desafios do passei XLV

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Explicação: Primeiro, encontramos o conjugado \( \overline{z} = 3 - 5i \): 
 \[ 
 \overline{z}^2 = (3 - 5i)^2 = 9 - 30i - 25 = 34 - 30i. 
 \] 
 
35. Se \( z \) é um número complexo tal que \( |z| = 1 \), qual é a condição possível para \( z 
\)? 
 a) \( z \) é real 
 b) \( z \) está localizado na linha real 
 c) \( z \) representa um número imaginário 
 d) \( z \) está localizado no círculo unitário 
 Resposta: d) \( z \) está localizado no círculo unitário 
 Explicação: Um número complexo com módulo \( |z| = 1 \) representa todos os pontos 
que estão a uma unidade de distância do ponto de origem no plano complexo. 
 
36. O que você obteria se calcular \( (2 + 3i) - (5 - i) \)? 
 a) \( 2 - i \) 
 b) \( -3 + 4i \) 
 c) \( -3 + 4i \) 
 d) \( -3 - 2i \) 
 Resposta: c) \( -3 + 4i \) 
 Explicação: A operação resulta em \( (2 + 3i) - (5 - i) = 2 - 5 + (3 + 1)i = -3 + 4i \). 
 
37. Qual é o conjugado do número complexo \( z = 1 - \sqrt{2}i \)? 
 a) \( 1 + \sqrt{2}i \) 
 b) \( -1 + \sqrt{2}i \) 
 c) \( 1 - \sqrt{2}i \) 
 d) \( 1 - 2i \) 
 Resposta: a) \( 1 + \sqrt{2}i \) 
 Explicação: O conjugado de um número complexo \( a + bi \) é \( a - bi \). Então, \( 
\overline{z} = 1 + \sqrt{2}i \). 
 
38. Se \( z_1 = 2 + 2i \) e \( z_2 = 2 - 2i \), qual é o produto \( z_1z_2 \)? 
 a) \( 8 \) 
 b) \( 2i \) 
 c) \( 8 - 8i^2 \) 
 d) \( 8 \) 
 Resposta: a) \( 8 \) 
 Explicação: Temos: 
 \[ 
 z_1z_2 = (2 + 2i)(2 - 2i) = 4 - (2i)^2 = 4 + 4 = 8. 
 \] 
 
39. Qual é a raiz quadrada de \( 16 - 16i \)? 
 a) \( 4 + 4i \) 
 b) \( 4 - 4i \) 
 c) \( \pm (2 + 2i) \) 
 d) \( \pm (4 + 4i) \) 
 Resposta: c) \( \pm (2 + 2i) \) 
 Explicação: Usamos a fórmula \( \sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i\theta/2} \) onde \( r = 16, θ = -
\frac{\pi}{4} \), resultando em \( 4 e^{-\frac{\pi}{8}} \). 
 
40. Qual é o resultado da soma \( z_1 + z_2 \) se \( z_1 = -4 + 3i \) e \( z_2 = 4 + 3i \)? 
 a) \( 0 + 6i \) 
 b) \( -8 + 6i \) 
 c) \( 0 + 0i \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: c) \( 0 + 0i \) 
 Explicação: A soma é dada por: 
 \[ 
 z_1 + z_2 = (-4 + 3i) + (4 + 3i) = (0) + (6i) = 0 + 6i. 
 \] 
 
41. Qual é a forma escrita dos números complexos \( z_1 \) e \( z_2 \) com \( z_1 = 1 + i \) e 
\( z_2 = 1 - i \) ao serem multiplicados? 
 a) \( 1 + 1 \) 
 b) \( 2 + 0i \) 
 c) \( 2i \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: b) \( 2 + 0i \) 
 Explicação: O produto é: 
 \[ 
 z_1z_2 = (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 + 0i. 
 \] 
 
42. Se as raízes da equação \( z^2 + 5z + 6 = 0 \) são \( z_1 \) e \( z_2 \), qual é o produto \( 
z_1z_2 \)? 
 a) \( 6 \) 
 b) \( -6 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -5 \) 
 Resposta: a) \( 6 \) 
 Explicação: O produto das raízes é dado por \( c/a \). Aqui, \( c = 6, a = 1 \): 
 \[ 
 z_1z_2 = c/a = 6/1 = 6. 
 \] 
 
43. Qual é o valor de \( (2 + 3i)(2 - 3i) \)? 
 a) \( 13 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: a) \( 13 \) 
 Explicação: O cálculo implica: 
 \[