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u = x, \quad dv = e^{2x} dx \implies du = dx, \quad v = \frac{1}{2} e^{2x} 
 \] 
 Portanto: 
 \[ 
 \int_0^1 x e^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2} x e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x} \, 
dx = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{4}(e^2 - 1) = \frac{1}{4}(e^2 - 1) 
 \] 
 
15. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\)?** 
 - A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
 - B) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
 - C) \(\frac{2}{1 + x^4}\) 
 - D) \(\frac{2}{1 + x^2}\) 
 
 **Resposta correta: A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4} 
 \] 
 
16. **Qual é o valor da integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - B) \(\frac{\pi}{6}\) 
 - C) \(\frac{\pi}{3}\) 
 - D) \(\frac{\pi}{2}\) 
 
 **Resposta correta: A) \(\frac{\pi}{4}\)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\): 
 \[ 
 \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x 
+ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} 
 \] 
 
17. **Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y - x\)?** 
 - A) \(y = Ce^x + x + 1\) 
 - B) \(y = Ce^{-x} + x + 1\) 
 - C) \(y = C + x + 1\) 
 - D) \(y = Ce^{-x} - x\) 
 
 **Resposta correta: A) \(y = Ce^x + x + 1\)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral pode ser encontrada usando o fator integrante: 
 \[ 
 \mu(x) = e^{-x} \implies \frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x}(y - x) 
 \] 
 Integrando, obtemos a solução \(y = Ce^x + x + 1\). 
 
18. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \(\infty\) 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta correta: B) 1** 
 **Explicação:** Esse é um limite fundamental que pode ser demonstrado usando a 
regra de L'Hôpital ou a série de Taylor para \(\tan(x)\): 
 \[ 
 \tan(x) \sim x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \implies \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 
 \] 
 
19. **Qual é a integral \(\int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) 3 
 
 **Resposta correta: B) 1** 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = \left[ x^3 - 2x^2 + x \right]_1^2 = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 1 
 \] 
 
20. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\)?** 
 - A) \(2x e^{x^2}\) 
 - B) \(e^{2x}\) 
 - C) \(x e^{x^2}\) 
 - D) \(e^{x^2}\) 
 
 **Resposta correta: A) \(2x e^{x^2}\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} 
 \] 
 
21. **Qual é a integral \(\int_0^1 (1 - x^3) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{4}\) 
 - B) \(\frac{1}{3}\) 
 - C) \(\frac{1}{2}\) 
 - D) \(\frac{3}{4}\) 
 
 **Resposta correta: C) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^3) \, dx = [x - \frac{x^4}{4}]_0^1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} 
 \]