5I0 desafios 5I0

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77. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\tan(x)) \)?** 
 a) \( \frac{1}{\tan(x)} \sec^2(x) \) 
 b) \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) 
 c) \( \sec^2(x) \) 
 d) \( \frac{1}{\tan(x)} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{\tan(x)} \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
78. **Qual é a integral de \( \int \sec(x) \tan(x) \, dx \)?** 
 a) \( \sec(x) + C \) 
 b) \( \tan(x) + C \) 
 c) \( \ln(\sec(x) + \tan(x)) + C \) 
 d) \( \sec^2(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \sec(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec(x) \tan(x) \) é \( \sec(x) + C \). 
 
79. **Qual é a derivada de \( f(x) = \arcsin(x) \)?** 
 a) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 c) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 **Explicação:** A derivada da função \( f(x) = \arcsin(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 
\). 
 
80. **Qual é a integral de \( \int \tan^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( -\tan(x) + C \) 
 c) \( -\tan(x) + x + C \) 
 d) \( \tan(x) - x + C \) 
 **Resposta:** c) \( -\tan(x) + x + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \): 
 \( \int \tan^2(x) \, dx = \int (\sec^2(x) - 1) \, dx = \tan(x) - x + C \). 
 
81. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^5 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^5 + 1} \) 
 c) \( \frac{5}{x^5 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{5x^4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
82. **Qual é a integral de \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{13} e^{2x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes. 
 
83. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)?** 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
84. **Qual é a integral de \( \int x^4 \sin(x) \, dx \)?** 
 a) \( -x^4 \cos(x) + 4x^3 \sin(x) + C \) 
 b) \( -x^4 \cos(x) + 3x^3 \sin(x) + C \) 
 c) \( -x^4 \cos(x) + 2x^3 \sin(x) + C \) 
 d) \( -x^4 \sin(x) + 4x^3 \cos(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -x^4 \cos(x) + 4x^3 \sin(x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
85. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( 3x^2 \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^3}{x^2 + 1} \) 
 b) \( 3x^2 \ln(x^2 + 1) + \frac{3x^2}{x^2 + 1} \) 
 c) \( 3x^2 \ln(x^2 + 1) + \frac{x^3}{x^2 + 1} \) 
 d) \( 3x^2 \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^3}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto. 
 
86. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição. 
 
87. **Qual é a derivada de \( f(x) = \arccos(x) \)?** 
 a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 c) \( -\frac{1}{1 + x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 **Explicação:** A derivada da função \( f(x) = \arccos(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - 
x^2}} \). 
 
88. **Qual é a integral de \( \int x \cos(x^2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \)