APOSTILA CIRCUITOS-Goulart Cap 8

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“Circuitos Resistivos” 203
8 – EQUAÇÕES DE LAÇOS 
 
 As equações de laços ocorrem quando usamos um outro método 
sistemático para a análise de circuitos. Neste método, é usualmente 
mais conveniente tratar cada elemento de circuito como um ramo 
separado, exceto as resistências em paralelo, que devem ser 
combinadas em ramos simples. No capítulo 6 demonstramos que, 
num circuito contendo B ramos e N nós, as correntes podem ser 
expressas em função de L=B–N+1 correntes independentes pela lei 
das correntes de Kirchhoff (teorema 4). Esta constitui a primeira 
etapa do método dos laços e é das mais importantes. A tensão de cada 
ramo puramente resistivo é dada por e=Ri, então, se todas as fontes 
forem fontes independentes de tensão, todas as tensões desconhecidas 
poderão ser expressas em função das L correntes independentes. A 
lei das tensões de Kirchhoff dará então L equações independentes, 
que poderão ser resolvidas simultaneamente para determinar as 
correntes desconhecidas. O método será ilustrado através do 
Exemplo 112. 
 
Exemplo 112: Determine todas as correntes no circuito da Figura 
148–(a). 
 
Solução: A primeira tarefa é exprimir todas as correntes em função 
de L=B–N+1= 6–5+1=2 correntes independentes. 
 Um procedimento para escolher o número necessário de 
correntes independentes, amparado nos comentários feitos depois do 
teorema 4, é o seguinte: uma árvore (que é uma coleção de ramos 
unindo todos os nós do circuito, mas sem formar percursos fechados) 
deve ser inicialmente escolhida. As correntes das ligações (aqueles 
ramos não pertencentes à árvore) constituem sempre um conjunto 
satisfatório de correntes independentes. Para a árvore indicada na 
Figura 148–(b), as ligações são as resistências de 3[Ω] e 4[Ω]. Como 
indicado na Figura, a corrente de cada elemento é facilmente 
expressa em função das duas correntes das ligações i1 e i2. 
 
 
 
“Circuitos Resistivos” 204
6 Ω
2 Ω
4 Ω3 Ω
60 V
24 V
6 Ω
2 Ω
4 Ω3 Ω
24 V
6 Ω
2 Ω
4 Ω6 Ω
24 V
60 V60 V
i1 i2
3i1 V
6 Ω60 V i1 6(i1 – i2)V
i2
6 Ω
24 V
i2
6(i2 – i1)V
4 Ω
4i2 V
2 Ω 2i2 V
i1
(a) (b)
(c)
(d)
(e) 
 
Figura 148 – (a) Circuito do Exemplo 112, (b) destaque da 
árvore (em linhas grossas) e das ligações, (c) circuito 
mostrando as duas correntes de laço escolhidas, (d) 
destaque para o laço da esquerda, (d) idem para o laço da 
direita. 
 Ao invés de mostrar formalmente as correntes de cada ramo, 
como na Figura 148–(b), podemos usar o conceito de correntes de 
laços. Cada uma das duas ligações forma com outros ramos do 
circuito, mas nenhuma outra ligação, um caminho fechado único. 
Correntes de laços são definidas fazendo–se as correntes das 
ligações circularem ao longo destes percursos fechados (ou laços), 
como indicado na Figura 148–(c). A corrente real que passa em cada 
ramo será então a soma algébrica das correntes de laço passando por 
ele. Portanto, a corrente passando de cima para baixo pelo ramo 
contendo a resistência de 6[Ω] é i1–i2, o que está de acordo com a 
“Circuitos Resistivos” 205
Figura 148(b). Da mesma forma, a corrente passando de baixo para 
cima nesta mesma resistência de 6[Ω] é i2–i1. 
 O simples ato de desenhar as correntes de laços já satisfaz 
automaticamente a lei das correntes de Kirchhoff em todos os nós. 
Como cada corrente de laço circula ao longo de um percurso fechado, 
as correntes de laços que entram em um nó sempre saem dele por 
outro ramo. 
 Agora, pela lei de Ohm, a tensão nos terminais de cada 
resistência pode ser expressa em função das (duas) correntes de laços. 
Os comentários feitos após o teorema 3 mostraram que os laços 
definidos pelas ligações de um grafo (circuito) são independentes 
(devido a que cada laço contém uma ligação diferente), e que a lei das 
tensões de Kirchhoff, aplicada a cada um dos laços produz um 
conjunto de L(=2) equações independentes, que podem ser resolvidas 
para se obter as L correntes de laços desconhecidas. 
 As tensões no laço da esquerda estão mostradas na Figura 148–
(d). Pela lei das tensões de Kirchhoff, 
6(i1–i2)+3i1–60=0 
 Para o laço da direita, cujas tensões estão mostradas na Figura 
148–(e), 
2i2+24+4i2+6(i2–i1)=0 
 Reunindo os termos semelhantes, resulta que: 
24i)642(i6
60i6i)36(
21
21
−=+++−
=−+
 (230) 
 Resolvendo o sistema de Eqs. (230), obtemos que i1=8[A] e 
i2=2[A]. E que a corrente circulando para baixo na resistência de 6[Ω] 
é i1–i2=6[A]. 
 Após a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff a cada um dos L 
laços independentes, as equações são simplificadas reunindo–se os 
termos semelhantes. Vamos, no entanto, reexaminar o Exemplo 112 
para ver como é possível escrever as equações de laços simplificadas 
diretamente do circuito. Ao formar as equações de laços originais, o 
primeiro laço (da esquerda) foi percorrido em sentido oposto ao da 
seta da corrente de laço (i1), e a soma algébrica das tensões foi 
igualada a zero. Se somente a corrente i1 passasse através de uma 
resistência, a tensão seria Ri1; mas se outra corrente ix também 
circular pela mesma resistência R, a tensão se tornará R(i1±ix). O 
“Circuitos Resistivos” 206
sinal é positivo ou negativo, respectivamente, conforme ix passe pela 
resistência no mesmo sentido ou no sentido oposto ao de i1. 
 Quando a equação de tensão do primeiro laço for simplificada, 
como nas Eqs. (230), o coeficiente de i1 será a soma de todas as 
resistências contidas naquele laço. O coeficiente de i2 é mais (+) ou 
menos (–) a soma das resistências comuns aos laços 1 e 2. Seu sinal 
será positivo se as duas correntes de laços passarem nas resistências 
comuns no mesmo sentido. A equação do primeiro laço também 
contém um termo representando a fonte de tensão. Se os termos 
representando fontes de tensão forem colocados no segundo membro 
da equação, eles representarão a soma algébrica das fontes de tensão 
do laço e serão positivos se as fontes tenderem a fazer a corrente de 
laço i1 circular no sentido admitido como positivo, isto é, se as setas 
das tensões das fontes concordarem com a seta da corrente daquele 
laço. 
 Para um circuito contendo L correntes de laços e somente fontes 
independentes de tensão, as equações de laços simplificadas terão a 
forma seguinte: 
2LL2222121
1LL1212111
eLiR...iRiR
eiR...iRiR
=±±+±
=±±±
 
....................................................... (231) 
LLLL22L11L eLiR...iRiR =+±±± 
 
onde i1, i2, ...,iL denotam as correntes de laços e 
Rjj = soma das resistências do laço j 
Rjk=Rkj = soma das resistências comuns aos laços j e k 
(j≠k) 
ej = soma algébrica das tensões de fontes no laço j, onde 
um termo positivo representa uma fonte que tende a 
impulsionar uma corrente no sentido de ij. 
 
 Admite–se que uma equação de tensão é escrita ao longo de cada 
um dos laços definidos por estas correntes e que as correntes em cada 
equação aparecem na ordem em que os laços estão examinados. 
 Em notação matricial, as Eqs. (231) podem ser escritas como 
“Circuitos Resistivos” 207
]E[]I[]R[ = (232) 
onde 
[R]= ,
e
....
e
e
]E[,
i
....
i
i
]I[,
R.....RR
.......................................
R.....RR
R.....RR
L
2
1
L
2
1
LL2L1L
L22221
L11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
±±
±±
±±
 
 A matriz [R] é chamada matriz de resistências de laços. 
Como Rjk=Rkj, os coeficientes situados fora da diagonal principal são 
simétricos em torno dela. O sinal precedendo os Rjk e Rkj será positivo 
se, e somente se, as correntes de laço ij e ik circularem no mesmo 
sentido através das resistências comuns a estes dois laços. Com estas 
regras, as Eqs. (230) podem ser escritas diretamente da Figura 148–
(c). Mesmo que as equações dos laços não sejam escritas de imediato 
na forma simplificada, a propriedade da simetria da matriz [R] 
permite uma útil verificação do trabalho. 
 
Nota 14: É possível, embora seja muito raro, e também não 
conveniente, escrever as equaçõesde tensões ao longo de um conjunto 
de L laços independentes diferentes daqueles definidos pelas 
correntes de laços. Em tal caso, os comentários sobre o sinal e a 
simetria dos coeficientes não se aplicam. 
 É importante ser capaz de desenhar rapidamente um conjunto 
de L=B–N+1 correntes de laços independentes para um circuito dado. 
A Figura 148 é um exemplo de um circuito planar, ou seja, um que 
pode ser desenhado sobre uma superfície plana sem nenhum 
cruzamento de ramos (exceto onde haja ligações elétricas, isto é, nós). 
Há uma maneira particularmente simples de selecionar um conjunto 
satisfatório de correntes de laços para um circuito planar. Foi 
mostrado no capítulo 6 que há L malhas e que as malhas constituem 
um conjunto de laços independentes. Então, o número de 
correntes de laços que são necessárias pode ser determinado 
contando o número de malhas. Mais ainda, as correntes que 
circulam ao longo das malhas constituem um conjunto satisfatório de 
correntes de laços. Na Figura 148–(c), as correntes i1 e i2 circulam ao 
longo de duas malhas. 
 O conjunto simplificado de equações de laços independentes é 
particularmente fácil de ser obtido quando as correntes de laços 
“Circuitos Resistivos” 208
coincidem com as malhas. Em um tal caso, se todas as correntes de 
laços forem desenhadas no sentido horário (ou todas em sentido 
contrário a este), os sinais dos coeficientes fora da diagonal serão 
negativos, além de simétricos. O conjunto de correntes de laços 
definido pelas malhas não é sempre o mais conveniente. Além 
disso, o uso das malhas é restrito ao caso dos circuitos 
planares. 
 
Exemplo 113: Determine a tensão e4 no circuito da Figura 149–(a). 
 
 
Figura 149 – (a) Circuito do Exemplo 113, (b) mesmo 
circuito redesenhado, (c) mesmo circuito com uma 
corrente de laço e duas correntes de malhas. 
 
Solução: O circuito é planar, pois ele pode ser redesenhado sem fios 
se cruzando, como na Figura 149–(b). Da discussão referente às 
equações (231), as equações de laços, simplificadas, são 
0i5ii2
0ii6i
6i2ii3
321
321
321
=+−−
=−+−
=−−
 
 Resolvendo este sistema encontramos que i1 =29/9[A], i2 =7/9[A] 
e i3 = 13/9[A], e então i4 =i3 – i2 =2/3[A] e e4 =2/3[V], o que concorda 
com o Exemplo 109. 
“Circuitos Resistivos” 209
 Nesta solução foi necessário determinar i2 e i3 para encontrar a 
tensão desejada (e4). O trabalho de cálculo pode ser reduzido se forem 
escolhidas correntes de laços diferentes, de maneira que uma só 
corrente de laço passe pela resistência cuja tensão é procurada. Para 
a escolha de laços mostrada na Figura 149–(c), onde as linhas grossas 
constituem a árvore, as três equações de laços, simplificadas, são 
0i5i4i2
0i4i9i3
6i2i3i3
421
421
421
=++−
=++−
=−−
 
 Observe que a matriz de coeficiente dos primeiros membros 
destas equações é simétrica com relação à diagonal principal, mas que 
os termos fora da diagonal não são todos negativos. A solução destas 
equações dá i4 = 2/3[A] e e4 = 2/3[V]. 
 Após determinar o número de correntes de laços 
independentes (pela contagem do número de malhas ou pelo uso da 
relação L=B–N+1), não é necessário fazer com que as correntes de 
laços coincidam com as malhas nem com as ligações associadas a 
alguma árvore. A maneira de selecionar um conjunto de correntes de 
laço independentes é fazer cada novo laço incluir um ramo não 
pertencente aos laços anteriores. Em geral, não é suficiente 
meramente assegurar–se de que pelo menos uma corrente de laço 
passe em cada ramo, e nunca é permitido selecionar menos que L 
correntes de laços. 
 
 
 
 
“Circuitos Resistivos” 210
3 Ω3 Ω
2 Ω
2 Ω6 Ω
36 V
18 V
(a)
3 Ω3 Ω
2 Ω
2 Ω6 Ω
36 V
18 V
(b)
i1 i2 i3
i2
i1
 
 
Figura 150 – (a) Exemplo de escolha errada de correntes 
de laços, (b) escolha correta das correntes de laços. 
 
 Como um exemplo flagrante de uma escolha errada de correntes 
de laços, temos o caso da Figura 150–(a), na qual no mínimo uma 
corrente passa em cada elemento do circuito. Se uma equação de 
tensões for escrita ao longo de cada um dos dois laços, vem que 
36i11i3
18i3i8
21
21
=+
−=+
 
cuja solução é i1=–3,87[A] e i2=4,33[A], e que não está correta, pois os 
laços da Figura 150–(a) levam à conclusão de que a corrente que 
circula na resistência de 6[Ω] e na fonte de 36[V] (e também pelas 
resistências nos extremos esquerdo e direito do circuito) é a mesma, o 
que não é necessariamente verdadeiro. De outro ponto de vista, a 
solução satisfaz somente duas das três equações de tensão 
independentes que podem ser escritas. Da malha à esquerda, 18+3i1–
6i2=0, o que não é satisfeito pelos valores acima. O conjunto correto 
de correntes de laços está mostrado na Figura 150–(b). 
 
“Circuitos Resistivos” 211
 Se um dos ramos do circuito for uma fonte de corrente, sua 
tensão será uma incógnita adicional, que não pode ser facilmente 
expressa em função das correntes de laços. Entretanto, se for adotada 
exatamente uma corrente de laço através da fonte (considerada como 
uma ligação), ela terá o valor da corrente da fonte, deixando L–1=B–N 
correntes de laços desconhecidas. Para determinar estas L–1 
correntes desconhecidas, escrevemos uma equação de tensão ao longo 
de cada laço, exceto o laço que contém a fonte de corrente que deve ser 
evitada, pois sua tensão é desconhecida. A tensão nos terminais da 
fonte de corrente é determinada, se necessária, por uma etapa 
adicional no final do processo. 
 
Exemplo 114: Determine a corrente na resistência de 2[Ω] no 
circuito da Figura 151–(a). 
 
Solução: Somente uma corrente de laço deve ser traçada através de 
cada uma das fontes de corrente e, se possível, somente uma corrente 
de laço deve ser traçada através da resistência de 2[Ω]. (Para 
qualquer circuito que tenha uma solução, é possível determinar uma 
árvore tal que todas as fontes de corrente sejam ligações. A maneira 
de ter certeza que somente uma corrente de laço passa através de 
cada fonte de corrente consiste em usar estas ligações para definir os 
laços, como explicado nos comentários feitos depois do teorema 3). A 
escolha de laços mostrada na Figura 151–(a) tem estas 
características. Escrevendo uma equação de tensões para cada um 
dos laços cuja corrente é desconhecida, obtemos: 
0i4i.0i6i12 4321 =−+− 
0i8i3i18i6 4321 =−++− 
 
 Como i3=10[A] e i4=12[A], 
66i18i6
48i6i12
21
21
=+−
=−
 (233) 
 Resolvidas simultaneamente, estas equações dão i1 = 7[A]. 
 
 
 
“Circuitos Resistivos” 212
2 Ω
2 Ω
1 Ω
3 Ω
12
A
12
A
4 Ω
8 Ω
10 A
(b)
2 Ω
2 Ω
1 Ω
3 Ω
i1
i2
4 Ω
8 Ω
48 V
96 V
30 V
2 Ω
1 Ω
2 Ω
6 Ω
4 Ω
8 Ω
i4
i1
i3
i2
(a)
(c)
12 A
 
Figura 151 – (a) Circuito do Exemplo 114, (b) aplicação 
do deslocamento–I, (c) Thevenização de partes do circuito 
de (b). 
 
 Uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência pode 
ser trocada por uma fonte de tensão em série com a mesma 
resistência (equivalente Thévenin), como na Figura 125 e na Eq. 
(205), tornando o circuito mais adequado para ser analisado pelo 
método dos laços, embora, como visto no Exemplo 114, não seja difícil 
escrever equações de laços quando houver fontes de corrente 
presentes. Acontece, porém, que nem todas as fontes de corrente 
aparecem em paralelo com uma resistência, como no caso da fonte de 
corrente de 12[A] no circuito da Figura 151–(a). 
 Da mesma maneira que o procedimento de deslocar fontes de 
tensão (deslocamento–E) é útil na obtenção de equações nodais, o uso 
de deslocamento de fontes de corrente, juntamente com conversões 
posteriores, também ajuda muito na análise de circuitos pelo método 
dos laços. Este método recebe o nome de deslocamento–I e é 
aplicado, geralmente, com conversão das fontes de corrente 
trasladadas em fontes de tensão. O princípio do método do 
“Circuitos Resistivos” 213
deslocamento–I é a colocação de uma fonte de corrente em paralelo 
com cada resistência que forma “laço fechado” com a fonte original. A 
Figura 152 ilustra o método.Na Figura 151–(a) não há nenhuma resistência em paralelo com 
a fonte de corrente de 12[A]. Esta fonte força 12 àmperes a deixarem 
o nó C e penetrarem no A, uma função que pode perfeitamente ser 
realizada pelas duas fontes trasladadas de 12[A] da Figura 151–(b). 
Deve–se observar que estas duas fontes não fornecem nenhuma 
corrente ao nó B. Agora todas as fontes de corrente podem ser 
convertidas em fontes de tensão, como mostrado na Figura 151–(c), de 
onde as Eqs. (233) podem ser escritas diretamente. 
 
Nota 15: As únicas fontes existentes nos exemplos considerados até 
agora foram fontes independentes. Se houver fontes controladas, será 
necessária uma etapa extra. Após escrito um conjunto de equações de 
laço, os valores das fontes controladas devem ser expressos em função 
das correntes de laço. Esta etapa extra faz com que as Eqs. (231) e os 
comentários sobre os sinais e a simetria dos coeficientes não sejam 
válidos para a forma final das equações de laços de circuitos contendo 
fontes controladas. 
 
Exemplo 115: Determine o ganho de corrente i0/i1 no circuito da 
Figura 153–(a) quando (a) R2=0 e (b) R2=1[Ω]. 
 
Solução: (a) Quando R2 = 0, a regra do divisor de corrente pode ser 
usada para obter 
11b0
11b
i5,37i
10
9.
60
2500)i50(
1050
50i
i
10
9i
19
9i
−=−=
+
−=
=
+
=
 
 
e 5,37i/i 10 −= 
(b) Quando R2 = 1[Ω], as equações de tensões para os dois laços da 
Figura 152–(b) que não contém fontes de corrente, são: 
,0i61i2499
i9ii11
0b
10b
=+
=−
 
“Circuitos Resistivos” 214
das quais i0 = –7,1i1 ou i0/i1 =–7,1 
 
 
 
Rb
RcRa 
Rx Ry
3 4
1 2
5
(a)
i
i
i
i
Rb
Rc
RyRx
Ra
3 4
1
2
5
i i
Rb
RcRa 
Rx
Ry
(c)
(b)
(a)
 
Figura 152 – (a) Exemplo de circuito sem resistência em paralelo com fonte 
de corrente, (b) ilustração do método do deslocamento–I, (c) deslocamento 
alternativo. 
 
 
“Circuitos Resistivos” 215
1 Ω
9 Ω R2
50 Ω
10 Ωi1
ib
50ib A 
io
1 Ω
9 Ω R2
50 Ω
10 Ωi1 ib
50ib 
io
(a)
(b) 
Figura 153- – (a) Circuito do Exemplo 115, (b) indicação 
das correntes de laços.