Exemplos resolvidos de Ondas viajantes - Copy

Prévia do material em texto

Aula Practica: Ondas Viajantes (2)
Exemplo 1
Seja uma linha monofásica sem perdas, a linha é alimentada com uma fonte de tensão no terminal de envio e tem uma impedancia de carga ZR=ZC e ZG=0. A fonte de tensão e do tipo degrau EG(t)=Eu-1(t)
Determine v(x,t) e i(x,t) e disenhe a tensão e a corrente versus o tempo t no centro da linha e no terminal receptor
Resolucao
Das equacões da aula teorica, e com e ZG=0 (a igualdade significa que a linha tem a impedancia da carga(terminal receptor) adaptada, o coeficiente de reflexao no terminal receptor vem
 
e o coeficiente de reflexao no terminal de envio vem
 
A transformada de Laplace da forma de onda da tensao da fonte é:
 
entao
e a corrente
Tomando a transformada inversa de Laplace
b) No centro da linha, onde x= l /2
 ; e 
no terminal receptor, onde x= l
 ; e 
Os graficos sao mostrados nas figuras em baixo
Para um ponto na metade da linha
	
	
Ondas viajantes positivas (al fremte ou forward) de tensao e corrente no ponto medio da linha t=τ/2
Para o terminal receptor da linha (x=l)
	
	
estas ondas asim representadas podem ser explicadas como segue:
no tempo t=0 o degrau ideal de tensao de E volts, aplicado ao terminal de envio, encontra a impedancia caracteristica da linha, entao uma onda viajante al frente(forward) de E volts, e iniciada no terminal de envio. Tambem , pela razao entre a tensao e a corrente, que e a impedancia caracateristica Zc uma onda viajante (al fremte ou forward) de corrente tipo degrau e iniziada
Estas ondas viajan no sentido positivo de x, chegando a o centro da linha em t=τ/2 e a o fim da linha no tempo t=τ
A carga no fim da linha esta adaptada a linha(ZR=ZC) logo nao tem-se onda reflectida, entao pode-se dizer que uma linha com impedancia de carga adaptada fica energizada com uma tensao E e uma corrente E/ZC.
Exercicio 2
Uma linha de transmissao sem perdas e alimente por uma fonte de tensão com forma de onda tipo degrau EG(t)=Eu-1(t) com impedancia ZG(s) =ZC. O terminal receptor fica aberto ZR=∞
Determine
v(x,t) e i(x,t).
Disenhe o grafico da tensao e a corrente versus o tempo t no centro da linha
Resolucao
Neste caso a impedancia da carga não esta adaptada a linha, mais sim o esta a fonte de tensão a impedancia da linha, ja que ZG(s)=ZC
Primeiro calcula-se os coeficientes de reflexão no terminal receptor e no terminal de envio
; 
A transformada de Laplace da forma de onda da tensão da fonte é:
então(das equaçôes da aula teorica) vem:
e de jeito similar a corrente
Tomando a transformada inversa de Laplace das equacoes de tensao e corrente vem
Para o centro da linha (x=l/2) vem
As ondas sao apresentadas na figura em baixo, para x=l/2 
Para t=0 a fonte de tensão do tipo degrau E encontra a impedancia da fonte ZG = ZC em serie com a impedancia caracteristica da linha ZC. Usando o divisor de tensão, o voltagem no terminal de envio em t=0 é E/2
 
portanto uma onda viajante al fremte com forma de degrau e tamano E/2 e iniciada asim como uma onda de corrente de E/(2ZC) amperes.
Estas ondas chegam a o centro da linha no tempo t= τ/2.
Tambem com o coeficiente de reflexao do terminal receptor ΓR=1. uma onda viajante "backward" de tensao igual a onda viajante al fremte(forward) e a onda viajante para detras ("backward") de corrente e a negativa da onda viajante al fremte de corrente. 
Estas ondas viajantes para detras (backward) que sao iniciadas en t=τ quando as ondas viajantes al fremte chegan a o terminal receptor, voltam a chegar a o centro da linha no tempo t=3τ/2 e são sobrepostas nas ondas viajantes al fremte.
Depois não são iniciadas mas ondas viajantes porque a impedancia da fonte ZG fica adaptada a impedancia caracteristica ZC da linha, ja que ΓS=0
Exercicio 3 (Linha monofasica sem perdas e sem impedancias adaptadas nos seus terminais )
Seja uma linha monofasica sem perdas. No terminal receptor a impedancia da carga e ZR=1/3 ZC. No terminal de envio e ligada uma fonte de tensao 
EG(s)=Eu-1(t0 e a impedancia de thevenin da fonte e ZG=2ZC
Determine e disenhe o grafico da tensão versus o tempo t no centro da linha
Resolucao
Calculo dos coeficientes de reflexao nos terminais de envio e receptor
com EG(s)=E/s vem
A equacao acima pode-se rescrever como
 com 
e multiplicando os termos dentro dos parenteses vem
Levando para o dominio do tempo atraves da transformada inversa de Laplace vem
No centro da linha x=l /2, logo
Na figura em baixo a tensao no centro da linha em funcao do tempo tomado em unidades de τ e mostrado
Porquanto nem a carga nem a fonte de tensao estão adapatadas a linha, a tensão em qualquer ponto a o longo da linha e uma serie infinita de ondas viajantes al fremte e para detras (reflectidas no terminal receptor e no terminal de envio )
No centro da linha a primeira onda viajante al fremte chega no tempo t=τ / 2; logo uma onda reflectida no terminal receptor (backward) chega a este mesmo ponto (medio da linha) em o tempo t'=3τ / 2, outra onda viajante al frente chega ao mesmo ponto depois , no tempo t''=5τ /2, outra onda reflectida no terminal receptor ("backward") chega no tempo t'''=7τ /2 e asim sucessivamente 
o valor de estado estavel (t=∞) para qualquer ponto a o longo da linha pode-se calcular mediante o teorema do valor final como:
Exercicio 4
Para a linha do exercicio anterior desenhe o diagrama de Bewley e grafico de v(x,t) em funcao do tempo para x= l / 3 
Resolucao
Para t=0 a fnte de tensao encontra a impedancia da fonte e a impedancia caracteristica da linha, entao a primeira onda viajante al fremte e cuja amplitude e determinada atraves dum divisor de tensao como:
este e uma onda do tipo degrau com uma amplitude de E/3 Volts. A seguinte onda e uma onda viajante para detras("backward") V2(s) que originase pela reflexao da onda V1(s) no terminal receptor e cuja expressao e:
esta segunda onda viaja ate o terminal de envio, onde origina-se uma tercera onda(uma onda viajante al frente (forward) V3(s) a qual calcula-se de:
 
e asim sucessivamente (ver o disenho do digrama de Bewley na figura em baixo)
A tensao no ponto x= l/3 calcula-se agora tracando a linha nao continua vertical pela correspondente posicao e somando todos as ondas de tensao a partir de t=0 para em baixo no tempo em que atingem a linha descontinua. Asim a primeira onda v1 chega a x= l / 3no tempo t=1/3 τ, a segunda v2 chega no tempo t'=5/3 τ e asim sucessivamente.
por exemplo, para t=5/3 τ teremos:
o disenho de v( /3,t) mostra-se nafigura em baixo
Exercicio 5
A figura em baixo mostra uma linha aerea monofasica sem perdas com ZA=400Ω; vA=3 x 108 m/s e comprimento lA=30 km ligada a um cabo monofasico com ZB=100Ω, vB=2 x 108 m/s e comprimento lB=20km. No terminal de envio da linha eg(t)=Eu-1(t) e ZG=ZA. No terminal receptor do cabo, ZR=2ZB=200Ω. A linha e o cabo estao nao energizados ao inicio 
Disenhe o Diagrama de Bewley (de lattice) para 0 ≤ t ≤ 0.6ms e o grafico da tensao versus tempo no ponto de ligacao.
Resolucao
Os tempos de transito(equação 5.2.4 da Aula Teorica) da linha e o cabo calculam-se segundo:
e com ZG = ZA e ZR = 2ZB os coeficientes de reflexao do terminal de envio e do terminal receptor do conjunto sao calculados
Como temos uma discontinuidade no ponto de ligacao entre a linha A e o cabo B entao teremos ondas incidentes, reflectidas e refractadas, asim, os coeficientes de reflexao e refraccao para as ondas que chegan a discontinuidade desde a linha A sao:
 
ΓAA(coeficiente de reflexão para as ondas que de chegan do lado da linha A e são reflectidas para a linha A)
ΓBA(coeficiente de refracção para as ondas que de chegan do lado da linha A e são refractadas para a linha B)
Os coeficientes de reflexao e refraccao no ponto de discontinuidade para onas que voltam ao mesmo desde a linha B (cabo) podem obter-se da inversao do analisis, isto e vindo de B para A, asim
O valor da primeira onda e obtido com um divisor de tensao como
o diagrama de Bewley (diagrama de lattice) e mostrado na figura em baixo
Quando a onda v1 chega a discontinuidade(ponto de ligacao linha aerea-cabo), duas ondas, uma reflectida v2 e uma refractada v3 sao originadas. Empregando os coeficientes de reflexao e refraccao para ondas que vem do lado da linha A vem:
Logo, quando a onda refractada v3 chega ao fim do cabo e iniciada uma onda reflectida v4 
a onda v4 viaja ate a discontinuidade e quando chega la, origina duas ondas, uma reflectida v5(para o cabo B) e uma refrectada v6 (para a linha A). Usando os coeficientes de reflexao e refraccao da discontinuidade para ondas que vem do lado do cabo B, vem:
Como e mostrado no diagrama de lattice depois ocorrem outras reflexoes e refraccoes que calculam-se de jeito similar.
A tensao no ponto de uniao da linha aerea com o cabo, e calculada como segue:
Comecando de x=lA acima onde t = 0. e baixando pelo Diagrama de Lattice as ondas de tensao ao lado esquerdo ou direito são somadas quando elas ocorrem. Por exemplo, olhando so do lado direito da discontinuidade no x=l+A, a onda de tensao v3 (um degrau de tamano E/5 Volts ocorre em t=τA. 
Logo,em t=(τA+2τB), duas ondas, v4 e v5(degraus com tamanos E/15 e E/25. sao somadas a v3. 
Na figura em baixo mostra-se a tensao v(lA, t)
image5.png
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image10.png
image11.png
image12.png
image1.png
image2.png
image3.png
image4.png