lista6

Prévia do material em texto

A´lgebra Linear II.
Lista de exerc´ıcios 6. Espac¸os com produto interno. Ortogonalidade.
Exerc´ıcio 1 Em R3, com o produto interno usual, calcular 〈u, v〉 nos seguintes
casos
1. u = ( 12 , 2, 1) e v = (4, 1,−3);
2. u = (2, 1, 0) e v = (4, 0, 2);
3. u = (1, 1, 1) e v = (2,−1, 5).
Exerc´ıcio 2 Em R2 com o produto interno usual. Sendo u = (1, 2) e v =
(−1, 1) determine um vetor w tal que 〈u,w〉 = −1 e 〈v, w〉 = 3.
Exerc´ıcio 3 Em Rn, determinar 〈u, v〉, se ||v|| = 1 ||u|| = 1, ||u− v|| = 2.
Exerc´ıcio 4 Achar o aˆngulo entre os seguites pares de vetores de R3.
1. u = (1, 1, 1) e v = ( 12 ,−1, 12 );
2. u = (1,−1, 0) e v = (2,−1, 2).
Exerc´ıcio 5 Sejam u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 2) vetores de R3. Determine os
vetores w ∈ R3 tais que ||w|| = 1 e 〈v, w〉 = 〈u,w〉 = 0.
Exerc´ıcio 6 Sejam u, v ∈ Rn, e a = 〈u,v〉||v||2 . Mostre que u− av e´ ortogonal a v.
Exerc´ıcio 7 Determine a ∈ R a fim de que sejam ortogonais os vetores u =
(1, a+ 1, a) e v = (a− 1, a, a+ 1). O mesmo para u = (a+ 1, 2) e v = (−1, 4).
Exerc´ıcio 8 Prove que se u, v ∈ Rn e ||u + v|| = ||u − v||, enta˜o u e v sa˜o
ortogonais.
Exerc´ıcio 9 Use o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base {(1, 1, 1), (1,−1, 1), (−1, 0, 1)}
de R3.
Exerc´ıcio 10 Se V ⊂ R4 e´ o espac¸o gerado por (1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0), encontre
uma base ortogonal de V ⊥.
Exerc´ıcio 11 Seja W := {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y = 0}, encontre uma base
ortonormal de W e de W⊥.
Exerc´ıcio 12 1. Determine a projec¸a˜o ortogonal de (1, 1) sobre [(1, 3)] ⊂
R2. Fac¸a um disenho.
2. Determine a projec¸a˜o ortogonal de (1, 1, 1, 1) sobre W = [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)] ⊂
R4.
Exerc´ıcio 13 Se V,U sa˜o um subespac¸os vetoriais de Rn. Prove que
1. (V ⊥)⊥ = V .
1
2. Se V ⊂ U , enta˜o U⊥ ⊂ V ⊥.
3. (V + U)⊥ = V ⊥ ∩ U⊥.
4. (V ∩ U)⊥ = V ⊥ + U⊥.
Exerc´ıcio 14 Resolva os exerc´ıcios de 1 ate 34 da pagina 113 das notas da
Prof. Maria Lucia.
2