196_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

Fixado λ ∈ ℝ, considere o conjunto Gλ das matrizes 2 × 2 da forma:
u =
a11 a12
a21 λ
onde aij ∈ ℝ para todo i,j = 1,2.
Dados u = , v = e α є ℝ
a11 a12
a21 λ
b11 b12
b21 λ , definimos a soma e a multiplicação por 
escalar em Gλ, como:
u + v = αu = 
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 λ
αa11 αa12
αa21 λ
Assim, verificamos as seguintes condições.
i. u + v é uma matriz 2 × 2, e cada entrada de u + v é um número real com o elemento 
da posição (2,2) valendo λ, logo u + v ∈ Gλ.
ii. αu é uma matriz 2 × 2, e cada entrada de αu é um número real com o elemento 
da posição (2,2) valendo λ, logo αu ∈ Gλ.
A seguir, verificamos se essas operações satisfazem os axiomas.
Dados u = , v = , w = є Gλ e α, β є ℝ
a11 a12
a21 λ
b11 b12
b21 λ
c11 c12
c21 λ
a) u + v = = = v + u;
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 λ
b11 + a11 b12 + a12
b21 + a21 λ
b) (u + v) + w = + =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 λ
a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12
a21 + b21 + c21 λ
c11 c12
c21 λ
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 λ
a11 a12
a21 λ= + = u + (v + w)
(αβ)u = = = α(βu)
(αβ)a11 (αβ)a12
(αβ)a21 λ
α(βa11) α(β)a12)
α(βa21) λ
c) Tomando 0 = 0 0
0 λ , então, para todo v ∈ E:
0 0
0 λ
0 + v = + = = v;
b11 b12
b21 λ
b11 b12
b21 λ
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas10
d) Para cada u ∈ E tomando –u = (–1)u =
–a11 –a12
–a21 λ , temos:
u + (–u) = + = ;
a11 a12
a21 λ
–a11 –a12
–a21 λ
0 0
0 λ
e) 
(α + β)u = (α + β) = =
a11 a12
a21 λ
(α + β)a11 (α + β)a12
(α + β)a21 λ
αa11 + βa11 αa12 + βa12
αa21 + βa21 λ
= αu + βu
 
e
α(u + v) = = + = αu + αv; 
α(a11 + b11) α(a12 + b12)
α(a21 + b21) λ
αa11 αa12
αa21 λ
αb11 αb12
αb21 λ
f) Para todo u ∈ E, temos que:
u + (–u) = + = ;
a11 a12
a11 λ
–a11 –a12
–a11 λ
0 0
0 λ
Portanto, Gλ é espaço vetorial.
O paralelo que precisamos fazer entre os dois exemplos anteriores é: Gλ 
é um subconjunto de F , mas F e Gλ são espaços vetoriais com operações 
distintas e incompatíveis, se λ ≠ 0. De forma mais precisa, se compararmos 
a soma de u, v ∈ Gλ pela soma definida em F com a soma definida em Gλ:
Podemos reparar que, se λ ≠ 0, então (u + v)F ≠ (u + v)G. Isso significa 
que, dado um conjunto, existem diferentes maneiras de definirmos as suas 
operações, a fim de obtermos um espaço vetorial. O próximo exemplo mostra 
que nem toda operação define um espaço vetorial.
11Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas
Considere o conjunto H das matrizes 2 × 2 da forma:
u =
a11 a12
a21 a22
onde aij ∈ ℝ para todo i,j = 1,2.
Dados u = , v = e α є ℝ
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
 definimos a soma e a multiplicação por 
escalar em H, como:
u + v =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
αu =
αa11 αa12
αa21 αa22
2 2 2 2
2 2 2 2
Dessa forma, as condições (i) e (ii) funcionam igual aos demais exemplos, assim como 
a condição (a). Contudo, a condição (b) não é verificada, pois:
(u + v) + w = + =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
c11 c12
c21 c22
(a11 + b11) + c11 (a12 + b12) + c12
(a21 + b21) + C21 (a22 + b22) + c22
2 2 2 2 22 22 2
2 2 2 22 22 2
2 2 2
2 2 2 2
Enquanto que:
u + (v + w) = + =
a11 a12
a21 a22
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 b22 + c22
2
2 2 2 2
2 2 2 a11 + (b11 + c11) a12 + (b12 + c12)
a21 + (b21 + c21) a22 + (b22 + c22)
2 22 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
Logo, com as operações definidas anteriormente, H não é espaço vetorial. É impor-
tante ressaltar, também, a necessidade de verificarmos todas as condições e proprie-
dades da definição, a fim de concluirmos se o conjunto e as operações definem um 
espaço vetorial.
Exemplos de espaços vetoriais
Antes de prosseguir, vamos a outros exemplos de espaços vetoriais que não 
foram mencionados neste capítulo, mas que são comuns nas aplicações.
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas12