se a sequência de passos para a 
instalação do Solver (MICROSOFT, 2018).
Figura 1. Passo 1: (a) Acionar o botão Office (até a versão Excel 2007) ou (b) o comando 
“Arquivo” (Excel 2010).
Figura 2. Passo 2: (a) Clicar em “Opções do Excel” (até a versão Excel 2007) ou (b) “Opções” 
(Excel 2010).
127Ferramenta computacional: Solver
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Figura 3. Passo 3: Clicar em “Suplementos”: (a) Até a versão Excel 2007; (b) Excel 2010.
Figura 4. Passo 4: Clicar em “Ir”: (a) Até a versão Excel 2007; (b) Excel 2010.
Figura 5. Passo 5: Marcar o suplemento Solver e clicar em OK: (a) Até a versão Excel 2007; 
(b) Excel 2010.
Ferramenta computacional: Solver128
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Figura 6. Passo 6: Após clicar em “OK”, poderá aparecer essa mensagem. Clique na opção 
“SIM”.
Figura 7. Passo 7: Após a instalação, o Solver estará localizado na aba “Dados”.
Após realizar esses sete passos, o suplemento Solver do Excel estará pronto 
para uso.
129Ferramenta computacional: Solver
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Comandos do suplemento Solver – Excel
A utilização do suplemento Solver para resolver problemas de Programação 
Linear (PL) exige certo conhecimento do uso da planilha Excel para estabelecer 
as respostas das perguntas A, B e C de forma adequada, ou seja, expressando 
de forma matemática os elementos do problema a ser solucionado (HILLIER; 
LIEBERMAN, 2012).
Para exemplificar a aplicação dos comandos do Solver, vamos utilizar um 
problema-exemplo adaptado de Hillier e Lieberman (2012) descrito a seguir.
Uma empresa de vidros pretende ampliar sua linha de produção com a produção de 
dois novos produtos: 
  Produto 1: porta de vidro com esquadria de alumínio.
  Produto 2: janela dupla com esquadria de madeira.
A função objetivo é maximizar o lucro com os dois produtos considerando qualquer 
mix, mesmo produção zero de um deles. As restrições estão relacionadas à capacidade 
produtiva da fábrica e de dois fornecedores. Cada lote será composto de 20 produtos 
individuais. A taxa de produção será semanal e o lucro também será por lote.
As condições gerais são apresentadas na tabela a seguir.
Local de 
produção
Tempo de produção 
por lote (horas) Tempo de 
produção 
disponível
(horas/semana)
Produto
1 2
Fornecedor 1 1 0 4
Fornecedor 2 0 2 12
Fábrica 3 2 18
Lucro por lote R$ 3.000,00 R$ 5.000,00
Ferramenta computacional: Solver130
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Preparação da planilha Excel
A partir deste momento, passamos a lançar os dados na planilha Excel, 
sem, entretanto, utilizar o suplemento Solver. A organização dos dados na 
planilha fi ca a critério do usuário. A organização utilizada neste exemplo 
é meramente ilustrativa (Figura 8). Os valores devem ser lançados como 
números (Figura 9).
A formulação, de acordo com a PL, é:
Z = 3x1+ 5x2 (1)
Onde:
Z = função lucro total
x1 = lotes semanais do produto 1
x2 = lotes semanais do produto 2
Restrições:Fornecedor 1: 4 horas por semana => x1 ≤ 4
Fornecedor 2: 12 horas por semana => 2x2 ≤ 12 
Fábrica: 3x1+ 5x2 ≤ 18
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
131Ferramenta computacional: Solver
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Figura 8. Lançamento da tabela de dados.
Figura 9. Células escolhidas para variáveis.
Ferramenta computacional: Solver132
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Neste exemplo, temos duas variáveis, portanto, reservamos duas células 
para as variáveis (Figura 10).
Figura 10: Lançamento da função objetivo.
As células variáveis foram omitidas (Figura 11).
Figura 11. Lançamento de restrições.
Os tipos de restrições (≥, ≤, etc.) serão introduzidos quando do uso do Solver.
A Figura 12 mostra a tela após o lançamento de todas as informações antes 
de utilizarmos o Solver.
133Ferramenta computacional: Solver
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Figura 12: Tela do Excel após o lançamento dos dados, da função objetivo e restrições.
A partir deste ponto, podemos iniciar o uso do Solver (Figura 13).
Figura 13. Abertura do suplemento Solver na aba “Dados” do software Excel 2010: loca-
lização do Solver na aba.
Ferramenta computacional: Solver134
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A partir deste passo, inicia-se o uso do suplemento Solver (Figura 14).
Figura 14. Tela inicial do Solver.
A função objetivo será lançada no campo “Definir Objetivo” na versão 
2010. Esse mesmo campo é chamado de “Definir Célula de Destino” na versão 
2007 (Figura 15).
135Ferramenta computacional: Solver
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Figura 15. Lançamento das informações da função objetivo.
Nesta tela, é lançada a célula que contém a função objetivo. No exemplo, nosso 
objetivo é maximizar o lucro, por isso marcamos a caixa “Máx” (Figura 16).
Figura 16. Lançamento das células variáveis.
Ferramenta computacional: Solver136
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As células variáveis devem ser selecionadas de forma única no campo 
“Alterando Células Variáveis” (Figura 17).
Figura 17. Lançamento das restrições.
Para o lançamento das restrições, clicar no botão “Adicionar”; veja na 
Figura 18 qual será a tela que irá abrir.
137Ferramenta computacional: Solver
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Figura 18. Introdução das informações das restrições: (a) tela para lançamento das restrições; 
(b) restrições lançadas.
A Figura 18 mostra as informações que devem ser preenchidas para 
lançamento das restrições. No campo “Referência da Célula (esquerda)”, 
deve ser lançada a fórmula da restrição; no centro, a igualdade ou desi-
gualdade; e no campo “Restrição (direita)”, o valor da restrição. Após, 
clicamos no botão OK. Repetimos a operação até lançarmos todas as 
restrições, conforme a Figura 19.
Ferramenta computacional: Solver138
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Figura 19. Restrições lançadas.
No campo “Selecionar um Método de Solução”, aparecerão três alternativas 
e teremos que selecionar a técnica de aplicação. No nosso exemplo, devemos 
selecionar a técnica LP Simplex, aplicada para programação linear (Figura 20). 
Ainda estão disponíveis as técnicas GRG não linear, para problemas suaves 
e não lineares, e Evolutionary, para problemas não suaves. A informação de 
valores não negativos é o padrão de preenchimento. Caso as variáveis possam 
assumir valores negativos, essa caixa deve ser desmarcada. Na versão 2007 do 
Excel, para acessarmos esses lançamentos, devemos clicar no botão “Opções” 
(Figura 20).
139Ferramenta computacional: Solver
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Figura 20. Definição da técnica ou método de resolução do problema.
Na versão 2010 do Excel, o botão “Opções” serve para incluir informações 
como tempo máximo de processamento e iterações, por exemplo. Após os 
lançamentos das informações, basta clicar no botão Resolver e aguardar a 
atuação do Solver (Figura 21).
Ferramenta computacional: Solver140
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Figura 21. Após escolher o método, clicar em Resolver.
A resposta do problema é indicada em nova janela, conforme a Figura 22.
141Ferramenta computacional: Solver
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Figura 22. Resposta do Solver.
Clicando no botão OK, será apresentada a solução numérica do problema 
(Figura 23).
Figura 23. Solução numérica do problema.
A solução encontrada pelo Solver informa que a função objetivo (lucro 
máximo) apresenta o valor de R$ 36.000,00 produzindo dois lotes do produto 
1 e seis lotes do produto 2. Observe que não foi utilizada toda a capacidade 
do fornecedor 1.
Ferramenta computacional: Solver142
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As possíveis respostas que o Solver devolve não são, necessariamente, números inteiros. 
Em muitas situações, a resposta desejada deve ser um número inteiro; por exemplo, 
quando desejamos saber o número ótimo de indivíduos.
Nesse caso, a resposta deve ser um número inteiro. Essa situação será tratada pelo 
suplemento Solver como uma restrição. Como toda restrição, deverá ser incluída na 
janela de restrições, em que a célula ou células em questão receberão o marcador “int 
(Excel 2010)” ou “num (Excel 2007)” (Figura 24).
Figura 24. Adição de restrição. 
Ainda existem as alternativas “binário” e “dif (Diferente de)” caso outras restrições 
existam (VECHIA, 2016).
Acesse o link a seguir para saber mais sobre como definir e resolver um problema 
usando o Solver.
https://goo.gl/hR9cNZ
Resultados do Solver
A interpretação dos resultados devolvidos pelo Solver depende, fundamental-
mente, da correta montagem do problema a partir do cenário apresentado. No 
caso de nosso exemplo-problema, o cenário é simples, com duas variáveis e três 
restrições permitindo aplicar facilmente os conceitos de PL. O lançamento das 
diversas fórmulas na planilha Excel também não apresentou grande difi culdade.
143Ferramenta computacional: Solver
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https://goo.gl/hR9cNZ
Além da resposta de acordo com os parâmetros de PL (Simplex), o Solver 
também pode trabalhar com situações mais complexas, como problemas não 
lineares suaves (GRG Não Linear) e problemas não suaves (Evolutionary). 
Novamente, a correta interpretação dos resultados depende da habilidade do 
usuário em montar a planilha Excel de forma adequada, considerando todas 
as variáveis e restrições.
O Solver do Excel tem capacidade para resolver problemas de otimização 
com grande número de variáveis e restrições. Esse número, em problemas 
reais, pode chegar a alguns milhares, o que dificulta a montagem da pla-
nilha e sua interpretação. Para esses casos, podemos utilizar ferramentas 
mais sofisticadas como CPLEX, AMPL (A Mathematical Programming 
Language), MPL (Mathematical Programming Language) e GNU. Além 
disso, o Solver do Excel apresenta três tipos de relatórios que podem auxiliar 
na correta interpretação dos resultados (HILLIER; LIEBERMAN, 2012): 
relatório de respostas, relatório de sensibilidade e relatório de limites, 
conforme a Figura 25.
Figura 25. Relatórios Solver Excel.
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Os relatórios são lançados em abas específicas da planilha e cada um apre-
senta informações úteis para a correta interpretação da qualidade do resultado.
O relatório de respostas apresenta os resultados obtidos, o algoritmo 
utilizado, números de iterações, tempo de processamento, entre outras infor-
mações (Figura 26).
Figura 26. Relatório de respostas Solver.
Orelatório de sensibilidade apresenta informações relacionadas à solução 
encontrada e ao atendimento das restrições, bem como quais são as possíveis 
variações (Figura 27). Em nosso exemplo, as variações são inexistentes ou 
desprezíveis em função da sua simplicidade. É necessário lembrar que a 
correta interpretação desse relatório demanda conhecimento prévio de PL e 
do método Simplex.
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Figura 27. Relatório de sensibilidade.
O relatório de limites apresenta os limites inferior e superior das células 
variáveis quando comparados com o valor da função objetivo (Figura 28).
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Figura 28. Relatório de limites.
De forma geral, o próprio Solver informa o resultado. Em nosso exemplo, 
ele informou que encontrou uma solução. Quando isso não acontece, o Solver 
também avisa que não foi possível encontrar uma solução viável. As duas 
situações exigem conhecimento de PL para avaliar a qualidade da resposta.
O problema de otimização de rotas, muitas vezes, é confundido com o problema de 
transporte, uma vez que o segundo trata de eventos relacionados à utilização de meios 
de transporte, como bem diz o nome, e os mecanismos associados com a entrega 
de mercadorias, entre outras coisas. Como a entrega de uma mercadoria envolve a 
definição de uma rota de entrega, intuitivamente, poderíamos entender que a otimi-
zação dessa rota seria, também, um problema de transporte. Entretanto, as variáveis 
envolvidas no problema de rotas são tratadas como variáveis binárias, uma vez que 
a escolha de uma rota (binário 1) elimina o uso de outra (binário 0), diferentemente 
das variáveis do problema de transporte, que podem ser tratadas como contínuas ou 
discretas (VECHIA, 2016).
147Ferramenta computacional: Solver
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Aplicações práticas do Solver
As aplicações práticas do suplemento Solver e seus equivalentes na Pesquisa 
Operacional recaem nas situações dos problemas clássicos da área, tanto 
aplicados à PL quanto aos não lineares. É preciso destacar que as aplicações 
práticas do Solver são tão diversas quanto as situações reais que exigem 
algum tipo de ajuste organizacional; portanto, os exemplos aqui listados não 
contemplam as aplicações totais possíveis, mostrando somente uma pequena 
parte das potenciais aplicações.
Podemos aplicar o Solver em problemas do tipo (VECHIA, 2016):
  transporte;
  designação;
  programação de projetos;
  otimização de rotas.
Problemas de transporte
Problemas de transporte estão relacionados à busca de soluções que minimizem 
o custo do transporte de produtos. Normalmente, esses problemas envolvem 
o transporte e/ou a distribuição de produtos entre os locais de produção e os 
de consumo ao menor custo possível (ARENALES et al., 2011). As situações 
mais comuns são aquelas nas quais a fonte de produtos tem recursos sufi cientes 
ou nas quais a demanda de produtos é maior que a oferta (VECHIA, 2016).
É exemplo desse tipo de problema a distribuição de produtos de várias 
fontes para vários locais de demanda. Os produtos aqui mencionados envol-
vem mercadorias, suprimentos, insumos, etc. Apesar de identificado como 
problema de transporte, esses problemas também podem ser tratados como 
otimização de redes (ARENALES et al., 2011).
Problemas de designação
Problemas de designação referem-se a situações nas quais tarefas devem ser 
atribuídas a um conjunto de recursos (pessoas, máquinas, etc.) de forma a oti-
mizar seu desempenho em termos de custo, tempo, lucro, etc. (VECHIA, 2016).
São exemplos desse tipo de problema: alocação de equipes, destinação 
de máquinas, determinação de produtos a serem produzidos em deter-
minada localidade ou períodos para a realização de tarefas, entre outras 
(ARENALES et al., 2011).
Ferramenta computacional: Solver148
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Problemas de programação de projetos
Considerando que projetos são empreendimentos únicos não repetitivos, a 
utilização de PL em projetos envolve a otimização via minimização de custos 
ou redução dos tempos associados às suas diversas atividades.
Como um projeto apresenta uma série de atividades com duração de-
finida e relações de precedência, eles também podem ser tratados como 
problemas de redes.
São exemplos desse tipo de problema construção de obras de infraestru-
tura, como pontes, rodovias, hidrelétricas, empreendimentos imobiliários, 
implantação de softwares, novos produtos, etc. (VECHIA, 2016).
Otimização de rotas
O problema de otimização de rotas busca estabelecer qual rota minimizará o 
trajeto fi nal. As situações mais simples envolvem apenas um ponto de saída 
e um ponto de chegada, mas problemas reais podem apresentar múltiplos 
pontos de saída e/ou chegada. Um fl uxograma dessa situação leva a um 
diagrama de redes no qual as origens e os destinos seriam os nós e as rotas 
seriam a distância entre dois nós. Esse tipo de problema também poderia 
ser tratado como otimização de redes (VECHIA, 2016).
São exemplos desse tipo de problemas: otimização de rotas logísticas, rotas 
de produção binárias, entre outros (ARENALES et al., 2011).
A companhia aérea norte-americana United Airlines utilizou diversas técnicas de 
otimização diferentes. Entre elas, a programação linear associada a um Solver poderoso 
foi a linha mestra de trabalho para organizar as escalas de trabalho, férias, descanso, 
entre outros elementos de seus mais de 20.000 funcionários espalhados pelos 50 
estados americanos com os objetivos de redução de custos e melhorar a qualidade do 
atendimento aos clientes. Esse trabalho iniciou na década de 1980 e prosseguiu pelos 
anos 1990, garantido economia de US$ 6.000.00,00 por ano (HILLIER; LIEBERMAN, 2012).
149Ferramenta computacional: Solver
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1. Em relação ao uso do 
suplemento Solver:
I. É necessário proceder à instalação 
do suplemento na aba “Dados”.
II. É preciso interpretar o 
problema de forma a preparar 
seu modelo matemático.
III. A resposta retornada será sempre 
de um ponto ótimo global.
IV. Os valores das respostas serão 
números inteiros sempre. 
a) I, II e III estão corretas.
b) Somente I e II estão corretas. 
c) Todas estão corretas.
d) Todas estão erradas.
e) II e III estão corretas.
2. Em que situação se recomenda 
o uso de ferramentas mais 
poderosas que o Solver do Excel?
a) Quando o número de variáveis 
e restrições for muito grande e a 
função objetivo for complexa.
b) Sempre é recomendado utilizar 
ferramentas poderosas.
c) Quando o problema for de 
programação não linear.
d) Quando o Solver não está 
instalado na planilha Excel.
e) Quando a função objetivo 
for complexa.
3. Resolva o problema de programação 
linear utilizando o Solver. Considere 
o modelo matemático a seguir:
FO: Maximizar 6x1 + 4x2 + 6x3 +8x4
Restrições
3x1 + 2x2 + 2x3 +4x4 ≤ 480
1x1 + 1x2 + 2x3 +3x4 ≤ 400
2x1+ 1x2+ 2x3+1x4 ≤ 400
x1 ≥ 50
x2 + x3 ≥ 100
x4 ≤ 25
Todos xi positivos 
a) 1 = 50, 2 = 150, 3 = 145, 4 = 10
b) 1 = 150, 2 = 145, 3 = 150, 4 = 100
c) 1 = 50, 2 = Zero, 3 = 145, 4 = 10
d) 1 = 150, 2 = 150, 3 = Zero, 4 = 100
e) 1 = 150, 2 = 150, 3 = Zero, 4 = 100
4. Você pretende viajar de avião, mas, 
com a mudança na cobrança do 
despacho de bagagens, sua decisão 
é utilizar somente bagagem de 
mão. Para isso, você estabeleceu 
cinco conjuntos de itens para 
levar na bagagem de mão que 
não podem ultrapassar o limite de 
60 quilos. Para decidir qual(quais) 
conjunto(s) levar, você atribuiu 
valores para cada um de acordo 
com uma ordem de importância 
e montou a seguinte tabela:
Conjunto 1 2 3 4 5
Peso (kg) 52 23 35 15 7
Importância 100 60 70 15 15
Qual o modelo matemático 
que maximiza o valor total sem 
exceder o limite depeso?
a) FO: Maximizar 52x1 + 23x2 
+ 35x3 + 15x4 + 15x5
Restrições
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 17x5 ≤ 60
0 ≤ xi ≤1 onde i = {1, 2,3,4,5}
b) FO: Maximizar 100x1 + 60x2 
+ 70x3 + 15x4 + 17x5
Restrições
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 17x5 ≤ 60
0 ≤ xi ≤1 onde i = {1, 2,3,4,5}
xi inteiro
Ferramenta computacional: Solver150
Modelagem_otimizacao_sistema_producao_Book.indb 150 16/05/2018 16:47:18
ARENALES, M. et al. Pesquisa Operacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2011.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
MICROSOFT. Definir e resolver um problema usando o Solver. 2018. Disponível em: 
. Acesso em: 7 maio 2018.
VECCHIA, R. D. Pesquisa Operacional. Canoas: ULBRA, 2016.
c) FO: Maximizar 100x1 + 60x2 
+ 70x3 + 15x4 + 15x5
Restrições
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 17x5 ≤ 60
0 ≤ xi ≤1 onde i = {1, 2,3,4,5}
xi inteiro
d) FO: Maximizar 100x1 + 60x2 
+ 70x3 + 15x4 + 15x5
Restrições
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 17x5 ≥ 60
0 ≤ xi ≤1 onde i = {1, 2,3,4,5}
e) FO: Maximizar 100x1 + 60x2 
+ 70x3 + 15x4 + 15x5
Restrições
52x1 + 15x2 + 35x3 + 15x4 + 17x5 ≤ 60
0 ≤ xi ≤1 onde i = {1, 2,3,4,5}
xi inteiro
5. Você pretende viajar de avião, mas, 
com a mudança na cobrança do 
despacho de bagagens, sua decisão 
é utilizar somente bagagem de 
mão. Para isso, você estabeleceu 
5 conjuntos de itens para levar 
na bagagem de mão que não 
podem ultrapassar o limite de 60 
quilos. Para decidir qual(ou quais) 
conjunto(s) levar, você atribuiu 
valores para cada um de acordo 
com uma ordem de importância 
e montou a seguinte tabela:
Conjunto 1 2 3 4 5
Peso (quilos) 52 23 35 15 7
Importância 70 30 70 30 10
Encontre a solução ótima usando o 
suplemento Solver do Excel. 
a) Serão levados os 
conjuntos 2, 3 e 5.
b) Serão levados os conjuntos 2 e 4.
c) Serão levados os 
conjuntos 1, 3 e 5.
d) Serão levados os conjuntos 4 e 5.
e) Serão levados os 
conjuntos 3, 4 e 5.
151Ferramenta computacional: Solver
Modelagem_otimizacao_sistema_producao_Book.indb 151 16/05/2018 16:47:19
https://support.office.com/pt-br/article/definir-e-resolver-um-problema-usando-
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
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