letras com rascunhos RW

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22. Qual é a forma polar de \( z = -1 - i \)? 
 a) \( \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
 b) \( \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 c) \( 1 e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 d) \( 2 e^{i\frac{7\pi}{4}} \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
 **Explicação:** A magnitude é \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \frac{5\pi}{4} \). 
 
23. Encontre as raízes da equação \( z^2 + 1 = 0 \). 
 a) \( i \) e \( -i \) 
 b) \( 1 \) e \( -1 \) 
 c) \( 0 \) e \( 1 \) 
 d) \( 2 \) e \( -2 \) 
 **Resposta:** a) \( i \) e \( -i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^2 + 1 = 0 \) implica que \( z^2 = -1 \), resultando nas 
raízes \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
24. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( 2i \) 
 b) \( 1 + 2i - 1 \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 1 - 2i \) 
 **Resposta:** c) \( 2 + 2i \) 
 **Explicação:** Calculamos \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
 
25. Se \( z = re^{i\theta} \), qual é a forma retangular de \( z^2 \)? 
 a) \( r^2 e^{i2\theta} \) 
 b) \( r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) \) 
 c) \( r^2(\cos(2\theta) - i\sin(2\theta)) \) 
 d) \( r^2 + i\theta \) 
 **Resposta:** b) \( r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) \) 
 **Explicação:** Usamos a propriedade de potências na forma polar: \( z^2 = r^2 
e^{i2\theta} \), que se traduz na forma retangular como \( r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) 
\). 
 
26. Determine o valor de \( z \) na equação \( z^3 - 1 = 0 \). 
 a) \( 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( 1, 2, 3 \) 
 c) \( 0, 1, -1 \) 
 d) \( 1, i, -i \) 
 **Resposta:** a) \( 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Explicação:** A equação \( z^3 - 1 = 0 \) pode ser fatorada como \( (z - 1)(z^2 + z + 1) = 
0 \). As raízes da segunda parte são as raízes cúbicas da unidade, resultando nas raízes 
mencionadas. 
 
27. Se \( z = 3 + 4i \), determine \( |z|^2 \). 
 a) 25 
 b) 16 
 c) 12 
 d) 20 
 **Resposta:** a) 25 
 **Explicação:** A magnitude ao quadrado é dada por \( |z|^2 = x^2 + y^2 \), onde \( z = x 
+ yi \). Assim, \( |z|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \). 
 
28. Qual é a forma polar de \( z = -1 - i \)? 
 a) \( \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
 b) \( \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 c) \( 1 e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 d) \( 2 e^{i\frac{7\pi}{4}} \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
 **Explicação:** A magnitude é \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \frac{5\pi}{4} \). 
 
29. Resolva a equação \( z^2 + 2z + 5 = 0 \) e determine a parte real e imaginária das raízes. 
 a) Parte real: -1, Parte imaginária: ±2 
 b) Parte real: -1, Parte imaginária: ±1 
 c) Parte real: 0, Parte imaginária: ±2 
 d) Parte real: -2, Parte imaginária: ±1 
 **Resposta:** a) Parte real: -1, Parte imaginária: ±2 
 **Explicação:** Aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante \( b^2 - 4ac = 2^2 - 4 
\cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \). As raízes são \( z = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i \). 
 
30. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( 2i \) 
 b) \( 1 + 2i - 1 \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 1 - 2i \) 
 **Resposta:** a) \( 2i \) 
 **Explicação:** Calculamos \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
 
31. Se \( z = re^{i\theta} \), qual é a forma retangular de \( z^2 \)? 
 a) \( r^2 e^{i2\theta} \) 
 b) \( r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) \) 
 c) \( r^2(\cos(2\theta) - i\sin(2\theta)) \) 
 d) \( r^2 + i\theta \) 
 **Resposta:** b) \( r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) \) 
 **Explicação:** Usamos a propriedade de potências na forma polar: \( z^2 = r^2 
e^{i2\theta} \), que se traduz na forma retangular como \( r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)) 
\). 
 
32. Determine o valor de \( z \) na equação \( z^3 - 1 = 0 \). 
 a) \( 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( 1, 2, 3 \) 
 c) \( 0, 1, -1 \) 
 d) \( 1, i, -i \) 
 **Resposta:** a) \( 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \)