5C10 respostas 5C10

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**Resposta:** a) \(-\frac{1}{30}\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, resultando em \(-\frac{1}{30}\). 
 
59. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (1 - x)^{4} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{7}\) 
 d) \(\frac{1}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{5}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\frac{(1-x)^{5}}{5}\) avaliada de 0 a 1, resultando em 
\(\frac{1}{5}\). 
 
60. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} x^5 (1 - x)^{2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{42}\) 
 b) \(\frac{1}{30}\) 
 c) \(\frac{1}{24}\) 
 d) \(\frac{1}{20}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{42}\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando a fórmula beta, resultando 
em \(\frac{1}{42}\). 
 
61. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (1 - x^2)^{1/2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{6}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\frac{3\pi}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Esta integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1, 
resultando em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
62. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (1 - x^3)^{2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{3}{5}\) 
 d) \(\frac{4}{5}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** A integral é resolvida utilizando a substituição, resultando em 
\(\frac{2}{5}\). 
 
63. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (1 - x^4)^{1/2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{6}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\frac{3\pi}{8}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Esta integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1, 
resultando em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
64. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} x^{2} (1 - x)^{3} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{20}\) 
 b) \(\frac{1}{24}\) 
 c) \(\frac{1}{30}\) 
 d) \(\frac{1}{36}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{24}\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando a fórmula beta, resultando 
em \(\frac{1}{24}\). 
 
65. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 b) \(\sqrt{\pi}\) 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** b) \(\sqrt{\pi}\) 
 **Explicação:** Esta integral é um resultado conhecido, derivado usando coordenadas 
polares. 
 
66. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (1 - x^2)^{1/2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{6}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\frac{3\pi}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Esta integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1, 
resultando em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
67. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{20}\) 
 b) \(\frac{1}{30}\) 
 c) \(\frac{1}{40}\) 
 d) \(\frac{1}{50}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{20}\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando a fórmula beta, resultando 
em \(\frac{1}{20}\). 
 
68. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (1 - x^3)^{1/2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{6}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\frac{3\pi}{8}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Esta integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1, 
resultando em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
69. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} x^{4} (1 - x)^{2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{30}\)