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Matemática financeira KOFFI DJIMA AMOUZOU 1ª Edição Brasília/DF - 2018 Autor Koffi Djima Amouzou Produção Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração Sumário Organização do Livro Didático....................................................................................................................................... 4 Introdução ............................................................................................................................................................................. 6 Capítulo 1 Taxa de Juros .................................................................................................................................................................. 9 Capítulo 2 Regime Capitalização de Juros Simples ..............................................................................................................15 Capítulo 3 Juro Exato e Juro Comercial ou Ordinário ..........................................................................................................27 Capítulo 4 Regime de Capitalização de Juros Compostos .................................................................................................38 Capítulo 5 Métodos de Cálculo de Valor Nominal e Valor Atual em Regime de Juros Compostos .....................52 Capítulo 6 Taxa de Juro Proporcional – Equivalente – Efetiva e Nominal ...................................................................62 Referências ........................................................................................................................................................................74 4 Organização do Livro Didático Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares. A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização do Livro Didático. Atenção Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a síntese/conclusão do assunto abordado. Cuidado Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado. Importante Indicado para ressaltar trechos importantes do texto. Observe a Lei Conjunto de normas que dispõem sobre determinada matéria, ou seja, ela é origem, a fonte primária sobre um determinado assunto. Para refletir Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. É importante que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões. 5 ORgANIzAçãO DO LIVRO DIDáTICO Provocação Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor conteudista. Saiba mais Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões sobre o assunto abordado. Sintetizando Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos. Sugestão de estudo complementar Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso. Posicionamento do autor Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado. 6 Introdução A Matemática Financeira é uma disciplina essencial nas mais diversas áreas do conhecimento. Os conceitos de Finanças são aplicados em geral em todas as áreas de planejamento financeiro, para tomar decisões em análise de riscos nas operações de investimento de capital. Muitas vezes, aplicamos a Matemática Financeira até mesmo na vida pessoal para o planejamento das finanças pessoas sem perceber. Ao calcular a taxa de juro de um empréstimo bancário, ou de tempo de aplicação de um investimento bancário, precisamos fazer alguns cálculos básicos para determinar o risco do investimento que fazemos e para termos certeza de estar fazendo um bom negócio, recorremos a especialistas em Finanças. Já no ambiente profissional, a Matemática Financeira é utilizada de forma mais estruturada, para encontrar as respostas para os problemas de retorno sobre investimentos e de tomar decisões racionais de investimento com base nas diversas estruturas de prazos das taxas de juros impostas pelas organizações e mecanismo de controle do mercado financeiro. Nesse caso, a Matemática Financeira pode ser utilizada para determinar o percentual de reajuste nos preços dos fornecedores, calcular o rendimento das aplicações financeiras da empresa, definir o risco de investimento, identificar a taxa de retorno sobre investimento, calcular a anuidade de capitalizações, definir o valor final ou o valor inicial de uma capitalização, as taxas de juros para títulos de dívida com diferentes vencimentos podem ser encontradas por meio da Matemática Financeira, além de saber do custo do dinheiro no tempo. Praticamente, a Matemática Financeira está presente todos os dias em nossas vidas. Por esses e outros motivos que a disciplina Matemática Financeira é tão importante para sua formação! Começaremos a disciplina com o conceito do valor do dinheiro no tempo onde serão apresentados os principais modelos de regimes de juros simples e de juros compostos. Em seguida, as técnicas de análise de investimentos em que serão analisados os diversos tipos de taxas de juros e as operações de desconto e, por fim, será apresentado o conceito de capitalização em que serão mostradas as técnicas de cálculo de anuidades e de amortização de débitos. Todos os conceitos que veremos serão ilustrados por exemplos que permitirão a você ter uma visão de como eles são aplicados de forma prática. Como toda disciplina que envolve cálculos, é fundamental que você leia o material didático com atenção e pratique os exercícios. E praticar mesmo muitos exercícios para fixação. Somente assim você dominará os métodos de Matemática Financeira! A disciplina Matemática Financeira está dividida em três grandes competências consideradas nos três Circuitos que veremos na trilha da disciplina disponível on-line para que possa entender de forma fácil e rápida as aplicações da Matemática Financeira. Mas aqui o Livro Didático conterá 7 seis capítulos divididos em três grupos de competências a seguir: Valor do dinheiro no tempo – Técnicas de Análise de Investimento e Métodos de Capitalização. Objetivos » Compreender técnicas de análise do valor do dinheiro no tempo que consistem na avaliação do retorno de um investimento, principalmente um empréstimo com base no método dos juros simples e na dominação das técnicas de análise de investimento com base nos métodos de juros composto. » Entender as técnicas de análise de investimento. » Compreender os métodos de capitalização. 8 9 Apresentação Você, com certeza, já precisou de dinheiro para comprar algo importante e constatou que não tinha o dinheiro suficiente para essa compra. E qual é sua alternativa? Com certeza, usou uma dessas alternativas: usar seu cheque especial, usar seu cartão de crédito ou ligar para seu gerente e pedir um empréstimo, um Credito Direto ao Consumidor (CDC) na sua conta. Mas o que geralmente as pessoas não entendem é a taxa de juros que será tomada no valor usado ou aplicado. Para tanto, vamos entender o que étaxa de juros. Objetivo » Definir o que é taxa de juros. » Explicar as expressões de taxa de juros e seus efeitos na dimensãoa convenção linear na parte de fração de prazo? Resolução: Para proceder, vamos primeiro construir o fluxo de caixa dessa aplicação com base no enunciado: Figura 30. Fluxo de caixa m = 8 anos e 8 meses FV =2.700,00 0 PV = R$ 2.700,00 i = 9,75% a.a. Fonte: Elaborada pelo autor. Segundo as fórmulas mostradas na Figura 30 temos: J = C 1 + i e = C 1 + i Com base no enunciado, teremos: � �� � �� �C0 = R$ 2.700 i = 9,75% a.a. m = 8+ 2 3 p = 2 q =3 n = 8 ↔ J� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975� 23� � 1 � � �� 3�352,71 �� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975� 23� � � �� ��052,71 49 REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 4 � �� � �� �C0 = R$ 2.700 i = 9,75% a.a. m = 8+ 2 3 p = 2 q =3 n = 8 ↔ J� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975� 23� � 1 � � �� 3�352,71 �� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975� 23� � � �� ��052,71 Em conclusão, serão pagos juros de R$ 3.352,71 e acumulado um montante de R$ 6.052,71 por um capital de R$ 2.700 aplicado em 8 anos e 8 meses à taxa de juros compostos de 9,75% a.a. Como isso é feito no HP12C? Figura 31. Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html . O HP12C procede normalmente ao cálculo de períodos fracionados de tempo. No entanto, é importante certo cuidado, pois o resultado dependerá de estar indicado ou não um “C” no canto inferior direito da sua tela. Para cálculo de número de dias entre duas datas, basta digitá-las, seguidas da função de “diferença de dias”. Nesse caso, devemos considerar que n = 8,67 anos. Não iremos mais usar uma fração nesse caso, mas um número decimal. E, para começar, abra seu aplicativo HP12C e digite [f][CLx] para zerar a memória do seu aplicativo, em seguida digite sucessivamente para achar o montante: [8][.][6][7][n][9][.][7][5][i][2][7][0][0][CHS][PV][FV] 6.048,83 E para o juro digite ainda com o resultado do montante no seu visor, [2][7][0][0][-] 3.348,83 Observe que há uma pequena diferença entre os valores encontrados, isso devido às frações que consideramos no caso de n = 8,67. 50 CAPÍTULO 4 • REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS Exemplo 2: Convenção exponencial No exemplo da convenção exponencial, vamos considerar o mesmo exemplo com os mesmos valores do enunciado, ou seja: Quais serão os juros devidos e o montante acumulado no final de uma capitalização a juros compostos por 8 anos e 8 meses de uma aplicação inicial de R$ 2.700,00 à taxa de 9,75% a.a. utilizando a convenção linear na parte de fração de prazo? Resolução: Objetivando uma melhor visualização do enunciado, consideremos o esquema apresentado na Figura 32 a seguir: Figura 32. Fluxo de caixa m = 8 anos e 8 meses FV =2.700,00 0 PV = R$ 2.700,00 i = 9,75% a.a. Fonte: Elaborada pelo autor. Considerando as fórmulas do juro e do montante da aplicação no caso da convenção exponencial dadas na Figura 28 vista anteriormente: J = C . 1 + i C = C . 1 + i E ao considerar novamente a base de dados do enunciado, temos: � �� � �� �C0 = R$ 2.700 i = 9,75% a.a. m = 8+ 2 3 p = 2 q =3 n = 8 J 1 + 0,0975 C = 2700 . 1 + 0,0975 = R$ 6.046,97 51 REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 4 Novamente, percebe-se que há apenas pequenas diferenças entre os valores achados na convenção linear dos da convenção exponencial. Sintetizando Neste capítulo aprendemos que: » Para pequenos períodos de aplicação, fica evidenciado que uma aplicação de taxa considerada igual, nos dois regimes de juros simples e compostos, as diferenças do montante de juros não são muito grandes. » No regime de juros simples só o capital inicial rende juros. » Os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial aplicado. » O cálculo de juros compostos, aqueles nos quais os juros de um período são somados ao principal, para o cálculo dos juros do período seguinte, popularmente conhecido como sistema de “juros sobre juros” é, de longe, o mais utilizado nos financiamentos em geral, tanto no sistema bancário como nas transações comerciais. » O resultado na convenção linear conduz a juros maiores do que os obtidos pela convenção exponencial. » Se formos fazer uso da HP12C, devemos estar atentos para verificar se ela está programada para fazer uso da convenção linear ou exponencial. Se a letra “C” não aparecer no visor, deverá digitar [STO][EEX] para alterar de uma convenção para outra, basta as teclas [STO][EEX], nessa ordem. » Na HP12C, esse cálculo torna-se demasiado fácil, porque dentre outros aspectos, a calculadora possui um conjunto de registradores e teclas especiais para esse fim, denominado “setor financeiro”. » Dos quatro elementos presentes no cálculo de juros compostos (principal ou capital, taxa, prazo e montante – ou valor futuro), sempre que ao menos três forem fornecidos, a HP12C calculará o quarto elemento, seja ele qual for. » No processo de cálculo pelo HP12C, não importa a ordem dos elementos, qualquer um pode ser digitado a qualquer tempo. Não há, igualmente, a necessidade de converter taxas ou prazos, desde que eles estejam em equivalência de tempo – taxa mês (a.m.), prazo em meses. 52 Apresentação Conceitos de valor nominal e de valor atual independem do regime de juros considerado; na verdade, o que varia com o regime de juros são as suas expressões. Para definirmos o conceito de valor atual necessitamos, antes, introduzir o conceito de valor nominal. Para tanto, consideraremos um empréstimo a ser saldado em determinada data posterior àquela em que nos supomos situar e cujo valor de resgate, na data de vencimento, FV. Na data em que nos situamos, dizemos que aquele valor FV é o valor nominal do empréstimo. Essa denominação valor nominal, é devida ao fato de que, por influência da taxa de juros, o valor do dinheiro varia com o tempo. Ou seja, em qualquer data anterior à de vencimento do empréstimo, a quantia que o saldará será, para taxas positivas, inferior a FV. A quantia que saldará a obrigação em data anterior à de seu vencimento, quantia essa chamada de valor atual, será o capital que para a taxa de juros compostos por VP, será o capital para a taxa de juros compostos especificada, taxa essa que, normalmente, é a corrente na data em que se calcula o valor atual, produza, na data original de vencimento, um montante igual ao valor nominal do empréstimo. Objetivos No final deste capítulo você será capaz de: » Definir as expressões e as relações entre o valor nominal e o valor presente de uma aplicação em regime de juros compostos. » Entender a formulação da equação de valor nominal e valor presente de uma aplicação em regime de juros compostos. » Entender os efeitos do imposto de renda em uma aplicação de juros compostos. 5 CAPÍTULO MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS 53 MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 5 Expressão e relações entre os valores nominal e atual Seguem as relações entre o valor nominal e o valor atual com base na fórmula fundamental de juros compostos. Figura 33. Relação entre valor nominal e valor atual no regime de juros compostos Fonte: Elaborada pelo autor. Embora esteja implícito, convém frisar que as denominações valor atual e valor nominal dependem da data em que nos situamos. Assim, na data original de vencimento, o valor atual se confunde com o valor nominal. Como isso acontece no mercado? Vamos ver aqui como isso acontece no mercado. Considere que você deseja dispor de R$ 3.500,00 no fim de 6 meses e de R$ 4.200,00 no fim de 1,5 ano. Que quantia você deverá depositar, na data de hoje em um estabelecimento bancário que pague a taxa de juros compostos de 3,5% a.m., de modo que possa fazer as retiradas indicadas, sem deixar saldo final? Resolução: O montante a ser depositado por você, M, será dada pela soma dos valores atuais dos valores nominaisdesejados na época 6 e época 18 meses, respectivamente. Com base na fórmulas fundamentais de juros compostos teremos a seguinte relação. 54 CAPÍTULO 5 • MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS M = VP + VP = FP 1 + i + FP 1 + i M = 3.500 1 + 0,035 + 4.200 1 + 0,035 M = 2.847,25 + 2.261,12 = 5.108,37 Concluindo, você deverá depositar hoje R$ 5.108,37 Efeito do Imposto de Renda em uma Aplicação no Regime de Juros Compostos Como visto anteriormente no caso de aplicação em regime de juros simples, o efeito do Imposto de Renda em uma aplicação no regime de juros compostos se observa também, no caso de títulos de renda fixa, ou no caso de letra câmbio ou um certificado de depósito bancário com valor de emissão e com prazo de vencimento igual a um período da taxa de rendimento, denominada taxa bruta de rentabilidade e denotada por ib. A seguir vamos analisar o efeito do IR no fluxo de caixa ou os rendimentos dos títulos aplicados no regime de juros compostos. Modalidades de cobrança de IR no regime de juros compostos Como visto no caso do regime de juros simples em que descobrimos que existem duas modalidades de cobrança do Imposto de Renda também no regime de juros compostos, as duas formas de cobrança permanecem e os tributos são cobrados na modalidade postecipada ou antecipada. Figura 34. Fluxo de caixa antes da tributação Período da taxa ib 1 VE 0 Fonte: Elaborada pelo autor. Adotando o ponto de vista do investidor, você fará um desembolso igual a VE, onde a seta para baixo, na data de emissão do título (denotada época zero). Um período após você receberá a quantia investida, VE, acrescida dos juros à taxa bruta, ib, ou seja, receberá, onde a seta para cima, a soma de VE + VE.ib. 55 MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 5 Dois tipos de cobrança do IR são aqui tratados: o postecipado e o antecipado ilustrado na Figura 35 a seguir. Figura 35:. Tipos de cobrança de IP em aplicações no regime de juros compostos Fonte: Elaborada pelo autor. A cobrança de IR Postecipado é o mais comum atualmente e a cobrança antecipada fui muito utilizada já algum tempo. Por essas duas formas levarem a diferentes taxas líquidas ou efetivas elas serão tratadas em dois momentos distintos. Efeito do IR postecipado no regime de juros compostos Considerando que esse tipo é a situação, atualmente mais comum, da cobrança de Imposto de Renda, calculada pela aposição da alíquota t (aqui expressa sob a forma unitária), sobre o rendimento (juros), teremos um tributo, T, pelas fórmulas representadas na Figura 36 a seguir: Figura 36. IP Postecipado no regime de juros simples VE. = VE.ib Fonte: Elaborada pelo autor. 56 CAPÍTULO 5 • MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS Suponha que o Imposto de Renda, ou seja, o tributo T seja cobrado na data do resgate do título, o fluxo de caixa que passa a caracterizar a aplicação pode ser esquematizado como representado na Figura 37 a seguir: Figura 37. Fluxo de Caixa após a tributação (IR Postecipado) Período da taxa ib 1 VE 0 Fonte: Elaborada pelo autor. Diante da cobrança do tributo, a questão que se apresenta é a determinação da taxa de rentabilidade efetivamente auferida por você como investidor chamada de taxa líquida de rentabilidade. Partindo da relação básica do regime de juros compostos, tem-se na Figura 38 a seguir: Figura 38. Relação básica do regime de juros compostos Fonte: Elaborada pelo autor. Considerando: FV = VE. 1 + 1 − t . i e VP = VE e se n = 1 Teremos a seguinte relação da taxa líquida iL . 57 MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 5 Figura 39. Relação da taxa líquida de rentabilidade do título (IR Postecipado) �� � ��� � � � � � �� i� � VE � � � � � i� �� VE VE i� = Taxa Líquida de Rentabilidade do Título �� � �� i� � � � � � .i� � � ������ Fonte: Elaborada pelo autor. Efeito do Imposto de Renda Antecipado no Regime de Juros Compostos No caso de regime de juros compostos, considerando t’ a alíquota do Imposto de Renda, o investidor teria que desembolsar, na data da aplicação, o tributo T = t’ VE.ib, além do valor de emissão, VE. Desse modo, o fluxo de caixa que caracteriza o investimento será esquematizado como mostrado na Figura 38 a seguir: Figura 40. Fluxo de caixa após a tributação (IR Antecipado) Período da taxa ib ��� �� � ��) 1 VE + T = VE. (1 + t’. ib) 0 Fonte: Elaborada pelo autor. No caso do IR antecipado temos VP = VE × (1 + t’.ib ), e FV = VE.(1 + .ib ), segue-se a taxa líquida de rentabilidade para investidor, agora denotada por iL’ e será mostrada na Figura 41 a seguir: 58 CAPÍTULO 5 • MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS Figura 41. Relação da taxa líquida de rentabilidade (IR Antecipado) i = Taxa Líquida de Rentabilidade do Título .(1 + t'.ib) Fonte: Elaborada pelo autor. Como isso acontece no mercado? Para mostrarmos a diferença causada pelo Imposto de Renda na rentabilidade de um título, vamos considerar o seguinte caso de uma letra de câmbio com rendimento semestral à taxa de 24%, prazo de 1 ano e valor de emissão de R$ 300.500,00. Sendo a alíquota t de Imposto de Renda na fonte de 10,5%, incidente sobre o rendimento total e cobrado antecipadamente na data do investimento. Determine as taxas líquidas e brutas de rentabilidade semestral para o comprador desse título. Resolução: Desconsiderando o Imposto de Renda, o comprador desembolsará R$ 300.500,00,00, recebendo o tributo sobre o rendimento antecipado. Dado que o rendimento semestral, R, é dado pela aplicação da taxa de rendimento sobre o valor de emissão. Vamos determinar o rendimento R = ib.VE = 0,24.300.500 = 72.120,00 Assim, no caso da taxa de rentabilidade bruta, que ignora o Imposto de Renda, o comprador terá o esquema de fluxo de caixa (desembolso com setas para baixo e receitas com setas para cima) mostrado na Figura 42 a seguir: 59 MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 5 Figura 42. Fluxo de caixa - taxa de rentabilidade bruta FV = VE + R = 372.620,00R = R$ 72.120,00 VE = R$ 300.500,00 1 0 2 Semestres Fonte: Elaborada pelo autor. A taxa semestral de rentabilidade, no caso, bruta, é a taxa tal que, na data de aplicação, igual o valor atual dos desembolsos ao valor atual das receitas. Isto é, sendo ib a taxa procurada, devemos ter: 300.500 = 72.120 �1 + i��� + 372.620 �1 + i��� ↔ 300.500. �1 + i��� = 72.120. �1 + i�� + 372.620 Observe que chegamos a uma equação de 2º grau e considerando (1+ ib) = X teremos a seguinte equação de 2º grau: 300.500.X2 – 72.120.X – 372.620 = 0 com X ≥ o As soluções de uma equação de 2º grau do tipo: aX2 + b.X + c = 0 são: �� � �� � √�� � ��� �� sendo assim, deduzimos que � � � �00��00 � � �������0 � � ��������0� � � � ���√������ �� Com X ≥ 0 Assim temos: X = 72.120 + √72.120 + 4 × 300.500 × 372.620 2 × 300.500 = 1,24, ou seja, 1,24 = 1 + i ↔ i = 0,24% a. s. Observe que a taxa de rendimento bruto coincide com a própria taxa de rendimento semestral especificada no enunciado. Por outro lado, considerando o Imposto de Renda na fonte, dado que o rendimento total é 2R = R$ 144.240,00, uma vez que a aplicação foi por um prazo de 1 ano e que o rendimento é semestral, então tem rendido duas vezes sendo que o rendimento semestral é de R$ 72.120,00. Como o imposto de renda é pago antecipadamente, consideramos que a cobrança será sobre o rendimento total. 60 CAPÍTULO 5 • MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS Sendo assim, o comprador terá que desembolsar R$ 300.500,00 e mais o imposto de tx(2R) = 0,105x 144.240 = 15.145,20, ou seja, desembolsar R$ 315.645,20 na data da compra como representado na Figura 43do fluxo de caixa esquematizado a seguir: Figura 43. Fluxo de caixa da taxa de rentabilidade líquida FV = VE + R = 372.620,00R = R$ 72.120,00 VE + t2R = 315.645,20 1 0 2 Semestres Fonte: Elaborada pelo autor. Logo, considerando-se a data zero, e tomando-se os valores atuais, segue-se que a equação que fornece a taxa de rentabilidade líquida semestral iL é deduzida na seguinte relação: 315.645,20 = + E supondo que X = (1+ i L), teremos: 315.645,20. X − 72.120. X − 372.620 = 0 √ Sendo assim, temos: X = 72120 + −72.120 − 4 × 315.645,20 × −372.620 2 × 315.645,20 = 1.2067 Assim 1,2067 = 1 + i ↔ i = 1,2067 − 1 = 0,2067, ou seja, 20,67% a. s. Sintetizando Neste capítulo aprendemos que: » O problema envolvendo o cálculo do valor nominal FV ou valor futuro a partir do valor atual ou valor presente, VP, consiste na solução da fórmula fundamental FV = PV. (1+i)n, em relação precisa ser calculada para os parâmetros i e n. » Outra questão que merece destaque é a convenção de sinal adotada pela HP12C no registro dos valores monetários PV, FV e PMT – entradas de caixa com sinal positivo (+) e saídas de caixa com sinal negativo (-). » Imposto de Renda Postecipado: o tributo é cobrado na data do resgate do título e o valor de resgate ou valor final FV = VE+VE.ib - T onde FV é o valor final ou de resgate; VE o valor de emissão do título; ib a taxa de rentabilidade bruta, e T o valor do tributo. 61 MÉTODOS DE CáLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REgIME DE JUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 5 » Imposto de Renda Antecipado: o tributo é cobrado antecipadamente antes mesmo do rendimento da aplicação junto com seu valor de emissão. Sendo nesse caso, o investidor teria que desembolsar, na data de aplicação, o tributo T= VE.ib.t’ (onde t’ é a alíquota de imposto de renda), além do valor de emissão. Ele terá que desembolsar para aquisição do título um valor total equivalente à VE + T. 62 Apresentação As decisões de investimento de capital ou dinheiro têm sido altamente racionalizadas, conforme evidenciado pela variedade de técnicas que são disponíveis atualmente. As aplicações de capital em todas as circunstancias precisam garantir um retorno sobre o capital para os investidores. O retorno é medido pela taxa de juro e, nesse caso, importante identificar as diversas taxas de juros existentes para a medição do retorno do capital. Nesta habilidade analisaremos os diversos tipos de taxas de juros que existem como instrumentos de avaliação de um investimento. Em uma das habilidades anteriores, aprendemos os regimes de capitalização que consideramos um processo de formação de juro. Entretanto, em Finanças, para uma análise mais criteriosa dos investimentos ou aplicações, será importante entender os tipos de taxas de juros aplicados. E no mundo real, existem cinco tipos de taxas de juros que serão utilizados para fins de análise de investimentos: juros proporcionais, juros equivalentes, juros efetivos e nominais e juros reais e aparentes juros over. No final, para exemplificar essas taxas de juros serão estudadas aplicações tais como certificados de depósitos bancários e interbancário (CDB e CDI), os títulos prefixados e os títulos pós-fixados. Assim, nesta habilidade abordaremos esses diferentes tipos de taxas de juros existentes no mundo real. Serão apresentadas as mais comumente utilizadas e mais comumente utilizadas no mercado financeiro: Objetivos No final desta habilidade você será capaz de: » Entender e dominar o conceito taxas de juros proporcionais. » Usar as taxas de juros equivalentes. » Determinar as taxas de juros efetivos. » Determinar as taxas de juros nominais. » Entender o efeito das taxas de juros over, real e aparente. 6 CAPÍTULO TAXA DE JURO PROPORCIONAL – EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL 63 TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL • CAPÍTULO 6 Taxa de Juros Proporcionais Será que existe relação entre a taxa de juro de um investimento e o tempo da aplicação? Quando consideramos as taxas de juros de dois investimentos distintos em períodos distintos como proporcionais e se existe critério para confirmar essa relação de proporcionalidade são os principais objetivos que buscamos neste primeiro conceito de proporcionalidade entre duas taxas. Essas e outras relações que e apresentaremos neste primeiro conceito da habilidade 1 com o objetivo de comparar dois investimentos em dois momentos distintos. Então, está preparado. Vamos iniciar. Antes de mais nada, importante saber o que são taxas proporcionais e quando consideramos que duas taxas de juros de dois períodos diferentes são proporcionais e quais os critérios de proporcionalidade. Esses e outros pontos serão discutidos a seguir. Quando se considera duas taxas de juros proporcionais Vamos considerar duas taxas de juros i1 e i2 para duas aplicações em dois períodos respectivos t1 e t2. Essas duas taxas de juros são consideradas proporcionais se, expressando-se os períodos a que se referem numa mesma unidade de tempo, for verificada a seguinte relação: = Nessa relação i1 e i2 podem estar sob a forma unitária ou sob a forma percentual, entretanto, é importante que as duas estejam sob a mesma forma. Na relação = i1 e i2 podem estar sob a forma unitária ou sob a forma percentual, entretanto, é importante que as duas estejam sob a mesma forma. Como isso acontece no mercado? Considere uma aplicação de taxa de juros de i1 = 9% a.s e outra à taxa de i2 = 18% a.a. Podemos considerar as duas taxas de juros proporcionais? Resolução: Vamos, então, verificar se as duas taxas são proporcionais? Expressando-se os períodos t1 e t2 a que se referem as duas taxas, i1 e i2, na unidade mês, por exemplo têm-se: i = 9% a. s = ao período de 6 meses i = 18% a. a = ao período de 12 meses 64 CAPÍTULO 6 • TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL De acordo com o critério de proporcionalidade: = => = = Assim, conclui-se que as taxas de juros 9% a.s e 18% a.a. são proporcionais. Fora essa primeira relação de critério de proporcionalidade existe ainda uma segunda relação para se verificar a proporcionalidade entre duas taxas de juros. Para tanto, considere i1 uma taxa relativa a certo período de aplicação t1. Segunda primeira relação, para que uma taxa i2 relativa a certo período t2 que corresponde à fração de 1� do período t1, seja proporcional à taxa de juro i1, devemos observar que: = ee,, = = => = => = × = Vamos ver como isso funciona na prática: Vamos então determinar a taxa de juro anual que seja proporcional à taxa de juros de 8% a.t. Preste atenção na resolução! Para utilizar essa segunda relação do critério de proporcionalidade, é conveniente considerar como i1 taxa referente ao maior período, sendo neste caso, a taxa de juro anual procurada. Para tanto, i2 será a taxa de 8% a.t., que é relativa à fração 1/k do período a que se refere a taxa i1; por conseguinte, de acordo com a notação adotada na segunda relação, a taxa de 8% a.t. será representada por i2. Desta forma, usando o critério da relação 2 de proporcionalidade, temos: i1=? é a taxa que estamos tentando achar t1= 12 meses e t2 = 3 meses trimestral k= t1 t2 = 12 3 =>k = 4 i2= i1 k =>i1= i2×k=8×4=32%a.a => Sendo assim, a taxa de juro anual proporcional a 8% a.t. é 32% a.a. Isso quer dizer que uma aplicação que rende 8% a.t renderá 32% a.a. 65 TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL • CAPÍTULO 6 Taxa equivalente Você sabe quando consideramos que duas taxas de juros em períodos distintos são equivalentes? Ou melhor, quando consideramos que dois objetos diferentes são equivalentes em termos de valores monetários? Então, o conceito de equivalência em termos de análise financeira tem certa relevância para tomada de decisões de investimentos financeiros. Quando consideramos duas taxas de juros equivalentes? Considere duas taxas i1 e i2, respectivamenterelativas aos períodos t1 e t2. Essas duas taxas serão consideradas equivalentes se, para um mesmo prazo de aplicação, for indiferente colocar nosso capital a render juros à taxa i1 ou à taxa i2. Ou seja, em as taxas i1 e i2 são equivalentes se fazem com que um mesmo principal produza o mesmo montante no fim de um mesmo prazo de aplicação. Existem dois regimes de taxas equivalentes: taxa equivalente no regime de juros simples e taxa equivalente no regime de juros compostos. Figura 42. Regime de juro da taxa equivalente RE GI M E DE TA XA EQ U IV AL EN TE Regime de juros COMPOSTOS Regime de juros SIMPLES Fonte: Elaborada pelo autor. Quando duas taxas são consideradas equivalentes no regime de juros simples? Seja C o capital inicial considerado e o período a que se refere a taxa i1 como prazo de aplicação, para que as taxas i1 e i2 sejam equivalentes, será necessário que os montantes produzidos pelas duas taxas, no mesmo período, sejam iguais. 66 CAPÍTULO 6 • TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL Se considerarmos que o período da taxa i2 seja k vezes menor que o período de i1, podemos dizer que o montante produzido pela taxa i1 em 1 período pela taxa i1, deve ser igual ao montante produzido pela taxa i2 em k períodos da taxa i2. Sendo assim, em regime de juros simples, devemos ter: = Logo: = Quando duas taxas são consideradas equivalentes no regime de juros compostos? Seja C o capital inicial considerado e o período a que se refere a taxa i1 como prazo de aplicação, para que as taxas i1 e i2 sejam equivalentes, será preciso que os montantes produzidos pelas duas taxas, no mesmo período, sejam iguais. Se considerarmos que o período da taxa i2 seja k vezes menor que o período de i1 em 1 período da taxa i1 deve ser igual ao montante produzido pela taxa i2 em k períodos da taxa i2. Dessa forma, em regime de juros compostos, devemos ter: = C 1 + i ou 1 + i = 1 + i => i = 1 + i − 1 e i = 1 + i − 1 No mercado financeiro, existem sete principais subperíodos que são utilizados estabelecendo as seguintes relações entre eles: 1 + i = 1 + i = = = = Onde temos a definições e as relações definidas na Tabela 3 a seguir: Tabela 3. Relação entre taxas de juros equivalentes à taxa de juro anual no mercado financeiro Período Símbolos Definição Taxa Equivalente Ano ia taxa de juro anual (1+ia ) Semestre is Taxa de juro semestral equivalente (1+is ) 2 Quadrimestre iq Taxa de juro quadrimestral equivalente (1+iq ) 3 Trimestre it Taxa de juro trimestral equivalente (1+it ) 4 Bimestre ib Taxa de juro bimestral equivalente (1+ib) 6 Mês im Taxa de juro mensal equivalente (1+im)12 Dia id Taxa de juro diária equivalente (1+id) 360 Fonte: Elaborada pelo autor. 67 TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL • CAPÍTULO 6 Em um investimento C de capital inicial considerado e o período a que se refere a taxa i1 como prazo de aplicação, para que: » As taxas i1 e i2 sejam equivalentes no regime de juros simples, será preciso que os montantes produzidos pelas duas taxas, no mesmo período, sejam iguais e que a seguinte relação seja justificada: = » As taxas i1 e i2 sejam equivalentes no regime de juros compostos, será preciso que os montantes produzidos pelas duas taxas, no mesmo período, sejam iguais e que a seguinte relação seja justificada: oouu Como isso acontece no mercado? Para ilustrarmos como a equivalência de taxas de juros acontece nos dois regimes de juros simples e de juros compostos, vamos desenvolver dois exemplos práticos para sua compreensão: Exemplo de taxas equivalentes no regime de juros simples Determine a taxa trimestral equivalente à taxa de 18% a.a. para o caso do regime de juros simples. Resolução: Com base no enunciado, consideramos que: i1= 18% a.a. e k = 4, pois 1 ano = 4 trimestres e considerando a relação de equivalência entre duas taxas no regime de juros simples: = k. ii = ou i i = Agora vamos usar o HP12C para fazer esta mesma operação: Ligue sua calculadora e efetue as seguintes operações: [f ][CLx][18][ENTER][4][÷]= 4,5 Exemplo de taxas de juros equivalentes no regime de juros compostos Determinada taxa trimestral equivalente à taxa de 18% a.a. no regime de juros compostos. Resolução: Com base no enunciado, consideramos que: i1= 18% a.a. e k = 4, pois 1 ano = 4 trimestres e considerando a relação de equivalência entre duas taxas no regime de juros compostos: = = 68 CAPÍTULO 6 • TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL Figura 43. Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html . Agora vamos usar o HP12C para fazer essa mesma operação. Ligue sua calculadora e efetue as seguintes operações: [f ][CLx][1][ENTER][0,18][+][0,25][Yx][1][-][100][x] = 4,22 Taxa de Juro Efetiva e Taxa de Juro Nominal No mercado financeiro, mais precisamente no segmento imobiliário, é muito comum anunciar uma taxa de 9% ao ano com capitalização mensal; isto é, a taxa é expressa no período de ano, mas os juros são adicionados ao final de cada mês e não apenas ao final do ano. Também é mais comum anunciar nos juros da caderneta de poupança em que afirma que a taxa de juros é de 7% ao ano, com capitalização mensal; isto é, a taxa é expressa no período do ano, mas os juros são adicionados ao final de cada mês e não apenas ao final do ano. Segundo Lachtermacher e Faro (2016), estes exemplos apresentam uma incoerência. Pois sendo uma taxa anual, os juros só são formados ao fim de cada ano, e, portanto, decorrido apenas um mês não se terão formado ainda quaisquer juros e, por conseguinte, não poderá haver capitalização mensal. Muito embora exemplos como esses se bem entendidos, sejam absurdos, são frequentes na prática e caracterizam o que se convencionou chamar de taxas nominais. Dessa forma, aqui explicaremos melhor esse conceito de taxa de juros nominal e efetivo a seguir. O que é uma Taxa de Juro Nominal? Uma taxa é considerada taxa de juro nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que se refere. Como foi mencionado nos exemplos comuns no mercado financeiro, na verdade é a taxa cujo período é mencionado em ano, mas não espera até o final do ano para capitalizar. 69 TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL • CAPÍTULO 6 O que é Taxa de Juro Efetivo Então? Por convenção a taxa de juro efetivo é aquela a ser considerada na aplicação de fórmulas, correspondente a dada taxa nominal; é a taxa que, relativa ao período de capitalização mencionado, lhe seja proporcional. Para melhor compreensão desses dois conceitos, de taxas que se referem a taxas consideradas no regime de juros compostos, pois no regime de juros simples, as taxas são sempre efetivas. Como isso acontece no mercado? Para entendermos melhor como são usados os dois conceitos no mercado financeiro, vamos usar alguns exemplos ilustrativos calculando o montante dos capitais no fim de determinados períodos com capitalização anual. Exemplo 1: Cálculo de juro exato Qual o montante de um capital de R$ 40.000,00, colocado no regime de juros compostos à taxa de 10% a.a., com capitalização anual, durante 4 anos? Resolução: Como dito anteriormente, que as taxas nominal e efetiva se aplicam somente em regime de juros compostos, devemos nos lembrar da fórmula de uma aplicação de 4 anos a taxa nominal anual de 10% a.a. a juros compostos. E considerando os dados do enunciado: ia =10% a.a. = 0,10 e C = 40.000, assim, temos: �� = 40.000�1 + 0,10�� = �����.��4,00 Notamos que um enunciado como esse encerra uma redundância. Pois, em se tratando de uma taxa anual de juros compostos, está implícito que a capitalização (adição de juros ao capital) é feita ao fim de cada ano; ou seja, é anual. Tal enunciado, que foi construído visando-se ao aspecto didático, objetivou frisar que a taxa efetivamente considerada é a de 10% a.a., ou seja, que a taxa de 10% a.a. é uma taxa efetiva. Exemplo 2: Cálculode taxa efetiva e taxa nominal Qual o montante de um capital de R$ 40.000,00 colocado no regime de juros compostos à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral durante dois anos? Resolução: Nesse caso, a taxa efetiva correspondente é a taxa semestral proporcional à de 10% a.a., que é a taxa de 5% a.s., já que: 70 CAPÍTULO 6 • TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL i1=10% a.a. e k = 2 (1 semestre = ½ do ano) = = 0,10 2 Logo C = 40.000; i = 5% a.s.; n = 4 semestres (2 anos são 4 semestres) S� = 40.000�1 + 0,05�� = R$ 48.620,25 Exemplo 3: conversão de taxa nominal para taxa efetiva Uma construtora anuncia o financiamento de um apartamento a uma taxa de juros de 10,5% ao ano com capitalização mensal, ou seja, 10,5% a.a.c.m. Qual a taxa efetiva anual? Resolução Com base no enunciado, temos os seguintes dados: in = 10,5% a.a. e k = 12 (1 mês = 1/12 do ano) Tendo em vista a expressão de taxa equivalente, i 1 + i temos a seguinte relação entre dada taxa nominal e a taxa efetiva equivalente, ie, relativa ao mesmo período da taxa nominal, dada por: i a.p. da taxa nominal, assim, temos: i a.a. => i = 11,02% a. a. i = a.p. de capitalização A relação entre a taxa nominal e a taxa efetiva equivalente, ie, relativa ao mesmo período da taxa nominal, é dada por: a.p. da taxa nominal Taxa de Juro Real e Taxa de Juro Aparente No Brasil, antes do Plano Real, de 1994, estávamos sendo obrigados a conviver com aumentos generalizados e frequentes de inflação em alguns casos a variações diárias de preço de mercadorias e bens duráveis e ainda provocada hoje, embora em menor escala, o efeito de ilusão monetária. Para entender o efeito de ilusão monetária, será preciso entender como é medida a inflação no mercado financeiro. No Brasil, existem duas instituições que promovem a medição das taxas de 71 TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL • CAPÍTULO 6 inflação no mercado: o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e o Instituto Brasileiro de Economia (IBRE), ambos da Fundação Getúlio Vargas. Equação da taxa real e taxa aparente De maneira geral, a medição das taxas de inflação é feita por meio dos índices de preços, que refletem o valor monetário de determinadas cestas de bens e serviços. Assim, sendo I0 o valor do particular índice de preços considerado, como relativo a dada data que tomamos como origem, e I1 o valor desse mesmo índice de preços em outra data no futuro, dizemos que a taxa de inflação relativa ao período entre as duas datas em questão é igual à taxa de variação do índice. Isto é, sendo I a taxa de inflação no período, temos que: Uma vez entendida a sistemática de apuração da taxa de inflação, vejamos agora a interpretação do fenômeno de ilusão monetária. A ocorrência de taxas positivas de inflação (se o valor do índice de preços cair, ao invés de subir, temos o caso de deflação, que se reflete em uma taxa negativa de inflação) pode fazer com que certas transações financeiras, aparentemente lucrativas, sejam, na realidade, uma vez descontado o efeito da inflação, traduzidas em significativos prejuízos. O que é taxa aparente? Taxa aparente é a taxa que levou o capital a se transformar no montante, desconsiderando o efeito inflação, ou seja: sendo o período n expresso em mês. O que é taxa real? De maneira geral, sendo C e I0, respectivamente o valor monetário do capital aplicado e o valor do índice de preços na data de aplicação, e S1 e I1 os correspondentes valores no final do prazo de aplicação, a taxa real de juros, para o período de investimento, será dada por: i = S I − C I C I × 100 a. p. de investimento Já a taxa aparente i no período de investimento é dada por: S − C C 72 CAPÍTULO 6 • TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL Finalmente, a taxa de inflação, I, no período de investimento, é dada por: I − I I Segue-se, portanto, que podemos escrever: 1 + i = 1 + i × 1 + I Como isso acontece no mercado? Para entender como são feitos os cálculos da inflação, consideramos os seguintes exemplos: Exemplo 1: Determinação de taxas real e aparente Certo indivíduo tendo aplicado R$ 40.000,00 em letras de câmbio, recebeu, 18 meses após, R$ 54.400,00. Suponhamos que, na data da aplicação, o valor de certo índice de preços fosse I0 = 480, e que, no final dos 18 meses, o valor desse mesmo índice de preços tenha passado a ser I1 = 672. Quais as taxas real, ir e aparente, desta aplicação? Resolução: Como dito anteriormente, a taxa aparente é a taxa que levou o capital a se transformar no montante, desconsiderando o efeito inflação, ou seja: � � ��S�C � � � � �� � �00� �� � � � ��54.40040.000� � �� � �� � �00 � �������.�.� Ou i = ��S�C � � − 1� × 100 => i = ��54.40040.000� � − 1� × 100 = 36% a. p. de 18 meses A taxa real deve levar em conta a inflação, ou seja, devemos expressar tanto o valor aplicado como o valor recebido, numa moeda com mesmo valor de compra. Isso é feito dividindo-se cada valor em moeda corrente pelo índice de sua época. Assim, os valores do capital investido C’ e o do montante S’ recebido, expressos nessa moeda com poder de compra constante, são dados respectivamente por: �� = � �� = ������ ��� = 8�,������� = ��� �� = ������ ��� = 80,95 A taxa real é calculada como a taxa que, com base nos valores expressos nessa moeda constante, levou um capital igual a 83,33 a produzir um montante de 80,95. Como o valor do montante capitalizado é menor do que o capital investido, tivemos uma taxa de juro real negativa. A taxa real de juros no período de 18 meses é dada por: i� = juros reais C� = S� − C� C� => i� = 80,95 − 83,33 83,33 = −0,0286 ou − 2,86% a. p. de 18 meses 73 TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL • CAPÍTULO 6 Sendo assim, a taxa aparente é de 36% a. p. de 18 meses e a taxa real é de -2,86% a.p. de 18 meses. C� = � �� e S� = �� �� A taxa real de juros no período de investimento é dada por: i = juros reais C = S − C C Sintetizando Neste capítulo aprendemos que para ser um excelente analista financeiro você deverá lembrar-se sempre quanto ao uso da taxa equivalente que: » Como a formação do montante depende do regime de juros que se considera, torna-se necessário especificar em qual regime de juros as taxas em preço são equivalentes. » No regime de juros simples, duas taxas são equivalentes se são proporcionais e vice-versa. » A taxa real deve levar em conta a inflação. A taxa real deve levar em conta a inflação, ou seja, devemos expressar tanto o valor aplicado como o valor recebido, numa moeda com mesmo valor de compra. Isso é feito dividindo-se cada valor em moeda corrente pelo índice de sua época. » No caso de taxas de juros efetivos e taxas de juros nominal deverá sempre fazer uma conversão da taxa de juro nominal para a taxa de juro efetivo com base nas seguintes considerações: » De maneira geral, dada uma taxa nomina, in, com k período de capitalização ao longo do período a que ela se refere (diz-se que a taxa é conversível k vezes ao longo de seu período seu período), a correspondente taxa efetiva proporcional. 74 Referências ASSAF NETO, Alexandre. Mercado financeiro. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2012. BERK, Jonathan. Finanças empresariais. Porto Alegre: Bookman, 2009. BRIGHAM, Eugene F.; EHRHARDT, Michael C. Administração Financeira - teoria e prática. 14ª Ed. Norte – Americana. Rio de Janeiro: Cengage Learning, 2016. FARIA, Rogerio Gomes de. Matemática comercial e financeira: com exercícios e cálculos em Excel e HP12C. São Paulo: Ática, 2007. LACHTERMACHER, Gerson; FORO, Clovis de. Introdução à matemática financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2012. MANSFIELD, Edwin. Microeconomia: teoria e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2006. PINTO, Andrew Carvalho. Matemática financeira com HP12C. São Paulo: Barros, Fischer & Associados: Clio Editora, 2010. TAN, S. T. Matemática aplicada à administraçãoe economia. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. WEYGANDT, Jerry J. Contabilidade financeira. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. _GoBack _Hlk481856191 _Hlk481856173 _Hlk481891250 _Hlk482454988 _Hlk482458497 _Hlk482462452 _Hlk482467892 _Hlk482576100 _Hlk482512257 _Hlk482512279 _Hlk482604330 _Hlk482608329 _Hlk482608737 _Hlk482608407 Introdução TAXA DE JUROS REGIME CAPITALIZAÇÃO DE JUROS SIMPLES JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINÁRIO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS COMPOSTOS MÉTODOS DE CÁLCULO DE VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL EM REGIME DE JUROS COMPOSTOS TAXA DE JURO PROPORCIONAL –EQUIVALENTE – EFETIVA E NOMINAL Referênciasdo valor do dinheiro. » Identificar os fatores que afetam a taxa de juros. » Mostrar as relações da taxa do juro com o mercado financeiro. 1CAPÍTULO TAXA DE JUROS 10 CAPÍTULO 1 • TAXA DE JUROS Que é taxa de juro? Literalmente, juro é, segundo o dicionário Barsa, “quantidade de dinheiro que se paga ou que se recebe por utilizar ou emprestar certa soma de dinheiro por um período de tempo determinado; interesse”; o dicionário continua definindo ainda juro como “rendimento que o credor aufere do dinheiro que lhe é devido” ou “prêmio pago pela cedência, gozo ou aluguel de um capital” ou ainda a juro mora como “indenização pago por atraso em pagamento devido”. Assim, de maneira simples, o juro será considerado, o preço que se paga por tomar dinheiro emprestado ou o retorno sobre uma aplicação ou investimento. Do ponto de vista econômico, Foro (2012), define o juro como a remuneração, a qualquer título, atribuída ao fator capital; ou o prêmio pago a um agente econômico para proteger o consumo (poupar). Agora que sabemos o significado da taxa de juro, vamos, então, identificar os fatores que afetam a taxa de juro e como elas variam. Esses pontos serão discutidos a seguir. Fatores que afetam os juros Vamos considerar nas três condições acima listadas na apresentação do capítulo que existem dois fatores relevantes que afetarão os juros: o tempo do investimento que chamamos de período, que é o tempo que levará para pagar o dinheiro tomado ou o tempo de aplicação do seu dinheiro e o valor do capital ou o montante do dinheiro a ser tomado. De maneira geral, existem dois fatores que afetam os juros: o tempo de aplicação e o valor do dinheiro tomado. Figura 1. Fatores que afetam a taxa de juros Fatores que afetam a taxa de juro Valor da Aplicação Período deTempo de Aplicação Fonte: Elaborada pelo autor. 11 TAXA DE JUROS • CAPÍTULO 1 As relações da taxa de juro com o mercado financeiro Sem dúvida você já deve ouvido as seguintes expressões no mercado financeiro: “taxas de juros altos”, vamos diminuir o consumo! Ou “taxas de juros menores”, vamos comprar, vamos investir! Enfim, são expressões usadas pelos produtores do mercado financeiro. Saiba antes de mais nada que o mercado financeiro é composto de poupadores e de tomadores de empréstimo como ilustrado na Figura 2 a seguir. As operações realizadas no mercado financeiro são consideradas ou chamadas de transações financeiras que consistem em tomada de empréstimos ou em poupança ou investimentos. Figura 2. Mercado financeiro MERCADO FINANCEIRO Poupadores Tomadores de Empréstimo Fonte: Elaborado pelo autor. Como determinamos o valor do juro? De forma prática, a determinação do valor do juro que é cobrado em qualquer transação financeira é efetuada mediante a consideração de um coeficiente denominado taxa de juros. A taxa de juros, que sempre é referida a certo período de tempo, mês, semestre, ano ou, até mesmo, dia; nada mais é do que a remuneração pela utilização da unidade de capital durante o período a que ela se refere. Ou seja, a taxa de juros é o “preço do dinheiro” tomado ou poupado. As taxas de juros costumam ser apresentadas sob uma das duas formas equivalentes: forma unitária ou forma percentual. A Figura 3 a seguir mostra as duas formas de equivalência da taxa de juros. 12 CAPÍTULO 1 • TAXA DE JUROS Figura 3. Forma equivalente da taxa de juro Taxa de Juro UnitáriaPercentual Fonte: Elaborado pelo autor. Genericamente, se consideramos como i a taxa de juros, C0 o capital aplicado (emprestado) e C1 o capital recebido no final de dado período de tempo, que tomaremos como unidade, teremos os juros J auferidos na transação ou como preço do dinheiro tomado ou, ainda, como prêmio do capital investido (emprestado) como: Sendo a taxa de juros equivalente relativa ao período considerada será: a. Na forma unitária b. Na forma percentual % Quais os fatores que afetam taxas de juros pagos aos poupadores? De acordo com Foro (2012), como o capital no mundo pode economicamente ser considerado um bem escasso, os juros podem ser entendidos como a remuneração paga por um agente econômico pela utilização, em determinado período de tempo, do capital de outro agente econômico. Assim, a taxa de juros paga aos poupadores depende basicamente de quatro fatores: » taxa de retorno que os agentes poupadores esperam obter sobre o capital investido; » das referências pelo tempo de consumo atual versus consumo futuro; 13 TAXA DE JUROS • CAPÍTULO 1 » do quão arriscado é o empréstimo; » da taxa de inflação esperada no futuro. Figura 4. Fatores que afetam as taxas de juros pagos aos poupadores FATORES QUE AFETAM A TAXA DE JUROS PAGOS AOS POUPADORES Retorno sobre o capital investido Tempo de consumo atual versus futuro Risco do empréstimo Inflação esperada no futuro Fonte: Elaborado pelo autor. Fatores que afetam o custo do dinheiro Você sabia que existem fatores que afetam o valor do dinheiro no tempo? Segundo Brighan (2016), existem quatro fatores fundamentais que afetam o custo do dinheiro: » oportunidades de produção; » preferências pelo tempo de consumo; » risco; » inflação do mercado. Como isso acontece no mercado? Para entender melhor o que são juros e os fatores que afetam o custo do dinheiro que operam no mercado, partiremos do exemplo do Brighan em que considera uma comunidade de ilha isolada de pescadores. A seguir, leia o exemplo e preste bem atenção a cada detalhe para você entender melhor como os fatores operam no mercado financeiro. Imagina uma comunidade em uma ilha isolada onde as pessoas vivem da pesca. Elas têm um estoque de equipamentos de pesca que lhes permite sobreviver razoavelmente bem, mas gostariam de obter mais peixes. Agora suponha que o Sr. Josué tenha tido uma ideia brilhante 14 CAPÍTULO 1 • TAXA DE JUROS para um novo tipo de rede de pesca que possibilitaria dobrar sua pesca diária. Porém ele levaria um ano para aperfeiçoar seu desenho, construir sua rede e aprender a usá-la eficientemente, e provavelmente morreria de fome antes que pudesse colocar sua nova rede em operação. Entretanto, ele poderia sugerir à Sra. Josiane, ao Sr. João, e a vários outros habitantes que lhe dessem um peixe por dia durante um ano, e ele devolveria dois peixes por dia durante o ano seguinte. Se alguém aceitasse a oferta, o peixe que a Sra. Josiane ou algum de outros habitantes dessem ao Sr. Josué se constituiria em poupança; essa poupança poderia ser investidas na rede de pesca, e os peixes extras obtidos pela rede se constituiriam em retorno sobre o investimento. Obviamente quanto mais produtiva o Sr. Josué imaginasse a nova rede de pescar, mais ele poderia oferecer aos potenciais investidores em troca de suas poupanças. Nesse exemplo, supusemos que o Sr. Josué tenha pensado que seria capaz de pagar, e assim ofereceu uma taxa de retorno de 100% – ele propôs dar de volta dois peixes para cada um que recebesse. Ele podia ter tentado atrair poupança por menos – por exemplo, ele poderia ter oferecido somente 1,5 peixe para o próximo ano para cada um que ele recebesse naquele, o que representaria uma taxa de retorno de 50% para os potenciais poupadores. O atrativo da oferta do Sr. Josué para um potencial poupador dependeria em grande parte da preferência pelo tempo de consumo desse poupador. Por exemplo, a Sra. Josiane poderia estar pensando na aposentadoria e estar disposta a negociar o peixe de hoje pelo de amanhã na base de um para um. Entretanto, o Sr. João poderia ter uma esposa e várias crianças pequenas e necessitar de seu peixe atual, de maneira que poderia não estar disposto a “emprestar” um peixe diário por qualquer coisa abaixo de três peixes para o próximo ano. O Sr. João seria conhecido como tendo alta preferência pelo tempo de consumo atual, e a Sra. Josiane seria conhecida como tendo baixa preferência pelo tempo. Observe que,se a população inteira estivesse vivendo exatamente no nível de sobrevivência, as preferências pelo tempo de consumo atual seriam necessariamente altas, a poupança agregada seria baixa, as taxas de juros seriam altas e a formação de capital seria difícil. Sintetizando Vamos tirar as seguintes conclusões importantes para análise da taxa de juros com base no exemplo anterior da ilha isolada de pescadores. Lembre-se sempre que quando estiver analisando um investimento, seja ele empréstimo ou uma aplicação, deverá levar em consideração dois fatores importantes que afetam o valor do investimento no futuro: o risco e a inflação do mercado nas seguintes condições: O risco inerente no projeto da rede de pesca e, portanto, a habilidade do Sr. Josué de pagar o empréstimo também afetaria o retorno que os investidores requeriam: quanto maior for o risco percebido, mais alta será a taxa de retorno requerida. Além disso, em uma sociedade mais complexa, há vários outros negócios além da pesca tão bons quanto o do Sr. Josué, e muitos poupadores iguais à Sra. Josiane e ao Sr. João. Dessa forma, as pessoas usam o dinheiro como meio de troca em lugar de permuta com peixe. Quando o dinheiro é usado, seu valor no futuro, que é afetado pela inflação, faz parte do jogo: quanto mais alta for a taxa esperada de inflação, maior será o retorno requerido. Agora que você já sabe o que é taxa de juros, vamos a seguir para entender o regime de juros simples. Preparado para o próximo conceito? 15 Apresentação As decisões de investimento de capital ou dinheiro têm sido altamente racionalizadas, conforme evidenciado pela variedade de técnicas que são disponíveis atualmente. Em comparação às decisões de precipitação ou de marketing, as de investimento de capital podem normalmente ser feitas com alto nível de confiança, pois as variáveis que afetam as decisões são relativamente bem conhecidas e podem ser quantificadas com relativo alto grau de exatidão. As decisões de aplicações financeiras são normalmente feitas com relação à menor taxa aceitável de retorno sobre o investimento. Isto é, muitas vezes, referido como taxa limiar de retorno. Como ponto de partida, a taxa limiar ou taxa de retorno pode ser considerada como o custo do capital investido, necessário para subscrever as despesas. Certamente um investimento não será feito se ele não retornar, no mínimo, o custo do capital. Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Este processo pode ser sob a forma descontínua (discreta) ou contínua. Assim nessa habilidade faremos uma introdução ao regime de capitalização de juros simples com base no modelo de capitalização discreto ou descontinuo no qual os juros são acrescidos ao final de determinado período discreto de tempo que é período a que se refere a taxa de juros considerada. Você que gosta de fazer compras, talvez já ouviu falar sobre o regime de capitalização de juros simples. Se não é um fã das compras ou que use seu cartão de crédito ou cheque especial à vontade, também não se preocupe, pois você vai entender melhor como funciona o regime de capitalização de juros simples caso considere-se um grande poupador de dinheiro ou que se abstém no uso do seu dinheiro porque finalmente, nesse segundo conceito o tema principal trata disso de forma mais detalhada. Objetivos » Entender os conceitos de capitalização descontínua ou discreta. » Dominar o método de juros simples. » Determinar o juro exato de um investimento na capitalização simples. 2 CAPÍTULO REgIME CAPITALIzAçãO DE JUROS SIMPLES 16 CAPÍTULO 2 • REgIME CAPITALIzAçãO DEJUROS SIMPLES O que é uma capitalização descontínua ou discreta? No mercado financeiro, na prática, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Esse procedimento é mais adotado no caso de aplicações em cadernetas de poupança e em Recibos de Depósitos Bancários (RDBs). O processo de capitalização descontínua pressupõe que os juros são acrescidos ao final de determinado período discreto de tempo que é o período a que se refere a taxa de juros considerada. Sendo assim, o capital sofre, no fim de cada período de tempo, um acréscimo que é diretamente proporcional a esse capital; sendo o fator de proporcionalidade, i, a taxa de juros para o período considerado. Ainda assim, existe nesse caso, uma variação com relação à base sobre a qual a taxa de juros incidirá. Dois tipos de regimes de juros podem ser utilizados para calcular essa taxa de juros: o regime de juros simples e o regime de juros compostos. Vamos aqui ver, a seguir, como isso funciona no caso do regime de juros simples. Você sabe como as taxas de juros incidem no regime de juros simples? No regime de juros simples as taxas de juros incidirão somente sobre o capital inicial, C0. Como já sabemos, os juros são definidos como a diferença entre o valor aplicado e o valor recebido ao final de uma aplicação. No caso de um único período: Ou seja, o montante C1 no final do primeiro período é igual ao capital inicial C0 mais os juros que lhe são devidos por sua utilização durante um período a que se refere a taxa de juros i considerada. No caso de dois períodos de tempo de aplicação à mesma taxa de juros i, os juros serão acrescidos ao capital inicial duas vezes. Generalizando no caso de uma aplicação de n períodos de tempo ao mesmo valor da taxa de juros equivalente ao período, os juros serão acrescidos ao valor inicial n vezes. Assim sendo, juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial C0, também chamado principal, e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que esse é aplicado; sendo o fator de proporcionalidade a taxa de juros por período i. 17 REgIME CAPITALIzAçãO DEJUROS SIMPLES • CAPÍTULO 2 Relações entre juro e suas componentes em regime de juros simples Considerando C0 o valor principal ou capital inicial, i, a taxa de juros, e n o período de aplicação, expresso em número de períodos a que se refere a taxa i, o juro, J, é obtido no fim do período ou prazo de aplicação, e será: J = C0 . i . n Equação 1 Com base nessa fórmula de juros, deduzimos as seguintes relações entre suas componentes: Figura 5. Relações entre juros e suas componentes em regime de juros simples � � �� �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � �� �� �� �� � � �� � �� � ��++ JJ Fonte: Elaborada pelo autor. Relações entre juro, o valor futuro e o capital inicial em regime de juros simples Considere a equação 2 a seguir: . Equação 2 Nessa equação, o montante final ou (Valor Futuro) Cn, obtido pela aplicação de um capital inicial C0, à taxa i, durante n período deduzimos as relações entre juro, valor futuro e o capital inicial mostradas a seguir: 18 CAPÍTULO 2 • REgIME CAPITALIzAçãO DEJUROS SIMPLES Figura 6. Relações entre juro, o valor futuro e o capital inicial em regime de juros simples � � C�. i. n C��C� � � i. n n � C�C� �� � i i � C�C� �� � n � � C� - C� C� � C� � � i. n Fonte: Elaborada pelo autor. Embora já tenha sido especificado, convém frisar que a equação 1 só pode ser empregada colocando-se o prazo ou período de aplicação, n, expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. Portanto, se quisermos calcular o juro devido a um investimento de R$ 50.000,00 à taxa de juros simples de 6% ao mês, no fim de 1 ano, devemos entrar na equação com n = 12 meses e teremos: J = C. i. n = 50.000 × 0,06 × 12 = R$ 36.000,00 Períodos fracionários no regime de juros simples? Do ponto de vista teórico, no regime de capitalização descontínua a juros simples, de que estamos tratando, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa considerada. No exemplo a seguir, considere que João aplicou R$ 2.000,00, à taxa de juros simples de 20% ao ano, pelo prazo de um ano. Porém, antes do encerramento do prazo, no fim dos oito meses ele resolve resgatar sua aplicação. Comoa taxa é anual, os juros só seriam formados no fim de um ano e, assim, de acordo com a convenção de capitalização descontinua, no fim de oito meses ainda não se teria formado nenhum juro. Portanto, interpretando-se a convenção ao pé da letra, Sr. João resgataria somente o valor principal de R$ 2.000,00, o que seria um absurdo, pois ele deixaria de ter qualquer remuneração pela aplicação do seu capital durante esses oito meses. 19 REgIME CAPITALIzAçãO DEJUROS SIMPLES • CAPÍTULO 2 Para contornar situações como essas, que surgiriam em qualquer tipo de aplicação, criou-se, então, a convenção adicional de que a formação dos juros simples, ao longo do período a que se refere a taxa, siga estritamente uma função linear, sem descontinuidades. Ou seja, admite-se que os juros simples devidos pela utilização de certo principal durante a fração própria p/q, onde pconsiderado, é cobrado antecipadamente e segundo a alíquota de 50%, incidente sobre 20% do rendimento, pergunta-se: quais serão, em termos anuais, as taxas de rentabilidade bruta e líquida para o comprador da letra? Resolução: Desconsiderando o Imposto de Renda, o comprador desembolsará R$ 75.000,00, recebendo, no fim de 320 dias (32/36 do ano), os R$ 75.000,00 mais o rendimento. Vamos determinar o rendimento r = R$ 75.000,00 × 0,60 = R$ 45.000,00 Sendo assim, FV o valor final do título ou o valor de resgate é igual ao valor de emissão mais o rendimento, seja: FV = VE + r = 75.000 + 45.000 = R$120.000,00 25 REgIME CAPITALIzAçãO DEJUROS SIMPLES • CAPÍTULO 2 Dessa forma, temos as seguintes variáveis: 320 360 =? Agora vamos determinar a taxa de rentabilidade bruta. Lembre-se da fórmula que vimos na figura de relação entre as taxas de juros e valores nominais. Então, agora que a usaremos: i = = = = = 0,6750 ou 67,50% a. a. Importante prestar atenção em um detalhe do enunciado antes de continuarmos no cálculo da alíquota para o comprador. Bem, observe que o enunciado diz que o Imposto de Renda será cobrado antecipadamente segundo a alíquota de 50%, sobre 20% do rendimento e já calculamos o rendimento no valor de R$ 45.000,00, então a alíquota de 50% será incidente sobre 20% de 45.000,00. Agora vamos proceder ao cálculo do Imposto de Renda, seja T = 0,50 x 0,20 x 45.000 = R$ 4.500,00, o comprador pagará um tributo de Imposto de Renda no valor de T = R$ 4.500,00 cobrado antecipadamente. Sendo assim, o comprador deverá desembolsar o valor de R$ 75.000 + R$ 4.500 = R$ 79.500,00. Para encontrarmos a rentabilidade líquida devemos proceder da seguinte maneira: 320 360 =? Novamente com base nas fórmulas teremos: i = = = = = 0,5731 ou 57,31% a. a. Concluímos, então, que a taxa de rentabilidade bruta é de 67,50% a.a. e a taxa de rentabilidade líquida é de 57,31% a.a. Sintetizando Neste capítulo aprendemos que: » O fator de proporcionalidade do regime de juros simples: o juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial C0, também chamado principal, e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado; sendo o fator de proporcionalidade a taxa de juros por período i. 26 CAPÍTULO 2 • REgIME CAPITALIzAçãO DEJUROS SIMPLES » A equação 1 só pode ser empregada colocando-se o prazo ou período de aplicação, n, expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. » Imposto de Renda Postecipado: o tributo é cobrado na data do resgate do título e o valor de resgate ou valor final FV = VE + VE.ib - T, onde FV é o valor final ou de resgate VE o valor de emissão do título, ib a taxa de rentabilidade bruta e T o valor do tributo. » Imposto de Renda Antecipado: o tributo é cobrado antecipadamente, antes mesmo do rendimento da aplicação junto com seu valor de emissão. Sendo que, nesse caso, o investidor teria que desembolsar, na data de aplicação, o tributo T = VE.ib.t’ (onde t’ é a alíquota de Imposto de renda), além do valor de emissão. Ele terá que desembolsar para aquisição do título, um valor total equivalente a VE + T. 27 Apresentação Em operações correntes de curto prazo em que o regime de juros simples é usualmente aplicado, os prazos de aplicação costumam ser expressos em dias, embora as taxas usuais sejam anuais. Nesse caso, para usar a equação ou expressão J = C0.i.n tem que expressar o prazo n em unidade de ano, o que pode ser feito de duas maneiras: a. Considerando-se o ano civil de 365 dias ou 366 dias. b. Considerando o ano comercial de 360 dias. Conforme se considere o ano civil na conversão, o juro é dito juro exato. Como vivos anteriormente sobre o juro exato que ocorre devido a resgate de título com antecipação da data de vencimento, em que consideramos o ano civil com 365 dias ou 366 dias; no caso de título com resgate antecipado, consideramos o juro comercial quando os cálculos são feitos com 360 dias definido universalmente como ano comercial no mercado financeiro. Muito embora as taxas usuais sejam as anuais, no caso para usar a equação ou expressão J = C0. i. n tem que expressar o prazo n em unidade de ano, o que pode ser feito considerando o ano comercial de 360 dias. Conforme se considere o ano comercial na conversão, o juro é dito juro comercial. Objetivos » Entender a definição de juro exato. » Entender a conversão de cálculo de juros exatos. » Compreender a equação ou fórmula de juro exato. » Calcular o valor nominal e valor atual ou presente de uma aplicação. » Entender os juros comerciais e ordinários. » Calcular juros comerciais ou ordinários. 3 CAPÍTULO JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO 28 CAPÍTULO 3 • JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO Equação ou fórmula do juro exato Vamos descobrir como deve se achar a fórmula para o juro exato. Entenda que o juro exato é aquele juro equivalente a uma aplicação com antecipação de resgate; para tanto, precisamos converter o prazo de aplicação à taxa de juro anual. No mercado financeiro nem sempre que ao aplicar um investimento a juro simples a uma taxa anual, temos condições de esperar até a data de vencimento para resgatar essa aplicação. Nesse caso de resgate antecipado, seremos obrigados a fazer uma conversão da taxa de juro anual em juro exato equivalente ao tempo de aplicação expresso em dias. Para tanto, considere uma aplicação C0, a taxa anual i a juros simples, durante n dias, teremos o juro exato dado pela seguinte equação: Figura 16. Equação de juro exato Fonte: Elaborada pelo autor. Valor nominal e valor atual ou valor presente Quando consideramos na data de hoje, uma aplicação financeira pagável em determinada data no futuro no seu vencimento; o valor futuro do resgate dessa aplicação, em sua data de vencimento, denomina-se valor nominal (FV). Lembre-se, então, de que: Valor Nominal é o montante do resgate na data do vencimento da aplicação chamado ainda de valor futuro. Também, denomina-se valor atual ou valor presente (VP) de uma aplicação, a determinada taxa de juros, o capital que, se colocado a render juros a partir da data de hoje, nos daria um montante igual ao valor nominal (FV). Lembre-se de que o valor atual é o valor presente, é o capital que, aplicado a juros simples, daria um montante equivalente ao valor nominal na data de vencimento. 29 JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO • CAPÍTULO 3 Sendo FV o valor nominal de uma aplicação financeira, n o tempo em que o dinheiro ficou aplicado expresso em número de períodos a que a taxa i considerada, entre a data de hoje e a data de vencimento da aplicação, e VP o seu valor atual, teremos, no regime de juros simples, a seguinte relação de acordo com base na fórmula Cn = C0.(1 + i.n) Figura 17. Fórmula do valor nominal e do valor atual Fonte: elaborada pelo autor. Como isso acontece no mercado? Para entender como são feitos os cálculos do juro exato, de valor nominal e de valor atual ou presente, vamos a seguir ilustrar dois exemplos: Exemplo 1: Cálculo de juro exato João, um estudante do último período do curso de Administração das Faculdades São José, está com dificuldade financeira para quitar sua dívida com a faculdade e renovar sua matrícula no início do semestre 2016. 1. Ele, então, decidiu tomar um empréstimo com o gerente do seu banco e contratou um CDC no valor de R$ 4.000,00 no dia 5/1/2016, à taxa de juros simples de 15% a.a., que deve ser pago em um ano, isto é, em 5/1/2017. Porém, antes do final do ano, João foi promovido no trabalho e decidiu saldar sua dívida com o banco no dia 15/8/2016, antes do encerramento do contrato do CDC. qual o juro exato que o João pagou pelo contrato de CDC ao Banco? Resolução: Como João pagou sua dívida no dia 15/08/2016 consideramos, então, que ele antecipou o pagamento de sua dívida e, portanto, devemos calcular o número de dias do período de 30 CAPÍTULO 3 • JURO EXATO E JURO COMERCIALOU ORDINáRIO empréstimo; para tanto, vamos usar a calculadora financeira HP12C para determinar o número de dias decorrentes entre a data de contratação da dívida com o banco considerada data de início o dia 5/1/2016 e a data de quitação da dívida considerado dia 15/8/2016. Como é a primeira vez que vai usar a calculadora financeira HP12C, vamos, antes, baixar o aplicativo no seu smartphone e depois instalar; então, abra o aplicativo e vamos aos seguintes passos para a operação de datas: Figura 18. Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html. Com seu aplicativo aberto, digite [g][4]. Aparecerá, então, no visor mais à direita, a notação D.M.Y Para cálculo de número de dias entre duas datas, basta digitá-las, seguidas da função de “diferença de dias”. Uma data sempre deve ser digitada com os dois primeiros dígitos (relativos ao dia no sistema brasileiro) separados por [.] dos demais (relativos ao mês e ano ou ao dia e ano, respectivamente). Então vamos calcular quantos dias decorreram entre as datas de 5 de janeiro de 2016 e 15 de agosto de 2016? Para isso, digite em seguida: [0][5][.][0][1][2][0][1][6][ENTER] [1][5][.][0][8][2][0][1][6][g][EEX] 223,00 Então, n = 223 dias é importante salientar que a calculadora apresentará o número de dias considerando um calendário de 365 dias (gregoriano). Agora vamos proceder ao cálculo do juro exato com n = 223 dias com base em 365 dias ao ano. Usando nossa fórmula do juro exato: J = C . i. n 365 = 4.000 × 0,15 × 223 365 = R$ 366,58 Concluímos, então, que João pagou R$ 366,58 de juros pelo empréstimo com o banco. O valor total pago foi R$ 4.366,58. https://epxx.co/ctb/hp12c.html 31 JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO • CAPÍTULO 3 Exemplo 2: Cálculo de valor nominal no modo do ano civil de 365 dias Uma nota promissória (promessa de pagamento assinada por quem contrai uma dívida) datada de 4 de abril de 2016, com valor de face (valor da dívida na data em que está foi contraída – data de emissão da nota) de 2.400,00, devendo ser resgatada oito meses após sua data de emissão com juros de 15% ao ano sobre o valor de face (diz-se que a nota tem termo de oito meses a juros simples de 15% a.a.), é vendida a certa pessoa, para quem o dinheiro vale 18% a.a. no dia 12 de agosto de 2016. Quanto deve essa pessoa pagar pela posse da nota promissória? Resolução: Objetivando uma melhor visualização do problema, consideremos o esquema apresentado na Figura 19 a seguir: Figura 19. Linha de Tempo Tempo FV VP 04 .1 2. 20 16 12 .0 8. 20 16 04 .0 4. 20 16 2.400 8 meses – 15% a.a. 114 dias – 18% a.a. Fonte: Elaborada pelo autor. Para você entender melhor o enunciado, vamos explicar alguns passos: suponha que você tem um título (nota promissória assinada no dia 4.4.2016) por reconhecimento de uma dívida a prazo com vencimento no dia 4.12.2016, ou seja, a pessoa prometeu pagar essa dívida após oito meses a juros simples de 15% ao ano. Sendo que, no decorrer do tempo, você não pode esperar até a data de vencimento para resgatar seu valor nominal, que seria o valor FV porque precisou de dinheiro no dia 12.8.2016 para a festa de dois aninhos da sua filha. E você, então, decidiu vender seu título nessa data a uma pessoa que disponha de dinheiro que gostaria de investir a uma taxa de 18% a.a., isso quer dizer que está regatando o valor do seu título 114 dias antes da data do seu vencimento. Nesse caso, o valor de face será igual ao valor nominal FV que ainda não sabemos. Então, vamos aqui calcular o valor nominal da nota promissória; antes de mais nada, precisa por regra de três calcular o prazo de investimento equivalente a oito meses: 12 meses 1 ano 8 meses x ano ↔ x = 8 × 1 12 = 2 3 ano ↔ n = 2 3 ano 32 CAPÍTULO 3 • JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO Logo: FV = VP. 1 + i. n = 2.400 × 1 + 0,15 × 2 3 = R$2.640,00 A quantia a ser paga pela nota é seu valor atual no dia 12 de agosto, valor esse calculado a partir do valor nominal da nota, considerando-se a taxa de juros acertada entre as partes interessadas (no caso 18% a.a.). Os 114 dias de antecipação são calculados da mesma forma que no exemplo 1 pela calculadora HP12C. Dessa forma, convido-lhe novamente a abrir seu aplicativo de HP12C e digitar logo [g][4], na sequência, digite os seguintes: [f ][CLX] para zerar a memória da calculadora e depois digite: [1][2][.][0][8][2][0][1][6][ENTER] [0][4][.][1][2][2][0][1][6] [g][EEX] 114,00 dias Agora é considerar que o comprador do título estivesse investindo um valor atual VP por um prazo de 114 dias que lhe renderia taxa de 18% a.a. a juros simples, um montante igual ao valor nominal que aqui será considerado o valor de face. Vamos, então, encontrar qual é esse valor atual ou valor presente VP será o valor que ele pagará ao proprietário do título. Novamente por regra de três vamos encontrar o valor de n o prazo de 114 dias em um ano. Bem, aqui podemos considerar o ano de 365 dias, que não é o ano comercial que veremos mais tarde. Depois aplicamos a fórmula de VP: �� = �� � � �� � = �� ��� � � �� �� � �� ���� = �� ��� �� ���� = ���� ���� �� Em conclusão, o título será vendido no dia 12 de agosto por um valor de R$ 2.499,49 com 114 dias de antecipação de sua data de vencimento. Juro comercial ou ordinário A seguir, vamos entender como são feitos os cálculos dos juros comerciais ou ordinários. Equação do juro comercial Na equação do juro comercial, considera-se que todos os meses têm 30 dias. E que as aplicações financeiras são feitas com resgate antecipado e, portanto, deve-se considerar uma conversão do prazo de aplicação ou de resgate no mesmo período que a taxa de juro que usualmente é expresso em anos. Como o resgate é efetuado com antecipação, data menor que a data de vencimento, o período de aplicação real passa a ser uma fração de tempo, ou seja, uma fração de ano. 33 JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO • CAPÍTULO 3 Dessa forma, temos a seguinte equação de juro comercial: = Equivalência de capitais de regime de juros simples Suponha que um capital C0 seja aplicado por n períodos a uma taxa i ao período. Logo, o montante ao final de n períodos é dado por: . E representado no esquema mostrado na Figura 20 a seguir: Figura 20. Esquema de equivalência de capitais Período da taxa i �� � ��. �� � �. �� n C0 0 Fonte: Elaborada pelo autor. Podemos dizer, se a taxa corrente de mercado é i ao período, que nós somos indiferentes de dispor de C0 de reais agora ou Cn reais daqui a n períodos. Logo, essas quantias são ditas equivalentes. Generalizando, diversas quantias Q1, Q2, Q3,...........Qj, pagáveis, respectivamente, nas datas n1, n2, n3, .............., nj são ditas equivalentes, em determinada data, chamada de data focal, se essas quantias, levadas a uma mesma taxa de juros i para a data focal, produzem todas a mesma quantia em reais. Para uma mesma taxa i e para um mesmo número de dias (n) de aplicação, JComercial > JExato Mostrado a seguir: = > Na prática, é recomendado trabalhar sempre com o juro comercial ou ordinário para facilitar o emprego da fórmula de juro comercial, principalmente antes do advento das modernas calculadoras, costumava-se tabelar i chamado divisor fixo ∆, é o quociente de 360/i e também o inverso de ∆, denominado multiplicador fixo, M, visando-se, assim, facilitar o uso de máquinas de calcular com apenas quatro operações. 34 CAPÍTULO 3 • JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO Como isso acontece no mercado? Para entender como são feitos os cálculos do juro comercial ou ordinário, de valor nominal e de valor atual ou presente, vamos, a seguir, considerar os mesmos dois exemplos anteriores e usar o princípio de 360 dias ao ano e refazer todos os cálculos. Exemplo 1: Cálculo de juro comercial João, um estudante do último período do curso de Administração das Faculdades São José, está com dificuldade financeira para quitar sua dívida coma faculdade e renovar sua matrícula no início do semestre 2016. 1. Ele, então, decidiu tomar um empréstimo com o gerente do seu banco e contratou um CDC no valor de R$ 4.000,00 no dia 5/01/2016, à taxa de juros simples de 15% a.a., que deve ser pago em um ano, isto é, em 5/1/2017. Porém, antes do final do ano, João foi promovido no trabalho e decidiu saldar sua dívida com o banco no dia 15/8/2016, antes do encerramento do contrato do CDC. Qual juro comercial o João pagou pelo contrato de CDC ao Banco? Resolução: De novo com sua calculadora financeira, vamos calcular o número de dias que decorreram de 5.1.206 ao dia 15.8.2016, data em que ele saldou a dívida com o banco. Dessa vez, por se tratar de ano comercial, existe uma pequena diferença nos cálculos, portanto precisaremos digitar mais algumas teclas da calculadora financeira para convertemos os dias de ano civil de 365 dias em dias de ano comercial de 360 dias. Abra o aplicativo HP12C no seu smartphone e, em seguida, digite [g][4] para colocá-lo no modo de DDMMYYYY e evitar, assim, que ele mostre erros de cálculo. Lembre-se de que uma data sempre deve ser digitada com os dois primeiros dígitos (relativos ao dia no sistema brasileiro) separados por [.] dos demais (relativos ao mês e ano ou ao dia e ano, respectivamente). Então, vamos calcular quantos dias decorreram entre as datas de 5 de janeiro de 2016 e 15 de agosto de 2016? Para isto digite em seguida: [0][5][.][0][1][2][0][1][6][ENTER] [1][5][.][0][8][2][0][1][6][g][EEX] 223,00 Então n = 223 dias. É importante salientar que a calculadora apresentará o número de dias considerando um calendário do ano civil de 365 dias (gregoriano). Mas por se tratar de juro comercial precisamos fazer uma conversão, pois o ano comercial considera apenas 360 dias enquanto os 223 dias encontrados são considerados no ano gregoriano. Portanto, digite, em seguida, [X ≥ Y] e encontrará o resultado de 220 dias. 35 JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO • CAPÍTULO 3 Agora, vamos proceder ao cálculo do juro comercial com n = 220 dias com base em 360 dias ao ano. Usando nossa fórmula do juro comercial: J = C . i. n 360 = 4.000 × 0,15 × 220 360 = R$ 366,67 Concluímos, então, que João pagou R$ 366,67 de juros pelo empréstimo com o banco. O valor total pago foi R$ 4.366,67. Observe que João pagou ao banco um juro exato no valor de R$ 4.366,58 e um valor de R$ 4.366,67 de juro comercial, uma diferença de R$ 0,09 que o banco considere relevante. Exemplo 2: Cálculo de valor nominal com base no ano comercial de 360 dias Uma nota promissória (promessa de pagamento assinada por quem contrai uma dívida) datada de 4 de abril de 2016, com valor de face (valor da dívida na data em que está foi contraída – data de emissão da nota) de R$ 2.400,00 devendo ser resgatada oito meses após sua data de emissão com juros de 15% ao ano sobre o valor de face (diz-se que a nota tem termo de oito meses a juros simples de 15% a.a.), é vendida a certa pessoa, para quem o dinheiro vale 18% a.a. no dia 12 de agosto de 2016. Quanto deve essa pessoa pagar pela posse da nota promissória? Resolução Objetivando uma melhor visualização do problema, consideremos o esquema apresentado na Figura 21 com modificações da anterior a seguir: Figura 21. Linha de Tempo Tempo FV VP 04 .1 2. 20 16 12 .0 8. 20 16 04 .0 4. 20 16 2.400 8 meses – 15% a.a. 112 dias – 18% a.a. Fonte: Elaborada pelo autor. Vamos proceder da mesma forma na conversão do período entre 12 de agosto a 4 de dezembro de 2016 na base do ano comercial com 360 dias, portanto, proceda da mesma forma que o cálculo anterior e, no final, digite [X ≥ Y], e o resultado será 112 dias. Então, vamos, aqui, calcular o valor nominal da nota promissória; antes de mais nada, precisa, por regra de três, calcular o prazo de investimento equivalente a 8 meses: 36 CAPÍTULO 3 • JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO 12 meses 1 ano 8 meses x ano 8 × 1 12 = 2 3 ano ↔ n = 2 3 ano Logo: FV = VP. 1 + i. n = 2.400 × 1 + 0,15 × 2 3 = R$, 2.640,00 A quantia a ser paga pela nota é seu valor atual no dia 12 de agosto, valor esse calculado a partir do valor nominal da nota, considerando-se a taxa de juros acertada entre as partes interessadas (no caso, 18% a.a.). Os 112 dias de antecipação são calculados da mesma forma que no exemplo 1 pela calculadora HP12C digitando no final [X ≥ Y]. Dessa forma, convido-o novamente a abrir seu aplicativo de HP12C e digitar logo [g][4]; em seguida, digite na sequência os seguintes: [f ][CLX] para zerar a memória da calculadora e depois digite: [1][2][.][0][8][2][0][1][6][ENTER] [0][4][.][1][2][2][0][1][6] [g][EEX] [X ≥ Y] 112,00 dias Agora é considerar que o comprador do título estivesse investindo um valor atual VP por um prazo de 112 dias que lhe renderia taxa de 18% a.a. a juros simples, um montante igual ao valor nominal que aqui será considerado o valor de face. Vamos, então, encontrar qual é esse valor atual ou valor presente VP será o valor que ele pagará ao proprietário do título. Novamente por regra de três vamos encontrar o valor de n o prazo de 112 dias em ano. Bem, aqui, podemos considerar o ano de 360 dias que não é o ano comercial, que veremos mais tarde. 365 dias 1 ano 114 dias x ano 112 × 1 360 = 0,3111 ano ↔ n = 0,3111 ano Depois aplicamos a fórmula de VP: VP = FV 1 + i. n = 2.640 1 + 0,18 × 0,3111 = 2.640 1,0560 = R$ 2.500,00 Em conclusão, o título será vendido no dia 12 de agosto de 2016 por um valor de 2.500,00 com 112 dias de antecipação de sua data de vencimento. Observe aqui que ao considerar o ano comercial de 360 dias, o valor pago pelo título é maior que no caso anterior em que consideramos o ano civil de 365 dias. Sintetizando » Como a nota promissória nada mais é do que uma promessa de pagamento, deve ser caracterizada pelo valor desse pagamento, ou seja, pelo seu valor nominal. Por esse motivo, quando consideramos transações com notas promissórias ou com outros papéis similares, a primeira coisa a ser feita é a determinação dos respectivos valores nominais. » A juros simples, capitais equivalentes em determinada época não o serão em outra data. Esse fato decorre da não cindibilidade (do prazo) característica do regime de juros simples. 37 JURO EXATO E JURO COMERCIAL OU ORDINáRIO • CAPÍTULO 3 » Valor Nominal (FV) é o montante do resgate na data do vencimento de um título chamado ainda de valor futuro. » Valor Atual é o valor presente (VP) é o montante que, aplicado a juros simples, daria um montante equivalente ao valor nominal na data de vencimento. » Valor de face é o valor nominal da nota promissória que é o valor desta na data de resgate para o prazo e a taxa estipulados na nota. » Juro exato é o juro correspondente ao período de resgate de título inferior à sua data de vencimento, ou seja, o juro de um título com resgate antecipado, portanto, deverá converter o prazo ao período da taxa de juro nominal. 38 Apresentação Você, sem dúvida, já ouviu falar sobre juros compostos. Mas será que você sabe o que é o regime de capitalização de juros compostos? Será que você sabe distinguir quando se considera os rendimentos de uma aplicação no regime de capitalização de juros compostos? Essas e várias outras perguntas que responderemos a seguir neste quarto capítulo de Matemática Financeira. Este quarto capítulo apresenta os conceitos de regime de capitalização de juros compostos. Por meio de conceitos e exemplos numéricos, mostra como se comporta o valor de uma aplicação ao longo do tempo no regime de capitalização de juros compostos. Contrariamente ao regime de capitalização de juros simples, no regime de capitalização descontínua de juros compostos, os juros devidos a cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem outros juros. Assim, os jurosde cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial ou o valor principal aplicado. Objetivos » Entender as características do regime de juros compostos. » Dominar os métodos e relações de capitalização em regime de juros compostos. » Dominar os métodos de período fracionário e crescimento exponencial de juros compostos. » Dominar os métodos de cálculo de valor nominal e valor atual em regime de juros compostos. » Entender o efeito do imposto de renda em uma aplicação no regime de juros compostos. 4 CAPÍTULO REgIME DE CAPITALIzAçãO DE JUROS COMPOSTOS 39 REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 4 Características do regime de juros compostos Anote algumas das características do regime de capitalização de juros compostos: » Os juros são definidos como a diferença entre o valor aplicado e o valor recebido no final de uma aplicação. » Os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. » Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. » Os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial aplicado. Figura 22. Características do regime de capitalização de juros compostos Juros de cada período são somados ao capital inicial Regime de capitalização descontínua os juros rendem juros juro é a diferença entre o capital recebido no final de uma aplicação e o capital inicial os juros são capitalizados a cobrança de juros sobre juros é denominada anatocismo e tem sido controvérsia judiciária no Tribunal de Justica do Rio de Janeiro. Fonte: Elaborada pelo autor. Contrariamente ao regime de juros simples, em que só o capital inicial rende juros, no regime de juros compostos, temos juros devido ao principal (capital inicial), como, também, juros devidos aos juros formados nos períodos anteriores, donde o nome de juros compostos. Como isso acontece no mercado? Para ilustrarmos os juros compostos, vamos considerar o seguinte exemplo: Considere que você recebeu o seu FGTS e decidiu investir todo o valor de R$ 5.000,00 que lhe resta após pagar algumas dívidas em um título a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. 40 CAPÍTULO 4 • REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS Vamos mostrar na tabela a seguir a evolução dos valores dos juros e dos montantes finais em cada período nos próximos 10 anos, para que você tenha ideia de como são calculadas nossas dívidas com as instituições financeiras. Tabela 1. Evolução do montante de uma aplicação de um título de R$ 5.000,00 Período Juros Montante da dívida no período (R$) 0 5.000,00 1 5.000 x 0,12 = 600 5.000 + 600 = 5.600 2 5.600 x 0,12 = 672 5.600 + 672 = 6.272 3 6.272 x 0,12 = 752,64 6.272 + 752,64 = 7.024,64 4 7.024,64 x 0,12 = 842,96 7.024,64 + 842,96 = 7.867,60 5 7.867,60 x 0,12 = 944,11 7.867,60 + 944,11 = 8.811,71 6 8.811,71 x 0,12 = 1.057,41 8.811,71+1057,41 = 9.869,12 7 9.869,12 x 0,12 = 1.184,29 9.869,12 + 1.184,29 = 11.053,41 8 11.053,41 x 0,12 = 1.326,41 11.053,41 + 1.326,41 = 12.379,82 9 12.379,82 x 0,12 = 1.485,58 12.379,82 + 1.485,58 = 13.865,40 10 13.865,40 x 0,12 = 1.663,85 13.865,40 + 1.663,85 = 15.529,25 Fonte: Elaborada pelo autor. Assim como você pode observar, no final de 10 anos sua aplicação terá um resgate de R$ 15.529,25 à taxa de juros compostos de 12% ao ano. Então é uma excelente aplicação. Com certeza, essa aplicação teria rendido mesmo, se considerarmos as mesmas taxas de juros no regime de juros simples para o mesmo período de 10 anos. Isso daria apenas R$ 11.000,00 no regime de juros simples. Métodos e Relações de Capitalização em Regime de Juros Compostos Existem métodos e relações para os cálculos dos juros de títulos de aplicações no regime de juros compostos que precisamos aprender a dominar e entender para que possamos analisar melhor as aplicações ou investimentos com rendimentos nessa modalidade de regime de juros compostos. Métodos de cálculo dos juros em regime de capitalização compostas No mercado financeiro, na prática, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. A juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros. 41 REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 4 Para demonstrar isso consideremos uma aplicação de capital inicial C0, suposto pagável em determinada data de origem que chamamos de período zero, colocado a render juros compostos a determinada taxa unitária i que é referente a certo período de tempo. No fim de um período a que se refere a taxa, ou seja, no período um, teremos juros devidos somente a esse principal (capital inicial), juros esses representados por J1. Assim, podemos usar a fórmula do juro composto como a seguir: Figura 23. Fórmulas de capitalização de juros compostos. ��=���. � � � � � � J� � C�- C� = C�. � � � � - C� J� � �C�. � � � � � � �� � ���. � � � � �� �� �� � � � � � � C� C� � � Fonte: Elaborada pelo autor. Essas são as fórmulas ou métodos de cálculo de juros e montantes em regime de juro composto, também chamada de fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos. No mercado financeiro, na prática, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. A juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros. Para demonstrar isso, consideremos uma aplicação de capital inicial C0, suposto pagável em determinada data de origem que chamamos de período zero, colocado a render juros compostos a determinada taxa unitária i, que é referente a certo período de tempo. No fim de um período a que se refere a taxa, ou seja, no período um, teremos juros devidos somente a esse principal (capital inicial), juros esses que representaremos por J1. Assim, podemos usar a fórmula do juro composto como a seguir: 42 CAPÍTULO 4 • REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS Figura 24. Fórmulas de capitalização de juros compostos. ��=���. � � � � � � J� � C�- C� = C�. � � � � - C� J� � �C�. � � � � � � �� � ���. � � � � �� �� �� � � � � � � C� C� � � Fonte: Elaborada pelo autor. Essas são as fórmulas ou métodos de cálculo de juros e montantes em regime de juro composto, também chamada de fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos. Na fórmula dos juros ou montantes o fator (1 + i)n é denominada fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. A única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro composto é a determinação do valor de capitalização (1 + i)n. Se dispusermos de uma calculadora financeira HP12C, o cálculo se torna fácil ou usamos planilhas eletrônicas que nos oferecem diversos valores de taxa i e do prazo n. Existe, entretanto, uma tabela chamada de tabela financeira disponível quando for o caso. Mas recomendamos o uso da calculadora financeira HP12C para esse tipo de cálculo. Como isso acontece no mercado? Para ilustrar as relações ou métodos de cálculo dos juros ou montante de aplicações em regime de capitalização de juros compostos consideremos a seguir: Exemplo 1 Uma aplicação de um capital de R$ 5.000,00 aplicado em regime de juros compostos a 7,5% ao mês durante 24 meses. Determine o montante de resgate e o valor dos juros durante os oito meses. 43 REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 4 Resolução: Algumas definições importantes antes de começar: Vamos fazer uma representação gráfica da linha de tempo dessa aplicação. Isso a você permite visualizar o enunciado e recomendamos que faça isso sempre. Figura 25. Fluxo de caixan = 24 FV =? 0 PV = R$ 5.000,00 i = 7,5% a.m. Tempo Fonte: Elaborada pelo autor. Sendo assim, aplicando a fórmula vista anteriormente, encontramos C� = C��1 + ��� = 5.000. �1 + 0,075��� = �����.���,�7 �� = C�. ��1 + ��� − 1� = 5.000 × ��1 + 0,075��� − 1� = ������.���,�7���� Em conclusão, no final de 24 meses, você terá um resgate de R$ 28.364,37, aplicando R$ 5.000,00 e tendo um juro de R$ 23.364,37. Como você pode fazer esse cálculo no HP12C? Figura 26. Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html . 44 CAPÍTULO 4 • REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS Então, ligue seu Smartphone e abra o aplicativo HP12C, digite logo [f][CLx] para zerar a memória. Observe bem que no HP12C, você deverá tomar alguns cuidados básicos na hora de registrar os dados do enunciado, portanto, sempre o valor presente é considerado um desembolso; por esse motivo, ele deverá ser registrado negativamente. Agora preste atenção nas operações para ver se o valor de resgate deve proceder da seguinte forma: [2][4][n][7][.][5][i][5][0][0][0][CHS][PV][FV] e o visor indica 28.364,37, o que achamos usando os cálculos. Para identificarmos os juros, devemos proceder da seguinte forma usando a fórmula definida nas relações Jn = Cn - C0 para tanto, como ainda está com o resultado no seu visor, digite os seguintes para encontrar o valor do juro: [5][0][0][0][-], assim terá no seu visor o seguinte valor R$ 23.364,37. Vamos usar o caso em que precisamos calcular o valor do juro. Exemplo 2 Qual é a taxa de juro de um capital de R$ 2.000,00 que, aplicado por 24 meses, capitaliza R$ 8.400,00 no resgate? Resolução: Primeiro, vamos representar o fluxo de caixa representado na Figura 27 para entender melhor o enunciado. Saiba que a seta será sempre para baixo por representar o valor desembolsado. Figura 27. Fluxo de caixa n = 24 FV = 8.400,00 0 PV = R$ 2.000,00 i = ? Fonte: Elaborada pelo autor. Com base nas informações do enunciado podemos proceder da seguinte maneira no HP12C. Novamente ligue seu aplicativo no smartphone e digite logo [f ][CLx] para zerar a memória. Em seguida, digite: [2][4][n][2][0][0][0][CHS][PV][8][4][0][0][FV][i] e aparece no visor o resultado 6,1619, ou seja, 6,16% a.m., assim será necessária uma taxa de 6,16% a.m. para aplicação de R$ 2.000,00 em juros compostos para um resgate de R$ 8.400,00 após 24 meses. 45 REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS • CAPÍTULO 4 Métodos de Período Fracionário e Convenções Adicionais de Juros Compostos No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente. Mas existem casos em que o número de período n não é um número inteiro a que se refere a taxa de juros compostos considerada como, por exemplo, uma aplicação de período de quatro anos e seis meses. Nesse caso, como devemos solucionar o problema? Uma vez que a fórmula convencional dos juros compostos não seria mais possível usar. Nesse caso, consideramos que o período de quatro anos e seis meses é quatro anos e ½ ano pode ser decompostos da seguinte maneira: m = 4 + ½. Isso que veremos a seguir no caso de montante para períodos não inteiros que só pode ser calculado mediante convenções adicionais. Montante para períodos não inteiros Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja um número inteiro. Nesse caso, a fórmula fundamental não tem sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossem formados apenas no fim de cada período de capitalização. Desse modo, a obtenção do montante para períodos não inteiros só pode ser feita mediante convenções adicionais. Existem, nesse caso, dois tipos de convenções adicionais identificados na figura a seguir: » convenção linear e; » convenção exponencial. Figura 27. Convenções adicionais CONVENÇÕES ADICIONAIS Convenção Linear Convenção Exponencial Fonte: Elaborada pelo autor. 46 CAPÍTULO 4 • REgIME DE CAPITALIzAçãO DEJUROS COMPOSTOS Vamos, a seguir, analisar cada uma das situações convencionais. Convenção linear No caso da convenção linear, admitimos que a formação dos juros ao longo de um período obedeça à uma função linear. Os juros do período não inteiro são calculados por interpolação linear. Portanto, por um capital C0 aplicado a uma taxa i durante um prazo de aplicação � � � � pq do período a que se refere a taxa, onde n é um número inteiro do período de capitalização e p q �p
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