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SINAIS E SISTEMAS A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do Estado do Espírito Santo, com unidades presenciais em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória, e com a Educação a Distância presente em todo estado do Espírito Santo, e com polos distribuídos por todo o país. Desde 1999 atua no mercado capixaba, destacando-se pela oferta de cursos de graduação, técnico, pós-graduação e extensão, com qualidade nas quatro áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sempre primando pela qualidade de seu ensino e pela formação de profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho. Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de Instituições de Ensino Superior que possuem conceito de excelência junto ao Ministério da Educação (MEC). Das 2109 instituições avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram notas 4 e 5, que são consideradas conceitos de excelência em ensino. Estes resultados acadêmicos colocam todas as unidades da Multivix entre as melhores do Estado do Espírito Santo e entre as 50 melhores do país. MISSÃO Formar profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho, com elevado padrão de quali- dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança e modernidade, visando à satisfação dos clientes e colaboradores. VISÃO Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida nacionalmente como referência em qualidade educacional. R E I TO R GRUPO MULTIVIX R E I 2 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 3 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte) Sergio Ricardo Master Penedo Sinais e sistemas / RICARDO MASTER PENEDO, SERGIO - Multivix, 2023 Catalogação: Biblioteca Central Multivix 2023 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. 4 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 LISTA DE QUADROS UNIDADE 3 Contribuições à convolução de sinais 67 UNIDADE 5 Estabilidade e Causalidade 123 UNIDADE 6 Diferenças entre filtros analógicos e digitais 146 5 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 LISTA DE FIGURAS UNIDADE 1 Jean-Baptiste Fourier (1768-1830) 13 Sistema entrada-saída, gerado pela aplicação de uma força F a um corpo de massa m, gerando uma aceleração a 14 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727) 14 Representação de um sinal no domínio do tempo 16 Sistema 17 Michael Faraday (1791-1867) e John Frederic Daniell (1790-1845) 18 Categorização de sinais estacionários 19 Representação de um sinal contínuo 20 Representação de um sinal no tempo discreto 21 Representação de um sinal determinístico 21 Representação de um sinal aleatório 22 Invariância no tempo para sistemas discretos 24 Linearidade para sistemas discretos. 25 Representação de um sinal contínuo: existência para todo t 27 Representação de um sinal discreto: existência para alguns t 28 Sinal deslocado 31 Sinal Escalonado 32 Sinal discreto invertido 33 UNIDADE 2 Leonhard Euler (1707-1783) 39 Diagrama de blocos de um sistema 40 Zenão de Cítio (333 a.C.-263 a.C.) 41 Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (1736-1813) e Henri Poincaré (1854-1912) 42 Utilização de equações diferenciais para a modelagem de sistemas 43 Sistema massa-mola 44 6 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Função impulso 45 Função degrau 46 Análise de estabilidade 49 Sinal discreto 51 Exemplo de um sinal discreto gerado por recorrência 53 Função impulso no tempo discreto 56 Função degrau no tempo discreto 57 UNIDADE 3 Equipamento de áudio 64 Norbert Wiener (1894-1964) 66 Definição de convolução 68 Convolução entre dois sinais 69 Propriedades da convolução 71 Representação de edição de imagem 73 Ondas sonoras 76 Sistemas de comunicação 78 Resposta de um sistema a uma entrada arbitrária 79 Teorema da Convolução 82 Resposta de um sistema nos domínios temporal e da frequência 83 UNIDADE 4 Processamento de sinais biomédicos 89 Joseph Fourier (1768-1830) 91 Sinais analógicos 92 Relação entre sinais no tempo e na frequência. 93 Exemplo de aplicação da transformada de Fourier 94 Cálculos 96 Associação entre o teorema da convolução e a transformada de Fourier 97 Resposta em frequência 100 Diagrama de Bode 101 7 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Frequência 103 Amplificando frequências 105 Controles de frequência 106 UNIDADE 5 Processamento de sinais digitais e telecomunicações 113 Frequência de comunicação 114 Amplitude do sinal 116 Círculo unitário 116 Comportamento espectral de sistemas 118 Circuitos de computador 120 Análise das exigências do sistema 122 Etapas de análise 124 Softwares especializados em engenharia 125 Software 126 UNIDADE 6 Filtro de sinais 132 Tipos de filtro 133 Sinais em telecomunicações 134 Passagem de frequências 135 Torres de sistemas de comunicação 139 Comunicação 141 Processamento de sinais digitais 142 Painel de controle de áudio 144 Processamentos de sinais 147 Ondas sonoras 148 8 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 1UNIDADE 2UNIDADE 3UNIDADE 4UNIDADE 5UNIDADE 6UNIDADE SUMÁRIO APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 10 1 TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS 12 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 12 1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS 12 1.2 ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO 26 2 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS E DISCRETOS 38 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 38 2.1 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS 38 2.2 SISTEMAS LIT DISCRETOS 51 3 CONVOLUÇÃO 63 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 63 3.1 CONCEITO DE CONVOLUÇÃO 64 3.2 APLICAÇÕES DA CONVOLUÇÃO 77 4 ESPECTRO DE SINAIS E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 88 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 88 4.1 TRANSFORMADA DE FOURIER (TF) 89 4.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE SISTEMAS LIT 99 5 ESTRUTURAS COMPUTACIONAIS PARA SISTEMAS DISCRETOS 111 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 111 5.1 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E A TRANSFORMADA Z (TZ) 112 5.2 IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS 119 6 TEORIA DE FILTROS 131 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 131 6.1 FUNDAMENTOS DE FILTROS 132 6.2 PROJETO DE FILTROS EM SISTEMAS LIT DISCRETOS 141 REFERÊNCIAS 152 9 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 ATENÇÃO PARA SABER SAIBA MAIS ONDE PESQUISAR DICAS LEITURA COMPLEMENTAR GLOSSÁRIO ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM CURIOSIDADES QUESTÕES ÁUDIOSMÍDIAS INTEGRADAS ANOTAÇÕES EXEMPLOS CITAÇÕES DOWNLOADS ICONOGRAFIA 10 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Boas-vindas à disciplina Sinais e Sistemas! Nosso objetivo principal é fornecer a você uma compreensão aprofundada e habilidades práticas na análise e manipulação de sinais e sistemas, bem como na interação entre esses ele- mentos. Você será capaz de dominar os fundamentos de sinais e sistemas, compre- endendo e operando efetivamente com suas características e propriedades. Esperamos que, ao final desta disciplina, você possa: • Compreender a definição formal de sinais e sistemas. • Representar adequadamente sinais no domínio do tempo. • Realizar as operações básicas sobre sinais: amplificação, deslocamento, escalonamento e inversão. • Aprender os conceitos de causalidade, linearidade e invariância no tempo, tanto para sistemas contínuos como para sistemasdiscretos. • Realizar a convolução de sinais contínuos e obter sua transformada de Fourier. • Realizar a convolução de sinais discretos e calcular sua transformada Z. • Projetar filtros para sinais discretos. Esperamos trazer a você uma experiência única, desejando desde já bons estudos! UNIDADE 1 OBJETIVO Ao final desta unidade, esperamos que possa: 11 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS > Compreender a definição formal de sinais e sistemas. > Representar adequadamente sinais no domínio do tempo. 12 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 1 TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade abordará a teoria inicial de sinais e sistemas, trazendo sua defi- nição e classificação, abrindo caminho para o vasto campo de aplicações que essa teoria proporciona estudar. As características de continuidade, invariân- cia no tempo e linearidade serão estudadas, estabelecendo uma ligação forte entre a natureza de sinais e a natureza de sistemas. Em sequência, será introduzida a representação de sinais no domínio do tem- po contínuo e no domínio do tempo discreto. Serão descritas, além de opera- ções básicas elementares, operações específicas que agem sobre tais entida- des nesses domínios, em termos de sua amplitude, posição, escala e reflexão. Por fim, serão apresentados os chamados sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT), descrevendo-se suas propriedades mais importantes: causali- dade, linearidade e invariância no tempo. Ao fim desta unidade, você será capaz de explorar as aplicações avançadas em sinais e sistemas e terá conhecimentos sólidos para enfrentar os desafios matemáticos que surgirão ao lidar com tal universo de conhecimento, em suas mais variadas aplicações. 1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS O estudo de sinais e sistemas é considerado um ambiente de estudo clássi- co para muitas áreas da Ciência, em particular àquelas ligadas à Engenha- ria e Tecnologia. De fato, a teoria de sinais e sistemas agrupa um conjunto valioso de princípios matemáticos que recapitulam os trabalhos de mate- máticos como Fourier, Laplace e outros nomes de destaque nesse campo do conhecimento. 13 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 JEAN-BAPTISTE FOURIER (1768-1830) Fonte: ©Boilly, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - retrato de Fourier. Veste roupas formais e tem cabelos curtos. Fourier tem cabelos escuros. É fato que a teoria de sinais e sistemas tem se destacado de forma única nas últimas décadas, em particular nos segmentos voltados às áreas de pesquisa em Energia, Comunicações, Eletroeletrônica e, de um modo particular, Pro- cessamento de Sinais (voz, imagem e vídeo), com suas diversas aplicações. Nesse sentido, muito se avançou na direção de se obter facilidades para a vida moderna humana. No núcleo do campo de estudo da Teoria de Sinais e Siste- mas, concentra-se uma curiosidade científica que se baseia na necessidade de modelar o comportamento de sistemas físicos de modo preciso e asserti- vo, descrevendo com razoável segurança e propriedade as regras de causa e efeito entre as grandezas sob modelo. Um exemplo clássico a ser citado é o da Segunda Lei de Newton, em que o físico inglês Isaac Newton soube mo- delar o fenômeno da queda de corpos rígidos, a partir da definição de uma lei física direta que relacionava a força resultante aplicada a um corpo à ace- leração que este corpo desenvolvia, ou seja, vinculando ao elemento “força” uma característica de causalidade (como uma ação de “entrada”), e ao ele- mento “aceleração” uma característica de consequência (ou ação de “saída”) (Lathi, 2008). 14 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS SISTEMA ENTRADA-SAÍDA, GERADO PELA APLICAÇÃO DE UMA FORÇA F A UM CORPO DE MASSA M, GERANDO UMA ACELERAÇÃO A a F m Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sistema pela aplicação de um sinal de entrada (vetor força F) aplicado a uma esfera azul de massa m que repousa em uma superfície retilínea, gerando um sinal de saída (vetor aceleração a). Desta aceleração, outras grandezas podem ser derivadas, como a posição e a velocidade, conforme o modelo preestabelecido que foi construído a partir da relação desenhada entre força e aceleração. Em outra vertente, o estudo da teoria de sinais e sistemas também abriu por- tas ao desenvolvimento do cálculo diferencial, em que Leibniz e (novamente) Newton puderam se basear para modelar sistemas físicos na conformação de equações diferenciais, construindo relações matemáticas sólidas que associa- vam de modo implícito, variáveis de entrada e variáveis de saída (Diniz; Silva; Netto, 2014; Frank, 2008). GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) E ISAAC NEWTON (1643-1727) Fonte: ©Ekenaes; ©Yeeno, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - retratos de Leibniz, à esquerda, e Newton, à direita. Ambos têm cabelos longos, de Leibniz é preto; de Newton, branco acinzentado, têm pele clara e vestem casaco escuro. 15 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 No caso dessas equações, o interesse científico maior se fez sempre no ques- tionamento de como uma dada saída se comportaria mediante a aplicação de uma dada entrada. A descrição desse comportamento é a chave de estudo da teoria de sinais e sistemas, permitindo que qualquer fenômeno possa ser descrito por leis matemáticas bem definidas, dentro de uma margem reque- rida de quão precisas se queira representar as situações realísticas em mode- los. É o caso dos sistemas elétricos, mecânicos e químicos, em que se espera um determinado sinal de saída para um sinal de entrada conhecido, por meio do conhecimento do modelo desenhado (Higuti; Kitano, 2003; Nalon, 2013; Santana et al., 2012). Com base em tais premissas, apresentaremos nas próxi- mas seções, os conceitos de sinais e sistemas, ilustrando suas propriedades. 1.1.1 DEFINIÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS Pode-se entender sinal como sendo, matematicamente, uma função real ou complexa que pode assumir diversos valores ao longo do tempo. No caso da teoria de sinais e sistemas, o modelamento de fenômenos reais admite que todo sinal pode ser representado em função de combinações lineares de sinais senoidais ou mesmo exponenciais complexos, já que tal consideração permi- te que condições de linearidade e invariância no tempo, abordadas mais à frente nesta unidade, sejam obedecidas. A figura a seguir ilustra a representa- ção de um sinal arbitrário modelado por , cujos valores variam com o tempo. 16 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL NO DOMÍNIO DO TEMPO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal arbitrário no domínio do tempo. A curva em azul indica variações do sinal no domínio do tempo. Na Engenharia e na Computação, o conceito de sistema remete tanto a ob- jetos tangíveis – como sistemas de softwares, sistemas eletrônicos, sistemas computacionais, sistemas mecânicos – quanto a elementos abstratos – como sistemas de equações lineares ou modelos de entrada e saída ou um modelo matemático de entrada e saída (Diniz; Silva; Netto, 2014; Frank, 2008; Lathi, 2008). Em ambos os casos, a representação de sistemas por meio de um me- canismo de entrada e saída se faz importante para que fique clara a conexão entre causa e efeito, expressando com razoável precisão os fenômenos na- turais que traduzem, em sua ocorrência, a mesma relação de antecedência / consequência. Em outras palavras, um sinal de entrada excita um determi- nado sistema, que modifica tal sinal egera um sinal de saída como resposta à entrada aplicada – o que não deixa de trazer uma conexão com a condição física de ação e reação, notoriamente reportada na Mecânica Clássica. 17 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SISTEMA SISTEMA Objetos tangíveis Sistemas computacionais Sistemas eletrônicos Sistemas de software Sistemas mecânicos Sistemas de equações lineares Modelos de entrada e saída Modelo matemático de entrada e saída Elementos abstratos Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - esquema hierárquico mostrando o conceito de sistema. No topo, a palavra Sistema; no nível seguinte, Objetos tangíveis e Elementos abstratos. Abaixo de objetos tangíveis: sistemas de software; sistemas eletrônicos; sistemas computacionais; sistemas mecânicos. Abaixo de Elementos abstratos: sistemas de equações lineares; modelos de entrada e saída; modelo matemático de entrada e saída. Para fins de análise, nesta unidade, designa-se como sistema toda relação matemática entre um sinal que é injetado como entrada e um sinal que é coletado como saída, cuja representação formal é feita por meio de um mo- delo. Ou seja, a todo sistema estudado corresponde um modelo, que será tão mais simples ou mais complexo conforme se deseje tornar mais superficial ou mais complexa sua descrição. A representação de sinais teve na figura de Fourier seu maior impulso ao lon- go da história. Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matemático fran- cês, era também notório egiptólogo e administrador, tendo grande influên- cia na Física Matemática por meio de seu trabalho Théorie Analytique de La Chaleur (1822). Fourier mostrou como a condução de calor em corpos sólidos pode ser analisada em termos de séries matemáticas infinitas, que recebe- ram seu nome – Séries de Fourier (Senda et al., 2005). Extrapolando o conceito para além do tema específico de condução de calor, os estudos de Fourier estimularam bastante as pesquisas em Física e Mate- mática, que, desde então, têm sido frequentemente associadas à solução de problemas de contorno, bem como ao modelamento de ocorrências naturais, como manchas solares, marés e condições climáticas. O trabalho de Fourier também exerceu grande influência na teoria das funções de uma variável real, 18 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS que é considerado hoje um dos principais ramos da Matemática Moderna (Bonatti; Lopes; Peres, 2009; Roberts, 2010). Fourier, filho de um alfaiate, fre- quentou pela primeira vez a escola quando foi aluno da instituição militar da localidade em que morava, dirigida por monges beneditinos. Naquela oca- sião, demonstrou tamanha proficiência em matemática, ainda nos primeiros anos, e mais tarde, se tornou professor de matemática da própria instituição. Os ideais da Revolução Francesa conduziram Fourier para a carreira política, o que o fez por mais de uma vez correr risco real de perder sua vida. O mate- mático foi um dos melhores professores de seu tempo, destacando-se na co- munidade acadêmica e vindo a trabalhar, em sua carreira, em parceria com outros físicos e químicos expoentes da época, como John Frederic Daniell e Michael Faraday. MICHAEL FARADAY (1791-1867) E JOHN FREDERIC DANIELL (1790-1845) Fonte: ©Materialscientist; ©Wdwwd, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - retratos de Faraday e Daniell. Ambos vestem roupas formais e têm cabelos curtos. O retrato de Faraday é em preto e branco; o de Daniell, colorido. O cerne do trabalho de Fourier reside no fato de que o matemático sempre vislumbrou a ideia de equacionamento de problemas tomando como base a necessidade de construção de modelos bem definidos, regidos por equações sistêmicas (Stelle, 2005). 19 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A teoria de Fourier é até hoje expoente em diversas aplicações em Telecomunicações, Processamento de Sinais e Sistemas de Controle, não tendo encontrado teoria que a tivesse substituído, o que marca Fourier como um dos grandes pensadores e estudiosos de seu tempo. 1.1.2 CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS: CONTÍNUOS E DISCRETOS, DETERMINÍSTICOS E ALEATÓRIOS Segundo a teoria de sinais, é útil que se classifique tais sinais de acordo com características que melhor o definam, em termos de simetria, de distribuição no tempo e de estacionariedade. Faz- se aqui uma breve descrição de como se caracterizam, a fim de que se possam criar posteriormente conceitos e definições. CATEGORIZAÇÃO DE SINAIS ESTACIONÁRIOS Sinais periódicos Sinais quasi-periódicos Sinais estacionários Sinais determinísticos Sinais estocásticos Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - diagrama de blocos mostrando a classificação de sinais estacionários. Abaixo de Sinais estacionários, no nível seguinte, sinais determinísticos e sinais estocásticos; abaixo de sinais determinísticos, sinais periódicos e sinais quase-periódicos. 20 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Diz-se que um sinal x(t) é contínuo se é definido para todo instante t. São exemplos de sinais contínuos: A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário contínuo. REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL CONTÍNUO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal contínuo. Por outro lado, um sinal x[n] é discreto se existe apenas para valores de n in- teiros. São exemplos de sinais discretos: A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário sinal discreto. É importante desta- car que um sinal discreto existe apenas para instantes de tempo representa- dos por números inteiros, positivos ou negativos. 21 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL NO TEMPO DISCRETO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal no tempo discreto. Já no que diz respeito à característica probabilística, pode-se conceituar um sinal como sendo determinístico ou aleatório. Um sinal é determinístico se pode ser reproduzido caso sejam aplicadas as mesmas condições utilizadas em sua geração (Lathi, 2008; Senda et al., 2005). A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário determinístico. REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL DETERMINÍSTICO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal determinístico. 22 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Já sinais aleatórios (ou estocásticos) são sinais que possuem uma variabilida- de que dificulta sua predição ou caracterização na forma analítica, sem pos- suírem traços de periodicidade (Lathi, 2008). A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário estocástico. REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL ALEATÓRIO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal aleatório ou estocástico. Sinal determinístico é um sinal que pode ser completamente descrito por uma função matemática ou equação, ou seja, cujo comportamento ao longo do tempo é completamente previsível e não aleatório. Sinal estocástico é um sinal que exibe alguma forma de aleatoriedade ou imprevisibilidade em seu comportamento ao longo do tempo. Distintamente de um sinal determinístico, cujo comportamento futuro pode ser completamente previsto com base em equações matemáticas, possui incerteza em relação aos valores futuros. 23 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 É importante destacar que a classificação de sinais em contínuos/discretos ou determinísticos/estocásticos não possui nenhuma dependência, ou seja, sinais contínuos ou discretos podem ser determinísticos ouestocásticos, sem perda de generalidade. Tome-se um exemplo numérico: De acordo com a classificação anterior, o sinal acima é classificado como contínuo, em termos de existir para todo instante de tempo, bem como se trata de um sinal determinístico, posto que pode ser reproduzido com clareza segundo uma expressão matemática. 1.1.3 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS: LINEARES, INVARIANTES NO TEMPO (LIT) E SUAS PROPRIEDADES Do mesmo modo que sinais são devidamente classificados conforme carac- terísticas bem definidas, os sistemas também recebem classificações com base nas propriedades que tais sistemas possuem. No que diz respeito à característica de invariância no tempo, define-se um sistema como invariante no tempo se, ao se aplicar um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada, provoca-se um deslocamento de tempo idêntico no sinal de saída. As características de um sistema invariante no tempo não se alteram com o tempo (Frank, 2008; Santana et al., 2012). A figura a seguir ilustra o efeito da invariância no tempo na caracterização de sistemas. 24 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS INVARIÂNCIA NO TEMPO PARA SISTEMAS DISCRETOS Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - invariância no tempo para sistemas discretos. Os sinais à esquerda dos blocos são sinais de entrada, ao passo que os sinais à direita dos blocos são sinais de saída. Invariância no tempo: propriedade que associa a rigidez de um sistema à variação de instante de aplicação de um sinal. Meios: identifica-se um sistema como invariante no tempo para permitir sua caracterização de forma assertiva, sem perda de generalidade na análise de sinais deslocados no tempo. Objetivos: com a invariância no tempo, as operações básicas realizadas sobre sinais se mantêm válidas mesmo na condição de atrasos na aplicação do sinal de entrada. No que tange à definição de linearidade, um sistema é linear se atende ao princípio da superposição, que estabelece o seguinte enunciado: Dado um sistema sujeito à aplicação de uma entrada x1(t) que implica uma saída y1(t), bem como à aplicação de uma entrada x2(t) que implica uma saída y2(t), à aplicação de uma entrada x3(t) que implica uma saída y3(t), e assim por diante para tantas quantas forem as entradas, pode-se dizer que a saída global para a totalização (soma) das entradas é igual à totalização (soma) das saídas indi- viduais (Diniz; Silva; Netto, 2014; Lathi, 2008; Nalon, 2013). 25 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Tal efeito é mais bem descrito no diagrama a seguir. LINEARIDADE PARA SISTEMAS DISCRETOS. Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - linearidade para sistemas discretos. À esquerda dos blocos, os sinais de entrada individuais; à direita, suas respectivas saídas. O bloco final contém como entrada, todas as entradas individuais somadas, sendo sua saída igual à soma das saídas individuais anteriores. Linearidade: propriedade que associa a um sistema, sua característica de responder a diferentes sinais de entrada de forma a somar em sua saída, as respostas individuais referentes a cada entrada. Meios: identifica-se um sistema como linear para permitir sua caracterização de forma assertiva, sem perda de generalidade na análise de sinais individuais. 26 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Objetivos: com a linearidade, as operações básicas realizadas sobre sinais se mantêm válidas mesmo na condição de independência de distintos sinais de entrada. 1.2 ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO Uma vez descrita a diferença entre sinais e sistemas, e apresentadas caracte- rísticas relevantes de comportamento no tempo para ambas as entidades, é preciso entender como representar sinais dentro do escopo de existência da variável tempo, já que sinais podem existir em intervalos contínuos ou discre- tos de tempo. 1.2.1 REPRESENTAÇÃO DE SINAIS CONTÍNUOS E DISCRETOS NO DOMÍNIO DO TEMPO A representação de sinais contínuos e discretos segundo a variável tem- po apresenta uma distinção relevante em aplicações de processamento de sinais e na análise de sistemas. Como já anteriormente definido, sinais contínuos são aqueles que variam de forma suave e contínua ao longo do tempo, sendo descritos assim por funções matemáticas contínuas (Diniz; Silva; Netto, 2014; Lathi, 2008; Stelle, 2005). Um exemplo clássico de sinal contínuo é uma onda senoidal, representada por uma função trigonométrica ou combinação de funções trigonométricas, como seno ou cosseno. No caso, representar sinais contínuos, envolve, então, o uso de equações matemáticas que descrevem sinais com existência em to- dos os pontos no tempo, como ilustrado na figura a seguir. 27 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL CONTÍNUO: EXISTÊNCIA PARA TODO T Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal contínuo. Por outro lado, os sinais discretos se referem a amostragens dos sinais contí- nuos em intervalos de tempo regulares, o que significa que o sinal é observa- do apenas em pontos discretos, não estando disponível em todos os instantes de tempo. Assim, a representação de sinais discretos envolve uma sequência finita ou infinita de valores (Diniz; Silva; Netto, 2014; Lathi, 2008). Exemplos de sinais discretos são os sinais de áudio digital, em que a amplitu- de do som é amostrada a uma taxa fixa, segundo uma frequência definida de amostragem. A figura a seguir ilustra o mesmo sinal da figura anterior, mas em sua versão amostrada no tempo, ou seja, discreta. 28 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL DISCRETO: EXISTÊNCIA PARA ALGUNS T Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal discreto. É importante observar que a diferença de valores na escala de tempo não significa que os vetores tempo contínuo e tempo discreto tenham de possuir mesmos limites (no caso, o sinal contínuo pode existir para uma faixa de tem- po e, ao ser amostrado, existir em valores de tempo discreto distintos). Em outras palavras, o fato de o sinal discreto existir para n = 90 não significa que sua amostra correspondente no tempo contínuo ocorra em t = 90 s. No caso, a 90ª amostra do sinal pode corresponder a qualquer valor de tempo contínuo, de acordo com o intervalo de tempo em que são registrados os va- lores do sinal (o que é definido como “período de amostragem”) – no caso das figuras, há uma amostra discreta a cada 0,1 segundo, o que indica que as 100 amostras obtidas representam, de fato, 10 segundos do sinal contínuo. A escolha entre a representação contínua ou discreta para caracterizar um sinal depende do contexto da aplicação. Sinais contínuos são úteis quando se deseja modelar fenômenos físicos de forma precisa; já sinais discretos permitem o uso eficiente de algoritmos digitais para análise e processamento de informações. 29 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Caso se deseje transportar um sinal contínuo para um sinal na forma discre- ta, como ilustrado nas figuras anteriores, coletam-se valores a intervalos de tempo fixos. O período em que tais amostras são coletadas é definido como período de amostragem (Lathi, 2008; Nalon, 2013) Período de amostragem: corresponde ao período em que as amostras de um sinal contínuo são coletadas, para formar sua versão discretizada ou discreta. Meios: o período de amostragem pode ser mensurado com base na identificação de amostras de um sinal contínuo que se repete de forma sistemática, sendomedido pela distância entre tais amostras (no caso de sinais senoidais, pela distância entre pontos de mesma fase). Objetivos: conhecendo-se o período de amostragem de um sinal discreto, pode-se, sob determinadas condições, recuperar a versão contínua desse sinal. Os processos de conversão entre sinais contínuos e discretos e vice-versa, co- nhecidos como amostragem e reconstrução, aparecem em diversas aplica- ções, sendo operações usuais em Processamento de Sinais para garantir que a informação seja representada e manipulada de forma adequada no domí- nio do tempo discreto. Para um sinal contínuo limitado em faixa (ou seja, sem “vazios” entre a fre- quência nula e seu conteúdo espectral) com máxima frequência fM , pode-se 30 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS reconstruir tal sinal com base em suas amostras se a amostragem tiver sido realizada de tal forma que a frequência de amostragem fS (inversa do período de amostragem) obedecer à seguinte condição: Tal condição é referida na literatura como “Teorema da Amostragem”, ou Teorema de Nyquist-Shannon. Para reconstruir um sinal contínuo, com base em suas amostras discretas sem perda de informação, a frequência de amostragem deve ser pelo menos igual ao dobro da frequência máxima presente no sinal contínuo (Lathi, 2008). Se a frequência de amostragem não atender a essa condição, ocorrerá um fenômeno chamado de aliasing, em que componentes de frequência do sinal original serão erroneamente interpretadas como frequências distintas das originais, resultando em distorção e perda de informação no processo de reconstrução (Lathi, 2008; Santana et al., 2012). O Teorema da Amostragem é fundamental em algumas aplicações de Processamento Digital de Sinais, como na digitalização de áudios, vídeos e imagens, garantindo que os sinais analógicos possam ser representados com precisão em sua forma digital, e com possibilidade de reconstrução sem perdas. 31 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 1.2.2 OPERAÇÕES BÁSICAS COM SINAIS: DESLOCAMENTO, ESCALONAMENTO E INVERSÃO Sinais podem ser livremente combinados como funções matemáticas ele- mentares, admitindo certas operações matemáticas usuais, como desloca- mento, escalonamento e inversão, descritos a seguir. A definição dessas fun- ções, estabelecida a sinais contínuos, também se aplica a sinais discretos, como apresentado a seguir. a. Deslocamento Para um sinal x(n), equivale a se calcular sua versão adiantada ou atrasada, ou seja, representar x(n – n0). SINAL DESLOCADO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - é ilustrado o sinal original; no gráfico inferior, o sinal deslocado de 2 amostras (atrasado no tempo discreto). Cada amostra é indicada por um círculo, com altura proporcional à amplitude. 32 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS b. Escalonamento Para um sinal x(n), equivale a se calcular sua versão amplificada ou atenuada, ou seja, representar . SINAL ESCALONADO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal escalonado. No gráfico superior, é ilustrado o sinal original; no gráfico inferior, o sinal multiplicado de 2 unidades no tempo discreto. Cada amostra é indicada por um círculo, com altura proporcional à amplitude. c. Inversão Para um sinal x(n), equivale a se calcular sua versão refletida em relação ao eixo vertical Y, ou seja, representar x(– n). 33 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAL DISCRETO INVERTIDO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - representação de um sinal deslocado. No gráfico superior, é ilustrado o sinal original; no gráfico inferior, o sinal deslocado de 2 amostras (atrasado no tempo discreto). Cada amostra é indicada por um círculo, com altura proporcional à amplitude. 1.2.3 PROPRIEDADES DE SISTEMAS LIT: LINEARIDADE, INVARIÂNCIA NO TEMPO E CAUSALIDADE Das considerações anteriores, é possível caracterizar invariância no tempo e linearidade para sinais, de modo que se utiliza a notação de SLIT para indicar a classificação de Sistema Linear Invariante no Tempo. Um sistema que seja assim classificado possui as características de ser invariante no tempo para atraso aplicado em uma entrada, bem como, quando submetido a diferentes entradas, responde de forma conjunta a cada entrada, somando as diferentes saídas individuais (Lathi, 2008; Nalon, 2013; Roberts, 2010). 34 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Sistema linear invariante no tempo – é um sistema que carrega em si ambas as propriedades: linearidade, garantindo que a saída de entradas individuais é combinada como saída única resultante da soma de tais entradas; e invariância no tempo, em que entradas deslocadas no tempo conduzirão a saídas deslocadas no tempo por igual quantidade. CONCLUSÃO Esta unidade buscou apresentar os conceitos de sinais e sistemas, caracteri- zando-os em termos de suas propriedades e condições de existência. A distin- ção apropriada entre tais conceitos permite explorar com a devida proprieda- de o tratamento matemático de fenômenos naturais, em termos de modelos que a partir desses fenômenos são definidos, com as devidas precisão numé- rica e elegância. Foram também apresentadas características de representação dessas enti- dades mediante os conceitos de tempo contínuo e tempo discreto, permi- tindo que a conformação matemática de sinais e sistemas possa se adequar à natureza da aplicação de Processamento de Sinais que seja selecionada como forma de representação. Assim, adquire-se embasamento para o estudo de representações adequa- das de sinais e sistemas nos tempos contínuo e discreto, permitindo que se- jam realizadas operações gráficas de escalonamento, deslocamento no tem- po e inversão, que são operações consideradas usuais ao se processar sinais. 35 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 • Estacionariedade: no campo da Estatística, a estacionariedade se refere a uma condição de séries temporais que indica haver, em tais séries, constância de propriedades estatísticas, ou seja, valores de média, variância e outras características da série não se alteram significativamente ao longo do tempo. • Sinal: é a representação numérica de um fenômeno ou variável física que descreve uma ação ou estado físico, de forma a tornar tal entidade tratável para operações matemáticas e/ou gráficas. • Sistema: é uma entidade composta por partes independentes e interligadas, representando as características de um modelo e respondendo a sinais de entrada, gerando como resposta sinais de saída. • Sistema invariante no tempo: sistema que responde a um sinal de entrada adiantado ou atrasado, posicionando o sinal de saída com o mesmo avanço/atraso observado na entrada. • Sistema linear: sistema que responde a um sinal de entrada combinado de vários sinais individuais como uma única saída também combinada como soma das saídas individuais. 36 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS MATERIAL COMPLEMENTAR Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a seguir: 1. Sinais e sistemas. ELE 0331 – Princípios de Comunicações. 2. Sinais e sistemas definidos sobre aritmética intervalar complexa. 3. Linearidade em Sinais e Sistemas. 4. Apostila de Sinais e Sistemas. 5. Aplicações de Processamento Digital de Sinais em Engenharia Elétrica. https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinais_e_sistemas.pdf https://www.scielo.br/j/tema/a/yDqX7r5frKFkvvLJTWfYVqk/abstract/?lang=pt#https://www.scielo.br/j/tema/a/yDqX7r5frKFkvvLJTWfYVqk/abstract/?lang=pt# https://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/EA616/Ivanil/LSS.pdf http://paginapessoal.utfpr.edu.br/mdasilva/disciplinas/et75h/et75h/SinaisESistemas_Stelle.pdf https://www.lcs.poli.usp.br/~marcio/Papers/Senda2005.pdf https://www.lcs.poli.usp.br/~marcio/Papers/Senda2005.pdf OBJETIVO Ao final desta unidade, esperamos que possa: 37 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS UNIDADE 2 > Compreender a representação de sinais e sistemas contínuos. > Compreender a representação de sinais e sistemas discretos. 38 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 2 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS E DISCRETOS INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade abordará a manipulação matemática de sinais, em termos de sua representação distinta para os casos contínuo e discreto, sendo cada uma delas indicativa de diferentes universos de aplicações na teoria de sinais e sistemas. Inicialmente, será estabelecida a distinção entre equações diferenciais e equações de diferença, existentes para modelar, respectivamente, sistemas baseados no tempo contínuo e no tempo discreto. A análise de tais equações tem como propósito avaliar o comportamento de sistemas em termos de sua resposta para sinais de entrada tomados como referência, como sinais em impulso e em degrau, permitindo assim que se possa qualificar qualquer sa- ída com base no conhecimento explícito do sistema. Em sequência, será dada atenção às características de resposta para sistemas no tempo contínuo, avaliando-se suas condições de estabilidade, ou seja, em que situações as respostas desses sistemas a entradas estáveis se comportam também em condições de estabilidade. Por fim, a mesma atenção será dispensada ao caso de sistemas no tempo discreto, avaliando-se igualmente as respostas de sistemas ao caso de sinais de entrada estáveis no domínio do tempo discreto, de forma a consolidar o conceito de estabilidade nesse tipo de domínio temporal. Ao fim desta unidade, você será capaz de explorar com razoável habilidade os sinais contínuos e discretos, em termos de seu comportamento associado à estabilidade diante dos diversos sinais de entrada a que forem apresentados. 2.1 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS No estudo de sinais e sistemas, a análise específica e detalhada dos chama- dos “sistemas lineares e invariantes no tempo” (ou SLIT), como visto anterior- mente, é fundamental para o entendimento de como sinais e sistemas se relacionam, em termos de caracterizar adequadamente os sinais gerados por 39 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 esses sistemas em resposta a outros sinais. No caso, sistemas assim denomi- nados são muito importantes por representarem a maior parte dos sistemas que se encontram na natureza, sendo sua compreensão essencial para anali- sar diversos fenômenos científicos (Bonatti; Lopes; Peres, 2009). A história que acompanha o desenvolvimento teórico dos SLIT remonta ao século XVIII, quando o matemático alemão Leonhard desenvolveu as bases para toda a teoria das equações diferenciais, ganhando corpo no século XX, com o advento da teoria de Controle e com os avanços da Eletrônica (Diniz; Silva; Netto, 2014). LEONHARD EULER (1707-1783) Fonte: ©Jakob Emanuel Handmann, Wikimedia Commons (2023). #Paratodosverem - retrato de Euler. O matemático veste roupas despojadas e tem cabelos brancos. Por meio do estudo focado de equações diferenciais para modelar fenôme- nos físicos e químicos, os estudiosos de sistemas passaram a perceber que havia uma conexão intrínseca entre sinais de entrada e sinais de saída, per- fazendo-se uma relação matematicamente consistente entre tais entidades. 40 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA Entrada SaídaSistema Fonte: elaborado pelo autor (2023). #Paratodosverem - diagrama de blocos de um sistema. À esquerda, o sinal de entrada; à direita, o sinal de saída. O sistema recebe o sinal de entrada e gera uma saída conforme suas características intrínsecas. Na modelagem de fenômenos contínuos, ou seja, que respondem continua- mente a excitações aplicadas em sua entrada, tais sistemas se definem tam- bém contínuos, de modo que o estudo da resposta (e assim das equações que os regem) é útil no sentido de caracterizar completamente os sistemas associados (Frank, 2008). Com base em tais considerações, apresentam-se nas próximas seções os con- ceitos de equações diferenciais aplicadas a SLIT contínuos, investigando a se- guir as respostas ao impulso e ao degrau, bem como as questões de estabili- dade e causalidade. 2.1.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E EQUAÇÕES DE DIFERENÇA EM SISTEMAS LIT CONTÍNUOS As equações diferenciais assumem, na Teoria de Sinais, um importante papel para descrever e analisar toda forma de sistema que represente (por meio de um modelo) um dado fenômeno natural, seja físico, químico ou biológico. De fato, as equações diferenciais, muitas vezes referidas na literatura como EDs, trazem um modo elegante e preciso de descrever sistemas LIT contínuos, sendo o elemento de conexão entre os sinais de entrada e as respostas desses sistemas mediante a aplicação de tais sinais, permitindo que se compreenda como se comportam em relação ao tempo (Lathi, 2008). 41 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Uma equação diferencial nada mais é que uma expressão matemática que relaciona a derivada de uma função desconhecida a ela própria, em conjun- to com outras variáveis. Em outras palavras, no contexto da compreensão de um sistema LIT contínuo, tais equações absorvem a relação entre um si- nal de entrada, a resposta do sistema a tal entrada e suas derivadas (Higuti; Kitano, 2003). Os primeiros registros históricos da utilização de equações diferenciais re- montam à Grécia Antiga, fazendo referência aos matemáticos Zenão de Cítio e Eudoxo de Cnido, que estudavam o comportamento de taxas de variação. (Diniz; Silva; Netto, 2014). ZENÃO DE CÍTIO (333 A.C.-263 A.C.) Fonte: ©Jeremy Weate, Wikimedia Commons (2023). #Paratodosverem - busto de Zenão de Cítio aparentemente em mármore representando um homem sério de barba longa. 42 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Foi, todavia, no Renascimento e, posteriormente, com os trabalhos de ma- temáticos como Newton e Leibniz, que o mundo presenciou os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integral. Desses avanços, outros matemáticos, como Lagrange e Poincaré, trouxeram contribuições significativas à teoria de equações diferenciais (Diniz; Silva; Netto, 2014). JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA) (1736-1813) E HENRI POINCARÉ (1854-1912) Fonte: Wikimedia Commons (2023). #Paratodosverem - retratos de Lagrange e Poincaré. Ambos vestem roupas formais e têm cabelos curtos. Lagrange tem cabelos brancos; Poincaré tem cabelos pretos e usa óculos. Um exemplo usual da aplicação de equações diferenciais em sistemas LIT contínuos é a Equação Diferencial Linear Ordinária (EDO), ferramenta ma- temática que descreve o comportamento de sistemas cujas respostas são proporcionais às entradas e às suas taxas de variação. As EDOs são parti- cularmente úteis em Sistemas de Controle, Eletrônica e Processamento de Sinais, em que se prestam a modelar todos os fenômenos físicos inerentes a tais campos. 43 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 UTILIZAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA A MODELAGEM DE SISTEMAS Hipóteses Representação por equações diferenciais Resoluçãode equações diferenciais Soluções Predições do modelo Alteração das hipóteses ou refinamento do modelo Formulação matemática Comparação das predições com modelo prévio Fonte: elaborada pelo autor (2023). #Paratodosverem - diagrama de blocos envolvendo o fluxo de modelagem de um sistema por meio de equações diferenciais. Os blocos seguem o fluxo no sentido horário, na seguinte ordem: Hipóteses; Representação por Equações Diferenciais; Formulação Matemática; Resolução das Equações Diferenciais; Soluções; Predições do Modelo; Comparação das Predições com o Modelo Prévio; Alteração das Hipóteses ou Refinamento do Modelo. A associação de equações diferenciais com sistemas LIT contínuos é uma fer- ramenta válida que permite determinar a complexidade do sistema e assim facilitar sua análise. Como derivadas de qualquer ordem podem estar envolvi- das nas equações, compreender as propriedades e soluções dessas equações é fundamental para prever e controlar o comportamento de sistemas LIT con- tínuos em uma diversidade de aplicações. À medida que se ganha mais noção de como as equações diferenciais formam a base para o projeto de sistemas complexos, mais fácil se torna modelar problemas do mundo real. 44 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Considere um exemplo clássico de sistema massa-mola, constituído por uma massa m presa a uma mola de constante elástica k, de modo que se pode escrever a equação diferencial: No caso, a equação diferencial, de 2ª ordem, descreve completamente o mo- vimento da massa e a deformação da mola, sujeitas à aplicação da força F. SISTEMA MASSA-MOLA Fonte: elaborado pelo autor (2023). #Paratodosverem - sistema massa-mola; mola representada na cor prata sobre um pedestal dourado no qual há a letra “m” minúscula. À esquerda da mola, uma seta vermelha aponta para cima e ao lado dela há a letra “F” maiúscula. À direita da mola, há a letra “k” minúscula. Um exemplo interessante de uso de equações diferenciais se dá na modelagem de sistemas climáticos para prever padrões meteorológicos. Essas equações auxiliam os cientistas a entenderem como fatores como temperatura, pressão atmosférica e ventos interagem ao longo do tempo, permitindo previsões climáticas mais precisas. 45 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 2.1.2 RESPOSTAS AO IMPULSO E AO DEGRAU EM SISTEMAS LIT CONTÍNUOS Um dos aspectos mais importantes no estudo de sistemas LIT contínuos diz respeito ao fato de compreender como esses sistemas reagem a estímulos específicos, como o impulso e o degrau. Essas respostas trazem aproxima- ções importantes sobre o comportamento do sistema e exercem um papel fundamental na teoria de sinais e sistemas. Descrevem-se a seguir tais cate- gorias de resposta. a. Resposta ao Impulso A resposta ao impulso de um sistema LIT contínuo é uma característica única e fundamental da sua dinâmica de funcionamento. No caso, consiste na res- posta do sistema a um sinal de entrada definido como “impulso unitário”, que é representado pela função sendo o valor 1, no caso, representativo da área da função impulso. FUNÇÃO IMPULSO Fonte: ©Whiteknight, Wikimedia Commons (2023). #Paratodosverem - função impulso ou delta de Dirac. A função impulso aparece ilustrada no gráfico em dois eixos, sendo representada por uma seta vertical centrada na origem, possuindo área equivalente à de um retângulo também centrado na origem e situado entre -A/2 e A/2. Quando A tende a zero, a altura do retângulo tende a infinito e sua largura tende a zero, de modo que o próprio retângulo acaba por tender à seta. 46 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A resposta ao impulso traz informações detalhadas sobre como o sistema se comporta quando é submetido a uma perturbação instantânea e uni- tária, sendo frequentemente usada para determinar a resposta do sistema para qualquer entrada arbitrária por meio de uma convolução, um processo matemático recorrente em teoria de sinais e sistemas – a ser abordado nas próximas unidades. b. Resposta ao Degrau A resposta ao degrau é outra forma de se perfazer a análise de sistemas LIT contínuos. Tal resposta descreve a reação do sistema a um sinal de entrada do tipo degrau, indicado pela função que representa uma mudança abrupta no valor da entrada no instante t = 0. Quando A = 1, o degrau é dito unitário. FUNÇÃO DEGRAU Fonte: ©RicHard-59, Wikimedia Commons (2023). #Paratodosverem - função degrau. A função impulso aparece ilustrada no gráfico em azul, com um segmento de reta de amplitude nula para t < 0 e de amplitude diferente de zero para t >= 0. A função vale zero até atingir o valor de t = 0, e no instante t = 0 sobe para um valor constante, que se mantém até o infinito, como se fosse um degrau de escada, daí o nome “degrau”. 47 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A resposta ao degrau possibilita o entendimento de como um sistema se ajus- ta a perturbações constantes, bem como fornece meios para se avaliar qual seu comportamento estacionário após a mudança do sinal de entrada. Com a resposta ao degrau, pode-se determinar parâmetros importantes, como tempo de subida, tempo de acomodação, sobressinal percentual e saída em regime permanente, que são significativos para caracterizar elementos proje- tados como sistemas de controle e filtros seletores de sinais. Pode-se, sem perda de generalidade, provar que: Função Impulso: corresponde a uma função com duração infinitesimal e amplitude infinita, de modo que é convencionada como possuindo área unitária, sendo daí chamada de função impulso unitário ou simplesmente impulso unitário. Função degrau: corresponde a uma função nula para todo intervalo de tempo t < 0, assumindo valor constante e positivo a partir de t = 0. A transição da função nesse intervalo ocorre em um intervalo de tempo infinitesimal, de modo que sua derivada exprime exatamente a função impulso unitário. Em termos de aplicações práticas, as respostas ao impulso e ao degrau se prestam a diversas aplicações. Na Engenharia de Controle, por exemplo, a res- posta ao degrau é utilizada como referência no projeto de controladores que assegurem uma resposta rápida e estável do sistema. A resposta ao impulso, por sua vez, é fundamental para a análise de sistemas de comunicação, com vistas a mensurar a capacidade desse sistema de transmitir informações sem distorções significativas. Além disso, ambas as respostas são essenciais na re- solução de problemas de engenharia, como filtragem de sinais, projeto de circuitos elétricos e modelagem de sistemas físicos (Nalon, 2013). 48 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Nas próximas seções, serão frequentemente referenciados os termos “respos- ta ao impulso” e “resposta ao degrau” para sistemas LIT contínuos, explorando suas propriedades matemáticas, interpretações físicas e aplicações práticas em diferentes domínios da engenharia e da ciência. A compreensão dessas respostas é muito útil para desenvolver sistemas eficazes e eficientes em uma ampla gama de campos de estudo. Quando se toma o sinal: o sinal resultante é tal que existe somente para intervalos de tempo entre 0 e 1, ou seja, configura uma “porta” contínua entre 0 e 1. 2.1.3 ESTABILIDADE E CAUSALIDADE DE SISTEMAS LIT CONTÍNUOS A estabilidade e a causalidade são duas propriedades de muita relevância no projeto de sistemas LIT contínuos, pois permitem determinar se um sistema é robusto e se seu comportamento é previsível em resposta a diferentes en- tradas. Tais conceitos devem ser avaliados de forma sistemática e individual (Roberts, 2010). A estabilidade éuma propriedade fundamental de sistemas LIT contínuos que determina a resposta do sistema a entradas limitadas. Um sistema é con- siderado estável se, quando sujeito a uma entrada limitada, sua saída perma- necer limitada. Em outras palavras, se um pequeno distúrbio na entrada não conduzir a respostas não limitadas em amplitude, o sistema é considerado estável. A análise da estabilidade é de vital importância na engenharia, pois sistemas instáveis podem conduzir a resultados imprevisíveis. Na figura a seguir, no caso (a), o sistema é instável, pois qualquer ação de entrada pode conduzir a uma saída imprevista – a bolinha pode sair do equi- líbrio. No caso (b), o sistema é estável, pois qualquer ação de entrada não alte- rará a saída – a bolinha volta ao equilíbrio. 49 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 ANÁLISE DE ESTABILIDADE Fonte: ©Theotetm, Wikimedia Commons (2023). #Paratodosverem - análise de estabilidade. À esquerda, uma bolinha equilibrada em situação instável, sobre uma parábola com concavidade para baixo. À direita, uma bolinha equilibrada em situação estável, dentro de uma parábola com concavidade para cima. A causalidade é outra propriedade essencial de sistemas LIT contínuos. Ela determina se a saída de um sistema depende apenas das entradas presen- tes e passadas, sem depender de entradas futuras. Em outras palavras, um sistema causal não pode prever ou antecipar o futuro, mas apenas responde ao que já aconteceu. A causalidade é uma característica fundamental em sis- temas do mundo real, pois sistemas não causais não são realísticos e podem desafiar o bom senso físico. As propriedades de estabilidade e causalidade possuem aplicações críticas em uma infinidade de campos de conhecimento, sobretudo em aplicações que requerem que sinais assumam valores comportados ou especificados dentro de um padrão esperado – por exemplo no controle de trajetória de um foguete no espaço, que está sujeito a uma enorme quantidade de forças atuantes, em que a estabilidade é mandatória, ou em sistemas de comunica- ção via rádio, em que a causalidade implica remoção de ecos ou atrasos. Nas próximas unidades, tais conceitos tornarão a ser investigados, a fim de que se ganhe segurança no projeto de sistemas. Estabilidade: refere-se à propriedade que determina se um sistema retorna a um estado de equilíbrio ou permanece sob controle após ser perturbado por uma entrada ou uma condição inicial específica. 50 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Meios: caracteriza-se um sistema como estável para que possa assim ser utilizável mediante diversos sinais de entrada. Objetivos: com a estabilidade, sistemas podem ser mantidos em uso sem a necessidade de controle do sinal de entrada. Deve-se reforçar que não existe conexão direta entre tais conceitos, ou seja, um sistema estável não é necessariamente causal, ou vice-versa. Causalidade: propriedade que se refere à relação de causa e efeito, ou seja, à ideia de que um evento, condição ou ação é responsável por produzir uma mudança, efeito ou resultado específico em outro evento, condição ou objeto. Meios: caracteriza-se um sistema como causal para assegurar que toda saída será decorrente apenas de entradas prévias. Objetivos: com a causalidade, as operações básicas realizadas sobre sinais se mantêm válidas independentemente do instante de aplicação do sinal de entrada. 51 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 2.2 SISTEMAS LIT DISCRETOS No campo de sinais e sistemas, também é importante explorar a análise de sistemas lineares e invariantes no tempo discretos, ou sistemas LIT discretos. Esses sistemas representam a base teórica para manipular sinais no domínio do tempo discreto, sendo essenciais em áreas como processamento digital de sinais, telecomunicações e controle digital, entre outros. SINAL DISCRETO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #Paratodosverem - exemplo de sinal discreto. Cada amostra do sinal é pintada em azul, e a altura de cada amostra representa sua amplitude. A evolução dos sistemas LIT discretos está intrinsecamente conectada ao avanço da tecnologia de computadores e à necessidade de se lidar com sinais e dados discretos em sistemas digitais. A década de 1940 marcou 52 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS o início da era da computação digital e, desde tal período, a análise de sistemas discretos tornou-se um campo que ganhou muito destaque em Engenharia e na Ciência da Computação. Com a proliferação de dispositivos concebidos pela Eletrônica Digital nas últimas décadas, a teoria dos sistemas LIT discretos tornou-se ainda mais relevante, ganhando uma importância única em nossas vidas cotidianas, desde a transmissão de dados em redes de comunicação até o processamento de imagens e som em dispositivos eletrônicos (Stelle, 2005). Em termos da representação, análise e propriedades dos sistemas LIT discre- tos, faz-se uma extensão natural de todos os princípios e regras estabelecidas para sistemas LIT contínuos, com algumas adaptações referentes à natureza do eixo temporal, agora discreto. Além disso, equações diferenciais agora se convertem em equações de diferença, sem perda de generalidade, manten- do-se os requisitos naturais de estabilidade e causalidades, validados para o caso contínuo. 2.2.1 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E DE RECORRÊNCIA EM SISTEMAS LIT DISCRETOS Para compreender plenamente as propriedades dos sistemas LIT discretos, é essencial a intepretação modificada das chamadas equações de diferença, que são a base matemática para a representação e modelagem de sistemas discretos. Assim, como as equações diferenciais são pontos centrais para sis- temas LIT contínuos, as equações de diferença exercem essa figura na análise de sistemas LIT discretos. As equações de diferença descrevem a relação entre uma sequência de va- lores de saída (normalmente representada por y[n]) e uma sequência corres- pondente de valores de entrada (geralmente representada por x[n]) (Lathi, 2008). Em essência, elas representam como um sistema LIT discreto evolui no tempo discreto, especificando como o valor atual de saída depende dos valo- res de entrada passados e presentes. Uma equação de diferença típica pode ser expressa na forma geral: em que f é uma função que relaciona as entradas passadas e presentes com a saída atual, e k é a ordem da equação de diferença, que determina quantos valores passados influenciam a saída atual. 53 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Na figura seguinte, ilustra-se a saída de um sistema que atrasa a entrada me- diante a ponderação de amostras atrasadas, compondo uma saída segundo uma equação genérica de diferenças. EXEMPLO DE UM SINAL DISCRETO GERADO POR RECORRÊNCIA Fonte: elaborada pelo autor (2023). #Paratodosverem - exemplo de sinal discreto gerado por recorrência. As equações de diferença são amplamente utilizadas para modelar sistemas no domínio discreto. Elas encontram nicho em áreas como processamento de sinais digitais, controle digital, análise de séries temporais, simulação de sistemas discretos, entre outros. Ao modelar sistemas do mundo real, é co- mum encontrar equações de diferença que descrevem como esses sistemas respondem a entradas discretas, tornando possível prever e controlar seu comportamento (Lathi, 2008). 54 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A resolução de uma equação de diferença envolve encontrar uma expressão geral para a sequência de saídas em termos da sequência de entradas e das condições iniciais. Isso permitea previsão do comportamento do sistema ao longo do tempo discreto. A solução pode ser obtida por diversos métodos, como a transformada Z, a transformada discreta de Fourier e técnicas analí- ticas específicas para tipos particulares de equações de diferença – algumas dessas técnicas serão objeto das próximas unidades. A ordem de uma equação de diferença, k, é um parâmetro importante que determina o número de valores de entrada passados que influenciam a saída atual. Equações de diferença de primeira ordem (k = 1) são as mais simples, enquanto ordens maiores (k > 1) levam em consideração valores de entrada mais distantes no passado. Considere um sinal discreto x[n] aplicado a um sistema LIT discreto, gerando uma saída y[n]. Uma possível equação de diferença para o sistema é: Como a saída depende unicamente de amostras presentes e passadas da entrada, tal sistema, discreto, é causal. A compreensão das equações de diferença é fundamental para a modela- gem e análise de sistemas LIT discretos, já que em muitos casos são a única informação conhecida desses sistemas (Roberts, 2010). A forma como o proje- tista deve resolver tal equação é livre, conforme os meios a que tenha acesso para tal. 55 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Um fato interessante sobre sistemas LIT discretos é que eles possuem uma influência forte na tecnologia moderna, especialmente em processamento digital de sinais e comunicação digital. Os algoritmos usados em smartphones, players de música digital e câmeras digitais são fundamentados em sistemas LIT discretos, ou seja, sempre que se utiliza um dispositivo digital para ouvir música, assistir a um vídeo ou fazer uma chamada telefônica, há interação com sistemas LIT discretos que processam e manipulam os sinais de áudio e vídeo de maneira eficiente. 2.2.2 RESPOSTAS AO IMPULSO E AO DEGRAU EM SISTEMAS LIT DISCRETOS Assim como em sistemas LIT contínuos, as respostas ao impulso e ao degrau são parâmetros fundamentais para se analisar sistemas LIT discretos. Essas respostas trazem características únicas sobre o comportamento desses sis- temas quando sujeitos a entradas peculiares, tornando claro o entendimento de como reagem a diferentes entradas discretas (Santana, 2012). A resposta ao impulso em sistemas LIT discretos é similar ao caso contínuo, sendo obtida pela resposta do sistema a um sinal de entrada definido como função impulso unitário discreto, representada como δ[n]. O impulso unitário discreto é definido como: sendo o valor 1, no caso, representativo da área da função impulso. 56 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS FUNÇÃO IMPULSO NO TEMPO DISCRETO Fonte: elaborada pelo autor (2023). #Paratodosverem - função impulso discreto. A função impulso discreto possui uma única amostra, situada em n = 0. A resposta ao impulso discreto, assim como no caso contínuo, traz informa- ções detalhadas sobre como um sistema discreto se comporta quando é sub- metido a uma perturbação instantânea e unitária, sendo também usada para determinar a resposta do sistema a qualquer entrada arbitrária por meio da convolução discreta (Senda et al., 2005). a. Resposta ao Degrau A resposta ao degrau no tempo discreto também é usada para se realizar a análise de sistemas LIT discretos. Tal resposta descreve a reação do sistema a um sinal de entrada do tipo degrau, no tempo discreto, indicado pela função que representa uma mudança abrupta no valor da entrada no instante n=0. Quando A = 1, o degrau é dito unitário. 57 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 FUNÇÃO DEGRAU NO TEMPO DISCRETO. Fonte: elaborada pelo autor (2023). #Paratodosverem - função degrau no tempo discreto. A função degrau corresponde a vários impulsos, em azul, ocorrendo para valores de n maiores ou iguais a zero. A resposta ao degrau, do mesmo modo que para o caso contínuo, permite que se compreenda como um sistema discreto se comporta diante de per- turbações constantes, bem como provê meios para se avaliar seu compor- tamento estacionário para n>0. Com o uso da resposta ao degrau, pode-se avaliar parâmetros importantes, como convergência e estabilidade, que são destacados na caracterização de sistemas de controle digital e filtros digitais (Stelle, 2005). Pode-se também, sem perda de generalidade, provar que: As respostas ao impulso e ao degrau no tempo discreto também revelam muitas aplicações práticas em processamento de sinais digitais, filtragem digital e controle digital (Lathi, 2008). 58 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 2.2.3 ESTABILIDADE E CAUSALIDADE EM SISTEMAS LIT DISCRETOS A estabilidade e a causalidade são, do mesmo modo que para sistemas LIT contínuos, propriedades fundamentais que regem de forma crítica o desem- penho de sistemas LIT discretos, em termos de como avaliar a robustez de um sistema e seu comportamento é previsível para diferentes entradas (Frank, 2008; Lathi, 2008). A estabilidade em sistemas LIT discretos se relaciona à capacidade do sistema de manter as respostas limitadas quando sujeito a entradas limitadas. Sistema estável – um sistema é considerado estável se, para uma entrada limitada, sua saída permanecer limitada. A análise da estabilidade de sistemas discretos é fundamental para que se evite a ocorrência de oscilações indesejadas, tornando-os incontroláveis em sua saída. Assim, avaliar a estabilidade de sistemas LIT discretos requer a ava- liação de condições matemáticas específicas que garantam que o sistema permanecerá sob controle em todas as circunstâncias (Frank, 2008). Quanto à causalidade de sistemas LIT discretos, esta segue os mesmos princí- pios usados para análise de sistemas LIT contínuos. A causalidade determina, reforça, se a saída de um sistema depende apenas das entradas presentes e passadas, sem depender de entradas futuras. Em outras palavras, um sistema causal não prevê o futuro, mas responde apenas ao que já aconteceu. Estabilidade e Causalidade são, para sistemas discretos, importantes no sen- tido de que aplicações em Controle Digital requerem o ajuste fino de variá- veis de processo coletadas de forma discreta, bem como há exemplos como a transmissão de dados em uma rede de computadores requer, para fins de controle de erros, que se garanta a entrega de pacotes de forma causal (Lathi, 2008). 59 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Sistema LIT discreto – é um sistema que carrega em si as propriedades de linearidade, que assegura que a saída de entradas individuais é combinada como saída única resultante da soma de tais entradas, e invariância no tempo discreto, em que entradas deslocadas no tempo discreto conduzirão a saídas deslocadas no tempo por igual quantidade. CONCLUSÃO Esta unidade buscou apresentar as características de sinais e sistemas em termos da característica contínua ou discreta do tempo. A distinção devida entre tempo contínuo e tempo discreto é importante no sentido de prover a adequada análise de sinais de entrada vistos como referência, em que se des- tacam sinais do tipo impulso unitário e do tipo degrau unitário, consagrados na literatura para implementação dessa análise. Foram apresentados os conceitos de equação diferencial e equação de dife- renças, respectivamente para o caso contínuo e para o caso discreto, que fa- zem a ligação da natureza do sistema com as variáveis nele modeladas. Além disso, foi definida para cada modelo a importância da análise de resposta ao impulso e resposta ao degrau, o que associa a tal representação a adequada métrica para observação de desempenho. Por fim, foram abordadas as propriedades de estabilidadee causalidade, que são essenciais para garantir que os sistemas se comportem de maneira previ- sível e controlável, tanto no caso contínuo como no caso discreto. 60 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS • Causalidade: refere-se à relação de causa e efeito entre eventos ou fenômenos, indicando que um evento (a causa) traz influência ou leva a outro evento (o efeito). Essa relação implica que uma ação ou condição precedente tem o poder de produzir uma mudança ou resultado subsequente. • Degrau Unitário: é uma função matemática que é igual a zero para valores de tempo menores que zero e igual a um para valores de tempo maiores ou iguais a zero. É frequentemente usada como entrada de referência em sistemas dinâmicos para estudar como o sistema responde a uma mudança repentina e constante. • Equação de diferenças: é uma equação que descreve como uma sequência de valores depende dos valores anteriores da sequência. É comumente usada para representar sistemas dinâmicos discretos, como sistemas de controle digital ou séries temporais discretas. • Equação diferencial: é uma equação matemática que envolve derivadas de uma ou mais variáveis independentes em relação a uma variável dependente. É amplamente usada para descrever como quantidades mudam ao longo do tempo ou espaço contínuos, sendo fundamental na modelagem de fenômenos naturais e físicos. 61 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 • Estabilidade: indica a capacidade de um sistema retornar a um estado de equilíbrio após ser perturbado, em vez de divergir ou se tornar incontrolável. Um sistema é considerado estável quando suas respostas a perturbações permanecem limitadas e previsíveis. • Impulso Unitário: é uma função matemática que é igual a zero para todos os valores de tempo, exceto para um ponto específico, em que é infinitamente alta, possuindo área unitária. No contexto de sistemas dinâmicos, é usado como uma entrada para avaliar como o sistema responde a uma perturbação breve e intensa, como um impulso instantâneo. MATERIAL COMPLEMENTAR Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a seguir: 1. Introdução aos Sinais e Sistemas. 2. Sinais e Sistemas Lineares I. 3. Aplicações em Processamento de Sinais. 4. Sinais e Sistemas Lineares. 5. Sinais. http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/analise_aula03.pdf https://hector.paginas.ufsc.br/files/2013/12/Sinais-I-Slides.pdf https://fei.edu.br/~isanches/pel304/pel304-aulas_1_e_2.pdf https://www.cin.ufpe.br/~dmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf http://users.isr.ist.utl.pt/~jsm/teaching/ss/1_Sinais.pdf OBJETIVO Ao final desta unidade, esperamos que possa: 62 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS UNIDADE 3 > Interpretar a operação de convolução de sinais. > Compreender o significado da convolução em sistemas LIT. 63 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 3 CONVOLUÇÃO INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade abordará a operação de convolução, como manipulação ma- temática de sinais, em termos de sua representação distinta para os casos contínuo e discreto, sendo cada uma delas indicativa de diferentes universos de aplicações na teoria de sinais e sistemas. Inicialmente, direcionaremos nossa atenção para o conceito de convolução de sinais, explorando suas implicações nos domínios contínuo e discreto. A convolução tem uma função vital na análise de sistemas lineares invariantes no tempo, permitindo que se compreenda como um sistema responde a di- ferentes entradas ao longo do tempo. Serão apresentadas a convolução con- tínua e a convolução discreta, destacando as nuances de cada abordagem e sua relevância na modelagem e análise de sistemas. Diferentemente da manipulação direta de equações diferenciais ou de dife- rença, a convolução oferece uma perspectiva única para entender a relação entre entrada e saída em sistemas dinâmicos. No contexto contínuo, a convo- lução é uma integral que descreve a contribuição de cada instante de tempo para a resposta do sistema. Já no domínio discreto, a convolução é represen- tada por uma soma ponderada dos valores dos sinais em diferentes instantes, revelando como o sistema responde a sequências discretas de entrada. Ao explorar a convolução de sinais, você desenvolverá uma compreensão sóli- da das ferramentas matemáticas essenciais para analisar e modelar sistemas dinâmicos. Essa habilidade será fundamental para qualificar o comporta- mento de sistemas diante de uma variedade de sinais de entrada, fortale- cendo sua capacidade de análise e interpretação no contexto mais amplo da teoria de sinais e sistemas. 64 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 3.1 CONCEITO DE CONVOLUÇÃO A convolução de sinais é um conceito fundamental em processamento de sinais e análise de sistemas, oferecendo uma abordagem matemática po- derosa para entender a relação entre diferentes sequências temporais. Essa operação é especialmente útil ao lidar com sistemas lineares invariantes no tempo, proporcionando uma ferramenta funcional para modelar e analisar o comportamento dinâmico desses sistemas. No contexto da convolução, é possível explorar duas perspectivas distintas: a convolução contínua e a convolução discreta. Na convolução contínua, a ope- ração é expressa como uma integral, permitindo a avaliação da contribuição de cada ponto no tempo para a resposta do sistema. Essa visão é importante ao lidar com sinais analógicos e sistemas contínuos. Já na convolução dis- creta, a operação é representada por uma soma ponderada dos valores dos sinais em diferentes instantes temporais. Esse método é importante ao tratar de sinais digitais e sistemas discretos, sendo amplamente utilizado em áreas como processamento de imagens, comunicações e processamento de áudio. EQUIPAMENTO DE ÁUDIO Fonte: ©vecstock, Freepik (2023). #pratodosverem - fotografia de equipamento musical com tela digital mostrando os sinais e frequências sonoros. 65 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A convolução é importante na análise de sistemas dinâmicos, trazendo no- ções sobre como esses sistemas respondem a diferentes padrões de entrada ao longo do tempo. Sua aplicação estende-se além da teoria de sinais, sendo fundamental em diversas disciplinas e campos da ciência, do processamento de sinais biomédicos ao aprendizado de máquina. Ao compreender o conceito de convolução de sinais, é possível não ape- nas analisar e modelar sistemas complexos, mas também desenvolver apli- cações práticas em uma variedade de campos. Isso contribui para avanços significativos em diversas áreas tecnológicas e científicas (Diniz; Silva; Lima Netto, 2014). A operação de convolução em sinais tem uma história rica e suas origens re- montam a várias áreas da matemática e engenharia. Não há um único es- tudioso a que possa ser atribuída a formulação exclusiva da convolução de sinais, pois seu desenvolvimento foi um processo gradual ao longo do tempo, com contribuições de diversos pesquisadores em diferentes campos. No contexto matemático, a convolução aparece em trabalhos que remontam ao século XVIII. O matemático francês Joseph Fourier, no século XIX, exerceu um papel único ao desenvolver a transformada de Fourier, que está intrinse- camente relacionada à convolução. Seus estudos sobre séries trigonométri- cas e análise de sinais contribuíram significativamente para a compreensão matemática dessa operação. Na área da teoria de controle e sistemas lineares, a convolução ganhou destaque no início do século XX. Engenheiros e mate- máticos comoNorbert Wiener e Harry Nyquist foram pioneiros na aplicação da convolução em sistemas dinâmicos, desempenhando papéis fundamen- tais no desenvolvimento da teoria de sistemas de controle. 66 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 NORBERT WIENER (1894-1964) Fonte: ©Konrad Jacobs, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - retrato de Wiener. O matemático veste casaco grosso e usa óculos de aros pretos. Portanto, a convolução de sinais é resultado de contribuições de vá- rios estudiosos ao longo do tempo, e sua formulação é o resultado de uma evolução contínua, incorporando ideias de diferentes campos da matemática e engenharia. 67 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS CONTRIBUIÇÕES À CONVOLUÇÃO DE SINAIS Século XVIII Contexto matemático Convolução aparece em alguns trabalhos Século XIX Joseph Fourier Transformada de Fourier Estudos sobre séries trigonométricas e análise de sinais Século XX Área da teoria de controle e sistemas lineares Norbert Weiner e Harry Nyquist Aplicação da convolução em sistemas dinâmicos desenvolvimento da teoria de sistemas de controle Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - quadro com três linhas e duas colunas resumindo contribuições à convolução de sinais. Os textos são os seguintes: Linha 1: Século XVIII: Contexto matemático; Convolução aparece em alguns trabalhos. Linha 2: Século XIX: Joseph Fourier; Transformada de Fourier; Estudos sobre séries trigonométricas e análise de sinais. Linha 3: Século XX: Área da teoria de controle e sistemas lineares; Norbert Weiner e Harry Nyquist; Aplicação da convolução em sistemas dinâmicos desenvolvimento da teoria de sistemas de controle. Com base no conceito de convolução, descreveremos agora seu conceito for- mal e suas características matemáticas. 3.1.1 DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA CONVOLUÇÃO A convolução é uma operação matemática fundamental com diversas apli- cações em processamento de sinais e análise de sistemas. Sua definição é frequentemente expressa como a integral do produto de duas funções, em que uma delas é invertida e deslocada sobre a outra. Essa formulação é repre- sentada pela notação matemática de asterisco (*), dada por . 68 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 DEFINIÇÃO DE CONVOLUÇÃO Integral do produto de duas funções, em que uma delas é invertida e deslocada sobre a outra. Essa formulação é representada pela notação matemática de asterisco (*), dada por Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - imagem composta de um retângulo com texto contendo a definição de convolução: “integral do produto de duas funções, em que uma delas é invertida e deslocada sobre a outra. Essa formulação é representada pela notação matemática de asterisco (*), dada por f(t) * g(t).” A interpretação geométrica da convolução envolve visualizar o resultado des- sa operação como uma sobreposição ou mistura das duas funções originais. A convolução entre dois sinais é uma operação matemática que combina es- ses sinais para criar um terceiro sinal, chamado de sinal resultante. Tal opera- ção é frequentemente utilizada em processamento de sinais para modelar a resposta de sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT) a diferentes entra- das. A expressão matemática da integral de convolução é dada por: Tal equação descreve como cada ponto no sinal resultante é obtido somando os produtos dos valores dos sinais de entrada e para diferentes valores de . A integral de convolução é uma ferramenta bastante útil para entender como um sistema responde a diferentes entradas ao longo do tempo, permitindo prever a saída do sistema para diferentes estímulos de entrada. 69 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Geometricamente, a convolução pode ser entendida como o processo de “deslizar” uma função sobre a outra, multiplicando as áreas sobrepostas em cada ponto ao longo do eixo. O resultado dessa sobreposição é uma nova função, muitas vezes chamada de resposta ao impulso, que representa como o sistema responde a um sinal de impulso unitário. Em termos práticos, essa resposta ao impulso pode ser vista como uma forma de suavização das carac- terísticas das funções originais. CONVOLUÇÃO ENTRE DOIS SINAIS Fonte: ©Cdang, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - convolução entre dois sinais f(x) e g(x). A função f(x) é representada no primeiro gráfico em azul, enquanto a função g(x) é representada em laranja. Na segunda janela, a convolução f(x) * g(x) é representada em azul. 70 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A interpretação geométrica da convolução é especialmente útil em contex- tos como processamento de imagem, em que a sobreposição de um filtro sobre uma imagem pode destacar ou suavizar determinadas características. Por exemplo, um filtro de convolução pode ser usado para realçar bordas ou borrar uma imagem. A sobreposição e mistura das funções refletem como diferentes padrões nos dados de entrada influenciam a saída do sistema. Essa abordagem geométrica do efeito da convolução é fundamental em muitas disciplinas, incluindo visão computacional, processamento de si- nais biomédicos e aprendizado de máquina. Compreender como as fun- ções interagem geometricamente por meio da convolução é relevante ao extremo para a análise e o design eficaz de sistemas em uma variedade de aplicações práticas. Harry Nyquist, um engenheiro eletricista e matemático sueco-americano, fez contribuições significativas para a teoria de sinais e sistemas, incluindo a área de convolução. Nyquist é conhecido por seu trabalho pioneiro no campo da teoria da informação e comunicação, e suas ideias têm aplicações importantes na manipulação de sinais. 3.1.2 PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO: COMUTATIVIDADE, ASSOCIATIVIDADE E DISTRIBUTIVIDADE A convolução obedece aos princípios de comutatividade, associatividade e distributividade, descritas a seguir. 71 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO Convolução Associatividade Comutatividade Distributividade Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - esquema de caixas de textos retangulares, à esquerda, uma caixa e à direita, três conectadas a ela. A primeira caixa contém o texto Convolução, e as demais contêm os textos Comutatividade; Associatividade e Distributividade. Comutatividade A propriedade de comutatividade na convolução indica que a ordem das fun- ções envolvidas na operação não altera o resultado. Matematicamente, isso é expresso como em que o operador ‘*’ denota a convolução. Essa propriedade é fundamental, pois destaca que a convolução é simétrica em relação às funções envolvidas. Em contextos práticos, a comutatividade facilita a manipulação e a análise de sistemas, proporcionando flexibilida- de na ordem de aplicação de filtros ou na sobreposição de características em sinais. Associatividade A propriedade de associatividade na convolução refere-se à capacidade de agrupar as funções em diferentes pares sem alterar o resultado. Isso é expresso como 72 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Essa propriedade destaca a flexibilidade na aplicação de convoluções sequen- ciais, sendo particularmente útil em sistemas complexos com múltiplos está- gios. A associatividade simplifica a análise matemática e a implementação prática de sistemas lineares invariantes no tempo, tornando mais eficiente a manipulação de sinais em cascata. Distributividade A propriedade de distributividadena convolução envolve a combinação da operação com a adição de funções. Matematicamente, isso é expresso como Essa propriedade destaca como a convolução se comporta quando aplicada a uma soma de funções. A distributividade é essencial para entender como a convolução interage com sinais compostos, possibilitando a decomposição e a análise de sistemas complexos em componentes individuais. Essa pro- priedade é fundamental em áreas como processamento de sinais, em que a manipulação eficiente de sinais combinados é fundamental. Associatividade Corresponde à propriedade matemática de agrupamento de fatores em pares sem alteração de resultado. Comutatividade Corresponde à propriedade matemática de inversão de fatores dentro de uma operação. Distributividade Corresponde à propriedade matemática de distribuição da multiplicação dentro da soma. 73 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Uma aplicação prática significativa da convolução de sinais é encontrada no processamento de imagens, especificamente na área de visão computacio- nal. A convolução é comumente utilizada na aplicação de filtros, como o filtro de suavização (blurring) e o filtro de realce de bordas, para melhorar ou modi- ficar características específicas em uma imagem. Ao se aplicar um filtro de suavização, a convolução é utilizada para calcular a média ponderada dos pixels em uma vizinhança local. Isso resulta em uma imagem mais suave, reduzindo o impacto de pequenas variações de intensi- dade entre pixels adjacentes. REPRESENTAÇÃO DE EDIÇÃO DE IMAGEM R G B Fonte: ©storyset, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de uma tela com duas imagens e janelas de programa de edição abertas sobre elas. As imagens mostram o antes e depois e nelas está desenhada uma mulher de coque. Por outro lado, filtros de realce de bordas podem ser implementados por meio da convolução com um kernel que destaca as transições de intensidade na imagem, realçando as bordas e tornando-as mais visíveis (Nalon, 2013). 74 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Quando se tomam os sinais: o sinal resultante da convolução é tal que Dessa operação, decorre uma propriedade importante da análise de sinais: a de que a convolução de um sinal com um impulso resulta no próprio sinal. 3.1.3 UTILIZAÇÃO DA CONVOLUÇÃO PARA MODELAGEM DA RESPOSTA DE SISTEMAS A ENTRADAS ARBITRÁRIAS Com base no exemplo anterior, pode-se estender o raciocínio ao fato de que a caracterização completa de um sistema em termos de sua resposta a um impulso pode fornecer a resposta a qualquer entrada arbitrária. Denotando a resposta de um sistema ao impulso por h(t), pode-se assim verificar que, para uma entrada x(t), a resposta a essa entrada é dada por Assim, o conhecimento da resposta de um sistema ao impulso nos fornece a possibilidade de conhecer a resposta de um sistema a qualquer entrada, pela aplicação da integral de convolução (Roberts, 2010). 75 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Cabe ressaltar, nessa análise, a importância dos conceitos de linearidade e in- variância no tempo para a aplicação da convolução. O conceito de invariância no tempo é de extrema importância para a convolução de sinais, pois se es- tabelece uma propriedade fundamental em sistemas lineares invariantes no tempo (LIT). Em um sistema que é invariante no tempo, a resposta do sistema a uma entrada particular não depende do momento em que essa entrada é aplicada. Isso implica que a operação de convolução em um sistema LIT permanece constante ao longo do tempo, o que facilita significativamente a análise e compreensão do comportamento do sistema. Nesse contexto, a invariância no tempo é indispensável, porque permite que as características do sistema, modeladas por meio da resposta ao impulso, sejam aplicadas a diferentes instantes temporais sem alterações. Ao utili- zar a convolução em sistemas LIT, podemos prever a resposta do sistema a qualquer sinal de entrada ao longo do tempo sem a necessidade de cálculos mais complexos. Invariância no tempo na convolução: A propriedade é indispensável à aplicação da convolução como método de determinação de resposta de um sistema a um sinal arbitrário, pois a convolução repousa no conceito de que a resposta de um sistema carrega informações temporais da resposta ao impulso. Meios: A invariância no tempo assegura a consistência matemática da aplicação da integral de convolução. Objetivos: Com a invariância no tempo, a convolução pode ser usada para determinar a resposta de um sistema a qualquer entrada, por meio do conhecimento de sua resposta ao impulso. 76 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Essa propriedade é particularmente interessante em diversas aplicações prá- ticas. Na engenharia de controle, por exemplo, a invariância no tempo permi- te projetar controladores que mantêm sua eficácia ao longo do tempo. No processamento de sinais, a aplicação de filtros e análise espectral baseia-se na invariância no tempo, o que simplifica a manipulação e interpretação de sinais em diferentes contextos temporais. ONDAS SONORAS Fonte: ©vecstok, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de ondas sonoras em três dimensões em tons azulados sobre fundo preto. Deve-se salientar que a condição de causalidade não é necessária para a apli- cação da convolução, ou seja, um sistema não causal pode ter sua resposta a qualquer entrada determinada pela convolução. Causalidade: Propriedade que se refere à relação de causa e efeito, ou seja, à ideia de que um evento, condição ou ação é responsável por produzir uma mudança, efeito ou resultado específico em outro evento, condição ou objeto. A causalidade não interfere na aplicação da convolução. 77 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Meios: Embora não interfira na validade da convolução, a causalidade fornece meios adicionais de análise a serem aplicados no cálculo de sua integral. Objetivos: Com a causalidade, a convolução pode ser mais bem compreendida na análise de sistemas realísticos. 3.2 APLICAÇÕES DA CONVOLUÇÃO A convolução de sinais encontra uma ampla gama de aplicações práticas em diversas áreas, destacando-se especialmente na visão computacional. Nesse contexto, a convolução é essencial para a aplicação de filtros em imagens, possibilitando a realização de tarefas como suavização, realce de bordas e de- tecção de características específicas. Por meio da convolução, é possível pro- cessar eficientemente imagens, melhorando a qualidade visual e facilitando a identificação de padrões. Outra aplicação relevante da convolução de sinais ocorre em sistemas de comunicação. Aqui, a convolução é empregada para modelar a resposta de canais de transmissão, permitindo entender como diferentes sinais se propa- gam e interagem ao longo do tempo. Tal procedimento é fundamental para otimizar a transmissão de dados, garantindo uma comunicação eficiente e confiável em diversas situações. 78 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO Fonte: ©macrovector, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração colorida mostra, ao fundo, o globo terrestre. Sobre ele, dividida horizontalmente em três partes que se conectam, temos, na parte superior, em tom azul- claro, satélites e um tablet. Na parte central, que é uma tarja amarela, o mapa-múndi, com torres de transmissão em todos os continentes, interligadas por linhas tracejadas e dois satélites, um de cada lado. Na parte inferior, em tonalidade azul, um esquema mostrando, à esquerda, umaesfera representando o globo com algumas linhas sobre ela que se conectam por pontos em forma de pequenos círculos, da qual sai uma linha tracejada que conecta a um satélite, do qual a mesma linha tracejada sai e conecta a uma torre de transmissão, da qual a linha continua e conecta a um aparelho receptor, uma espécie de rádio. 79 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Na área de processamento de áudio, a convolução de sinais é utilizada para implementar efeitos sonoros em gravações musicais. Ao se realizar a convolu- ção de um sinal de áudio com a resposta ao impulso de um ambiente espe- cífico, é possível simular diferentes espaços acústicos, criando reverberações realistas ou ajustando a resposta tonal de instrumentos musicais. Além disso, em engenharia biomédica, a convolução de sinais é aplicada na análise de eletrocardiogramas (ECG) e eletroencefalogramas (EEG). A convo- lução auxilia na identificação de padrões característicos nessas leituras, con- tribuindo para o diagnóstico de condições cardíacas e neurológicas. Em resumo, a convolução de sinais é uma ferramenta versátil com aplicações significativas em diversas disciplinas, proporcionando avanços tecnológicos e melhorias em análises complexas. No estudo de sinais e sistemas, cabe tam- bém espaço ao estudo de sistemas lineares e invariantes no tempo discre- tos, ou sistemas LIT discretos. Estes sistemas representam a base teórica para manipular sinais no domínio do tempo discreto, sendo essenciais em áreas como processamento digital de sinais, telecomunicações e controle digital, entre outros. RESPOSTA DE UM SISTEMA A UMA ENTRADA ARBITRÁRIA Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - aplicação de uma entrada arbitrária a um sistema com resposta ao impulso conhecida. Um bloco em azul, no centro, representa o sistema, a seta à esquerda representa o sinal de entrada e a seta à direita representa o sinal de saída. 80 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 3.2.1 CONVOLUÇÃO DE SINAIS CONTÍNUOS E DISCRETOS A convolução de sinais contínuos e discretos representa duas abordagens distintas na análise de sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT). No caso dos sinais contínuos, a convolução é expressa como uma integral de- finida, conforme já anteriormente apresentado, e a operação ocorre em um domínio contínuo de tempo. A integral de convolução permite considerar uma ampla gama de valores temporais, tornando-se uma ferramenta pode- rosa na modelagem de sistemas físicos e análise de respostas a diferentes entradas contínuas. Por outro lado, na convolução de sinais discretos, a operação ocorre em pon- tos específicos do tempo, normalmente em amostras espaçadas igualmente. Aqui, a convolução é representada por uma soma ponderada das amostras, refletindo a natureza discreta da análise de sinais em sistemas digitais. Em outras palavras, podemos escrever, para sinais discretos: em que: x[n] representa o sinal de entrada aplicado a um sistema; h[n] corresponde à resposta do sistema ao impulso; e y[n] representa a saída do sistema em questão, em resposta à entrada aplicada. Uma distinção clara entre as duas formas de convolução está na representa- ção matemática. Enquanto a convolução contínua é expressa como uma in- tegral, a convolução discreta é definida como uma soma finita. Essa diferen- ça tem implicações significativas na implementação prática, especialmente em ambientes digitais, nos quais a manipulação de dados é realizada de maneira discreta. Ambas as formas de convolução assumem funções essenciais em suas res- pectivas áreas de aplicação. A convolução contínua é predominante em do- mínios analógicos, enquanto a convolução discreta é aplicada em ambientes digitais, garantindo uma análise precisa e eficiente de sinais discretos em sis- temas modernos. 81 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Suponha um sinal discreto x[n] aplicado a um sistema LIT discreto, gerando uma saída y[n]. Considere que a relação entre entrada e saída para esse sistema é dada por: Caso seja aplicado um sinal impulsivo , a saída é dada por Com o conhecimento da resposta ao impulso, é possível determinar a saída referente a qualquer sinal de entrada injetado. Por exemplo, se , a saída é dada por Assim, é possível determinar com simplicidade a resposta de um sistema a uma entrada arbitrária, dado o conhecimento de sua resposta ao impulso. Um fato interessante sobre a aplicação da convolução na determinação da resposta de sistemas discretos é a sua relação com a multiplicação no domínio da frequência. De acordo com o Teorema da Convolução, a convolução no domínio do tempo é equivalente à multiplicação no domínio da frequência. Essa propriedade, a ser explorada na próxima seção, é útil ao analisar sistemas discretos, pois permite uma abordagem eficiente para determinar a resposta em frequência desses sistemas. 82 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 3.2.2 TEOREMA DA CONVOLUÇÃO: RELAÇÃO ENTRE TEMPO E FREQUÊNCIA A propriedade que relaciona a convolução no domínio do tempo com a multi- plicação no domínio da frequência é um conceito fascinante na análise de sis- temas discretos. Essa relação fundamental é expressa pelo Teorema da Con- volução, que estabelece uma equivalência matemática entre as operações no tempo e no domínio da frequência. Em sistemas discretos, isso significa que a convolução de dois sinais no tempo é representada pela multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio da frequência. TEOREMA DA CONVOLUÇÃO Teorema da Convolução Estabelece uma equivalência matemática entre as operações no tempo e no domínio da frequência. Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - balão de fala em cor vermelha com o texto Teorema da Convolução: Estabelece uma equivalência matemática entre as operações no tempo e no domínio da frequência. Essa conexão tem implicações significativas na análise de resposta em frequ- ência de sistemas discretos. Ao realizar a transformada de Fourier dos sinais envolvidos na convolução, é possível obter uma visão clara de como o sistema responde a diferentes componentes de frequência. Essa abordagem oferece um meio valioso para entender o comportamento espectral de sistemas dis- cretos, contribuindo para projetos eficientes e análises precisas. 83 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS RESPOSTA DE UM SISTEMA NOS DOMÍNIOS TEMPORAL E DA FREQUÊNCIA Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - aplicação de uma entrada arbitrária a um sistema com resposta ao impulso conhecida. Na linha superior, o bloco em azul representa o sistema no domínio temporal, com seta à esquerda representando o sinal de entrada e seta à direita representando o sinal de saída. Na linha inferior, sua representação no domínio da frequência, com as mesmas orientações de setas para entrada e saída da linha superior. Além disso, a relação entre convolução e multiplicação no domínio da fre- quência destaca a importância das técnicas atuais de processamento de si- nais. A capacidade de realizar análises espectrais de maneira eficaz é essen- cial em áreas como comunicações, processamento de áudio e imagem, em que a compreensão do comportamento em diferentes frequências é ímpar para otimizar o desempenho dos sistemas (Santana et al., 2012; Lathi, 2008; Frank, 2008). 84 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 3.2.3 CONVOLUÇÃO E SISTEMAS LIT E SIGNIFICADO DA RESPOSTA AO IMPULSO A convolução, enquanto conceito matemático, representa uma operação “bá-sica” na análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT), e sua apli- cação abrange desde a modelagem de fenômenos físicos até a compreen- são do comportamento de sistemas complexos em resposta a diferentes estímulos temporais. Em termos mais detalhados, a convolução é uma operação algébrica que descreve como dois sinais temporais interagem, gerando um terceiro sinal que reflete a influência mútua entre eles. Isso é particularmente relevan- te ao analisar a resposta de sistemas LIT a entradas específicas. Nesse con- texto, a resposta ao impulso assume um papel de destaque, como já visto nas seções anteriores. A resposta ao impulso é, como visto, uma representação abstrata da reação de um sistema a um impulso unitário, uma entrada breve e concentrada no tempo. Ao se convolver a resposta ao impulso com um sinal de entrada arbi- trário, é possível determinar a resposta do sistema a esse estímulo específico. Em outras palavras, a resposta ao impulso atua como um “selo distintivo” que encapsula as características fundamentais do comportamento do sistema. Associação entre convolução e resposta ao impulso – A abordagem de se associar a convolução à resposta ao impulso de um sistema é valiosa na teoria de controle, processamento de sinais e comunicações, em que compreender como um sistema responde a diferentes entradas é essencial para otimizar seu desempenho. 85 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS CONCLUSÃO Esta unidade buscou apresentar as características da operação de convo- lução de sinais, de tal forma que essa operação e o significado da respos- ta ao impulso de um sistema carregam em si uma forte relação que be- neficia a análise e o projeto de sistemas dinâmicos em uma variedade de aplicações tecnológicas. Foram apresentados a definição e os princípios que regem a operação de convolução, tanto para sistemas contínuos ou discretos, estabelecendo uma ligação da natureza do sistema com as variáveis nele modeladas. Aplicações em sinais e sistemas fazem assim uso da convolução com propriedade, no intuito da caracterização completa de um sistema em análise. Por fim, foram descritas as relações entre a convolução e sistemas lineares e invariantes no tempo, em termos das informações que podem ser coletadas sobre sistemas por meio da observação de sua resposta ao impulso. • Associatividade: é um conceito matemático que descreve a propriedade de uma operação binária, indicando que a ordem na qual as operações são realizadas não afeta o resultado. • Comutatividade: é um conceito matemático que descreve a propriedade de uma operação binária na qual a ordem dos operandos não afeta o resultado da operação. • Convolução: é um conceito matemático que descreve uma operação entre duas funções que produz uma terceira função, representando a maneira como uma influencia a outra ao longo do tempo. 86 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 • Distributividade: é um conceito matemático que descreve a relação entre duas operações binárias, geralmente a adição e a multiplicação, estabelecendo que a multiplicação se aplica de forma distributiva sobre a soma de dois elementos. • Resposta ao impulso: é uma equação que descreve como uma sequência de valores depende dos valores anteriores da sequência. É comumente usada para representar sistemas dinâmicos discretos, como sistemas de controle digital ou séries temporais discretas. MATERIAL COMPLEMENTAR Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a seguir: 1. Introdução aos Sinais e Sistemas. 2. Sinais e Sistemas Lineares I. 3. Aplicações em Processamento de Sinais. 4. Sinais e Sistemas Lineares. 5. Sinais. http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/analise_aula03.pdf https://hector.paginas.ufsc.br/files/2013/12/Sinais-I-Slides.pdf https://fei.edu.br/~isanches/pel304/pel304-aulas_1_e_2.pdf https://www.cin.ufpe.br/~dmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf http://users.isr.ist.utl.pt/~jsm/teaching/ss/1_Sinais.pdf OBJETIVO Ao final desta unidade, esperamos que possa: 87 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS UNIDADE 4 > Compreender a definição e aplicações da transformada de Fourier. > Compreender a associação da transformada de Fourier com a resposta em frequência de um sistema LIT. 88 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 4 ESPECTRO DE SINAIS E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade abordará a transformada de Fourier, uma operação fundamen- tal na análise de sinais, diferenciando-se da convolução discutida anterior- mente. A transformada de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática que permite analisar os componentes de frequência de um sinal, proporcio- nando uma visão única no campo da teoria de sinais e sistemas. Inicialmente, direcionaremos nossa atenção para o conceito de transformada de Fourier, explorando suas implicações nos domínios contínuo e discreto. Essa operação possui uma função única na análise de sistemas lineares in- variantes no tempo, permitindo compreender como um sistema responde a diferentes frequências ao longo do tempo. Apresentaremos o conceito mate- mático de transformada de Fourier, destacando as nuances de cada aborda- gem e sua relevância na modelagem e análise de sistemas. Ao contrário da convolução, que se concentra na relação entre entrada e sa- ída em termos de tempo, a transformada de Fourier fornece uma perspecti- va especial ao decompor um sinal em suas componentes de frequência. No contexto contínuo, a transformada de Fourier é uma integral que descreve a contribuição de cada frequência para a representação do sinal. No domínio discreto, a transformada de Fourier é representada por uma soma ponderada dos valores do sinal em diferentes frequências, revelando como o sistema res- ponde a diferentes componentes de frequência presentes na entrada. Ao explorar a transformada de Fourier, você desenvolverá uma compreensão sólida das ferramentas matemáticas essenciais para analisar e modelar siste- mas dinâmicos em termos de suas características de frequência. Essa habili- dade será fundamental para avaliar o comportamento de sistemas diante de uma variedade de sinais de entrada, enriquecendo sua capacidade de análise e interpretação no contexto mais amplo da teoria de sinais e sistemas. 89 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 4.1 TRANSFORMADA DE FOURIER (TF) A transformada de Fourier emerge como um conceito essencial no processa- mento de sinais e na análise de sistemas, oferecendo uma abordagem ma- temática poderosa para revelar as componentes de frequência presentes em diferentes sinais. Essa operação trata com fidelidade os sistemas lineares in- variantes no tempo, representando uma ferramenta fundamental para mo- delar e analisar o comportamento dinâmico desses sistemas. No âmbito da transformada de Fourier, podemos explorar duas perspectivas distintas: a transformada de Fourier contínua e a transformada de Fourier dis- creta. Na transformada de Fourier contínua, a operação é expressa como uma integral, permitindo a avaliação da contribuição de cada frequência para a re- presentação do sinal. Essa visão é especialmente relevante ao lidar com sinais analógicos e sistemas contínuos. Por outro lado, na transformada de Fourier discreta, a operação é representa- da por uma soma ponderada dos valores do sinal em diferentes frequências, sendo vital para o processamento de sinais digitais e análise de sistemas dis- cretos. Essa abordagem encontra aplicações abrangentes em campos como processamento de imagens, comunicações e processamento de áudio. PROCESSAMENTO DE SINAIS BIOMÉDICOSFonte: Freepik (2023). #pratodosverem - fotografia mostra profissional paramentada com EPI analisando amostra em recipiente, com uma pipeta na mão. Ao redor do recipiente há elementos digitais rodeando a amostra e sinais holográficos. 90 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A transformada de Fourier é importante na análise de sistemas dinâmicos, trazendo uma visão diferenciada de como esses sistemas respondem a dife- rentes componentes de frequência presentes nas entradas ao longo do tem- po. Sua aplicação não se restringe apenas à teoria de sinais, sendo fundamen- tal em diversas disciplinas e campos científicos, desde o processamento de sinais biomédicos até aplicações em aprendizado de máquina. Ao compreender o conceito da transformada de Fourier, é possível não ape- nas analisar e modelar sistemas complexos, mas também desenvolver aplica- ções práticas em uma variedade de campos, contribuindo para avanços signi- ficativos em diversas áreas tecnológicas e científicas (Diniz; Silva; Neto, 2014). Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático e físico francês, é mais conhecido por suas contribuições significativas para a teoria do calor e pela introdução da chamada “Série de Fourier” em análise matemática. Fourier iniciou sua carreira como engenheiro e matemático militar (Lathi, 2008). Durante a expedição ao Egito liderada por Napoleão Bonaparte, entre 1798 e 1801, Fourier desempenhou um papel fundamental na organização e administração. Foi durante esse período que ele começou a se interessar pela matemática aplicada. Sua obra mais famosa, Théorie analytique de la chaleur (Teoria Analítica do Calor), publicada em 1822, estabeleceu as bases da teoria matemática do calor (Lathi, 2008). Fourier propôs a ideia revolucionária de que qualquer função periódica po- deria ser representada como uma soma infinita de funções senoidais (se- nos e cossenos), conhecida como Série de Fourier. Esse conceito foi fun- damental para a análise de sinais periódicos e acabou dando origem à transformada de Fourier. 91 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A transformada de Fourier, uma extensão da Série de Fourier, permite de- compor um sinal complexo em suas componentes de frequência. Para um sinal contínuo x(t), a transformada de Fourier pode ser representada por Já em sua forma discreta, a transformada de Fourier assume uma representa- ção que recebe a denominação de DTFT – transformada de Fourier no tempo discreto, expressa por O trabalho de Fourier teve um impacto duradouro e é amplamente utilizado em áreas como processamento de sinais, telecomunicações, processamento de imagem, acústica e muitas outras disciplinas relacionadas. JOSEPH FOURIER (1768-1830) Fonte: ©Julien Boilly, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - retrato de Fourier. O matemático francês veste casaco grosso e tem cabelos encaracolados. 92 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 4.1.1 CONVOLUÇÃO DE SINAIS CONTÍNUOS E DISCRETOS A convolução de sinais contínuos e discretos possui forte relação com a trans- formada de Fourier, ao se perfazer a análise de sistemas lineares invariantes no tempo. No contexto contínuo, a convolução é representada por uma in- tegral, onde a operação descreve a contribuição de cada ponto no tempo para a resposta do sistema. Isso permite entender como o sistema responde a diferentes padrões temporais de entrada. A convolução contínua é especial- mente útil em situações envolvendo sinais analógicos e sistemas contínuos (Lathi, 2008). SINAIS ANALÓGICOS Fonte: Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração colorida de cidade com prédios e árvores. Dos prédios saem linhas tracejadas que se ligam a ícones relacionados à comunicação, como balão de fala e smartphone, e outros relacionados a atividades diversas, como engrenagens e lâmpada. Por outro lado, no domínio discreto, a convolução é expressa como uma soma ponderada dos valores dos sinais em diferentes instantes temporais. Esta abordagem é essencial ao lidar com sinais digitais e sistemas discretos. A con- volução discreta oferece uma visão detalhada de como o sistema responde a sequências discretas de entrada, sendo importante em contextos em que a discretização do tempo é necessária (Lathi, 2008). 93 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A relação da convolução com a transformada de Fourier é notável, uma vez que a transformada de Fourier é frequentemente utilizada para analisar sis- temas e sinais no domínio de frequência. A convolução no domínio do tem- po corresponde à multiplicação no domínio de frequência, e isso é expresso pela propriedade da transformada de Fourier da multiplicação. Em outras palavras, temos: Assim, compreender a convolução é tarefa essencial para interpretar as carac- terísticas espectrais dos sinais por meio da transformada de Fourier, propor- cionando uma visão abrangente das relações entre diferentes componentes de frequência presentes nos sinais. RELAÇÃO ENTRE SINAIS NO TEMPO E NA FREQUÊNCIA. Re Im Re Im Fonte: ©Sławomir_Biały, IkamusumeFan, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - representação de sinais temporais no domínio da frequência. As funções à esquerda, pulsos retangulares, são apresentadas no domínio do tempo. As funções à direita são suas representações no domínio da frequência, separadas em partes real (curva em roxo) e parte imaginária (curva em verde). 94 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A interpretação da transformada de Fourier é fortemente atrelada à percep- ção de padrões de frequência e contribuições espectrais em diferentes con- textos de sinais. Em aplicações como processamento de sinais e comunica- ções, a sobreposição de funções senoidais através da transformada de Fourier pode destacar ou atenuar componentes específicas de um sinal (Lathi, 2008). EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER Por exemplo, ao aplicar a transformada de Fourier em um sinal, é possível destacar as frequências predominantes ou suavizar variações indesejadas, proporcionando uma visão clara das características espectrais. Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - ilustração de forma hexagonal com o seguinte texto: Por exemplo, ao aplicar a transformada de Fourier em um sinal, é possível destacar as frequências predominantes ou suavizar variações indesejadas, proporcionando uma visão clara das características espectrais. Essa abordagem do efeito da transformada de Fourier se faz presente em di- versas disciplinas, incluindo processamento de sinais biomédicos, telecomu- nicações e análise espectral de dados. Compreender como as funções senoi- dais se sobrepõem e interagem geometricamente através da transformada de Fourier é fundamental para a análise precisa de sinais em uma variedade de aplicações práticas. Essa perspectiva espectral não apenas destaca a pre- sença de diferentes frequências nos sinais, mas também facilita o projeto efi- caz de sistemas em diversas áreas da engenharia e ciências aplicadas. 95 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Um fato curioso sobre Joseph Fourier é sua persistência em contribuir para a ciência mesmo durante momentos desafiadores de sua vida. Durante a Revolução Francesa, Fourier foi preso por suas ligações com a aristocracia. Durante seu tempo na prisão, ele usou suas habilidades matemáticas para resolver problemas práticos relacionados à ventilação e ao calor no ambiente prisional. Suas ideias e inovações nesse período influenciaram seus trabalhos futuros sobre a teoria do calor, destacando sua dedicaçãoà ciência mesmo em circunstâncias adversas (Lathi, 2008). 4.1.2 TEOREMA DA CONVOLUÇÃO E A TF O teorema da convolução e a transformada de Fourier estão intimamente relacionados, fornecendo ferramentas poderosas para analisar e compreen- der sinais e sistemas. O teorema da convolução descreve como a convolução de duas funções no domínio do tempo é equivalente à multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio da frequência. Esse teorema é funda- mental para simplificar cálculos complexos, permitindo uma análise mais efi- ciente de sistemas lineares invariantes no tempo. 96 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS CÁLCULOS Fonte: ©storyset, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração colorida mostrando duas pessoas em frente a uma lousa fazendo cálculos. Ao redor, há ícones com símbolos matemáticos como pi, percentual etc. Ao aplicar o teorema da convolução, podemos expressar a convolução de duas funções como a multiplicação de suas respectivas transformadas de Fourier. Isso se revela especialmente útil na simplificação de operações ma- temáticas, tornando a análise de sistemas mais acessível e eficiente. A trans- formada de Fourier, por sua vez, proporciona uma representação no domí- nio da frequência, revelando as componentes espectrais presentes em um sinal (Lathi, 2008). 97 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 ASSOCIAÇÃO ENTRE O TEOREMA DA CONVOLUÇÃO E A TRANSFORMADA DE FOURIER + =Teorema da convolução Transformada de Fourier Processamento de sinais Comunicações Análise espectral Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - três círculos lado a lado; entre os dois primeiros há o sinal de soma (+) e entre os dois últimos, há o sinal de igualdade (=). No primeiro círculo, o texto é Teorema da convolução; no segundo, Transformada de Fourier; no terceiro: Processamento de sinais; Comunicações; e Análise espectral. Essa associação entre o teorema da convolução e a transformada de Fourier é amplamente aplicada em diversas áreas, como processamento de sinais, comunicações e análise espectral. Ao utilizar a transformada de Fourier para analisar a resposta em frequência de um sistema, podemos entender como ele responde a diferentes compo- nentes espectrais de entrada. A relação entre esses dois conceitos é essencial para profissionais e pesquisadores que buscam uma compreensão aprofun- dada do comportamento de sistemas dinâmicos e a manipulação eficiente de sinais em diferentes domínios. Componentes espectrais referem-se às diferentes frequências que compõem um sinal ou uma forma de onda em um domínio de frequência (Lathi, 2008). Multiplicação na frequência refere-se à operação de multiplicar as representações espectrais de dois sinais para obter a representação espectral do sinal resultante. 98 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Teorema da Convolução é um conceito fundamental na teoria de sinais e sistemas, que estabelece que a convolução de duas funções no domínio do tempo equivale à multiplicação de suas respectivas transformadas de Fourier no domínio da frequência (Lathi, 2008). Deste modo, pode-se realizar a convolução entre sinais no domínio do tempo por meio do produto das transformadas individuais no domínio da frequência, e vice versa. Quando se tomam os sinais: o sinal resultante da convolução é tal que No domínio da frequência: Desse modo, atesta-se a validade do teorema de convolução. 4.1.3 CONVOLUÇÃO E SISTEMAS LIT NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A convolução é bastante funcional na análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) quando consideramos o domínio da frequência. 99 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Aplicação: Ao aplicar a transformada de Fourier em uma convolução de dois sinais no domínio do tempo, conforme estabelecido pelo teorema da Convolução, obtemos a multiplicação das transformadas de Fourier desses sinais no domínio da frequência (Roberts, 2010). Consequência: Esse processo é fundamental para simplificar a análise de sistemas complexos, pois nos permite examinar como diferentes componentes espectrais das entradas afetam a resposta do sistema (Roberts, 2010). No domínio da frequência, a convolução torna-se uma multiplicação direta, o que facilita a compreensão das características espectrais de um sistema LIT. A resposta em frequência de um sistema é essencialmente revelada pela análise da transformada de Fourier da resposta ao impulso do sistema. Isso permite identificar como o sistema reage a diferentes frequências de entra- da, fornecendo uma visão abrangente de suas características de filtragem e resposta a estímulos específicos. 4.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE SISTEMAS LIT A resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) é uma característica fundamental para compreender como esses sistemas re- agem a diferentes componentes espectrais nas entradas. Essa análise é fre- quentemente realizada no domínio da frequência e fornece uma visão abran- gente das propriedades de filtragem e resposta desses sistemas a estímulos de diferentes frequências. A resposta em frequência é geralmente expressa por meio da magnitude e da fase da função de transferência do sistema, que descreve como a amplitude e a fase das diferentes frequências de entrada são modificadas pelo sistema (Diniz; Silva; Netto, 2014). 100 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS RESPOSTA EM FREQUÊNCIA Ao examinar a resposta em frequência de um sistema LIT, é possível identificar suas características fundamentais, como ganho e atenuação em determinadas frequências. A resposta em frequência é especialmente útil em áreas onde a capacidade de um sistema de manter ou modificar diferentes componentes espectrais é importante. Essa análise também é essencial no projeto de sistemas para garantir que atendam aos requisitos específicos de desempenho em relação às frequências de interesse. Fonte: elaborada pelo autor (2023). #pratodosverem - três retângulos com textos, dispostos verticalmente um acima do outra com setas entre eles. O texto do primeiro retângulo é “Ao examinar a resposta em frequência de um sistema LIT, é possível identificar suas características fundamentais, como ganho e atenuação em determinadas frequências”; o do segundo é “A resposta em frequência é especialmente útil em áreas onde a capacidade de um sistema de manter ou modificar diferentes componentes espectrais é importante”; e o do terceiro é “Essa análise também é essencial no projeto de sistemas para garantir que atendam aos requisitos específicos de desempenho em relação às frequências de interesse”. A representação gráfica da resposta em frequência, muitas vezes em forma de Diagramas de Bode, facilita a interpretação das características espectrais de um sistema (Roberts, 2010). 101 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 DIAGRAMA DE BODE −150 −100 −50 0 M ag ni tu de ( dB ) 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 −180 −135 −90 −45 0 P ha se ( de g) Bode Diagram Frequency (rad/s) Fonte: ©Chris828, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - Diagrama de Bode de um sistema. A curva superior representa a resposta de magnitude (em dB) do sistema. A curva inferior representa a resposta de fase (em graus) do sistema. Essa abordagem permite que se façam ajustes para atender a requisitos es- pecíficos de resposta, tornando a análise da resposta em frequência um ele- mento de destaque na engenharia de sistemas dinâmicos. 102 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MECnº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Diagrama de Bode é uma representação gráfica da resposta em frequência de um sistema, composta por dois gráficos separados, um para a resposta de magnitude (ganho) e outro para a resposta de fase. O eixo horizontal representa a frequência em escala logarítmica, enquanto os eixos verticais mostram a magnitude (em decibéis) e a fase (em graus) (Roberts, 2010). Resposta de Fase refere-se à diferença de fase entre a entrada e a saída do sistema em relação à frequência. Em um Diagrama de Bode, a resposta de fase é representada graficamente em função da frequência (Roberts, 2010). Resposta de Magnitude é a medida de como o sistema amplifica ou atenua diferentes frequências do sinal de entrada. Representada em decibéis (dB) no Diagrama de Bode, a resposta de magnitude fornece uma visão da intensidade do sinal de saída em relação ao sinal de entrada para cada frequência (Roberts, 2010). 4.2.1 RELAÇÃO ENTRE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA E A TF A relação entre a resposta em frequência de um sistema e a transformada de Fourier (TF) é crucial para a compreensão das características espectrais de sinais e sistemas no domínio da frequência. A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que permite analisar um sinal no espectro de frequ- ência, decompondo-o em suas componentes fundamentais. Quando aplica- da a um sistema, a TF fornece uma representação no domínio da frequência que revela como o sistema modifica as diferentes frequências presentes na entrada (Roberts, 2010; Lathi, 2008). 103 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 FREQUÊNCIA Fonte: Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de ondas em diversas frequências. Ao centro, uma delas se destaca ficando acima das demais. A resposta em frequência de um sistema, muitas vezes expressa em termos da função de transferência, destaca como o sistema responde a diferen- tes frequências de entrada. A função de transferência relaciona a entrada e a saída de um sistema no domínio da frequência e é diretamente associa- da à transformada de Fourier. Ao analisar a resposta em frequência de um sistema, podemos identificar seu comportamento em relação às diferen- tes componentes espectrais, incluindo ganho, atenuação e fase (Roberts, 2010; Lathi, 2008). A análise conjunta da resposta em frequência e da transformada de Fourier oferece uma compreensão abrangente das características de um sistema no domínio da frequência. Essa relação é essencial em diversas áreas, como processamento de sinais, controle de sistemas e comunicações, onde a ca- pacidade de manipular e compreender os aspectos espectrais dos sinais e sistemas é crucial para o design e a otimização eficaz de sistemas dinâmicos (Roberts, 2010; Lathi, 2008). 104 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A convolução contínua é predominante em domínios analógicos, enquanto a convolução discreta é aplicada em ambientes digitais, garantindo uma aná- lise precisa e eficiente de sinais discretos em sistemas modernos (Roberts, 2010; Lathi, 2008). Um fato interessante sobre a resposta em frequência pode ser observado em sistemas de áudio, como alto-falantes e fones de ouvido. Nestes dispositivos, a resposta em frequência é um indicador chave da capacidade do sistema reproduzir fielmente diferentes frequências sonoras. Algumas marcas e modelos de alto-falantes ou fones de ouvido são projetados com uma resposta em frequência mais plana, buscando reproduzir todos os tons de maneira equilibrada, enquanto outros podem enfatizar certas faixas de frequência para proporcionar uma experiência sonora mais aprimorada. 4.2.2 ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE SISTEMAS LIT: MAGNITUDE E FASE A análise da resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tem- po (LIT) é uma abordagem essencial na caracterização do comportamento desses sistemas em relação às diferentes componentes espectrais de suas entradas. Essa análise é frequentemente realizada por meio de Diagramas de Bode, que representam graficamente a magnitude e a fase da resposta em frequência. A magnitude revela como o sistema amplifica ou atenua dife- rentes frequências, enquanto a fase indica o deslocamento temporal entre a entrada e a saída em cada frequência (Nise, 2023). 105 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 AMPLIFICANDO FREQUÊNCIAS Fonte: ©4045, Freepik (2023). #pratodosverem - fotografia de mesa analógica de controlador/amplificador de frequência. A magnitude da resposta em frequência destaca o ganho do sistema para diferentes componentes espectrais. Ao observar um Diagrama de Bode, é possível identificar facilmente as frequências em que o sistema amplifica ou atenua o sinal de entrada. Isso é crucial em diversas aplicações, como controle de sistemas, onde a estabilidade e a precisão dependem da capacidade do sistema de manter ganhos específicos em diferentes frequências (Nise, 2023). A fase, por sua vez, indica a diferença de fase entre a entrada e a saída do sis- tema para cada frequência. Isso é crucial em sistemas de comunicação, onde a correta sincronização temporal é vital. O estudo conjunto da magnitude e fase na análise da resposta em frequência proporciona uma compreensão abrangente do comportamento do sistema em relação às diferentes frequ- ências, sendo essencial para o design e otimização eficaz de sistemas dinâmi- cos em diversas áreas da engenharia. 106 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 4.2.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA NA FILTRAGEM DE SINAIS A análise da resposta em frequência é de suma importância na área de filtra- gem de sinais, onde sistemas são projetados para modificar as características espectrais dos sinais de entrada. A resposta em frequência de um filtro revela como ele atua em diferentes componentes espectrais, seja atenuando ou re- alçando determinadas frequências (Roberts, 2010; Lathi, 2008). Por exemplo, em um filtro passa-baixa, a resposta em frequência indica a fre- quência de corte a partir da qual as componentes espectrais são atenuadas, permitindo a passagem de frequências mais baixas. Da mesma forma, em um filtro passa-alta, a resposta em frequência destaca a faixa de frequências que será permitida, enquanto atenua as frequências mais baixas. CONTROLES DE FREQUÊNCIA Fonte: Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração sobre fundo preto de itens relacionados a faixas de frequência: ondas e equalização ajustados individualmente. 107 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A utilização da resposta em frequência na filtragem de sinais permite um projeto mais preciso e ajustado de sistemas filtrantes. Ao analisar a resposta em frequência, os engenheiros podem ajustar os parâmetros do filtro para atender a requisitos específicos, como largura de banda, atenuação de certas frequências indesejadas ou preservação de componentes espectrais impor- tantes (Roberts, 2010; Lathi, 2008). Essa abordagem na análise de sistemas de filtragem destaca como a res- posta em frequência desempenha um papel fundamental na manipula- ção e no controle das características espectrais dos sinais em diversas apli- cações, incluindo telecomunicações, processamento de áudio e imagem, e muitos outros campos. Filtragem de Sinais – A manipulação de sinais no domínio da frequência suscita diversas aplicações em que certas porções de um sinal no domínio da frequência possam ser amplificadas ou atenuadas – esse é o chamado filtro (Roberts, 2010). 108 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS CONCLUSÃOEsta unidade destaca a contribuição da transformada de Fourier e da aná- lise da resposta em frequência para a compreensão aprofundada de siste- mas dinâmicos. Ao explorar a transformada de Fourier, pode-se compre- ender a estrutura espectral de sinais complexos, decompondo-os em suas componentes fundamentais. Essa ferramenta matemática não apenas pro- porciona uma visão clara das frequências presentes em um sinal, mas tam- bém estabelece uma base sólida para a análise de sistemas que operam em diferentes contextos. A análise da resposta em frequência emerge como uma peça-chave no que- bra-cabeça da compreensão de sistemas lineares invariantes no tempo. Com essa abordagem, examinamos como esses sistemas reagem a diferentes frequências de entrada, desvendando suas características fundamentais de amplificação, atenuação e deslocamento temporal. A relação entre a trans- formada de Fourier e a resposta em frequência oferece uma perspectiva que permite não apenas se compreender a estrutura espectral de um sinal, mas também se entender como os sistemas dinâmicos interagem e processam essas informações em diversos domínios. • Fase: refere-se à posição relativa de uma onda senoidal em relação a um ponto de referência em um determinado instante de tempo. A fase é medida em termos de ângulo e descreve o “avanço” ou “atraso” de um sinal em relação a outro. Em um contexto mais amplo, indica como o sinal está deslocado no tempo em relação a uma forma de onda padrão. • Filtragem: refere-se ao processo de modificar as características de um sinal ao injetá lo em um sistema chamado filtro. O objetivo da filtragem é geralmente realçar ou suprimir componentes específicos do sinal, dependendo das necessidades da aplicação. 109 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 • Magnitude: refere-se à medida do valor absoluto ou da intensidade de um sinal. No contexto de sinais, a magnitude é associada à amplitude do sinal analisado. • Resposta em frequência: é uma descrição da forma como o sistema responde a diferentes frequências de entrada. Em sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI), a resposta em frequência é frequentemente analisada para entender como o sistema atua em diferentes componentes de frequência. • Transformada de Fourier: é uma ferramenta matemática fundamental na teoria de sinais e sistemas, utilizada para analisar e representar sinais no domínio da frequência. A transformada de Fourier decompõe o sinal em suas componentes de frequência constituintes. MATERIAL COMPLEMENTAR Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a seguir: 1. Introdução aos Sinais e Sistemas. 2. Sinais e Sistemas Lineares I. 3. Aplicações em Processamento de Sinais. 4. Sinais e Sistemas Lineares. 5. Sinais. http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/analise_aula03.pdf https://hector.paginas.ufsc.br/files/2013/12/Sinais-I-Slides.pdf https://fei.edu.br/~isanches/pel304/pel304-aulas_1_e_2.pdf https://www.cin.ufpe.br/~dmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf http://users.isr.ist.utl.pt/~jsm/teaching/ss/1_Sinais.pdf OBJETIVO Ao final desta unidade, esperamos que possa: 110 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS UNIDADE 5 > Compreender a definição e aplicações da Transformada Z (TZ). > Compreender as técnicas de análise e de projeto de sistemas discretos no uso da TZ. 111 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 5 ESTRUTURAS COMPUTACIONAIS PARA SISTEMAS DISCRETOS INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade explorará as estruturas computacionais fundamentais para sis- temas discretos, com foco especial na Transformada Z. A análise de sistemas dinâmicos discretos requer ferramentas matemáticas específicas, e a Trans- formada Z desempenha um papel crucial nesse contexto. Em contraste com a abordagem contínua, em que a convolução é represen- tada por uma integral, no domínio discreto, a convolução é tratada de ma- neira diferente. Ao invés disso, a soma ponderada dos valores dos sinais em diferentes instantes de tempo é essencial para compreender como o sistema responde a sequências discretas de entrada. Direcionaremos nossa atenção para o conceito de convolução em sis- temas discretos, explorando suas implicações e nuances específicas para esse domínio. A Transformada Z, sendo uma ferramenta essencial para analisar sistemas dinâmicos discretos, será apresentada de forma a destacar como ela oferece uma visão abrangente das características espectrais e do comportamento di- nâmico desses sistemas. Ao compreender a Transformada Z e suas aplicações, os estudantes desen- volverão habilidades matemáticas essenciais para a análise e modelagem de sistemas discretos, fortalecendo assim sua capacidade de interpretar e res- ponder a uma variedade de sinais de entrada no contexto mais amplo da teoria de sinais e sistemas. 112 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 5.1 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E A TRANSFORMADA Z (TZ) Equações de diferença têm um papel de destaque na modelagem e aná- lise de sistemas dinâmicos discretos. Essas equações descrevem a relação entre as amostras sucessivas de um sinal, sendo essenciais para entender o comportamento temporal de sistemas discretos. A abordagem matemática para lidar com equações de diferença frequentemente envolve a aplicação da Transformada Z (TZ), uma ferramenta poderosa que permite analisar e carac- terizar sistemas no domínio da frequência (Roberts, 2010; Lathi, 2008). A Transformada Z é uma extensão da Transformada de Fourier discreta e é especialmente adequada para lidar com sequências discretas. Ela transforma uma sequência temporal de amostras em uma função complexa no plano Z, em que Z é uma variável complexa (Roberts, 2010). A aplicação da TZ a equações de diferença possibilita a análise do compor- tamento espectral do sistema, revelando informações sobre a resposta em frequência, estabilidade e características dinâmicas do sistema discreto. 113 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS PROCESSAMENTO DE SINAIS DIGITAIS E TELECOMUNICAÇÕES Fonte: ©rawpixel.com, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de vários elementos em cores verde e amarelo relacionados à comunicação e à transmissão de sinais como satélites, torres, computadores, celulares etc. em fundo preto. Ao utilizar a Transformada Z na análise de equações de diferença, é possível obter uma visão mais clara e abrangente do sistema em termos de suas pro- priedades no domínio da frequência. Isso é crucial para o projeto eficiente de sistemas de controle, comunicações digitais e processamento de sinais, em que o entendimento detalhado das características espectrais é essen- cial para garantir a estabilidade e o desempenho adequado (Lathi, 2008; Roberts, 2010). Em resumo, a interação entre equações de diferença e a Transformada Z é essencial para a compreensão e o projeto eficaz de sistemas dinâmicos dis- cretos. Essa abordagem oferece uma poderosa ferramenta matemática para analisar o comportamento temporal e espectral desses sistemas, contribuin- do significativamente para o avanço de áreas como engenharia de controle, processamento de sinais digitais e telecomunicações. 114 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 5.1.1 RELAÇÃO ENTRE EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E A TZ A relação entre equações de diferença e a Transformada Z (TZ) é essencial para a análise e modelagem de sistemas dinâmicos discretos. Equações de diferença fornecem uma representação discreta da dinâmica temporal de um sistema, descrevendo como as amostras sucessivas de um sinal serelacionam (Lathi, 2008). A Transformada Z, por sua vez, é uma ferramenta matemática valiosa que permite transcender o domínio temporal, proporcionando uma visão mais clara das características espectrais e do comportamento dinâmico desses sis- temas (Roberts, 2010). Para um sinal discreto x[n], a transformada Z é calculada como Ao aplicar a Transformada Z a equações de diferença, é possível obter uma re- presentação no domínio da frequência do sistema discreto. Essa transforma- ção fornece informações cruciais sobre a resposta em frequência do sistema, identificando as frequências em que o sistema é mais sensível e destacando possíveis instabilidades. FREQUÊNCIA DE COMUNICAÇÃO Fonte: ©Suwin, Shutterstock (2023). #pratodosverem - fotografia de torre de comunicação em primeiro plano da qual saem inúmeros sinais conectando-se a diversas regiões. Ao fundo, em segundo plano, uma grande cidade. 115 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Essa análise espectral é fundamental em aplicações como processamento de sinais, controle digital e comunicações, onde o conhecimento das caracterís- ticas espectrais é vital para o projeto eficiente dos sistemas. A relação entre equações de diferença e a Transformada Z também desem- penha um papel central na resolução e solução de problemas práticos. Ao aplicar a TZ, é possível encontrar soluções analíticas para equações de dife- rença, facilitando a compreensão e manipulação dos sistemas discretos. Isso é particularmente útil na engenharia de controle, onde a estabilidade e o de- sempenho do sistema são fatores críticos (Roberts, 2010; Lathi, 2008). Uma curiosidade interessante sobre a Transformada Z é sua relação com a Transformada de Laplace. Enquanto esta é amplamente utilizada para análise de sistemas contínuos no domínio do tempo, a TZ é sua contraparte discreta, aplicada a sistemas dinâmicos discretos (Roberts, 2010). 5.1.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TZ A interpretação geométrica da Transformada Z (TZ) proporciona uma pers- pectiva visual valiosa para compreender as características espectrais de sinais discretos e sistemas dinâmicos. Ao considerar o plano Z, em que a TZ é representada, a relação entre os pon- tos nesse plano e as propriedades do sinal ou sistema torna-se evidente. A interpretação geométrica destaca como diferentes pontos no plano Z estão associados a diferentes frequências e amplitudes, oferecendo uma represen- tação intuitiva das características espectrais do sinal (Roberts, 2010). 116 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 AMPLITUDE DO SINAL Fonte: ©Vach cameraman, Shutterstock (2023). #pratodosverem - ilustração de um diapasão, do qual são representadas graficamente as ondas vibratórias. No plano Z, a unidade de círculo é frequentemente utilizada para representar a frequência angular discreta. O raio do círculo unitário indica a frequência angular, e os pontos nesse círculo refletem as características espectrais do sinal ou sistema. Por exemplo, pontos próximos à borda do círculo indicam frequências altas, enquanto pontos mais próximos do centro correspondem a frequências mais baixas. Essa interpretação geométrica permite visuali- zar como a Transformada Z codifica a informação espectral do sinal discreto (Roberts, 2010). CÍRCULO UNITÁRIO Fonte: ©Musical Inquisit, Wikimedia Commons (2023). #pratodosverem - círculo de raio unitário. Por definição, polos externos ao círculo unitário indicam instabilidade. 117 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A interpretação geométrica também destaca a importância do círculo unitá- rio para a estabilidade de sistemas discretos. Em muitos casos, a estabilidade está relacionada à localização dos polos (pontos em que a Transformada Z é infinita) no plano Z. Se todos os polos estão dentro do círculo unitário, o sistema é estável; caso contrário, o sistema pode ser instável. Isso fornece uma representação gráfica valiosa para analisar e projetar sistemas dinâmicos discretos com base em critérios de estabilidade (Roberts, 2010). Em síntese, a interpretação geométrica da Transformada Z oferece uma abor- dagem visual e intuitiva para entender as características espectrais e a esta- bilidade de sinais discretos e sistemas. Ao explorar o plano Z, os engenheiros e cientistas podem ganhar insights valiosos para análise e projeto eficazes de sistemas dinâmicos em aplicações que vão desde controle digital até processamento de sinais. 5.1.3 UTILIZAÇÃO DA TZ NA ANÁLISE DE SISTEMAS DISCRETOS A Transformada Z (TZ) é uma ferramenta fundamental na análise de sistemas discretos, desempenhando um papel crucial na investigação das proprieda- des espectrais e dinâmicas desses sistemas (Roberts, 2010). Veja alguns pontos importantes que destacam o papel crucial da Transformada Z: Representação de Sinais e Sistemas: a Transformada Z é utilizada para repre- sentar sinais e sistemas discretos no domínio da frequência, proporcionando uma visão mais clara dos componentes espectrais. Domínio Z x Domínio do Tempo: enquanto o domínio do tempo é usado para representar sinais e sistemas no tempo discreto, o domínio Z fornece uma re- presentação no domínio da frequência, permitindo análises mais abrangentes. 118 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 COMPORTAMENTO ESPECTRAL DE SISTEMAS Ao empregar a TZ, os engenheiros e cientistas são capazes de traduzir equações de diferença que modelam sistemas discretos para o domínio da frequência, proporcionando uma visão abrangente do comportamento espectral desses sistemas. Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - quadro com o seguinte texto: ao empregar a TZ, os engenheiros e cientistas são capazes de traduzir equações de diferença que modelam sistemas discretos para o domínio da frequência, proporcionando uma visão abrangente do comportamento espectral desses sistemas. A TZ é amplamente utilizada para análise de estabilidade de sistemas dis- cretos. A localização dos polos da função de transferência no plano Z é crítica para determinar a estabilidade do sistema. A análise de estabilidade no plano Z é uma ferramenta crítica na engenha- ria de sistemas discretos, especialmente em contextos como controle digital, processamento de sinais e sistemas sonoros discretos. A localização dos polos no plano Z fornece insights valiosos sobre o comportamento dinâmico dos sistemas e é fundamental para projetar sistemas digitalmente resultados. Se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário no plano Z, o sistema é considerado estável (Roberts, 2010). Essa abordagem gráfica facilita a identificação rápida e eficaz de con- dições de estabilidade, contribuindo para o projeto seguro de sistemas dinâmicos discretos. 119 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Algumas aplicações da TZ são descritas a seguir (Lathi, 2008): Resposta em frequência: Além da estabilidade, a TZ é essencial para analisar a resposta em frequência de sistemas discretos. A partir da Transformada Z, é possível derivar a resposta em frequência, identificando como o sistema responde a diferentes frequências de entrada. Essa análise é valiosa em aplicações como processamento de sinais, comunicações digitais e controle, onde a compreensão das características espectrais do sistema é fundamental para garantir um desempenho eficaz. Problemas práticos: A TZ também é aplicada em problemas práticos de engenharia, oferecendo uma ferramenta matemática poderosa para resolver equações de diferença complexas e analisar sistemas dinâmicos discretos em diversos domínios. Com a utilização adequada da TZ, os profissionaissão capacitados a modelar, analisar e otimizar sistemas discretos em uma ampla gama de aplicações tecnológicas, proporcionando avanços significativos em campos como automação, comunicações e processamento de sinais digitais. 5.2 IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS A implementação de sistemas discretos se presta a muitas aplicações práti- cas de conceitos teóricos em diversas áreas. Ao lidar com sistemas dinâmicos discretos, é crucial considerar aspectos como estabilidade, resposta em fre- quência e eficiência computacional na implementação real desses sistemas (Lathi, 2008). A Transformada Z (TZ) desempenha um papel central na implementação de sistemas discretos, pois permite analisar e projetar sistemas no domínio da frequência. Ao compreender as características espectrais do sistema por meio da TZ, os engenheiros podem tomar decisões informadas durante a im- plementação, ajustando parâmetros para atender a requisitos específicos de desempenho e estabilidade (Lathi, 2008). 120 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 CIRCUITOS DE COMPUTADOR Fonte: ©Nick_Picnic, Shutterstock (2023). #pratodosverem - imagem mostra circuitos de computador em tons de azul. A escolha de estruturas computacionais, como filtros digitais, controladores PID digitais ou sistemas de comunicação digital, requer uma compreensão profunda das características do sistema em questão. A TZ oferece uma visão abrangente das propriedades espectrais do sistema, facilitando a escolha e a implementação de estruturas que atendam às especificações desejadas. A implementação de sistemas discretos envolve (Lathi, 2008): Algoritmos: A implementação de sistemas discretos muitas vezes envolve o uso de algoritmos eficientes, especialmente em aplicações em tempo real. Análise de complexidade: A TZ auxilia na análise de complexidade computacional, permitindo a escolha de estratégias de implementação que otimizem o desempenho do sistema, garantindo respostas rápidas e eficientes. 121 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Em suma, a implementação de sistemas discretos é um processo multidisci- plinar que combina teoria e prática. A utilização da Transformada Z na análise e projeto desses sistemas é fundamental para garantir a eficácia, estabilidade e eficiência computacional durante a implementação real, contribuindo para o desenvolvimento de tecnologias avançadas em diversas áreas da engenha- ria e ciência da computação. 5.2.1 ESTRUTURAS COMPUTACIONAIS: SISTEMAS DE DIFERENÇA DIRETA E RECURSIVA As estruturas computacionais de sistemas discretos frequentemente se divi- dem em duas categorias principais: sistemas de diferença direta e sistemas de diferença recursiva. Ambas desempenham papéis cruciais em áreas como processamento de sinais e controle digital, oferecendo abordagens distintas para implementar e modelar sistemas dinâmicos discretos (Lathi, 2008). Sistemas de diferença direta são uma forma simples e direta de representar operações em sistemas discretos. Eles envolvem a aplicação direta de coeficientes a entradas e saídas, sem a necessidade de retroalimentação. Essa abordagem é frequentemente utilizada em filtros digitais, onde a resposta do sistema é determinada apenas pelos valores atuais das entradas e saídas. A simplicidade e eficiência computacional fazem dos sistemas de diferença direta uma escolha comum em implementações práticas (Lathi, 2008). Sistemas de diferença recursiva incorporam realimentação, tornando-os especialmente úteis na modelagem de sistemas dinâmicos mais complexos. A presença de realimentação permite que esses sistemas capturem dependências temporais, tornando-os ideais para representar sistemas com memória, como em processos de controle adaptativo. Apesar de uma maior complexidade computacional devido à realimentação, os sistemas de diferença recursiva são fundamentais para modelar sistemas dinâmicos mais avançados (Lathi, 2008). 122 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 A escolha entre sistemas de diferença direta e recursiva depende das caracte- rísticas específicas do sistema que está sendo modelado ou implementado. Em aplicações práticas, como processamento de áudio ou controle de pro- cessos industriais, engenheiros avaliam cuidadosamente as exigências do sis- tema para determinar a estrutura mais adequada. ANÁLISE DAS EXIGÊNCIAS DO SISTEMA Fonte: Freepik (2023). #pratodosverem - engenheiro usando EPI com tablet na mão e fisionomia séria. Ao redor, há equipamentos e diversos itens virtuais como hologramas no ar. Ambas as abordagens oferecem ferramentas poderosas para a implemen- tação eficaz de sistemas discretos, destacando a importância da com- preensão profunda dessas estruturas computacionais na engenharia de sistemas digitais. 5.2.2 ANÁLISE DE ESTABILIDADE E CAUSALIDADE DA TZ A análise de estabilidade e causalidade são fundamentais na aplicação da Transformada Z (TZ) na modelagem e análise de sistemas dinâmicos discre- tos. A estabilidade é uma propriedade fundamental que determina a respos- ta de um sistema ao longo do tempo e sua capacidade de permanecer con- trolado. Ao aplicar a TZ para analisar equações de diferença que representam sistemas discretos, a localização dos polos no plano Z é um indicador crucial da estabilidade. Se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário, o siste- ma é considerado estável, o que é um critério essencial para o projeto confiá- vel de sistemas dinâmicos discretos (Lathi, 2008). 123 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A causalidade, por sua vez, está relacionada à capacidade do sistema de pre- ver a saída com base nas entradas atuais e passadas. A TZ permite uma aná- lise clara da causalidade, uma vez que a região de convergência associada à Transformada Z indica as condições sob as quais a resposta ao impulso do sistema é causal. O entendimento dessas condições é vital para garantir que a representação do sistema seja fisicamente realizável e esteja alinhada com o comportamento esperado em aplicações práticas (Lathi, 2008). ESTABILIDADE E CAUSALIDADE Estabilidade Causalidade Propriedade fundamental que determina a resposta de um sistema ao longo do tempo e sua capacidade de permanecer controlado. Capacidade do sistema de prever a saída com base nas entradas atuais e passadas. Localização dos polos no plano z é um indicador crucial da estabilidade. A região de convergência associada à transformada z indica as condições sob as quais a resposta ao impulso do sistema é causal. Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - quadro com linha de título e de texto dividido em duas colunas. À esquerda “Estabilidade” com o texto: Propriedade fundamental que determina a resposta de um sistema ao longo do tempo e sua capacidade de permanecer controlado. Localização dos polos no plano z é um indicador crucial da estabilidade. À direita “Causalidade” com o texto: Capacidade do sistema de prever a saída com base nas entradas atuais e passadas. A região de convergência associada à transformada z indica as condições sob as quais a resposta ao impulso do sistema é causal. Na prática, a análise de estabilidade e causalidade da TZ é frequentemente realizada durante o projeto e a implementação de sistemas discretos, espe- cialmente em aplicações críticas, como controle digital e processamento de sinais. O uso correto da TZ permite aos engenheiros avaliarem rapidamente a estabilidade de um sistema e verificar se a causalidade é mantida, proporcio- nando uma base sólida para decisões de projeto e garantindo o desempenho adequado do sistema em condições dinâmicas. 124 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767,de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 ETAPAS DE ANÁLISE Fonte: ©storyset, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de uma moça com prancheta na mão analisando três engrenagens dispostas no ar, numeradas e conectadas por uma faixa azul que passa acima e abaixo delas. No chão uma seta aponta a mesma direção crescente em que foram dispostas as engrenagens. Assim, a análise de estabilidade e causalidade são pontos centrais na utiliza- ção da TZ na engenharia de sistemas dinâmicos discretos. Esses conceitos são essenciais para garantir que as representações e modelos utilizados na análise e no projeto se alinhem com os princípios físicos e requisitos práticos, resultando em sistemas estáveis, eficientes e eficazes. 5.2.3 UTILIZAÇÃO DE SOFTWARE PARA PROJETO DE SISTEMAS DISCRETOS A utilização de software é bastante comum no projeto de sistemas discretos, oferecendo ferramentas poderosas para análise, simulação e implementação. Softwares especializados em engenharia, como MATLAB, Simulink e Python com bibliotecas como NumPy e SciPy, fornecem ambientes integrados que permitem aos engenheiros modelarem e analisarem sistemas dinâmicos dis- cretos de maneira eficiente. 125 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS SOFTWARES ESPECIALIZADOS EM ENGENHARIA Softwares Python Simulink MATLAB Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - esquema com um círculo central circundado por três círculos conectados por uma linha. No círculo do centro, lê-se Softwares; nos círculos ao redor, os textos são MATLAB, Simulink e Python. Diversos programas permitem a aplicação prática de conceitos como a Trans- formada Z na análise de sistemas discretos. Por meio dessas ferramentas, os engenheiros podem realizar simulações que incorporam equações de dife- rença, analisando o comportamento temporal e espectral dos sistemas. A capacidade de visualizar e interpretar os resultados de simulações facilita a tomada de decisões informadas durante o projeto. Além disso, programas de projeto de sistemas discretos oferecem recursos avançados para a implementação prática de algoritmos e estruturas compu- tacionais. Eles permitem a programação eficiente de sistemas de diferença direta e recursiva, facilitando a tradução de modelos teóricos em implemen- tações práticas, seja para controle digital, processamento de sinais ou comu- nicações digitais. Esses programas também são úteis para análise de estabili- dade, causalidade e desempenho computacional (Lathi, 2008). 126 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SOFTWARE Fonte: ©storyset, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração elaborada de posicionamento superior mostrando uma mesa sobre a qual há teclado, monitor, mouse, um vaso com planta e uma xícara de café. Há as mãos de uma pessoa digitando e aparecem balões de fala ao redor do teclado nos quais há códigos de programação. Na tela do monitor, há diversas linhas de código. A ilustração é toda em tons de verde. Em resumo, a utilização de software no projeto de sistemas discretos simpli- fica e acelera o processo de análise e implementação. Essas ferramentas ofe- recem uma abordagem prática e eficiente para engenheiros, permitindo que explorem uma variedade de cenários, otimizem parâmetros e validem seus projetos antes da implementação física, contribuindo assim para o avanço e a inovação em diversas áreas da engenharia e computação. Simulação computacional aplicada a Sinais – A estratégia de se utilizar software específico para Sinais e Sistemas é inteligente, no sentido de que se pode simular situações realísticas em computador, facilitando a realização de testes (Lathi, 2008). 127 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS CONCLUSÃO Esta unidade explorou aspectos centrais da análise e do projeto de sistemas discretos, destacando a relevância da Transformada Z (TZ) e outras ferramen- tas matemáticas. A TZ se mostra uma ferramenta versátil na modelagem e análise de sistemas dinâmicos discretos, proporcionando uma visão detalha- da das características espectrais e temporais desses sistemas. A análise de estabilidade e causalidade, fundamentada na TZ, emerge como um ponto focal essencial, permitindo aos engenheiros avaliarem a viabilidade e confia- bilidade de sistemas em uma variedade de aplicações. Ao abordar as estruturas computacionais, observamos como sistemas de di- ferença direta e recursiva oferecem abordagens distintas para implementar sistemas discretos. Cada abordagem tem suas próprias vantagens e é selecio- nada com base nas características específicas do sistema a ser modelado ou controlado. A compreensão dessas estruturas computacionais é fundamen- tal para escolhas informadas durante o projeto. A implementação de siste- mas dinâmicos discretos, em aplicações do mundo real, buscou apresentar as características da operação de convolução de sinais, de tal forma que essa operação e o significado da resposta ao impulso de um sistema carregam em si uma forte relação, que beneficia a análise e o projeto de sistemas dinâmicos em uma variedade de aplicações tecnológicas. Foram apresentados a definição e os princípios que regem a operação de convolução, tanto para sistemas contínuos ou discretos, estabelecendo uma ligação da natureza do sistema com as variáveis nele modeladas. Aplicações em sinais e sistemas fazem assim uso da convolução com propriedade, no intuito da caracterização completa de um sistema em análise. Por fim, foram descritas as relações entre a convolução e sistemas lineares e invariantes no tempo, em termos das informações que podem ser coletadas sobre sistemas a partir da observação de sua resposta ao impulso. 128 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 • Equação de diferenças: é uma equação que descreve as relações entre as amostras consecutivas de uma sequência discreta. Ela expressa a relação funcional entre os termos sucessivos de uma sequência por meio de operadores de diferença. • Recursão: refere-se à característica de um processo ou equação que depende de suas próprias interações anteriores. Em sistemas discretos, a recursão é comumente encontrada em equações de diferenças, em que o valor atual depende dos valores passados. • Referência direta: indica a relação ou conexão direta entre um componente ou sinal específico e o ponto de referência. Isso pode se aplicar a sistemas onde um sinal de entrada está diretamente relacionado a um ponto de referência sem passar por pontos intermediários. • Sistema discreto: sistema cujas variáveis de entrada e saída são funções definidas apenas em pontos discretos no tempo ou no espaço. Em oposição a sistemas contínuos, onde as variáveis são definidas em intervalos contínuos, sistemas discretos lidam com valores específicos em instantes específicos. • Transformada Z: é uma ferramenta matemática usada para analisar sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) discretos. Ela transforma uma sequência discreta no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência complexa, fornecendo uma representação útil para a análise e projeto de sistemas discretos. 129 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS MATERIAL COMPLEMENTAR Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a seguir: 1. Sistemas discretos e convolução (p. 2-14). 2. Transformada Z (p.18-43). 3. Série de Fourier de Sinais Discretos (p. 46-64). 4. Transformada de Fourier Aplicada ao Sinal Elétrico (p.6-35). 5. Sinais. https://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/EA616/Ivanil/LSS.pdf https://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/EA616/Ivanil/LSS.pdf https://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/EA616/Ivanil/LSS.pdfhttp://pee.ufrj.br/teses/textocompleto/2005021801.pdf http://pee.ufrj.br/teses/textocompleto/2005021801.pdf https://statics-submarino.b2w.io/produtos/5588382/documentos/5588382_1.pdf OBJETIVO Ao final desta unidade, esperamos que possa: 130 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS UNIDADE 6 > Compreender a definição de filtros seletivos de sinais e seus tipos. > Compreender as técnicas de projetos de filtros para sistemas LIT discretos. 131 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 6 TEORIA DE FILTROS INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade será dedicada à exploração da Teoria de Filtros, uma disciplina essencial no estudo de sistemas dinâmicos. Abordaremos a operação de fil- tragem como uma manipulação matemática de sinais, examinando suas re- presentações distintas nos domínios contínuo e discreto, cada uma indicativa de aplicações específicas na teoria de sinais e sistemas. Iniciaremos focalizando o conceito fundamental de filtragem de sinais, inves- tigando as implicações nos domínios contínuo e discreto. A Teoria de Filtros desempenha um papel crucial na análise de sistemas lineares invariantes no tempo, oferecendo insights sobre como esses sistemas reagem a diversas en- tradas ao longo do tempo. Apresentaremos tanto a filtragem contínua quan- to a filtragem discreta, destacando as nuances de cada abordagem e sua re- levância na modelagem e análise de sistemas. Ao contrário da abordagem direta de equações diferenciais ou de diferença, a filtragem proporciona uma perspectiva única para compreender a relação entre a entrada e a saída em sistemas dinâmicos. No contexto contínuo, a filtragem é representada por uma operação que descreve como cada ins- tante de tempo contribui para a resposta do sistema. Já no domínio discre- to, a filtragem é expressa por uma soma ponderada dos valores dos sinais em diferentes instantes, revelando como o sistema responde a sequências discretas de entrada. Ao explorar a Teoria de Filtros, você desenvolverá uma compreensão sólida das ferramentas matemáticas essenciais para analisar e modelar sistemas di- nâmicos com foco especial na filtragem de sinais. Essa habilidade será funda- mental para avaliar o comportamento de sistemas diante de uma variedade de entradas, fortalecendo sua capacidade de análise e interpretação no con- texto mais amplo da teoria de sinais e sistemas. 132 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 6.1 FUNDAMENTOS DE FILTROS Os Fundamentos de Filtros constituem a base essencial para compreender a operação e a aplicação destes dispositivos em sistemas dinâmicos. Um filtro, em sua essência, é um componente que modifica as características de um si- nal, destacando ou suprimindo determinadas frequências. Ao mergulharmos nos fundamentos, deparamo-nos com conceitos-chave que delineiam a teo- ria por trás desses dispositivos, permitindo-nos analisar como eles moldam e aprimoram sinais em diversos contextos. FILTRO DE SINAIS Fonte: ©aspsan, Freepik (2023). #pratodosverem - foto de parte do painel de controle de um mixer de som. Ao explorar os Fundamentos de Filtros, é crucial compreender os diferentes tipos de filtros e suas aplicações específicas. Filtros passa-baixa, passa-alta e passa faixa são exemplos comuns, cada um projetado para atender a necessi- dades particulares em termos de frequência de sinal. 133 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS TIPOS DE FILTRO Filtros passa-baixa Filtros passa-alta Filtros passa-faixa Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - três retângulos com textos: Filtros passa-baixa; Filtros passa-alta; e Filtros passa-faixa. No domínio prático, os filtros desempenham um papel vital em diversas áre- as, desde processamento de áudio e imagem até telecomunicações, adap- tando-se às exigências específicas de cada aplicação. A análise matemática é um aspecto fundamental no projeto de filtros, permi- tindo-nos modelar e compreender o comportamento desses dispositivos de maneira precisa. De equações que descrevem a resposta em frequência até métodos de projeto que visam atender a critérios específicos, a análise matemática desempenha um papel central na capacidade de projetar filtros personalizados para aplicações específicas. Essa compreensão profunda dos fundamentos matemáticos é essencial para engenheiros e pesquisadores que buscam otimizar o desempenho de siste- mas por meio da implementação eficiente de filtros. 134 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 6.1.1 CONCEITO DE FILTRAGEM: ALTERAÇÃO SELETIVA DE COMPONENTES DE FREQUÊNCIA EM UM SINAL A filtragem é um conceito fundamental que permeia diversas áreas da en- genharia e ciências aplicadas, envolvendo a alteração seletiva de com- ponentes de frequência em um sinal. Esse processo visa modular as características espectrais de um sinal, destacando ou atenuando determi- nadas faixas de frequência conforme a necessidade específica da aplicação. A compreensão do conceito de filtragem é essencial para a manipulação efi- caz de sinais em áreas como processamento de áudio, telecomunicações e processamento de imagens. SINAIS EM TELECOMUNICAÇÕES Fonte: ©macrovector, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração com fundo amarelo contendo uma torre de telecomunicações no centro e diversos elementos ao redor todos conectados por Wi-Fi; há notebook, impressora, smartphone, smartwatch, máquinas de cartão de crédito etc. No cerne do conceito de filtragem está o funcionamento básico de um fil- tro, que age como um dispositivo capaz de passar ou bloquear diferentes fai- xas de frequência em um sinal. Os filtros podem ser projetados para permi- tir a passagem de frequências abaixo de um determinado ponto de corte (filtros passa-baixa), acima desse ponto (filtros passa-alta) ou em uma faixa específica (filtros passa-faixa). 135 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS PASSAGEM DE FREQUÊNCIAS Filtros passa-alta: passagem da frequência acima do ponto de corte Filtros passa-baixa: passagem da frequência abaixo do ponto de corte Filtros passa-faixa: passagem da frequência em faixa específica Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - esquema com três setas; uma aponta para cima e ao lado tem o texto: Filtros passa-alta: passagem da frequência acima do ponto de corte; uma aponta para a direita e ao lado traz o texto Filtros passa-faixa: passagem da frequência em faixa específica; a terceira aponta para baixo e traz o texto Filtros passa-baixa: passagem da frequência abaixo do ponto de corte. Essa capacidade seletiva torna os filtros ferramentas poderosas na adaptação de sinais às exigências de uma aplicação específica. Aplicação: A aplicação do conceito de filtragem é vital na análise de sinais complexos. Exemplo: em análises de áudio, um filtro pode ser empregado para realçar as frequências relevantes de uma voz humana, ignorando os ruídos indesejados. Vantagem: Essa habilidade de alteração seletiva permite uma interpretação mais clara e eficaz dos sinais em diversos contextos, proporcionando uma ferramenta valiosa na pesquisa e desenvolvimento de tecnologias (Lathi, 2008). 136 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Apesar de sua importância, a filtragem enfrenta desafios contínuos à medida que as tecnologias avançam. A demanda por filtros mais precisos, eficientes e adaptáveis impulsiona a pesquisa em áreas como filtros adaptativos e téc- nicas avançadas de processamento de sinal. O conceito de filtragemestá in- trinsecamente ligado à evolução da tecnologia, com tendências emergentes prometendo abordagens mais sofisticadas e eficientes para a manipulação seletiva de componentes de frequência em sinais. Uma curiosidade sobre a filtragem de sinais está relacionada ao seu papel na melhoria da qualidade de áudio em gravações musicais. Em estúdios de gravação profissionais, os engenheiros de som frequentemente aplicam técnicas de filtragem para destacar ou atenuar frequências específicas, ajustando o equilíbrio tonal das faixas musicais. O uso cuidadoso de filtros permite aprimorar a clareza das vozes, realçar instrumentos específicos e controlar a presença de ruídos indesejados, contribuindo para a produção de áudio de alta qualidade (Lathi, 2008). 6.1.2 TIPOS DE FILTROS: PASSA-BAIXAS, PASSA-ALTAS, PASSA-FAIXA E REJEITA-FAIXA A classificação dos filtros de acordo com suas características de passagem e rejeição de frequências é essencial para compreender as diversas aplicações na teoria de sinais e sistemas. Dentre os principais tipos de filtros, destacam- -se os passa-baixas, passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa. Cada um destes de- sempenha um papel específico na manipulação de sinais, adaptando-se às necessidades particulares de uma ampla gama de aplicações (Lathi, 2008). 137 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Filtros passa-baixas: permitem a passagem de frequências abaixo de uma determinada frequência de corte, atenuando aquelas acima desse ponto. Esses filtros são frequentemente empregados para eliminar componentes de alta frequência indesejados, sendo utilizados em sistemas de áudio para melhorar a qualidade sonora, por exemplo, na reprodução de graves e médios (Lathi, 2008). Filtros passa-altas: permitem a passagem de frequências acima de um determinado ponto de corte, enquanto atenuam aquelas abaixo desse limite. Esses filtros são úteis em situações em que se deseja realçar ou destacar componentes de alta frequência em um sinal, sendo aplicados em áreas como processamento de imagens para destacar contornos ou bordas (Lathi, 2008). Filtros passa-faixa: permitem a passagem de frequências dentro de uma faixa específica, atenuando aquelas fora dessa faixa. Esse tipo de filtro é comumente utilizado em comunicações, onde é necessário isolar e transmitir uma banda específica de frequências, garantindo uma comunicação eficiente e livre de interferências (Lathi, 2008). Filtros rejeita-faixa: também conhecidos como filtros notch, fazem o oposto dos passa- faixa, rejeitando ou atenuando uma faixa de frequências específica, enquanto permitem a passagem das demais. São amplamente utilizados para eliminar interferências de frequências específicas em sinais, como em sistemas de transmissão de dados e em aplicações de controle para suprimir ruídos indesejados (Lathi, 2008). 138 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Cada tipo de filtro possui aplicações específicas, sendo escolhido de acordo com as características desejadas em um determinado sistema. A compreen- são desses diferentes tipos de filtros é crucial para engenheiros e pesquisa- dores que buscam otimizar o desempenho de sistemas em variados contex- tos, desde eletrônica e telecomunicações até processamento de sinais em áreas como áudio e imagem. Essa diversidade de filtros fornece ferramentas fundamentais para a adaptação de sinais às exigências particulares de cada aplicação (Diniz; Silva; Netto, 2014). Filtros Seletores referem-se a dispositivos ou circuitos projetados para permitir a passagem preferencial de sinais em determinadas faixas de frequência, enquanto atenuam ou bloqueiam aquelas fora dessa faixa (Frank, 2008). Ganho de um filtro refere-se à amplificação ou atenuação que um filtro aplica a um sinal em uma determinada faixa de frequência. O ganho é expresso como a razão da amplitude do sinal de saída para a amplitude do sinal de entrada. Um ganho positivo indica amplificação, enquanto um ganho negativo denota atenuação (Frank, 2008). Largura de Banda de um Filtro refere-se à extensão da faixa de frequência em que o filtro opera de maneira eficaz. É determinada pela diferença entre as frequências de corte ou pelos pontos em que o ganho do filtro atinge valores específicos, sendo um parâmetro crítico que influencia a capacidade do filtro em selecionar ou rejeitar determinadas frequências (Frank, 2008). 139 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS 6.1.3 PROJETO DE FILTROS IDEAIS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA O projeto de filtros ideais no domínio da frequência é relevante na engenha- ria de sistemas de comunicação e processamento de sinais. Esses filtros são concebidos para atender a especificações precisas de passagem ou rejeição de determinadas frequências, e o projeto ideal visa alcançar uma resposta de frequência desejada sem nenhuma distorção. Apesar de sua concepção teó- rica, os filtros ideais no domínio da frequência oferecem um ponto de partida valioso para entender as características fundamentais desejadas em aplica- ções específicas (Roberts, 2010). TORRES DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO Fonte: ©macrovector, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de várias torres de comunicação. 140 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Os filtros ideais no domínio da frequência são categorizados também como passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa, cada um projetado para atender a requisitos específicos. O filtro passa-baixas ideal, como já afirma- do, permitiria a passagem completa de frequências abaixo de uma deter- minada frequência de corte, atenuando instantaneamente aquelas acima. Da mesma forma, um filtro passa-altas ideal permitiria apenas a passagem de frequências acima de uma certa frequência de corte. Essa idealização serve como uma referência útil, embora a implementação prática de fil- tros inevitavelmente envolva compromissos e considerações de engenharia (Roberts, 2010). O projeto de filtros ideais no domínio da frequência, embora valioso para en- tender conceitualmente os requisitos do filtro, enfrenta desafios significati- vos na implementação prática. Desafios: A realização de filtros ideais em sistemas físicos pode levar a fenômenos como o overshoot, onde ocorre uma resposta transitória além do desejado, e à impossibilidade de implementar abruptas transições de frequência. Além disso, a implementação real de filtros frequentemente exige considerações práticas, como a escolha de componentes eletrônicos, que podem introduzir limitações em relação à idealização inicial (Roberts, 2010). Apesar dos desafios, os filtros ideais no domínio da frequência continuam sendo uma ferramenta valiosa em áreas como processamento de áudio, co- municação sem fio e sistemas de controle. O desenvolvimento contínuo de técnicas de projeto, juntamente com avanços na tecnologia de componentes eletrônicos, tem permitido a aproximação cada vez maior da resposta de fre- quência ideal em sistemas práticos (Roberts, 2010). 141 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS COMUNICAÇÃO Fonte: ©creativeart, Freepik (2023). #pratodosverem - fotografia mostra a mão de uma pessoa e três bolhas com desenho do planeta Terra. A pessoa tem o planeta na palma da mão. Esses aperfeiçoamentos contribuem para a eficácia dos filtros em aplicações do mundo real, impulsionando avanços contínuos na engenharia de sistemas e processamento de sinais. 6.2 PROJETO DE FILTROS EM SISTEMAS LIT DISCRETOS O projeto de filtros em sistemas de tempo discreto é uma disciplina essencial na área de processamento de sinais digitais, proporcionando a capacidadede moldar e adaptar sinais discretos de acordo com as necessidades específicas de uma aplicação. Diferentemente dos sistemas contínuos, os sistemas de tempo discreto operam em amostras discretas do sinal, o que exige aborda- gens distintas de projeto para garantir a eficácia do filtro. O projeto de filtros em sistemas LIT (Lineares e Invariantes no Tempo) discretos envolve a escolha criteriosa de parâmetros e a consideração cuidadosa das limitações inerentes a sistemas discretos (Roberts, 2010; Frank, 2008). 142 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 PROCESSAMENTO DE SINAIS DIGITAIS Fonte: ©macrovector, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de dezesseis elementos relacionados a processamento de sinais organizados em quatro colunas e quatro fileiras. Há botão liga/desliga, reconhecimento facial, smartphone em processo de reconhecimento; senha digital com pontos, mão com destaque para as digitais, leitura ocular, impressão digital etc. O projeto de filtros em sistemas LIT discretos envolve a definição de carac- terísticas específicas que se deseja alcançar. Isso inclui a determinação da resposta em frequência desejada, a largura de banda do filtro, a atenuação ou amplificação necessária em diferentes faixas de frequência e outros pa- râmetros que moldam o comportamento do filtro. Essas especificações são fundamentais para guiar o processo de projeto e garantir que o filtro atenda aos requisitos específicos da aplicação. Existem várias metodologias de projeto de filtros em sistemas LIT discre- tos, sendo as mais comuns baseadas em técnicas de transformada de Fourier discreta (DFT) e transformada Z (Frank, 2008; Roberts, 2010; Diniz; Silva; Netto, 2014). 143 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS A DFT é frequentemente utilizada para análise e síntese de sistemas discretos no domínio da frequência, enquanto a transformada Z é uma ferramenta poderosa para representar sistemas LIT discretos no domínio Z (Diniz; Silva; Netto, 2014). O projeto de filtros em sistemas discretos geralmente envolve a escolha ade- quada de uma função de transferência ou uma resposta ao impulso que sa- tisfaça as especificações desejadas. O projeto de filtros em sistemas LIT discretos enfrenta desafios próprios, in- cluindo questões relacionadas à implementação prática, como a quantização de coeficientes e a escolha de estruturas de filtro eficientes. Além disso, a otimização de filtros em sistemas discretos muitas vezes envolve o equilíbrio entre a complexidade do filtro e a eficiência computacional, considerando as restrições de hardware. A constante evolução da tecnologia digital tem impul- sionado inovações contínuas nesse campo, permitindo o desenvolvimento de filtros mais sofisticados e eficazes para aplicações em sistemas LIT discretos (Frank, 2008; Roberts, 2010). 6.2.1 PROJETO DE FILTROS UTILIZANDO A RESPOSTA EM FREQUÊNCIA O projeto de filtros utilizando a resposta em frequência é uma abordagem fundamental na engenharia de sinais, fornecendo uma maneira eficaz de especificar e atingir características desejadas em sistemas de filtragem. Ao focar a resposta em frequência, os engenheiros podem visualizar como um filtro afeta diferentes componentes de frequência do sinal, permitindo uma modelagem precisa do comportamento desejado. A resposta em frequência é uma representação gráfica da magnitude e fase da saída do filtro em re- lação à frequência de entrada, sendo uma ferramenta valiosa para projetar filtros adaptados às necessidades específicas de uma aplicação. 144 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 O processo de projeto de filtros com base na resposta em frequência começa com a especificação detalhada das características desejadas. Isso inclui a de- terminação da faixa de frequência de interesse, a atenuação ou amplificação necessária em diferentes faixas e outros parâmetros específicos. Com essas especificações em mente, os engenheiros podem utilizar técnicas matemáti- cas e ferramentas computacionais para projetar filtros que atendam precisa- mente aos requisitos estabelecidos. PAINEL DE CONTROLE DE ÁUDIO Fonte: Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração de painel de controle de áudio. 145 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Após a implementação do filtro, a resposta em frequência é avaliada em re- lação às especificações iniciais. Esse processo muitas vezes envolve ajustes interativos nos parâmetros do filtro para garantir que a resposta em frequên- cia atenda de maneira ótima aos requisitos estabelecidos. Ferramentas como software de simulação e análise de sinais são frequentemente empregadas para auxiliar nessa etapa, permitindo uma análise detalhada da resposta do filtro e facilitando ajustes precisos. O projeto baseado na resposta em frequ- ência oferece uma abordagem robusta e flexível, permitindo a adaptação de filtros para uma variedade de aplicações, desde telecomunicações até pro- cessamento de áudio e imagem. 6.2.2 FILTROS ANALÓGICOS E DIGITAIS: DIFERENÇAS E SEMELHANÇAS Filtros analógicos e digitais são elementos fundamentais em engenharia de sinais, cada um com características distintas que os tornam adequados para diferentes aplicações. Uma das principais diferenças reside na representa- ção dos sinais. Enquanto os filtros analógicos operam em sinais contínuos no tempo, os filtros digitais lidam com sinais discretizados em amostras. Essa distinção é essencial, pois os filtros analógicos são implementados utilizando componentes eletrônicos, enquanto os digitais dependem de processadores para manipulação de dados discreto (Lathi, 2008; Diniz; Silva; Netto, 2014). O projeto de filtros analógicos e digitais também difere em termos de me- todologias e ferramentas utilizadas. Filtros analógicos são frequentemente projetados com base em circuitos eletrônicos, utilizando componentes como resistores, capacitores e indutores. Em contrapartida, filtros digitais são con- cebidos por meio de algoritmos matemáticos e técnicas de processamento de sinais digitais. Ambos os tipos de filtro compartilham a necessidade de especificações detalhadas, como a resposta em frequência desejada, mas a abordagem de projeto é adaptada às características inerentes de cada siste- ma (Lathi, 2008; Diniz; Silva; Netto, 2014). 146 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 DIFERENÇAS ENTRE FILTROS ANALÓGICOS E DIGITAIS Filtros analógicos Filtros digitais Operam em sinais contínuos no tempo. Lidam com sinais discretizados em amostras. Implementados utilizando componentes eletrônicos. Dependem de processadores para manipulação de dados discretos. Frequentemente projetados com base em circuitos eletrônicos, utilizando componentes como resistores, capacitores e indutores. Concebidos por meio de algoritmos matemáticos e técnicas de processamento de sinais digitais. Fonte: elaborado pelo autor (2023). #pratodosverem - quadro com duas colunas e os títulos Filtros analógicos e Filtros digitais. À esquerda, o texto de Filtros analógicos é Operam em sinais contínuos no tempo. Implementados utilizando componentes eletrônicos. Frequentemente projetados com base em circuitos eletrônicos, utilizando componentes como resistores, capacitores e indutores. E à direita, o texto de Filtros digitais é Lidam com sinais discretizados em amostras. Dependem de processadores para manipulação de dados discretos. Concebidos por meio de algoritmos matemáticos e técnicas de processamento de sinais digitais. Apesar das diferenças, tanto filtros analógicos quanto digitais possuem flexi- bilidade e aplicações específicas. Filtros analógicos são muitas vezespreferi- dos em sistemas que lidam principalmente com sinais contínuos, como em processamento de áudio ou em transmissão de rádio. Por outro lado, os filtros digitais oferecem vantagens em termos de flexibilidade de projeto, facilidade de ajuste e a capacidade de integração eficiente em sistemas digitais mais amplos (Lathi, 2008). 147 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS PROCESSAMENTOS DE SINAIS Fonte: ©storyset, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração colorida de grande aparelho de áudio sendo operado por uma pessoa. Ambos têm suas limitações, com os analógicos suscetíveis a ruídos e distor- ções, enquanto os digitais podem enfrentar desafios associados à precisão de amostragem e processamento em tempo real. A escolha entre filtros analógi- cos e digitais depende das exigências específicas da aplicação e das caracte- rísticas desejadas do sistema. 6.2.3 PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DE FILTROS COM TÉCNICAS DE APROXIMAÇÃO E OTIMIZAÇÃO O projeto de filtros com técnicas de aproximação e otimização representam uma técnica avançada na engenharia de sinais, permitindo a criação de fil- tros personalizados com desempenho otimizado para requisitos específicos. Tais técnicas são fundamentais para ajustar a resposta em frequência e ou- tras características do filtro de acordo com as necessidades precisas da apli- cação, seja em telecomunicações, processamento de áudio ou outras áreas (Diniz; Silva; Netto, 2014). 148 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 Técnicas de aproximação, como as de Chebyshev, Butterworth e elípticas, são comumente empregadas no projeto de filtros para alcançar metas es- pecíficas de resposta em frequência. Cada uma dessas técnicas oferece van- tagens distintas, permitindo o equilíbrio entre a planicidade da resposta de frequência, a largura de banda de transição e a atenuação nas bandas de parada. A escolha entre essas técnicas depende das especificações da apli- cação e dos compromissos aceitáveis em termos de desempenho do filtro (Diniz; Silva; Netto, 2014). ONDAS SONORAS Fonte: ©rawpixel.com, Freepik (2023). #pratodosverem - ilustração em fundo preto e ondas sonoras variadas. A otimização de parâmetros, como coeficientes de filtro, e a escolha efi- ciente de estruturas de filtro são aspectos cruciais do processo de projeto. Técnicas de otimização, como algoritmos genéticos ou algoritmos evolu- tivos, podem ser empregadas para encontrar conjuntos ideais de parâme- tros que maximizem o desempenho do filtro em relação às especificações desejadas. Além disso, a escolha cuidadosa da estrutura do filtro, como a ordem e a configuração, é fundamental para garantir a eficácia do filtro na implementação prática. 149 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS Após o projeto, a implementação eficiente do filtro no domínio analógico ou digital é fundamental. Em sistemas digitais, a implementação geralmente envolve a utilização de algoritmos específicos e processadores de sinais digi- tais (DSP), enquanto em sistemas analógicos, a consideração dos componen- tes eletrônicos é fundamental. A validação do desempenho do filtro é realiza- da por meio de técnicas de teste e medição, garantindo que a resposta em frequência e outras características atendam às especificações estabelecidas. O projeto e a implementação de filtros com técnicas avançadas proporcio- nam uma flexibilidade significativa na adaptação desses dispositivos a uma variedade de aplicações, demonstrando a importância contínua da inovação nesse campo (Nalon, 2013). Requisitos para projeto de filtros – Os requisitos para projetos de filtros guiam as decisões dos engenheiros para atender às necessidades específicas de uma aplicação. Esses requisitos incluem parâmetros como a resposta em frequência desejada, atenuação nas bandas de rejeição, largura de banda de transição e ordem do filtro. Além disso, considerações práticas, como restrições de recursos computacionais, custos e limitações de hardware, também são essenciais (Nalon, 2013). 150 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 CONCLUSÃO Nessa unidade, exploramos os fundamentos e aplicações dos filtros, abordan- do tanto os conceitos teóricos quanto as práticas de projeto e implementa- ção. Discutimos a importância da resposta em frequência na concepção de filtros, destacando técnicas de aproximação e otimização que possibilitam a adaptação desses dispositivos às especificações detalhadas de uma aplica- ção. Compreendemos que a escolha entre filtros analógicos e digitais envolve considerações específicas, sendo influenciada pelas características e deman- das do sistema em questão. Além disso, reconhecemos a relevância da flexi- bilidade oferecida por filtros, permitindo ajustes precisos para atender a uma variedade de requisitos. Ao abordar a teoria de filtros e suas aplicações práticas, reconhecemos a ne- cessidade de um equilíbrio cuidadoso entre os requisitos do projeto, a com- plexidade da implementação e as limitações práticas. • Filtragem: corresponde ao processo de aplicar um filtro a um sinal. O filtro pode ser analógico ou digital e é projetado para selecionar ou atenuar componentes específicos do sinal. • Filtro passa-altas: filtro que permite a passagem de frequências mais altas enquanto atenua as frequências mais baixas. É frequentemente usado para remover componentes de baixas frequências de um sinal. • Filtro passa-baixas: filtro que permite a passagem de frequências mais baixas enquanto atenua as frequências mais altas. É comumente usado para suavizar ou reduzir o ruído de altas frequências em um sinal. 151 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 SINAIS E SISTEMAS • Filtro passa-faixa: filtro que permite a passagem de um intervalo específico de frequências, bloqueando tanto as frequências mais baixas quanto as mais altas. Esse tipo de filtro é útil quando é desejado isolar um determinado intervalo de frequências em um sinal. • Filtro rejeita-faixa: filtro que atenua um intervalo específico de frequências enquanto permite a passagem das frequências fora desse intervalo. É utilizado quando se deseja suprimir ou eliminar uma banda estreita de frequências indesejadas. MATERIAL COMPLEMENTAR Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a seguir: 1. Filtros digitais por transformadas de Fourier aplicados em eletroquímica. 2. Estudo comparativo sobre filtragem de sinais instrumentais usando transformadas de Fourier e Wavelet. 3. Filtragem mista para sistemas lineares incertos discretos no tempo. 4. Filtros Ativos (p 1-14). 5. Utilização de filtro de transformada de Fourier para a minimização de ruídos em sinais analíticos. https://www.scielo.br/j/qn/a/gQs5CqkdQsh8nFM5N4MYnzC/?format=pdf&lang=pt https://www.scielo.br/j/qn/a/gQs5CqkdQsh8nFM5N4MYnzC/?format=pdf&lang=pt https://www.scielo.br/j/qn/a/pcJxyRmgfjMm6ZmwKtHMjCx/?lang=pt&format=pdf https://www.scielo.br/j/qn/a/pcJxyRmgfjMm6ZmwKtHMjCx/?lang=pt&format=pdf https://www.scielo.br/j/qn/a/pcJxyRmgfjMm6ZmwKtHMjCx/?lang=pt&format=pdf https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/lacerda/KL18.pdf https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/lacerda/KL18.pdf https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/7475375/mod_resource/content/2/Exemplo%20-%20Relatorio%20Bem%20Elaborado%201.pdf https://www.scielo.br/j/qn/a/hTR8VbLNqbFDPCKcgkfzJMb/?format=pdf&lang=pt https://www.scielo.br/j/qn/a/hTR8VbLNqbFDPCKcgkfzJMb/?format=pdf&lang=pt https://www.scielo.br/j/qn/a/hTR8VbLNqbFDPCKcgkfzJMb/?format=pdf&lang=pt 152 SINAIS E SISTEMAS MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017 REFERÊNCIAS ALVES,J. M. Filtros Ativos. São Carlos: Universidade de São Paulo, 2011. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/7475375/mod_resource/content/2/Exemplo%20-%20 Relatorio%20Bem%20Elaborado%201.pdf. Acesso em: 14 dez. 2023. ARAÚJO, A. F. R. Sinais e sistemas lineares. Recife: Centro de Informática; UFPE, [20--?]. Disponível em: https://www.cin.ufpe.br/~dmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf. Acesso em: 25 nov. 2023. BELARDI, A. A. et al. PEL 304 – Aplicações em processamento de sinais. São Bernardo do Cam- po/SP: Centro Universitário FEI, 2020. Disponível em: https://fei.edu.br/~isanches/pel304/pel304- -aulas_1_e_2.pdf. Acesso em: 25 nov. 2023. BONATTI, I. S.; LOPES, A.; PERES, P. L. D. Linearidade em Sinais e Sistemas. Campinas: UNICAMP, 2009. Disponível em: https://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/EA616/Ivanil/LSS.pdf. Acesso em: 28 set. 2023. CARVALHO, J. Introdução à Análise de Sinais e Sistemas. Grupo GEN, 2015. ISBN 9788595155220. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595155220/. CERQUEIRA, E. O. et al. Utilização de filtro de transformada de Fourier para a minimização de ruídos em sinais analíticos. Química Nova, [s. l.], v. 23, n. 5, p. 690–698, 2000. Disponível em: https:// doi.org/10.1590/S0100-40422000000500019. Acesso em: 14 dez. 2023. DINIZ, P. S. R.; SILVA, E. A. B.; NETTO, S. L. Processamento digital de sinais. Porto Alegre: Book- man, 2014. E-book. ISBN 9788582601242. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com. br/#/books/9788582601242/. Acesso em: 28 set. 2023. FRANK, V. Sistemas digitais: projeto, otimização e HDLs. Porto Alegre: Bookman, 2008. Dispo- nível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577802371/. Acesso em: 28 set. 2023. GALVÃO, R. K. H. et al. Estudo comparativo sobre filtragem de sinais instrumentais usando transformadas de Fourier e Wavelet. Quim. Nova, [s. l.], v. 24, n. 6, p. 874-884, 2001. 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Filtros digitais por transformadas de Fourier aplicados em eletroquímica. Química Nova, [s. l.], v. 36, n. 1, p. 165-170, 2013. Disponível em: https://doi.org/10.1590/S0100- 40422013000100027. 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Representação de um sinal contínuo: existência para todo t Representação de um sinal discreto: existência para alguns t Sinal deslocado Sinal Escalonado Sinal discreto invertido Leonhard Euler (1707-1783) Diagrama de blocos de um sistema Zenão de Cítio (333 a.C.-263 a.C.) Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (1736-1813) e Henri Poincaré (1854-1912) Utilização de equações diferenciais para a modelagem de sistemas Sistema massa-mola Função impulso Função degrau Análise de estabilidade Sinal discreto Exemplo de um sinal discreto gerado por recorrência Função impulso no tempo discreto Função degrau no tempo discreto. Equipamento de áudio Norbert Wiener (1894-1964) Definição de convolução Convolução entre dois sinais Propriedades da convolução Representação de edição de imagem Ondas sonoras Sistemas de comunicação Resposta de um sistema a uma entrada arbitrária Teorema da Convolução Resposta de um sistema nos domínios temporal e da frequência Processamento de sinais biomédicos Joseph Fourier (1768-1830) Sinais analógicos Relação entre sinais no tempo e na frequência. Exemplo de aplicação da transformada de Fourier Cálculos Associação entre o teorema da convolução e a transformada de Fourier Resposta em frequência Diagrama de Bode Frequência Amplificando frequências Controles de frequência Processamento de sinais digitais e telecomunicações Frequência de comunicação Amplitude do sinal Círculo unitário Comportamento espectral de sistemas Circuitos de computador Análise das exigências do sistema Etapas de análise Softwares especializados em engenharia Software Filtro de sinais Tipos de filtro Sinais em telecomunicações Passagem de frequências Torres de sistemas de comunicação Comunicação Processamento de sinais digitais Painel de controle de áudio Processamentos de sinais Ondas sonoras Apresentação da disciplina 1 TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS INTRODUÇÃO DA UNIDADE 1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS 1.2 ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO 2 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS E DISCRETOS INTRODUÇÃO DA UNIDADE 2.1 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS 2.2 SISTEMAS LIT DISCRETOS 3 CONVOLUÇÃO INTRODUÇÃO DA UNIDADE 3.1 CONCEITO DE CONVOLUÇÃO 3.2 APLICAÇÕES DA CONVOLUÇÃO 4 ESPECTRO DE SINAIS E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA INTRODUÇÃO DA UNIDADE 4.1 TRANSFORMADA DE FOURIER (TF) 4.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE SISTEMAS LIT 5 ESTRUTURAS COMPUTACIONAIS PARA SISTEMAS DISCRETOS INTRODUÇÃO DA UNIDADE 5.1 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E A TRANSFORMADA Z (TZ) 5.2 IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS 6 TEORIA DE FILTROS INTRODUÇÃO DA UNIDADE 6.1 FUNDAMENTOS DE FILTROS 6.2 PROJETO DE FILTROS EM SISTEMAS LIT DISCRETOS REFERÊNCIAS
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