WDO somando a vida

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23. **Problema 23:** Encontre a segunda derivada de \(f(x) = \tan(x)\). 
 a) \(\sec^2(x)\) 
 b) \(\sec^2(x)\tan(x)\) 
 c) \(\sec^2(x)\tan^2(x)\) 
 d) \(\sec^2(x) + \tan^2(x)\) 
 **Resposta:** b) \(\sec^2(x)\tan(x)\) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(f'(x) = \sec^2(x)\). A segunda derivada é \(f''(x) = 
2\sec^2(x)\tan(x)\). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a integral \(\int x^2 e^x \,dx\) usando integração por partes. 
 a) \(x^2 e^x - 2e^x + C\) 
 b) \(x^2 e^x - e^x + C\) 
 c) \(x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C\) 
 d) \(x^2 e^x + e^x + C\) 
 **Resposta:** c) \(x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos este resultado. 
 
25. **Problema 25:** Determine o valor de \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \,dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O polinômio é \((x - 1)^3\), que é igual a zero em \(x = 0\) e \(x = 1\). 
 
26. **Problema 26:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2} \,dx\). 
 a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 b) \(\frac{1}{x} + C\) 
 c) \(-\frac{1}{2x^2} + C\) 
 d) \(\frac{1}{2x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^2}\) é \(-\frac{1}{x} + C\). 
 
27. **Problema 27:** Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \,dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{8}\) 
 d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}\). 
 
28. **Problema 28:** Determine o valor de \(\int_1^2 (x^3 - 3x + 2) \,dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\). Avaliando de 1 a 2, 
temos \(4 - 6 + 4 - (0.25 - 1.5 + 2) = 1\). 
 
29. **Problema 29:** Calcule a derivada de \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 7\). 
 a) \(3x^2 + 6x - 5\) 
 b) \(3x^2 + 6x + 5\) 
 c) \(3x^2 - 6x + 5\) 
 d) \(3x^2 - 6x - 5\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 + 6x - 5\) 
 **Explicação:** A derivada é dada por \(f'(x) = 3x^2 + 6x - 5\). 
 
30. **Problema 30:** Determine a integral \(\int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \,dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(1\). 
 
31. **Problema 31:** Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x}\). 
 a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 
 c) \(\frac{1}{2x}\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da potência, \(f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
32. **Problema 32:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1\). 
 
33. **Problema 33:** Calcule a integral \(\int (4x^3 - 2x^2 + x) \,dx\). 
 a) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 b) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x^2 + C\) 
 c) \(x^4 - x^2 + C\) 
 d) \(x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int (4x^3 - 2x^2 + x) \,dx = x^4 - 
\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\).