UE matematica com amor

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22. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 - 4x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) \(\frac{5}{3}\) 
 - C) \(\frac{3}{5}\) 
 - D) 1 
 
 **Resposta correta: B) \(\frac{5}{3}\)** 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e denominador pelo maior grau de \(x\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{3 - \frac{4}{x^2}} = \frac{5}{3} 
 \] 
 
23. **Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 3y\)?** 
 - A) \(y = Ce^3x\) 
 - B) \(y = Ce^{3x}\) 
 - C) \(y = C + 3x\) 
 - D) \(y = C e^{-3x}\) 
 
 **Resposta correta: B) \(y = Ce^{3x}\)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear separável. A solução geral é dada 
por: 
 \[ 
 y = Ce^{3x} 
 \] 
 
24. **Qual é a integral \(\int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{3}{8}\) 
 - B) \(\frac{2}{3}\) 
 - C) \(\frac{1}{4}\) 
 - D) \(\frac{1}{2}\) 
 
 **Resposta correta: A) \(\frac{3}{8}\)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))\): 
 \[ 
 \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx - \int_0^{\pi/2} \sin(x) \cos^2(x) \, 
dx 
 \] 
 A primeira parte é \(\frac{1}{2}\) e a segunda parte pode ser resolvida usando a 
substituição \(u = \cos(x)\). 
 
25. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \(-\frac{1}{6}\) 
 - D) \(\frac{1}{6}\) 
 
 **Resposta correta: D) \(\frac{1}{6}\)** 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x \right]_0^1 = 
\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{2}{3} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = -\frac{1}{6} 
 \] 
 
26. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 - A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 - B) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 - C) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 - D) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 
 **Resposta correta: A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} 
 \] 
 
27. **Qual é a solução da equação \(\frac{dy}{dx} = y^2\)?** 
 - A) \(y = \frac{1}{x + C}\) 
 - B) \(y = Ce^x\) 
 - C) \(y = C e^{-x}\) 
 - D) \(y = C + x\) 
 
 **Resposta correta: A) \(y = \frac{1}{x + C}\)** 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos: 
 \[ 
 \frac{dy}{y^2} = dx 
 \] 
 Integrando ambos os lados: 
 \[ 
 -\frac{1}{y} = x + C \implies y = \frac{1}{-x - C} 
 \] 
 
28. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 
 **Resposta correta: C) 2** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 
 \]