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A´lgebra Linear II
Determinantes por induc¸a˜o
Maria Lu´cia Torres Villela
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica
Abril de 2010
Suma´rio
Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Parte 1 - Determinantes e aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sec¸a˜o 1 - Determinantes sobre corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sec¸a˜o 2 - Determinante do produto e matrizes elementares 31
Sec¸a˜o 3 - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Parte 2 - Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Sec¸a˜o 1 - Espac¸os vetoriais sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Sec¸a˜o 2 - Subespac¸os invariantes e autovetores . . . . . . . . . 55
Sec¸a˜o 3 - Operadores diagonaliza´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Sec¸a˜o 4 - Teorema de Hamilton-Cayley e polinoˆmio mı´nimo 81
Parte 3 - Espac¸os vetoriais com produto interno . . . . . . . . . . . . . . . 95
Sec¸a˜o 1 - Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Sec¸a˜o 2 - A adjunta de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . 119
Sec¸a˜o 3 - Operadores auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Sec¸a˜o 4 - Operadores unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Sec¸a˜o 5 - Formas bilineares e formas quadra´ticas . . . . . . . . . 145
Instituto de Matema´tica
1 UFF
M.L.T.Villela
UFF 2
Introduc¸a˜o
O objetivo deste texto e´ ser um apoio aos estudantes da disciplina
A´lgebra Linear II, do Curso de Graduac¸a˜o em Matema´tica da Universidade
Federal Fluminense. O objetivo principal e´ estudar autovalores e autove-
tores de operadores lineares de espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita, opera-
dores diagonalizave´is, espac¸os vetoriais com produto interno, a adjunta de
uma transformac¸a˜o linear, operadores auto-adjuntos, unita´rios e o teorema
espectral.
Pressupomos que o estudante esteja familiarizado com: a a´lgebra das
matrizes com coeficientes reais; a inversa˜o de matrizes e a resoluc¸a˜o de
equac¸o˜es lineares com coeficientes reais, pelo me´todo da reduc¸a˜o por li-
nhas; os conceitos de espac¸os vetorias reais finitamente gerados, dimensa˜o
de espac¸os vetoriais reais finitamente gerados, subespac¸os vetoriais, soma
e soma direta de subespac¸os vetoriais reais; transformac¸o˜es lineares entre
espac¸os vetoriais reais de dimensa˜o finita, teorema do nu´cleo e da imagem,
representac¸a˜o matricial de transformac¸o˜es lineares entre espac¸os vetoriais re-
ais de dimensa˜o finita e a a´lgebra das transformac¸o˜es lineares.
Na Parte 1 do texto definiremos a func¸a˜o determinante da a´lgebra das
matrizes n por n com coeficientes em um corpo K e valores em K, por induc¸a˜o
sobre n, pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna, com eˆnfase
nos corpos Q, R e C. Estudaremos as suas propriedades e daremos como
aplicac¸a˜o a resoluc¸a˜o de sistemas lineares pela Regra de Cramer. Apre-
sentaremos tambe´m o me´todo do ca´lculo do determinante pelo processo de
triangularizac¸a˜o da matriz, por meio da reduc¸a˜o por linhas.
Na Parte 2 vamos trabalhar com espac¸os vetorias reais ou complexos
finitamente gerados. Introduziremos os espac¸os vetoriais sobre C e generali-
zaremos os resultados obtidos para espac¸os vetoriais reais finitamente gera-
dos. Daqui por diante, trabalharemos com K-espac¸os vetoriais, onde K = R
ou K = C. Apresentaremos os conceitos de subespac¸o invariante por meio
de um operador K-linear e de autovalores e autovetores de um operador K-
linear. Ensinaremos como determinar os autovalores e os autovetores de um
operador linear em um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Introduziremos
o conceito de operadores diagonaliza´veis e daremos condic¸o˜es necessa´rias e
suficientes para um operador em um espac¸o vetorial de dimensa˜o n ≥ 1 ser
diagonaliza´vel.
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Na Parte 3 estudaremos os espac¸os vetoriais com produto interno, o
conceito de norma e a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Definiremos bases
ortogonais e ortonormais, complemento ortogonal de um subespac¸o, projec¸a˜o
ortogonal sobre um subespac¸o e apresentaremos o processo de ortonorma-
lizac¸a˜o de Gram-Schmidt. Definiremos a adjunta T ∗ de uma transformac¸a˜o
linear T entre espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita com produto interno e da-
remos a relac¸a˜o entre suas representac¸o˜es matriciais em bases ortonormais.
Estudaremos operadores auto-adjuntos, o Teorema espectral em espac¸os ve-
toriais reais ou complexos, operadores unita´rios, operadores ortogonais e fa-
remos a classificac¸a˜o dos operadores ortogonais do plano e do espac¸o. Ale´m
disso, mostraremos que os movimentos r´ıgidos ou isometrias, func¸o˜es em um
espac¸o vetorial real de dimensa˜o n ≥ 1 que preservam distaˆncias, sa˜o ope-
radores ortogonais seguidos de translac¸o˜es. Finalizaremos com o estudo de
formas bilineares em espac¸os vetoriais reais ou complexos, sua representac¸a˜o
matricial e relac¸a˜o entre as representac¸o˜es matriciais. Introduziremos os con-
ceitos de forma bilinear sime´trica e formas quadra´ticas. Mostraremos que
uma forma quadra´tica sobre um espac¸o vetorial real de dimensa˜o n ≥ 1 e´
diagonaliza´vel numa base ortonormal.
Recomendamos os seguintes textos:
- A´lgebra Linear, Boldrini e outros, Harbra, 3a edic¸a˜o, 1974.
- A´lgebra Linear e Aplicac¸o˜es, Carlos A. Callioli, Hygino Domingues,
Roberto C.F. Costa, Atual Editora, 1990.
- A´lgebra Linear, Renato Valladares, LTC, 1990.
- A´lgebra Linear, Serge Lang, Editora Edgar Blu¨cher Ltda, 1971.
- A´lgebra Linear, S. Lipschutz, Colec¸a˜o Schaum, MacGraw-Hill, 1981
- A´lgebra Linear-Introduc¸a˜o, Joa˜o Pitombeira de Carvalho, LTC/EDU, 2a
edic¸a˜o, 1977.
Texto mais avanc¸ado:
- A´lgebra Linear, K. Hoffmann, R. Kunze, Editora Pol´ıgono, 1971.
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Parte 1
Determinantes e aplicac¸o˜es
Definiremos a func¸a˜o determinante da a´lgebra das matrizes n por n
com coeficientes em um corpo K e valores em K, com eˆnfase nos corpos Q,
R e C, por induc¸a˜o sobre n pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira
coluna.
Apresentaremos as fo´rmulas dos determinantes das matrizes de ordens
1, 2 e 3. Estudaremos as propriedades dos determinantes de matrizes de or-
dem n e mostraremos as fo´rmulas de Laplace para o ca´lculo do determinante
pelo desenvolvimento por qualquer linha ou coluna.
Mostraremos que o determinante e´ uma func¸a˜o linear quando vista
como uma func¸a˜o das linhas da matriz ou como uma func¸a˜o das colunas da
matriz.
Apresentaremos o me´todo do ca´lculo do determinante de matrizes com
coeficientes em corpos pelo processo de triangularizac¸a˜o da matriz, por meio
da reduc¸a˜o por linhas.
Mencionaremos que valem propriedades sobre as colunas, ana´logas a`s
propriedades sobre as linhas e, de maneira similar, poderemos calcular o
determinante de matrizes com coeficientes em corpos fazendo reduc¸a˜o por
colunas.
Mostraremos que A e sua transposta At teˆm o mesmo o determinante.
Introduziremos o conceito de matrizes elementares, relacionaremos a
reduc¸a˜o por linhas com a multiplicac¸a˜o a` esquerda por matrizes elementares
e, usando o conceito de matrizes elementares, mostraremos que o determi-
nante de um produto de matrizes e´ o produto dos seus determinantes.
Introduziremos os conceitos de matrizes adjunta cla´ssica e cofatora de
A ∈ Mn×n(K), relacionaremos esses conceitos com o de matrizes invert´ıveis
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5 UFF
e daremos como uma aplicac¸a˜o a resoluc¸a˜o de sistemas lineares pela Regra
de Cramer.
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Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Determinantes sobre corpos
Seja K um corpo e Mn×n(K) a a´lgebra das matrizes n por n com coe-
ficientes em K.
Nosso objetivo e´ definir a func¸a˜o de Mn×n(K) em K chamada de deter-
minante.
Um corpo K e´ um conjuntomunido com operac¸o˜es de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o
+ : K× K −→ K
(a, b) 7−→ a + b · : K× K −→ K(a, b) 7−→ a · b
tendo as seguintes propriedades, para quaisquer a, b, c ∈ K:
A1-(Associativa) (a + b) + c = a + (b + c).
A2-(Comutativa) a + b = b + a.
A3-(Existeˆncia de elemento neutro aditivo)
Existe 0 ∈ K, tal que para todo a ∈ K, a + 0 = a.
A4-(Existeˆncia de sime´trico)
Para cada a ∈ K, existe um u´nico c ∈ K tal que a + c = 0.
M1-(Associativa) (a · b) · c = a · (b · c).
M2-(Comutativa) a · b = b · a.
Escrevemos c = −a.
M3-(Existeˆncia de elemento neutro multiplicativo)
Existe 1 ∈ K, tal que para todo a ∈ K, 1 · a = a.
M4-(Existeˆncia de inverso)
Para cada a ∈ K, a 6= 0, existe um u´nico c ∈ K, tal que a · c = 1.
AM-(Distributiva) a · (b + c) = a · b + a · c.
Escrevemos c = a−1.
Exemplo 1
Voceˆs teˆm familiaridade com os corpos Q, dos nu´meros racionais, R, dos
nu´meros reais e C, dos nu´meros complexos. Temos Q ⊂ R ⊂ C, onde
Q =
{
a
b
; a, b ∈ Z e b 6= 0},
com as operac¸o˜es a
b
+ c
d
= a·d+b·c
b·d e
a
b
· c
d
= a·c
b·d.
C = {a + bi ; a, b ∈ R e i2 = −1},
com as operac¸o˜es
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) e
(a + bi) · (c + di) = (a · c − b · d) + (a · d + b · c)i.
Seja K um corpo, onde K = Q, ou K = R, ou K = C.
Seja Mn×n(K) a a´lgebra das matrizes n por n com coeficientes em K.
Vamos definir e estudar as propriedades da func¸a˜o determinante definida em
Mn×n(K) e com valores em K. Para isto precisamos do conceito a seguir.
Definic¸a˜o 1 (Menor de aij)
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo e n ≥ 2. A matriz Aij de
ordem n − 1 obtida de A retirando-se a sua i-e´sima linha e a sua j-e´sima
coluna e´ chamada de menor de aij em A.
Exemplo 2
Seja A =
(
1 2
3 4
)
∈ M2×2(R). Enta˜o, A11 = (4), A12 = (3), A21 = (2) e
A22 = (1) sa˜o matrizes em M1×1(R).
Seja A =

 1 2 34 5 6
7 8 9

 ∈ M3×3(R).
Enta˜o, A23 =
(
1 2
7 8
)
e A12 =
(
4 6
7 9
)
sa˜o matrizes em M2×2(R).
Agora estamos prontos para definir a func¸a˜o determinante
det : Mn×n(K) −→ K
A 7−→ det(A).
Definic¸a˜o 2 (Determinante)
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. O determinante de A e´
definido por induc¸a˜o sobre n ≥ 1.
Se A = (a11) ∈ M1×1(K), enta˜o det(A) = a11.
Se n ≥ 2, A = (aij) e Aij ∈ M(n−1)×(n−1) (K) e´ a matriz obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e j-e´sima coluna, enta˜o
det(A) =
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1),
chamado de desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna.
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Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Exemplo 3
Vamos determinar det(A), onde A =
(
a11 a12
a21 a22
)
e aij ∈ K.
Temos que A11 = a22 e A21 = a12. Logo,
det(A) =
2∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1)
= (−1)1+1a11det(A11) + (−1)
2+1a21det(A21)
= a11a22 − a21a12
.
Logo, det
(
a11 a12
a21 a22
)
= a11a22 − a12a21.
Podemos visualizar o ca´lculo do determinante de uma matriz de ordem 2
com o seguinte diagrama, onde fazemos a soma dos produtos com os sinais
indicados pela setas.
(
a11 a12
a21 a22
)
�
�
��
���
−
@@
@@
@@R
+
Exemplo 4
Vamos determinar o determinante de A =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

, onde aij ∈ K.
Temos A11 =
(
a22 a23
a32 a33
)
, A21 =
(
a12 a13
a32 a33
)
e A31 =
(
a12 a13
a22 a23
)
.
det(A) =
3∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1)
= (−1)1+1a11det(A11) + (−1)
2+1a21det(A21) + (−1)
3+1a31det(A31)
= a11det
(
a22 a23
a32 a33
)
− a21det
(
a12 a13
a32 a33
)
+a31det
(
a12 a13
a22 a23
)
= a11(a22a33 − a32a23) − a21(a12a33 − a32a13)
+a31(a12a23 − a22a13)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
E´ claro que a fo´rmula acima na˜o deve ser memorizada.
A Regra de Sarrus para o ca´lculo do determinante de uma matriz A = (aij)
de ordem 3 consiste em construir uma tabela com 5 colunas e treˆs linhas, a
partir da matriz A, da seguinte maneira:
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
(1) copie apo´s a matriz A a primeira e a segunda colunas de A, conforme a
figura abaixo;
(2) as setas na figuram indicam o sinal do produto dos elementos da tabela;
(3) fac¸a a soma dos produtos com o respectivo sinal para obter det(A).

 a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32


@@R
+
������
������ @@@@@@
@@@@@@
@@R
+
@@R
+
���
−
���
−
���
−
@@@@@@
���� ��
Para calcular o determinante de uma matriz 4 por 4 com coeficientes em
K, precisamos calcular a soma de 4 elementos de K, obtidos pelo ca´lculo de 4
determinantes de matrizes de ordem 3. Esse ca´lculo e´ bastante desgastante
e pode ser evitado.
Vamos estudar as propriedades da func¸a˜o determinante e, com base nas
suas diversas propriedades, desenvolver um me´todo eficiente e simplificado
do ca´lculo do determinante no final desta Sec¸a˜o.
Proposic¸a˜o 1 (Propriedades das linhas)
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo.
(a) Se C for obtida de A substituindo a i-e´sima linha Ai de A por Ai + X
e mantendo as outras linhas; B for obtida de A substituindo a i-e´sima linha
Ai de A por X = (x1, . . . , xn) e mantendo as outras linhas de A, enta˜o
det(C) = det(A) + det(B).
(b) Se B for obtida de A substituindo a i-e´sima linha Ai de A por cAi, onde
c ∈ K, e mantendo as outras linhas de A, enta˜o det(B) = c det(A).
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o e´ por induc¸a˜o sobre n.
(a) Se n = 1, enta˜o A = (a11), B = (x1) e C = (a11 + x1), logo det(C) =
a11 + x1 = det(A) + det(B).
Seja n ≥ 2 e suponhamos o resultado va´lido para n − 1. Sejam A, B,
C matrizes de ordem n como no enunciado. Temos ci1 = ai1+x1 = ai1+bi1
e, para k 6= i, ck1 = ak1 = bk1. Ale´m disso, Ci1 = Ai1 = Bi1 e, para
k 6= i, a matriz Bk1 tem as mesmas linhas de A, exceto uma delas, que e´
(x2, . . . , xn) e Ck1 tambe´m tem as mesmas linhas de Ak1, exceto uma delas,
que e´ (ai2 + x2, . . . , ain + xn).
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Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
det(C)
(1)
=
n∑
k=1
(−1)k+1ck1det(Ck1)
(2)
=
∑
k6=i
(−1)k+1ck1det(Ck1) + (−1)
i+1ci1det(Ci1)
(3)
=
∑
k6=i
(−1)k+1ck1det(Ck1) + (−1)
i+1(ai1 + x1) det(Ci1)
(4)
=
∑
k6=i
(−1)k+1ck1
(
det(Ak1) + det(Bk1)
)
+ (−1)i+1ai1det(Ai1)
+(−1)i+1x1det(Bi1)
(5)
=
∑
k6=i
(
(−1)k+1ak1det(Ak1) + (−1)
k+1bk1det(Bk1)
)
+(−1)i+1ai1det(Ai1) + (−1)
i+1bi1det(Bi1)
(6)
=
n∑
k=1
(−1)k+1ak1det(Ak1) +
n∑
k=1
(−1)k+1bk1det(Bk1)
(7)
= det(A) + det(B).
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de determinantes; em (2), a
comutatividade da adic¸a˜o em
K; em (3), ci1 = ai1 +x1;
em (4), det(Ck1) =
det(Ak1) +det(Bk1), por
hipo´tese de induc¸a˜o; em (5),
ck1 = ak1 = bk1 e x1 = bi1 ;
em (6), a comutatividade da
adic¸a˜o em K e em (7),
novamente, a definic¸a˜o de
determinante.
(b) Se n = 1, enta˜o A = (a11), B = (ca11) e det(B) = ca11 = c det(A).
Seja n ≥ 2 e suponhamos o resultado va´lido para matrizes de ordem
n − 1. Sejam A e B matrizes de ordem n como no enunciado. Nesse caso,
temos bi1 = cai1 e Bi1 = Ai1 e, para k 6= i, bk1 = ak1 e Bk1 e´ uma matriz
de ordem n − 1 que tem uma linha igual a c vezes uma das linhas de Ak1 e
suas outras linhas sa˜o iguais. Enta˜o,
det(B)
(1)
=
n∑
k=1
(−1)k+1bk1det(Bk1)
(2)
=
∑
k6=i
(−1)k+1bk1det(Bk1) + (−1)
i+1bi1det(Bi1)
(3)
=
∑
k6=i
(−1)k+1ak1det(Bk1) + (−1)
i+1cai1det(Ai1)
(4)
=
∑
k6=i
(−1)k+1ak1c det(Ak1) + (−1)
i+1cai1det(Ai1)
(5)
= c
( n∑
k=1
(−1)k+1ak1det(Ak1)
)
(6)
= c det(A). �
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de determinante; em (2), a
comutatividade da adic¸a˜o
em K; em (3), bk1 = ak1,
bi1 = cai1 e Bi1 = Ai1 ; em
(4), a hipo´tese de induc¸a˜o;
em (5), a distributividade da
multplicac¸a˜o e a
comutatividade da adic¸a˜o
em K e em (6), novamente, a
definic¸a˜o de determinante.
Corola´rio 1
Se A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, tem uma linha nula, enta˜o
det(A) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Segue imediatamente do item (b) da Proposic¸a˜o anterior. �
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
Observac¸a˜o 1: Da Proposic¸a˜o 1, segueque o determinante, como uma func¸a˜o
das linhas da matriz, e´ K-linear em cada linha.
Nesse caso, todas as linhas
diferentes da i-e´sima esta˜o
fixas. Estamos variando
apenas a i-e´sima linha.
De fato, sejam B, C e A matrizes com todas as linhas iguais, exceto a
i-e´sima, onde Bi = Xi, Ci = Yi e Ai = Xi + aYi, tal que a ∈ K, digamos que
B =


A1
...
Xi
...
An


, C =


A1
...
Yi
...
An


e A =


A1
...
Xi + aYi
...
An


.
Logo, pelos itens (a) e (b) da Proposic¸a˜o 1,
det(A) = det


A1
...
Xi + aYi
...
An


= det


A1
...
Xi
...
An


+ det


A1
...
aYi
...
An


= det


A1
...
Xi
...
An


+ a det


A1
...
Yi
...
An


= det(B) + a det(C).
Veremos agora outras propriedades do determinante.
Lema 1
Se A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, tem duas linhas consecutivas
iguais, enta˜o det(A) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja h tal que Ah = Ah+1. Como 1 ≤ h < h + 1 ≤ n,
enta˜o n ≥ 2. Faremos induc¸a˜o sobre n. Se n = 2, enta˜o A =
(
a b
a b
)
,
det(A) = ab − ab = 0.
Fixemos n ≥ 3 e suponhamos o resultado va´lido para matrizes de ordem
n − 1. Seja A matriz de ordem n tal que Ah = Ah+1. Nesse caso, se i 6= h e
i 6= h + 1, enta˜o a matriz Ai1 de ordem n − 1 tem duas linhas consecutivas
iguais e, por hipo´tese de induc¸a˜o, det(Ai1) = 0, portanto,
det(A) =
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1)
= (−1)h+1ah1det(Ah1) + (−1)
h+2a(h+1)1 det(A(h+1)1 ).
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UFF 12
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Como Ah1 = Ah+1, temos ah1 = a(h+1)1 e Ah1 = A(h+1)1 , logo
det(A) = (−1)h+1ah1det(Ah1) + (−1)
h+2a(h+1)1 det(A(h+1)1 )
= (−1)h+1ah1det(Ah1) + (−1)
h+2ah1 det(Ah1)
= (−1)h+1
(
ah1det(Ah1) − ah1 det(Ah1)
)
= 0.
Portanto, o resultado vale para n. Assim, vale para todo n ≥ 2. �
Proposic¸a˜o 2
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Se B for a matriz obtida de
A trocando de posic¸a˜o duas linhas de A e mantendo as outras linhas de A,
enta˜o det(B) = − det(A).
Demonstrac¸a˜o: Sejam Ah e Ak, onde 1 ≤ h < k ≤ n, as linhas de A que sa˜o
trocadas de posic¸a˜o para obter B. Primeiramente, consideremos k = h + 1.
Seja C a matriz obtida de A substituindo as linhas Ah e Ah+1 por Ah+Ah+1 e
mantendo as outras linhas deA. Enta˜o, C tem duas linhas consecutivas iguais
e, pelo Lema anterior, det(C) = 0. Por outro lado, C =


A1
...
Ah + Ah+1
Ah + Ah+1
...
An


.
Aplicando o item (a) da Proposic¸a˜o 1, sucessivamente, obtemos
det(C) = det


A1
...
Ah
Ah + Ah+1
...
An


+ det


A1
...
Ah+1
Ah + Ah+1
...
An


= det


A1
...
Ah
Ah
...
An


+ det


A1
...
Ah
Ah+1
...
An


+ det


A1
...
Ah+1
Ah + Ah+1
...
An


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13 UFF
A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
= det


A1
...
Ah
Ah
...
An


+ det


A1
...
Ah
Ah+1
...
An


+ det


A1
...
Ah+1
Ah
...
An


+ det


A1
...
Ah+1
Ah+1
...
An


.
Novamente, pelo Lema anterior, obtemos
0 = det(C) = det


A1
...
Ah
Ah+1
...
An


+ det


A1
...
Ah+1
Ah
...
An


= det(A) + det(B),
logo det(B) = − det(A).
Suponhamos agora que k − h ≥ 2 e B e´ obtida de A trocando as linhas
Ah e Ak de posic¸a˜o e mantendo as outras linhas.
Para que Ah fique na k-e´sima linha sa˜o necessa´rias as trocas sucessi-
vamente de Ah com Ah+1, Ah+2, . . . , Ak, totalizando k − h trocas de linhas
consecutivas, deixando Ak na (k − 1)-e´sima linha. Para Ak ficar na h-e´sima
linha e obtermos a matriz B precisamos de mais (k − 1) − h trocas de linhas
consecutivas. No total fazemos (k − h) + (k − 1) − h = 2(k − h) − 1 tro-
cas de linhas consecutivas. Pela primeira parte da demonstrac¸a˜o, em cada
troca o determinante e´ multiplicado por −1, logo apo´s o total de trocas,
o determinante e´ multiplicado por (−1)2(k−h)−1 = −1. Portanto, temos
det(B) = − det(A). �
Corola´rio 2
Se A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ Q, R ou C, tem duas linhas iguais, enta˜o
det(A) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Digamos que 1 ≤ h < k ≤ n e que Ah = Ak. Seja B a matriz
obtida de A trocando de posic¸a˜o Ah e Ak e mantendo as outras linhas de
A. Pela Proposic¸a˜o anterior, det(B) = − det(A). Como B = A, temos que
det(A) = − det(A), logo 2 det(A) = 0. Assim, det(A) = 0. �
Esse resultado vale em
quaisquer corpos de
caracter´ıstica 0. Se
car(K) = p 6= 2, enta˜o 2 e´
invert´ıvel em K e o resultado
e´ va´lido.
Se car(K) = 2, enta˜o o
resultado do Corola´rio
tambe´m e´ va´lido. Nesse
caso, fazemos um ca´lculo
direto de det(A) e
mostramos que det(A) = 0.
Corola´rio 3
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Se B e´ obtida de A substituindo a
linha Ai por Ai + cAj, onde j 6= i e c ∈ K, e mantendo as outras linhas de
A, enta˜o det(B) = det(A).
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UFF 14
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, sem perda de generalidade, que i > j. Enta˜o,
B =


A1
...
Aj
...
Ai + cAj
...
An


e, pela Proposic¸a˜o 1 itens (a) e (b) e pelo Corola´rio 2,
det(B) = det


A1
...
Aj
...
Ai + cAj
...
An


= det


A1
...
Aj
...
Ai
...
An


+ det


A1
...
Aj
...
cAj
...
An


= det(A) + c det


A1
...
Aj
...
Aj
...
An


= det(A) + c · 0 = det(A). �
Usando as propriedades do determinante, vistas nas Proposic¸o˜es 1 e 2 e
no Corola´rio 3, vamos desenvolver um me´todo para o ca´lculo de determinan-
tes a partir do processo da reduc¸a˜o por linhas de uma matriz com coeficientes
em um corpo K.
Lembramos o conceito de operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma
matriz.
Definic¸a˜o 3 (Operac¸o˜es elementares e equivaleˆncia por linhas)
Seja A ∈ Mn×m(K), onde K e´ um corpo. Ha´ treˆs tipos de operac¸o˜es elemen-
tares sobre as linhas de A:
(I) Trocar de posic¸a˜o as linhas Ai e Aj, onde i 6= j, e manter as outras linhas
de A. Denotamos por Ai↔ Aj.
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
(II) Multiplicar a i-e´sima linha por c ∈ K, onde c 6= 0, e manter as outras
linhas de A. Denotamos por Ai→ cAi.
(III) Substituir a i-e´sima linha Ai por Ai + cAj, onde c ∈ K e i 6= j, e
manter as outras linhas de A. Denotamos por Ai → Ai + cAj.
Quando a matriz B ∈ Mn×m(K) e´ obtida de A por uma operac¸a˜o
elementar o dizemos que B e´ equivalente por linhas a A, escrevemos B = o(A)
e denotamos por A∼oB.
Quando B ∈ Mn×m(K) e´ obtida de A por uma sequeˆncia finita de
operac¸o˜es elementares o1, . . . , os, definindo B1 = o1(A) e Bj+1 = oj+1(Bj)
para j = 1, . . . s − 1, temos que
B = os(. . . (o1(A) . . .)) e A∼o1B1∼o2B2∼o3 . . .∼os−1Bs−1∼osBs = B.
Proposic¸a˜o 3
Se B ∈ Mn×n(K) e´ obtida de A ∈ Mn×n(K) por uma operac¸a˜o elementar o
sobre as linhas de A, enta˜o B = o(A) e
det(B) =


− det(A), se o e´ do tipo (I), Ai↔ Aj, i 6= j;
c det(A), se o e´ do tipo (II), Ai→ cAi, c ∈ K, c 6= 0;
det(A), se o e´ do tipo (III), Ai→ Ai + cAj, c ∈ K, i 6= j.
Demonstrac¸a˜o: Segue imediatamente das Proposic¸o˜es 2 e 1, item (b), e do
Corola´rio 3. �
Corola´rio 4
Se B ∈ Mn×n(K) e´ obtida de A por uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es elemen-
tares o1, . . . , os, definindo B1 = o1(A) e Bj+1 = oj+1(Bj) para j = 1, . . . , s−1,
enta˜o
B = os(. . . (o1(A) . . .)) e A ∼o1 B1 ∼o2 B2 ∼o3 . . . ∼os−1 Bs−1 ∼os Bs = B
e existem constantes na˜o nulas em K c1, . . . , cs, univocamente determinadas,
respectivamente, por o1, . . . , os, tais que det(B) = cs · . . . · c1det(A).
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o e´ por induc¸a˜o sobre s, o nu´mero de operac¸o˜es
elementares sobre as linhas de A.
Se s = 1, enta˜o B = o(A) e o resultado segueda Proposic¸a˜o 3. Fixemos
s ≥ 1, suponhamos o resultado va´lido para s e B = os+1(os(. . . (o1(A) . . .)),
onde A ∼o1 B1 ∼o2 B2 ∼o3 . . . ∼os Bs ∼os+1 Bs+1 = B. Enta˜o, B = os+1(Bs),
onde A ∼o1 B1 ∼o2 B2 ∼o3 . . . ∼os Bs. Logo, existe uma constante na˜o nula
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UFF 16
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
cs+1 em K, univocamente determinada por os+1 tal que det(B) = cs+1det(Bs).
Por hipo´tese de induc¸a˜o, existem c1, . . . , cs, constantes na˜o nulas em K uni-
vocamente determinadas pelas operac¸o˜es elementares o1, . . . , os, tais que
det(Bs) = cs · . . . · c1det(A). Portanto,
det(B) = cs+1det(Bs) = cs+1 · (cs · . . . · c1det(A)).
Logo, o resultado vale para s + 1. Assim, vale para todo s ≥ 1. �
Com a relac¸a˜o estabelecida pelo Corola´rio 4 entre o determinante de
uma matriz A ∈ Mn×n(K) e uma matriz B ∈ Mn×n(K) obtida de A por uma
sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares, podemos descrever um me´todo
para calcular determinantes de matrizes de ordem grande, pelo me´todo da
reduc¸a˜o por linhas. Esse me´todo e´ baseado no seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 4
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Enta˜o, existe uma sequeˆncia finita
de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A, o1, . . . , os, e uma matriz tri-
angular superior B ∈ Mn×n(K), tal que B = os(. . . (o1(A)) . . .) e´ equivalente
por linhas a` matriz A.
Demonstrac¸a˜o: Se A = 0 ∈ Mn×n(K), nada ha´ a demonstrar. Suponha-
mos que A 6= 0. O seguinte algoritmo indica uma sequeˆncia de operac¸o˜es
elementares que resolve o problema:
(1) Va´ para a primeira linha na˜o nula L;
(2) multiplique L por uma constante c conveniente, de modo que o seu pri-
meiro elemento na˜o nulo seja 1, fazendo L→ cL = L′;
(3) substitua cada linha na˜o nula subsequente por ela mais um mu´ltiplo
conveniente de L′, de modo que o seu elemento na mesma coluna do 1 fique
igual a 0.
(4) fac¸a a primeira linha na˜o nula apo´s L′ igual a L;
(5) repita os passos (2), (3) e (4), ate´ chegar a` u´ltima linha na˜o nula.
Para obter a matriz triangular superior equivalente por linhas a` matriz
A, so´ precisamos de algumas trocas linhas.
(6) Se as s linhas na˜o nulas Lj1 , . . . , Ljs , onde 1 ≤ s ≤ n, teˆm o primeiro
elemento na˜o nulo, respectivamente, nas colunas k1, . . . , ks, enta˜o Lj1 tem
que ser a linha k1, . . . , Ljs , a linha ks. As outras linhas sa˜o nulas. Depois
dessa troca de linhas obtemos uma matriz triangular superior equivalente
por linhas a` matriz A. �
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
Exemplo 5
Vamos determinar uma matriz B ∈ M3×3(R) triangular superior equivalente
por linhas a` matriz A =

 1 2 34 11 18
7 8 24

 ∈ M3×3(R). Temos
A ∼1

 1 2 30 3 6
0 −6 3

 ∼2

 1 2 30 1 2
0 −6 3

 ∼3

 1 2 30 1 2
0 0 15

 = B.
Usamos a seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2 → L2 − 4L1 e L3 → L3 − 7L1;
em ∼2: L2 → 13L2;
em ∼3, L3→ L3 + 6L2.
Exemplo 6
Vamos determinar uma matriz B ∈ M5×5(R) triangular superior equivalente
por linhas a` matriz A =


0 0 2 0 0
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
6 7 8 9 10
10 11 12 10 11


∈ M5×5(R). Temos
A ∼1


0 0 1 0 0
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
6 7 8 9 10
10 11 12 10 11


∼2


0 0 1 0 0
1 2 0 4 5
2 4 0 8 10
6 7 0 9 10
10 11 0 10 11


∼3


0 0 1 0 0
1 2 0 4 5
0 0 0 0 0
0 −5 0 −15 −20
0 −9 0 −30 −39


∼4


0 0 1 0 0
1 2 0 4 5
0 0 0 0 0
0 1 0 3 4
0 −9 0 −30 −39


∼5


0 0 1 0 0
1 2 0 4 5
0 0 0 0 0
0 1 0 3 4
0 0 0 −3 −3


∼6


1 2 0 4 5
0 1 0 3 4
0 0 1 0 0
0 0 0 −3 −3
0 0 0 0 0


= B
Usamos a seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es elementares:
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Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
em ∼1: L1 → 12L1;
em ∼2: L2 → L2 − 3L1, L3 → L3 − 6L1, L4 → L4 − 8L1 e L5 → L5 − 12L1;
em ∼3, L3 → L3 − 2L2, L4 → L4 − 6L2 e L5 → L5 − 10L2;
em ∼4: L4 → −15L4;
em ∼5: L5 → L5 + 9L4.
Agora na˜o ha´ mais linhas na˜o nulas. Paramos o algoritmo aqui. Para obter
a matriz B triangular superior equivalente a A, basta fazer trocas de linhas.
As linhas na˜o nulas depois de ∼5 sa˜o L1, com k1 = 3; L2, com k2 = 1; L4,
com k4 = 2; L5, com k5 = 4.
Em ∼6 fizemos a sequeˆncia de operac¸o˜es elementares: L3 ↔ L4, L4 ↔ L5,
L1 ↔ L2 e L2↔ L3.
Para matrizes triangulares superiores ou inferiores o ca´lculo do deter-
minante e´ trivial, conforme a seguinte Proposic¸a˜o.
A e´ triangular superior se, e
somente se, aij = 0, para
todo 1≤ j < i≤ n.
Proposic¸a˜o 5
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Se A e´ uma matriz triangular
superior, enta˜o det(A) = a11a22 . . . ann.
Demonstrac¸a˜o: Faremos induc¸a˜o sobre n ≥ 1. Se n = 1, enta˜o A = (a) e
det(A) = a = a11. Suponhamos que n ≥ 1 e o resultado va´lido para n. Seja
A matriz triangular superior de ordem n + 1 com coeficientes em K. Temos
que
A =


a11 a12 a13 · · · a1(n+1)
0 a22 a23 · · · a2(n+1)
0 0 a33 · · · a3(n+1)
...
...
... · · · ...
0 0 0 · · · a(n+1)(n+1)


Pela definic¸a˜o do determinante, temos que
ai1 = 0, para todo
i = 2,...,n+1.
det(A) =
n+1∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1) = a11det(A11).
Como A11 =


a22 a23 · · · a2(n+1)
0 a33 · · · a3(n+1)
...
... · · · ...
0 0 · · · a(n+1)(n+1)

 e´ uma matriz triangular
superior de ordem n, pela hipo´tese de induc¸a˜o, temos que
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Determinantes sobre corpos
det(A11) = a22 · · ·a(n+1)(n+1).
Portanto, det(A) = a11det(A11) = a11a22 · · ·a(n+1)(n+1). Logo, o re-
sultado vale para n + 1. Assim, vale para todo n ≥ 1. �
Exemplo 7
Vamos determinar o determinante de A =


1 2 3
4 11 14
7 8 24

 ∈ M3×3(R) do
Exemplo 5.
Obtivemos no Exemplo 5 que A e´ equivalente por linhas a` matriz triangular supe-
rior B =


1 2 3
0 1 2
0 0 15

. Como det(B) = 1·1·15 = 15 e a u´nica operac¸a˜o elementar
usada que altera o determinante e´ L2→ 13L2, obtemos que 13 det(A) = det(B), logo
det(A) = 3det(B) = 3 · 15 = 45.
Exemplo 8
Determinaremos o determinante de A =


0 0 2 0 0
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
6 7 8 9 10
10 11 12 10 11


∈ M5×5(R)
do Exemplo 6.
Obtivemos no Exemplo 6 que A e´ equivalente por linhas a uma matriz tri-
angular superior B com uma linha nula. Como det(B) = 0 e as operac¸o˜es
elementares que alteram o determinante o multiplicam por constantes na˜o nu-
las, enta˜o existe uma constante na˜o nula c ∈ R tal que c det(A) = det(B) = 0.
Logo, det(A) = 1
c
det(B) = 1
c
· 0 = 0.
Nesse caso,
c = 1
2
·
“
−1
5
”
· (−1)4 = − 1
10
.
Volte ao Exemplo 6 e verifique que para o ca´lculo do determinante de A
poder´ıamos ter parado em ∼3, apo´s L3 → L3 − 2L2, pois a matriz obtida
aqui e´ equivalente por linhas a A, tem uma linha nula e ja´ conclu´ımos que
det(A) = 0.
Agora destacamos que valem propriedades sobre as colunas similares
a`s propriedades sobre as linhas.
Proposic¸a˜o 6 (Propriedades das colunas)
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo.
(a) Se C for obtida de A substituindo a j-e´sima coluna Aj por Aj + Y e
mantendo as outras colunas e B for obtida de A substituindo a j-e´sima coluna
Aj por Y e mantendo as outras colunas de A, onde Y =


y1
...
yn

, enta˜o
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UFF 20
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
det(C) = det(A) + det(B).
(b) Se B for obtida de A substituindo a j-e´sima coluna Aj por cAj, onde
c ∈ K, e mantendo as outras colunas de A, enta˜o det(B) = c det(A).
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o de ambas as propriedades, de maneira ana´lo-
ga a`s propriedades das linhas, e´ por induc¸a˜o sobre n, devendo apenas serem
distinguidos os casos j = 1 e j > 1. Faremos apenas a demonstrac¸a˜o do item
(a).
Fac¸a a demonstrac¸a˜o do
item (b).
Seja j = 1. Enta˜o, C1 = A1 + Y e B1 = Y, isto e´, ci1 = ai1 + yi e
bi1 = yi, e Ai1 = Bi1 = Ci1, para todo i = 1, . . . , n. Temos
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de determinante; em (2), que
ci1 = ai1 +yipara
1≤ i≤ n; em (3), a
distributividade em K; em
(4), a comutatividade e
associatividade da adic¸a˜o em
K; em (5), Ai1 = Ci1 = Bi1
e bi1 = yi e em (6),
novamente, a definic¸a˜o de
determinante.
det(C)
(1)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ci1det(Ci1)
(2)
=
n∑
i=1
(−1)i+1
(
ai1 + yi
)
det(Ci1)
(3)
=
n∑
i=1
(
(−1)i+1ai1det(Ci1) + (−1)
i+1yidet(Ci1)
)
(4)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ci1) +
n∑
i=1
(−1)i+1yidet(Ci1)
(5)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1) +
n∑
i=1
(−1)i+1bi1det(Bi1)
(6)
= det(A) + det(B).
Nesse caso, j = 2.
Seja 2 ≤ j ≤ n. Faremos induc¸a˜o sobre n ≥ 2. Se n = 2, enta˜o
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
, B =
(
a11 y1
a21 y2
)
, C =
(
a11 a12 + y1
a21 a22 + y2
)
e
det(C) = a11
(
a22 + y2
)
− a21
(
a12 + y1
)
= a11a22 + a11y2 − a21a12 − a21y1
=
(
a11a22 − a21a12
)
+
(
a11y2 − a21y1
)
= det(A) + det(B).
Seja n ≥ 3 e suponhamos a propriedade va´lida para as matrizes de
ordem n − 1. As matrizes Ci1, Bi1 e Ai1 teˆm ordem n − 1 e a (j − 1)-e´sima
coluna de Ci1 e´ a soma das (j − 1)-e´simas colunas de Ai1 e Bi1. Por hipo´tese
de induc¸a˜o, det(Ci1) = det(Ai1) + det(Bi1) e
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de determinante; em (2), que
A1 = C1; em (3), a hipo´tese
de induc¸a˜o; em (4), a
distributividade em K; em
(5), a comutatividade e
associatividade da adic¸a˜o em
K e em (6), que B1 = A1 e a
definic¸a˜o de determinante.
det(C)
(1)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ci1det(Ci1)
(2)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ci1)
(3)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ai1
(
det(Ai1) + det(Bi1)
)
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21 UFF
A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
(4)
=
n∑
i=1
(
(−1)i+1ai1det(Ai1) + (−1)
i+1ai1det(Bi1)
)
(5)
=
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1) +
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Bi1)
(6)
= det(A) + det(B). �
Corola´rio 5
Se A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, tem uma coluna nula, enta˜o det(A) =
0.
Demonstrac¸a˜o: Segue imediatamente da Proposic¸a˜o anterior item (b). �
Vale propriedade ana´loga a` Observac¸a˜o 1, onde linhas sa˜o substitu´ıdas
por colunas.
Observac¸a˜o 2: Da Proposic¸a˜o 6 segue que o determinante, como uma func¸a˜o
das colunas da matriz, e´ K-linear em cada coluna.
Nesse caso, todas as colunas
diferentes da j-e´sima esta˜o
fixas. Estamos variando
apenas a j-e´sima coluna.
De fato, sejam B, C e A matrizes com todas as colunas iguais, exceto
a j-e´sima, onde Bj = Xj, Cj = Yj e Aj = Xj + aYj, tal que a ∈ K. Digamos
que B = (A1, . . . , Xj, . . . , An) e C = (A1, . . . , Yj, . . . , An).
Seja A = (A1, . . . , Xj + aYj, . . . , An), onde a ∈ K. Enta˜o,
det(A) = det(A1, . . . , Xj + aYj, . . . , An)
= det(A1, . . . , Xj, . . . , An) + det(A1, . . . , aYj, . . . , An)
= det(B) + a det(C)
.
Lema 2
Se A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, tem duas colunas consecutivas
iguais, enta˜o temos det(A) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Deixamos a demonstrac¸a˜o a cargo do leitor. �
Proposic¸a˜o 7
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Se B for a matriz obtida
de A trocando de posic¸a˜o duas colunas e mantendo as outras colunas de A,
enta˜o det(B) = − det(A).
Demonstrac¸a˜o: Deixamos a demonstrac¸a˜o a cargo do leitor. �
Corola´rio 6
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Se A tem duas colunas
iguais, enta˜o det(A) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Deixamos a demonstrac¸a˜o a cargo do leitor. �
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UFF 22
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
Corola´rio 7
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Se B for obtida de A substituindo
a coluna Ai por Ai + cAj, onde j 6= i e c ∈ K, e mantendo as outras colunas
de A, enta˜o det(B) = det(A).
Demonstrac¸a˜o: Deixamos a demonstrac¸a˜o a cargo do leitor. �
Obtemos tambe´m o seguinte resultado muito importante.
Corola´rio 8 (Fo´rmula de Laplace por colunas)
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo e n ≥ 2, e seja Aij o menor
de aij. Enta˜o, para cada j = 1, . . . , n temos que
O ı´ndce j esta´ fixo, apenas i
varia de 1 a n.det(A) =
n∑
i=1
(−1)i+j aijdet(Aij),
chamado de desenvolvimento de Laplace pela j-e´sima coluna.
Demonstrac¸a˜o: Se j = 1, enta˜o nada ha´ a demonstrar. Seja n ≥ 2 e fi-
xemos j tal que 1 < j ≤ n. Seja B = (bik) a matriz obtida de A tro-
cando as colunas A1 e Aj de posic¸a˜o e mantendo as outras colunas. Assim,
A = (A1, . . . , Aj−1, Aj, . . . , An) e B = (Aj, A2, . . . , Aj−1, A1, . . . , An). Para
todo i = 1, . . . , n, temos bi1 = aij, a matriz Bi1 e´ obtida da matriz Aij pela
troca de j − 2 colunas consecutivas e det(Bi1) = (−1)
j−2det(Aij). Portanto,
da Proposic¸a˜o 7 e da definic¸a˜o do determinante,
det(A) = − det(B)
= −
( n∑
i=1
(−1)i+1 bi1det(Bi1)
)
= −
( n∑
i=1
(−1)i+1 ai1(−1)
j−2det(Aij)
)
=
n∑
i=1
(−1)i+j aijdet(Aij) �
Analogamente, usando as propriedades do determinante sobre as colu-
nas, Proposic¸a˜o 6 item (b), Proposic¸a˜o 7 e o Corola´rio 7, podemos calcular
o determinante a partir do processo de reduc¸a˜o por colunas de uma matriz
com coeficientes em um corpo K.
Deixamos como Exerc´ıcio introduzir a definic¸a˜o de operac¸a˜o elementar
sobre as colunas de uma matriz e escrever resultados ana´logos a` Proposic¸a˜o 3,
Corola´rio 4 e Proposic¸a˜o 4, substituindo operac¸o˜es elementares sobre linhas
por operac¸o˜es elementares sobre colunas.
Encerramos essa Sec¸a˜o com mais duas propriedades important´ıssimas
do determinante.
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Determinantes sobre corpos
Proposic¸a˜o 8
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. Enta˜o, det(A) = det(At).
Demonstrac¸a˜o: Faremos induc¸a˜o sobre n.
Se n = 1, enta˜o A = (a11) = A
t e, da definic¸a˜o de determinante,
det(A) = a11 = det(A
t).
Fixemos n > 1 e suponhamos o resultado va´lido para matrizes de ordem
n − 1. Seja A matriz de ordem n. Seja A1 a primeira coluna de A.
Suponhamos que A1 = 0. Enta˜o ai1 = 0, para i = 1, . . . , n, e
det(A) =
n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1) =
n∑
i=1
(−1)i+1 · 0 · det(Ai1) = 0.
Como At tem a primeira linha nula, pelo Corola´rio 1, det(At) = 0. Logo,
det(A) = det(At).
Podemos supor que A1 6= 0. Seja k o menor inteiro positivo menor ou
igual a n, tal que ak1 6= 0. Sem perda de generalidade, podemos supor que
k = 1. De fato, caso contra´rio, k > 1. Tomamos A˜ a matriz obtida de A
pela troca das linhas A1 e Ak e mantendo as outras linhas. Enta˜o, det(A) =
− det(A˜), a˜11 = ak1 6= 0 e a matriz A˜t e´ obtida de At pela troca da primeira
e da k-e´sima colunas e mantendo as outras colunas, portanto det(At) =
− det(A˜t). Basta mostrarmos que det(A˜) = det(A˜t), para concluirmos que
det(A) = det(At).
Assim, podemos supor que A1 =


a11
...
an1

, com a11 6= 0. Seja B a
matriz obtida de A, pela sequeˆncia de n − 1 operac¸o˜es elementares sobre as
linhas de A, substituindo Ai por Ai −
ai1
a11
A1, para i 6= 1, e mantendo as
outras linhas. Enta˜o, Bi = Ai −
ai1
a11
A1, para i 6= 1, e B1 = A1. Portanto,
B =


a11 a12 · · · a1n
0 b22 · · · b2n
...
... · · · ...
0 bn2 · · · bnn

. Temos B11 =


b22 · · · b2n
... · · · ...
bn2 · · · bnn

,
onde bij = aij −
ai1
a11
a1j, para 2 ≤ j ≤ n e i 6= 1. Da Proposic¸a˜o 3, Corola´rio
4 e da definic¸a˜o de determinante, temos det(A) = det(B) = a11det(B11).
Temos que a primeira coluna de At e´


a11
...
a1n

, com a11 6= 0. Seja
At = (cij). Enta˜o, c11 = a11 6= 0. Seja D a matriz obtida de At, pela
sequeˆncia de n−1 operac¸o˜es elementares sobre as colunas de At, substituindo
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UFF 24
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
(At)
j
por (At)
j
−
c1j
c11
(At)
1
, para j 6= 1, e mantendo as outras colunas. Enta˜o,
Dj = (At)
j
−
c1j
c11
(At)
1
, para j 6= 1, e D1 = (At)1. Portanto,
D =


a11 0 · · · 0
a12 d22 · · · d2n
...
... · · · ...
a1n dn2 · · · dnn

. Temos D11 =


d22 · · · d2n
... · · · ...
dn2 · · · dnn

,
onde dij = cij −
c1j
c11
ci1, para 2 ≤ i ≤ n e j 6= 1. Do Corola´rio 7, da definic¸a˜o
de determinante e do Corola´rio 1, temos det(At) = det(D) = a11det(D11).
Como, para 2 ≤ i ≤ n e j 6= 1, temos que
dij = cij −
c1j
c11
ci1 = aji −
aj1
a11
a1i = bji.
Portanto, D11 = (B11)
t e, por hipo´tesede induc¸a˜o, det(B11) = det((B11)
t) =
det(D11). Logo,
det(A) = a11det(B11) = a11det(D11) = det(A
t). �
Corola´rio 9 (Fo´rmula de Laplace por linhas)
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo e n ≥ 2, e seja Aij o menor
de aij. Enta˜o, para cada i = 1, . . . , n temos que
O ı´ndce i esta´ fixo, apenas j
varia de 1 a n.det(A) =
n∑
j=1
(−1)i+j aijdet(Aij),
chamado de desenvolvimento de Laplace pela j-e´sima linha.
Demonstrac¸a˜o: Seja At = (bji). Pela Proposic¸a˜o 8 e aplicando o Corola´rio
8 para calcular o determinante de At pelo desenvolvimento de Laplace pela
i-e´sima coluna, temos
A matriz (At)ki obtida de
At retirando-se a k-e´sima
linha e a i-e´sima coluna e´ a
transposta de Aik .
det(A) = det(At)
=
n∑
k=1
(−1)k+i bkidet
(
(At)ki
)
=
n∑
k=1
(−1)k+i aikdet
(
(Aik)
t
)
=
n∑
k=1
(−1)k+i aikdet(Aik) �
Exemplo 9
Vamos calcular o determinante de A =


3 2 4
5 0 6
3 0 1

 ∈ M3×3(R).
A segunda coluna de A, entre as linhas e colunas, tem a maior quantidade
de elementos nulos. Faremos o desenvolvimento de Laplace pela 2a coluna.
Temos que
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Determinantes sobre corpos
det(A) =
3∑
i=1
(−1)i+2ai2 det(Ai2)
= −a12det(A12)
= (−2) · det
(
5 6
3 1
)
= (−2) · (5 − 18) = 26.
a22 = a32 = 0.
Exemplo 10
Vamos calcular o determinante da matriz A =


1 2 3 4
4 5 6 −1
7 0 0 3
1 2 3 5

 ∈ M4×4(R).
Faremos esse ca´lculo usando a fo´rmula de Laplace para o desenvolvimento
pela 3a linha, pois essa linha tem o maior nu´mero de elementos nulos entre
todas as linhas e colunas de A. Enta˜o,
a32 = a33 = 0.
det(A) =
4∑
j=1
(−1)3+ja3jdet(A3j)
= a31det(A31) − a34det(A34)
Temos que A31 =


2 3 4
5 6 −1
2 3 5

 e, desenvolvendo pela sua primeira linha,
temos
det(A31) = 2 · det
(
6 −1
3 5
)
− 3 · det
(
5 −1
2 5
)
+ 4 · det
(
5 6
2 3
)
= 2 · (30 − (−3)) − 3 · (25 − (−2)) + 4 · (15 − 12)
= 66 − 81 + 12 = −3
A matriz A34 =


1 2 3
4 5 6
1 2 3

 tem duas linha iguais e det(A34) = 0. Logo,
det(A) = 7 · det(A31) = 7 · (−3) = −21.
Exerc´ıcios
1. Sejam A ∈ Mn×n(R) e k ∈ R. Determine det(kA) em func¸a˜o de
det(A).
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UFF 26
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
2. Sejam A ∈ Mn×n(C). Determine det(iA) em func¸a˜o de det(A).
3. Seja A ∈ M4×4(R), tal que det(A) = 2. Determine, usando as propri-
edades:
(a) det(2A) (b) det(−A)
4. Seja A ∈ M3×3(R), tal que det(A) = −3. Determine, usando as pro-
priedades:
(a) det
(
1
2
A
)
(b) det(−A)
5. Sejam A ∈ M3×3(R). Determine o determinante de B em func¸a˜o do
determinate da matriz A:
(a) A =

 a b cd e f
g h i

 e B =


ka kb kc
d
t
e
t
f
t
sg sh si

 onde k, s, t ∈ R e
t 6= 0.
(b) A =

 2 3 40 1 2/3
1 3/5 4/5

 e B =

 4 6 80 3 2
5 3 4

.
(c) A =


1 2 0
1 3 1
1 4 −1

 e B =


−2 0 2
−3 3 2
−4 3 2

.
6. Sabendo que det(A) = 4, onde A =


2a 2b 2c
d e f
3g 3h 3i

 ∈ M3×3(Q),
calcule det(B):
(a) B =

 a b cd e f
g h i

 (b) B =

 2d g
a
3
2e h b
3
2f i c
3


7. Mostre que o determinante de A e´ igual a zero, sem calcular o seu
determinante, onde a, b.c, x, y, z ∈ R:
(a) A =

 a b 2ca + x b + x c + x
a + y b + y c + y

 (b) A =

 sen
2 x cos2 x 1
sen2 y cos2 y 1
sen2 z cos2 z 1


8. Mostre que se A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, e´ uma matriz
diagonal, enta˜o det(A) = a11a22 · · ·ann.
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
9. Mostre que se A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, e´ uma matriz
triangular inferior, enta˜o det(A) = a11a22 · · ·ann.
A e´ triangular inferior se, e
somente se, aij = 0, para
todo 1≤ i < j≤ n.
10. Calcule det(A), onde A ∈ Mn×n(R):
(a) A =


2 0 5 1
3 0 3 2
7 5 4 6
6 0 6 4

 (b) A =


4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1


(c) A =


4 8 8 8 5
0 1 0 0 0
6 8 8 8 7
0 8 8 3 0
0 8 2 0 0


(d) A =


2 0 −1
3 0 2
4 −3 7


11. Calcule det(A), reduzindo por linhas a matriz A a uma matriz trian-
gular superior, onde A ∈ Mn×n(C):
(a) A =

 1 −4 2−2 8 9
−1 7 0

 (b) A =

 1 0 x1 1 x2
2 2 x3


(c) A =


3 −1 2 −5
0 5 −3 −6
−6 7 −7 4
−5 −8 0 9

 (d) A =


1 −3 1 −2
2 −5 −1 −2
0 −4 5 1
−3 10 −6 8

.
(e) A =


2 −8 6 8
3 −9 5 10
−3 0 1 −2
1 −4 0 6

 (f) A =


0 −i −2 i
1 −1 i 1
0 −1 1 −i
1 1 1 0


12. Mostre que det(A) = (b − a)(c − b)(c − a) , onde a, b, c ∈ R e
A =

 1 1 1a b c
a2 b2 c2

.
13. Sejam x1, . . . , xn ∈ R. Mostre que det(A) =
∏
1≤j<k≤n
(xk − xj), onde
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UFF 28
Determinantes sobre corpos
PARTE 1 - SEC¸A˜O 1
A =


1 1 1 · · · 1
x1 x2 x3 · · · xn
x21 x
2
2 x
2
3 · · · x2n
...
...
...
...
...
xn−11 x
n−1
2 x
n−1
3 · · · xn−1n


.
Essa matriz n por n e´
conhecida como matriz de
Vandermonde. O Exerc´ıcio
anterior e´ o caso n = 3
14. Calcule det(A), sabendo que det(B) = 24, B e´ matriz quadrada com
coeficientes reais e foi obtida de A pela seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es
elementares:
(1) substituindo a primeira linha por 6 vezes ela e mantendo as outra
linhas;
(2) substituindo a terceira linha por ela mais 2 vezes a segunda linha
e mantendo as outras linhas;
(3) trocando a primeira linha e a terceira de posic¸o˜es e mantendo as
outras linhas.
15. Seja A ∈ M4×4(R) cuja j-e´sima linha e´ Aj, para j = 1, 2, 3, 4. Seja
B =


A1 + 2A4
−2A3
3A4 + 2A1
A2 + 2A3

.
(a) Mostre que A pode ser obtida de B por uma sequeˆncia finita de
operac¸o˜es elementares.
(b) Determine det(B), sabendo que det(A) = 30
√
2.
16. Determine se os vetores v1 = (5, −7, 9), v2 = (−3, 3, 5) e v3 = (2, −7, 5)
sa˜o linearmente dependentes ou linearmente independentes sobre R,
usando determinantes. Justifique sua resposta.
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A´lgebra Linear II
Determinantes sobre corpos
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UFF 30
Determinante do produto e matrizes elementares
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
Determinante do produto e matrizes
elementares
Primeiramente, vamos estabelecer condic¸o˜es necessa´rias e suficientes
para uma matriz de ordem n ser invert´ıvel.
Definic¸a˜o 4 (Cofatora e Adjunta cla´ssica)
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo e n ≥ 2. A matriz cofatora de
A, denotada por cof(A), e´ a matriz n por n com coeficientes em K definida
por
cof(A)ij = (−1)
i+jdet(Aij).
A matriz adjunta cla´ssica de A, denotada por adj(A), e´ a matriz n por
n com coeficientes em K definida por
adj(A) = cof(A)t.
Exemplo 11
Consideremos a matriz A =
(
1 2
3 4
)
em M2×2(R). Vamos determinar as
suas matrizes cofatora e adjunta cla´ssica. Enta˜o,
cof(A) =
(
det(A11) − det(A12)
− det(A21) det(A22)
)
=
(
4 −3
−2 1
)
e
adj(A) = cof(A)t =
(
4 −2
−3 1
)
.
Teorema 1 (Propriedade da adjunta cla´ssica)
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo e n ≥ 2. Enta˜o,
A · adj(A) = adj(A) ·A = det(A)I,
onde I e´ a matriz identidade n por n.
Demonstrac¸a˜o: A matriz det(A)I e´ uma matriz diagonal n por n, com todos
os elementos da diagonal iguais a det(A). Vamos determinar os elementos
da matriz A · adj(A). Temos
(A · adj(A))ij =
n∑
k=1
aik adj(A)kj
=
n∑
k=1
aik cof(A)jk
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31 UFF
A´lgebra Linear II
Determinante do produto e matrizes elementares
=
n∑
k=1
aik(−1)
(j+k)det(Ajk)
=
n∑
k=1
(−1)(j+k)aikdet(Ajk)
(∗)
=
{
det(A), se i = j
0, se i 6= j.
De fato, quando i = j, vemos que a expressa˜o a` esquerda de (∗) e´ o de-
senvolvimento de Laplace do determinante de A pela i-e´sima linha. Quando
i 6= j, seja B a matriz com todas as linhas iguais a`s de A, exceto a j-e´sima
linha que e´ Ai. Enta˜o, B tem duas linhas iguais Bj = Ai = Bi. Portanto,
det(B) = 0, onde
B =


a11 a12 · · · a1n
...
... · · · ...
ai1 ai2 · · · ain
...
... · · · ...
ai1 ai2 · · · ain
...
... · · · ...
an1 an2 · · · ann


← j-e´sima linha
Bjk= Ajk , para todo
k = 1,...,n.
Vemos que a expressa˜o a` esquerda de (∗) e´ o desenvolvimento de Laplace
do determinante de B pela j-e´sima linha.
O produto adj(A) · A = det(A)I e´ ana´logo e sera´ deixado como Exer-
c´ıcio. �
Corola´rio 10
Seja A ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo. A e´ matriz invert´ıvel se, e somente
se, det(A) 6= 0. Nesse caso, se n ≥ 2, enta˜o A−1 = (det(A))−1adj(A).
Demonstrac¸a˜o: O caso n = 1 e´ trivial. Se n ≥ 2, enta˜o o resultado segue de
imediato do Teorema 1 e da definic¸a˜o de inversa de uma matriz. �
Exemplo 12
Consideremos A =
(
1 2
3 4
)
∈ M2×2(R), a matriz do Exemplo 11. Enta˜o,
det(A) = −2 e A−1 = −1
2
adj(A) = −1
2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
.
Exemplo 13
Vamos determinar as matrizes cofatora e adjunta cla´ssica de A =
(
a b
c d
)
,
onde a, b, c, d ∈ K. Enta˜o,
M.L.T.Villela
UFF 32
Determinante do produto e matrizes elementares
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
cof(A) =
(
det(A11) − det(A12)
− det(A21) det(A22)
)
=
(
d −c
−b a
)
e
adj(A) = cof(A)t =
(
d −b
−c a
)
.
No caso em que det(A) = ad − bc 6= 0, pelo Corola´rio anterior, temos que
A−1 = (ad − bc)−1adj(A) = (ad − bc)−1
(
d −b
−c a
)
.
Para mostrar que o determinante do produto de duas matrizes e´ o pro-
duto dos determinantes introduziremos o conceito de matrizes elementares.
Definic¸a˜o 5 (Matriz elementar)
Uma matriz E ∈ Mn×n(K) e´ chamada uma matriz elementar se, e somente
se, E e´ obtida da matriz identidade I ∈ Mn×n(K) por meio de uma u´nica
operac¸a˜o elementar o sobre as linhas do tipo (I), ou (II), ou (III), conforme
a Definic¸a˜o 3. Nesse caso, E = o(I).
Corola´rio 11
Seja E = o(I) uma matriz elementar sobre K de ordem n. Enta˜o,
det(E) =


−1, se o e´ do tipo (I), Li↔ Lj,
c, se o e´ do tipo (II), Li→ cLi, c ∈ K, c 6= 0,
1, se o e´ do tipo (III), Li→ Li + cLj, c ∈ K, i 6= j,
onde L1, . . . , Ln sa˜o as linhas da matriz identidade n por n.
Demonstrac¸a˜o: Segue da Proposic¸a˜o 3 e do fato det(I) = 1. �
Exemplo 14
Consideremos M3×3(R).
Seja I =

 1 0 00 1 0
0 0 1

. No que segue, L1, L2 e L3 sa˜o, respectivamente, as
linhas 1, 2 e 3 da matriz I.
E1 =


1 0 0
0 0 1
0 1 0

 e´ obtida de I pela operac¸a˜o elementar o1 definida por
L2 ↔ L3. Temos E1 = o1(I) e det(E1) = −det(I) = −1.
E2 =

 1 0 20 1 0
0 0 1

 e´ obtida de I pela operac¸a˜o elementar o2 definida por
L1 → L1 + 2L3. Temos E2 = o2(I) e det(E2) = det(I) = 1.
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33 UFF
A´lgebra Linear II
Determinante do produto e matrizes elementares
E3 =


−3 0 0
0 1 0
0 0 1

 e´ obtida de I pela operac¸a˜o elementar o3 definida por
L1 → −3L1. Temos E3 = o3(I) e det(E3) = −3 det(I) = −3.
Proposic¸a˜o 9
Seja A ∈ Mn×m(K), onde K e´ um corpo, enta˜o
(a) Se B e´ obtida de A por meio de uma u´nica operac¸a˜o elementar, enta˜o
B = EA, onde E e´ a matriz elementar obtida de I ∈ Mn×n(K) por meio da
mesma operac¸a˜o elementar.
(b) Se E ∈ Mn×n(K) e´ uma matriz elementar e A ∈ Mn×n(K), enta˜o temos
det(EA) = det(E) det(A).
Demonstrac¸a˜o:
(a) Primeiramente, seja {e1, . . . en} a base canoˆnica de K
n, isto e´, para cada
k = 1, . . . , n, ek = (0, . . . , 1, . . . 0) ∈ M1×n(K) tem a k-e´sima coluna igual a
1 e as outras colunas iguais a 0. Observamos que, se A ∈ Mn×m(K), enta˜o
ekA = Ak e´ a k-e´sima linha de A. Ale´m disso, I =


e1
...
en

.
Faremos a demonstrac¸a˜o dividindo em treˆs casos.
Caso 1: Seja o a operac¸a˜o elementar do tipo (I) sobre as linhas de A, Ai↔ Aj,
onde 1 ≤ i < j ≤ n e seja E = o(I). Enta˜o,
o(I) = E =


e1
...
ej
...
ei
...
en


, EA =


e1A
...
ejA
...
eiA
...
enA


=


A1
...
Aj
...
Ai
...
An


= o(A) = B.
Caso 2: Seja o a operac¸a˜o elementar do tipo (II) sobre as linhas de A,
Ai → cAi, onde c 6= 0, e seja E = o(I). Enta˜o,
o(I) = E =


e1
...
cei
...
en


,
M.L.T.Villela
UFF 34
Determinante do produto e matrizes elementares
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
EA =


e1A
...
(cei)A
...
enA


=


e1A
...
c(eiA)
...
enA


=


A1
...
cAi
...
An


= o(A) = B.
Caso 3: Seja o a operac¸a˜o elementar do tipo (III) sobre as linhas de A,
Ai → Ai + cAj, onde c ∈ K, i 6= j, e seja E = o(I). Enta˜o,
o(I) = E =


e1
...
ei + cej
...
en


,
EA =


e1A
...
(ei + cej)A
...
enA


=


e1A
...
eiA + (cej)A
...
enA


=


A1
...
Ai + cAj
...
An


= o(A) = B.
(b) Segue imediatamente de o(A) = EA, da Proposic¸a˜o 3 e do Corola´rio 11,
comparando det(EA) com det(E) det(A). �
Exemplo 15
Consideremos A =

 1 2 34 5 6
7 8 9

 ∈ M3×3(R) e a operac¸a˜o elementar o defi-
nida por L3→ L3 − 2L1. Enta˜o,
E = o(I) =


1 0 0
0 1 0
−2 0 1

 e o(A) =


1 2 3
4 5 6
5 4 3

 = EA.
Corola´rio 12
Seja A ∈ Mn×m(K). Se B = os(. . . (o1(A) . . .)) ∈ Mn×m(K), onde o1, . . . , os
e´ uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares, Ej = oj(I), com I ∈ Mn×n(K),
j = 1, . . . , s, enta˜o B = Es · · ·E1A.
Demonstrac¸a˜o: Faremos induc¸a˜o sobre s ≥ 1. O caso s = 1 segue do item
(b) da Proposic¸a˜o 9. Suponhamos que s ≥ 1 e o resultado seja va´lido para
s. Sejam os+1 uma operac¸a˜o elementar, Es+1 = os+1(I), onde I ∈ Mn×n(K),
e B = os+1(os(. . . (o1(A) . . .))), A ∈ Mn×m(K), enta˜o
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35 UFF
A´lgebra Linear II
Determinante do produto e matrizes elementares
os+1(os(. . . (o1(A) . . .)))
(1)
= Es+1(os(. . . (o1(A) . . .))
(2)
= Es+1(Es · · ·E1A)
(3)
= Es+1Es · · ·E1A.
Em (1) usamos o item (a) da
Proposic¸a˜o 9; em (2), a
hipo´tese de induc¸a˜o; em (3),
a associatividade da
multiplicac¸a˜o de matrizes.
Portanto, o resultado vale para s + 1. Logo, vale para todo s ≥ 1. �
Corola´rio 13
Se E1, . . . , Es ∈ Mn×n(K) sa˜o matrizes elementares e A ∈ Mn×n(K), enta˜o
det(Es · · ·E1A) = det(Es) · · ·det(E1) det(A).
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o e´ por induc¸a˜o sobre s. O caso s = 1 e´ o item
(b) da Proposic¸a˜o anterior. Suponhamos que s ≥ 1 e o resultado seja va´lido
para s. Sejam E1, . . . , Es+1 matrizes elementares. Enta˜o,
Em (1) usamos a
associatividade do produto
de matrizes; em (2), o item
(b) da Proposic¸a˜o 9; e em
(3), a hipo´tese de induc¸a˜o.
det(Es+1Es · · ·E1A) (1)= det(Es+1(Es · · ·E1A))
(2)
= det(Es+1) det(Es · · ·E1A)
(3)
= det(Es+1) det(Es) · · ·det(E1) det(A).
Portanto, o resultado vale para s + 1. Logo, vale para todo s ≥ 1. �
Corola´rio 14
Seja E ∈ Mn×n(K) uma matriz elementar. Enta˜o, E e´ invert´ıvel e E−1 e´ uma
matriz elementar.
Demonstrac¸a˜o: Segue do Corola´rio 11, que se E e´ matriz elementar, enta˜o
det(E) 6= 0 e, pelo Corola´rio 10, E e´ invert´ıvel. Para mostrar que a inversa
de E e´ elementar dividimos em treˆs casos.
Caso 1: Seja E = o(I), onde o e´ a operac¸a˜o elementar do tipo (I), Li ↔ Lj.
E´ claro que o(E) = I. Pela Proposic¸a˜o anterior, EE = o(E) = I, mostrando
que E−1 = E e´ matriz elementar.
Caso 2: Seja E = o(I), onde o e´ a operac¸a˜o elementar do tipo (II), Li → cLi,
onde c 6= 0. Seja o′ a operac¸a˜o elementar, tambe´m do tipo (II), Li → c−1Li
e seja F = o′(I). E´ claro que o(F) = I e o′(E) = I. Segue da Proposic¸a˜o
anterior, respectivamente, que EF = o(F) = I e FE = o′(E) = I, mostrando
que E−1 = F e´ uma matriz elementar.
Caso 3: Seja E = o(I), onde o e´ a operac¸a˜o elementar do tipo (III),
Li → Li + cLj, onde c ∈ K. Seja o′ a operac¸a˜o elementar, tambe´m do tipo
(III), Li→ Li − cLj, e seja F = o′(I). E´ claro que o(F) = I e o′(E) = I. Segue
da Proposic¸a˜o anterior, respectivamente, que EF = o(F) = I e FE = o′(E) = I,
mostrando que E−1 = F e´ uma matriz elementar. �
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UFF 36
Determinante do produto e matrizes elementares
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
Quando A ∈ Mn×n(K) e´ uma matriz invert´ıvel, pelo Corola´rio 10,
temos A−1 = det(A)−1adj(A). Vamos agora descrever A−1 por meio de
matrizes elementares.
Corola´rio 15
Se A ∈Mn×n(K) e´ invert´ıvel, enta˜o A−1 = Es · · ·E1, onde Ej e´ matriz ele-
mentar, Ej = oj(I), j = 1, . . . , s, e o1, . . . , os e´ uma sequeˆncia de operac¸o˜es
elementares sobre as linhas de A, tal que os(. . . (o1(A)) . . .) = I ∈ Mn×n(K)
e´ a matriz reduzida por linhas a` forma em escada equivalente a A.
Demonstrac¸a˜o: Quando A ∈ Mn×n(K) e´ uma matriz invert´ıvel, os sistemas
AX = ej
t, j = 1, . . . , n teˆm uma u´nica soluc¸a˜o, onde X =


x1
...
xn

. Sejam
Cj =


c1j
...
cnj

 ∈ Mn×1(K) as soluc¸o˜es desses sistemas, para j = 1, . . . , n.
Tomando C = (C1, C2, . . . , Cn), a matriz n por n cujas colunas sa˜o Cj, para
j = 1, . . . , n, temos que
AC = (AC1, AC2, . . . , ACn) = (e1
t, e2
t, . . . , en
t) = I.
Lembre que . . .
a matriz reduzida por linhas
a` forma em escada
equivalente a A e´ u´nica, mas
a sequeˆncia de operac¸o˜es
elementares sobre as linhas
de A na˜o e´ u´nica.
A matriz C e´ a inversa de A. Nesse caso, a matriz reduzida por linhas
a` forma em escada equivalente a A e´ a matriz identidade I, n por n.
Seja o1, . . . , os uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares sobre as linhas
de A tal que os(. . . (o1(A)) . . .) = I ∈ Mn×n(K). Sejam Ej = oj(I), j =
1, . . . , s, as correspondentes matrizes elementares. Enta˜o, pelo Corola´rio 12,
temos
I = os(. . . o1(A) . . .) = Es · · ·E1A.
Logo, A−1 = Es · · ·E1. �
Observac¸a˜o: O Corola´rio anterior da´ uma nova justificativa para o seguinte
algoritmo bem conhecido para o ca´lculo de A−1, onde A ∈ Mn×n(K):
(1) Construa a matriz (A|I) ∈ Mn×2n(K), chamada matriz aumentada.
(2) Seja o1, . . . , os uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares, tal que
I = os(. . . (o1(A)) . . .).
(3) Determine os(. . . (o1(A|I)) . . .) = (I|C).
(4) Fac¸a A−1 = C.
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A´lgebra Linear II
Determinante do produto e matrizes elementares
Portanto, reduzimos por linhas a matriz aumentada, de modo a obter
a` esquerda a matriz identidade e a` direita temos a matriz A−1.
Finalizamos com uma aplicac¸a˜o aos determinantes do conceito de ma-
trizes elementares.
Proposic¸a˜o 10
Se A, B ∈ Mn×n(K), onde K e´ um corpo, enta˜o det(AB) = det(A)det(B).
Demonstrac¸a˜o: Primeiramente, suponhamos que A seja uma matriz invert´ı-
vel. Enta˜o, existe uma sequeˆncia de s operac¸o˜es elementares o1, . . . , os sobre
as linhas de A tal que os(. . . (o1(A) . . .) = I. Sejam E1, . . . , Es matrizes e-
lementares definidas por Ej = oj(I), para j = 1,. . . , s. Pelo Corola´rio 12,
Es · · ·E1A = I. Logo, A = E1−1 · · ·Es−1. Pelo Corola´rio 14, Fj = Ej−1, para
j = 1, . . . , s, tambe´m e´ matriz elementar. Logo,
A = F1 · · · Fs (⋆)
e
det(A) = det(F1 · · · Fs) = det(F1) · · ·det(Fs), (⋆⋆)
onde a u´ltima igualdade segue do Corola´rio 13.
Assim,
det(AB)
(1)
= det((F1 · · · Fs)B)
(2)
= det(F1 · · · FsB)
(3)
= det(F1) · · ·det(Fs) · det(B)
(4)
= det(F1 · · · Fs) det(B)
(5)
= det(A) det(B).
Em (1) usamos (⋆); em (2),
a associatividade da
multiplicac¸a˜o de matrizes;
em (3), Corola´rio 13; em (4)
e (5), (⋆⋆).
Suponhamos agora que A na˜o seja invert´ıvel. Nesse caso, det(A) = 0 e A
na˜o e´ equivalente por linhas a` matriz I. Logo, existe uma sequeˆncia de s
operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A, o1, . . . , os, tal que a matriz R,
reduzida por linhas a` forma em escada equivalente a A, tem pelo menos uma
linha nula. Logo, det(R) = 0. Seja Ej = oj(I), para j = 1,. . . , s. Enta˜o,
pelo Corola´rio 12, R = Es · · ·E1A tem pelo menos uma linha nula. Assim, a
matriz RB tem pelo menos uma linha nula e
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de R; em (2), a
associatividade da
multiplicac¸a˜o de matrizes;
em (3), o Corola´rio 13.
0 = det(RB)
(1)
= det((Es · · ·E1A)B)
(2)
= det((Es · · ·E1)(AB))
(3)
= det(Es) · · ·det(E1) det(AB).
M.L.T.Villela
UFF 38
Determinante do produto e matrizes elementares
PARTE 1 - SEC¸A˜O 2
Pelos Corola´rios 13 e 11, temos que det(Es · · ·E1) = det(Es) · · ·det(E1) =
c 6= 0. Logo, 0 = det(RB) = c det(AB), com c 6= 0. Portanto, det(AB) =
c−1 · 0 = 0 = det(A) · det(B). �
Exerc´ıcios
1. Dada A =


2 1 −3
0 2 1
5 1 3

 ∈ M3×3(R), calcule adj(A), det(A) e A−1.
2. Mostre que adj(A) · A = det(A)I, para qualquer A ∈ Mn×n(K), onde
K e´ um corpo.
3. Seja A ∈ Mn×n(R) tal que At = A−1. Mostre que det(A) = ±1.
4. Seja A ∈ Mn×n(C). Definimos B = A ∈ Mn×n(C) por bij = aij. Se z = a+bi∈ C, enta˜o
z = a−bi.
(a) Mostre que det(A) = det(A).
(b) Mostre que se A
t
= A−1, enta˜o | det(A)| = 1. Se z = a+bi∈ C, enta˜o
| z |=
√
z · z =
√
a2 +b2 .
5. Sejam A, B ∈ M3×3(R) tais que det(A) = −4 e det(B) = 3
√
2. Deter-
mine det(A5 · B6).
6. Seja A ∈ M2×2(R) tal que det(3A3) = −72. Calcule det(2A2).
7. Seja A ∈ Mn×n(K), onde K = Q ou K = R ou K = C.
(a) Mostre que det(Am) = (det(A))m, para todo natural m ≥ 1.
(b) Seja A invert´ıvel. Mostre que det(Am) = (det(A))m, para todo
inteiro m.
8. Sejam A1, . . . , Am ∈ Mn×n(K), onde K = Q ou K = R ou K = C.
Mostre que det(A1 · . . . · Am) = det(A1) · . . . · det(Am), para todo
natural m ≥ 1.
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39 UFF
A´lgebra Linear II
Determinante do produto e matrizes elementares
M.L.T.Villela
UFF 40
Regra de Cramer
PARTE 1 - SEC¸A˜O 3
Regra de Cramer
Um sistema linear de n equac¸o˜es a n inco´gnitas com coeficientes em um
corpo K, cuja matriz associada A tem determinante na˜o nulo, admite uma
u´nica soluc¸a˜o. Vamos expressar a u´nica soluc¸a˜o em termos do determinante
da matriz A, conhecida como a Regra de Cramer.
Consideremos o sistema linear com coeficientes em um corpo K,

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn ,
onde aij ∈ K, para 1 ≤ i, j ≤ n.
Seja A = (aij) ∈ Mn×n(K) a matriz associada ao sistema linear.
Pela Proposic¸a˜o 6 item (b), a multiplicac¸a˜o da k-e´sima coluna de A
pelo escalar xk ∈ K multiplica o seu determinante por xk. Logo,
xkdet(A) = det


a11 a12 · · · a1kxk · · · a1n
a21 a22 · · · a2kxk · · · a2n
...
... · · · ... · · · ...
an1 an2 · · · ankxk · · · ann


Pelo Corola´rio 7, a adic¸a˜o de xi vezes a i-e´sima coluna a` k-e´sima coluna
se i 6= k, na˜o altera o determinante. Fazemos, sucessivamente, essas adic¸o˜es
para i = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n, obtendo que
xkdet(A) = det


a11 a12 · · · a11x1 + · · · + a1nxn · · · a1n
a21 a22 · · · a21x1 + · · · + a2nxn · · · a2n
...
... · · · ... · · · ...
an1 an2 · · · an1x1 + · · · + annxn︸ ︷︷ ︸
k−e´sima coluna
· · · ann


= det


a11 a12 · · · b1 · · · a1n
a21 a22 · · · b2 · · · a2n
...
... · · · ... · · · ...
an1 an2 · · · bn︸︷︷︸
k−e´sima coluna
· · · ann


Logo,
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41 UFF
A´lgebra Linear II
Regra de Cramer
xk =
det
(
A1 · · ·B · · ·An)
det(A)
,
onde Aj e´ a j-e´sima coluna de A , B =


b1
...
bn

 e (A1 · · ·B · · ·An) e´ a matriz
obtida de A substituindo a k-e´sima coluna por B. �
Exemplo 16
Consideremos o sistema linear com coeficientes reais

−x + 2y + 3z = 1
y + z = 2
2x + y = 3
A matriz associada ao sistema e´ A =

 −1 2 30 1 1
2 1 0

 e B =

 12
3

. Temos
det(A) = −1 det
(
1 1
1 0
)
+ 2 det
(
2 3
1 1
)
= −1 · (−1) + 2 · (2 − 3) = −1.
det(BA2A3) = det

 1 2 32 1 1
3 1 0

 = 3 det
(
2 1
3 1
)
− det
(
1 2
3 1
)
= 2,
det(A1BA3) = det


−1 1 3
0 2 1
2 3 0

 = −1det
(
2 1
3 0
)
+ 2det
(
1 3
2 1
)
= −7,
det(A1A2B) = det


−1 2 1
0 1 2
2 1 3

 = −1det
(
1 2
1 3
)
+ 2det
(
2 1
1 2
)
= 5.
Logo, x = −2, y = 7 e z = −5.
Exerc´ıcios
1. Resolva os sistemas com coeficientes reais, usando a Regra de Cramer:
(a)
{
2x + 3y = 1
x + 4y = −2
(b)
{
ax − 2by = c
3ax − 5by = 2c
, com a · b 6= 0
M.L.T.Villela
UFF 42
Regra de Cramer
PARTE 1 - SEC¸A˜O 3
(c)


2x + y = 1
x + 2y + z = 0
y + 2z = 0
(d)


x − 2y + z = 1
2x + y = 3
y − 5z = 4
(e)


2x + 3y − z = 1
3x + 5y + 2z = 8
−x + 2y + 3z = 1
(f)


5x + 2y − 3z + 9w = 0
−3y+ 9z − 1
3
w = 0
−2z + w = 0
w = 1
(g)


x + y + z = 6
2x − 2y − 2z = −8
3x − y + z = 4
(h)


x + y − z = 4
2x + y + 2z = 10
3x − y − 2z = 5
(i)


x + 2y + z = 4
2x − y = 1
x + 3z = 4
(j)


x + 2y = 6
y − z = 0
2x + y − z = 4
2. Sejam A ∈ Mn×n(K), tal que det(A) 6= 0, B =


b1
...
bn

 ∈ Mn×1(K),
X =


x1
...
xn

 matriz das inco´gnitas e consideremos o sistema AX = B.
Com o roteiro a seguir, deˆ uma nova demonstrac¸a˜o da Regra de Cramer.
(a) Usando que adj(A) ·A = det(A)I, mostre que det(A)X = adj(A) ·B.
(b) Mostre que (adj(A) · B)k1 = det(A1, . . . , B, . . . , An), para todo
k = 1, . . . , n, onde (A1, . . . , B, . . . , An) e´ a matriz de ordem n
com todas as colunas iguais a`s de A, exceto a k-e´sima coluna que
e´ B.
(c) Usando o item (a) e a igualdade de matrizes, conclua que
xk =
det(A1,...,B,...,An)
det(A)
.
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43 UFF
A´lgebra Linear II
Regra de Cramer
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