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INTRODUC¸A˜O A LO´GICA MATEMA´TICA
Prof. Isnaldo Isaac
AULA 2
Conteu´do
1 Argumentac¸a˜o Lo´gica 2
1.1 Sentenc¸as (proposic¸o˜es) Matema´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Os quatificadores universal e existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Tabelas-verdade dos conectivos lo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Conectivos e proposic¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Tabelas-verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Por que estou estudando Tabela-Verdade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
1 Argumentac¸a˜o Lo´gica
Vamos iniciar nossa segunda aula com um exemplo de como uma informac¸a˜o pode ser transmi-
tida.
As ovelhas da Alemanha
Durante um congresso internacional que estava acontecendo na Alemanha, alguns pesquisadores
que nunca haviam ido a Alemanha, nem tinham conhecimento do que la´ existia, aproveitaram
para passear de trem. Estavam no mesmo trem um engenheiro, um f´ısico e um matema´tico.
Cada um desses pesquisadores estava acompanhado dos seus respectivos filhos.
No decorrer da viagem, o trem passava por um extenso pasto verde, onde se encontrava
uma pequena ovelha solita´ria.
Assim que o filho do engenheiro avistou a falou ao seu pai:
— Olha pai, uma ovelha preta.
O engenheiro prontamente respondeu:
— E´ filho, todas as ovelhas da Alemanha sa˜o pretas.
O filho do f´ısico, que vinha alguns vago˜es atra´s exclamou ao seu pai:
— Veja pai, que linda aquela ovelha preta.
O f´ısico respondeu prontamente:
— Tambe´m acho filho. Agora sabemos que na Alemanha existe pelo menos uma ovelha
preta.
La´ no u´ltimo vaga˜o, vinham o matema´tico e seu filho, que quando viu a ovelha chamou a
atenc¸a˜o do seu pai e disse:
— Pai, pai, tem uma ovelha preta ali.
O matema´tico olhou cuidadosamente para a ovelha e alertou o seu filho da seguinte forma.
— Filho, com o que voceˆ ver na˜o da´ para concluir que a ovelha e´ preta, a u´nica coisa que
se pode afirmar e´ que na Alemanha existe pelo menos uma ovelha que tem pelo menos um lado
preto.
Esta pequena histo´ria serve para chamar nossa atenc¸a˜o para as informac¸o˜es
que apresentamos e tambe´m para os argumentos que usamos para concluir algumas
coisas.
1.1 Sentenc¸as (proposic¸o˜es) Matema´ticas
Com base na histo´ria acima, vemos que os resultados matema´ticos devem ser expressos com
a exatida˜o necessa´ria que exigem. Na Liguagem Matema´tica na˜o ha´ lugar para ambiguidades,
para figuras de linguagem ou para meta´foras, ta˜o comuns e ate´ mesmo apreciadas na Linguagem
Coloquial ou Litera´ria.
No dia a dia, quando algue´m diz a frase “ Estou chegando em um minuto!!” significa que
ela vai chegar em pouco tempo. Ja´ na Matema´tica, um minuto representa um minuto mesmo,
sessenta segundos. Sem querer ser chato, matematicamente, essa pessoa na˜o pode levar nenhum
segundo a mais nem a menos para chegar! Na˜o e´ a` toa que a Matema´tica e´ uma Cieˆncia Exata,
e e´ desta forma que ela funciona. Felizmente, podemos ficar tranquilos, ningue´m no dia a dia e´
obrigado a interpretar matematicamente a frase anterior.
2
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
Agora daremos algumas definic¸o˜es que nos servira˜o de ancora durante o decorrer do nosso
curso.
Definic¸a˜o 1.1 Chamamos frase a um conjunto de palavras – incluindo os sinais de acentuac¸a˜o
e pontuac¸a˜o – ou de s´ımbolos matema´ticos, que se relacionam para comunicar uma ide´ia.
Definic¸a˜o 1.2 Uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o e´ uma frase – podendo conter apenas s´ımbolos
matema´ticos – que cumpre as condic¸o˜es:
(i) Apresentar-se de forma estruturada como uma orac¸a˜o, com sujeito, verbo e predicado;
(ii) E´ afirmativa declarativa (na˜o e´ interrogativa, nem exclamativa);
(iii) Satisfaz os seguintes princ´ıpios:
(a) Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo: uma sentenc¸a e´ falsa ou verdadeira, na˜o havendo
uma terceira alternativa;
(b) Princ´ıpio de Na˜o-contradic¸a˜o: uma sentenc¸a na˜o pode ser falsa e verdadeira ao
mesmo tempo.
Como exemplos de sentenc¸as, conside as frases:
1. A soma das medidas dos aˆngulos internos de um triaˆngulo no plano e´ igual a cento e
oitenta graus.
2. Existe x ∈ R positivo tal que x < 0 e x2 > 10.
3. Todo nu´mero par e´ divis´ıvel por 3.
4. O Brasil e´ o maior pa´ıs da Ame´rica Latina.
5. 3 + 9 = 11
6. x ∈ R, x2 − 16 > 0 =⇒ x > 4 ou x < −4.
Voceˆ pode verificar que todas as frases acima sa˜o sentenc¸as, elas satisfazem (i), (ii) e
(iii) da definic¸a˜o. Apenas 4 na˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica, pois nela na˜o ha´ objetos
matema´ticos.
Perceba que, uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o e´ uma afirmac¸a˜o de significado preciso, que
na˜o deixa margem para interpretac¸o˜es amb´ınguas. Em Matema´tica, as ide´ias precisam ter essa
caracter´ıstica e, por essa raza˜o, os resultados formais sa˜o formulados utilizando-se sentenc¸as.
Segundo a definic¸a˜o, toda sentenc¸a e´, ou verdadeira ou falsa1, ja´ que na˜o ha´ uma terceira
opc¸a˜o, e ja´ que na˜o pode ser falsa e verdadeira as mesmo tempo. Por isso, a lo´gica que iremos
utilizar chama-se Lo´gica Bivalente ou Lo´gica Boleliana.
O valor lo´gico de uma sentenc¸a e´ dito verdadeiro quando a sentenc¸a e´ verdadeira, e
falso, caso contra´rio. Do item (iii) da definic¸a˜o de sentenc¸a, segue que a toda sentenc¸a esta´
associado um u´nico valor lo´gico: verdadeiro ou falso.
1usaremos ou ... ou com o sentido de exclusa˜o, ou seja, os dois na˜o ocorrem simutaneamente, diferente do
ou, quando usarmos, onde as situac¸o˜es envolvidas podem ocorrer
3
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
A Matema´tica tem como um de seus objetivos descobrir e provar se certas sentenc¸as sa˜o
verdadeiras ou falsas. E´ interessante resaltar que, a`s vezes, levam-se se´culos para isso!
Para gravar mais precisamentea definic¸a˜o de sentenc¸a matema´tica, analisaremos algumas
frases que deixam de satisfazer pelo menos uma das condic¸o˜es (i), (ii) ou (iii) e, consequente-
mente, na˜o sa˜o sentenc¸as:
1.
1
3
+ 3 (um terc¸o mais tre^s.)
Esta frase na˜o esta´ estruturada como uma sentenc¸a, pois na˜o cumpre condic¸a˜o (i) da
definic¸a˜o. A frase tem sujeito (um terc¸o mais treˆs), mas na˜o tem verbo nem predicado.
Na˜o ha´ afirmac¸a˜o alguma nela, apenas uma frac¸a˜o somada a um nu´mero. Para torna´-la
uma sentenc¸a, poder´ıamos completa´-la, por exemplo, como:
1
3
+ 3 < 0 um terc¸o mais tre^s e´ menor do que zero.
Desta forma a frase e´ afirmativa declarativa, tem sujeito, verbo e predicado e cumpre os
dois Princ´ıpios (o do Terceiro Exclu´ıdo e o da Na˜o-Contradic¸a˜o).
2.
109 > 910 ? (dez elevado a nona e´ maior que nove elevado a de´cima?)
A frase sem considerarmos a interrogac¸a˜o, esta´ estruturada como uma orac¸a˜o e satisfaz
os dois Princ´ıpios, entretando, da forma em que esta´ apresentada, e´ interrogativa. Por
conseguinte, na˜o e´ uma sentenc¸a.
3.
2x+ 6 = 3 (duas vezes um nu´mero mais seis e´ igual a tre^s.)
A frase acima esta´ estruturada como uma orac¸a˜o, mas observe, para x = −3
2
a frase e´
verdadeira, e e´ falsa para x = 1, x = −9, ou para qualquer outro valor de x diferente de
−3
2
. Portanto, na˜o ha´ como determinar se ela e´ verdadeira ou falsa, nada foi dito sobre o
que seja a varia´vel x, ou quais os valores que ela assume. Esse fato contradiz o Princ´ıpio
do Terceiro Exclu´ıdo e consequentemente a frase na˜o e´ uma sentenc¸a. O fato, entretanto,
motiva a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.3 Chama-se sentenc¸a aberta a uma frase subordinada a uma varia´vel que fica
livre, sobre a qual nada se afirma, na˜o sendo poss´ıvel determinar o valor lo´gico da frase.
Apesar do incoˆmodo de chamar sentenc¸a aberta a uma frase que, na verdade, na˜o e´
sentenc¸a, conforme definimos anteriormente, vamos respeitr a terminologia usada na literatura.
Observac¸a˜o 1.4 Note:
(i) A frase Este nu´mero n~ao e´ par e´ umasentenc¸a aberta. Qual a varia´vel livre desta
sentenc¸a?
4
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
(ii) Sentenc¸as abertas podem conter mais de uma varia´vel livre:
′ x2 + y > cos z. ′
Exerc´ıcio 1 Explique por que “10 ≥ 10” e´ uma sentenc¸a verdadeira.
1.2 Os quatificadores universal e existencial
Uma das maneiras de transformar uma sentanc¸a aberta em uma sentenc¸a e´, para cada varia´vel
livre da sentenc¸a aberta, encontrar um conjunto adequado e indicar quantidade de elementos
do conjunto que satisfazem as condic¸o˜es definidas pela varia´vel livre.
Das opc¸o˜es para quantificar, uma e´ bastante especial: utilizar os s´ımbolos ∃ (existe) ou ∀
(para todo). Por exemplo, uma maneira de transformar a sentenc¸a aberta anterior, 2x+ 6 = 3,
em uma sentenc¸a seria escrever:
∃x ∈ R | 2x + 6 = 3. (existe uma ne´mero real tal que o dobro dele adcionado
com seis e´ igual a tre^s.)
Dessa maneira temos uma sentenc¸a!
Semelhantemente poder´ıamos ter escrito:
∀x ∈ R, 2x + 6 = 3. (Para todo nu´mero real, o seu dobro adcionado com seis e´
igual a tre^s.) Frase que agora tambe´m e´ uma sentenc¸a.
Os s´ımbolos ∀ e ∃, com muita raza˜o sa˜o chamados quantificador universal e quantifi-
cador existencial, respectivamente.
Os quantificadores tem importaˆncia muito grande na Linguagem Matema´tica. O quantifi-
cador universal e´ usado para definir condic¸o˜es satisfeitas por todos os elemento de um conjunto.
Ja´ o quantificador existencial e´ usado para definir condic¸o˜es satisfeitas por, pelo menos, um
elemento de um conjunto.
Ao usar qualquer um dos quantificadores, tenha os seguintes cuidados em mente:
1. Cada quantificador deve estar subordinado a uma varia´vel pertencente a um determinado
conjunto, por exemplo, ∀y ∈ N, y2 ≥ 0, escolhemos o conjunto como sendo o dos nu´meros
naturais;
2. Em geral, a varia´vel a` qual a sentenc¸a esta´ subordinada e´ representada por uma letra. O
significado da sentenc¸a permanece o mesmo, independente da letra escolhida para repre-
sentar essa varia´vel. Por exemplo, tanto faz escrever
∃x ∈ Q | 5x− 1 = 0,
como escrever
∃y ∈ Q | 5y − 1 = 0,
ou
∃ξ ∈ Q | 5ξ − 1 = 0;
3. Ao utilizar um s´ımbolo para representar uma varia´vel, cuidado para na˜o reutiliza´-la no
mesmo contexto, representando uma outra varia´vel, o que poderia causar grande confusa˜o;
5
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
4. A ordem na qual os quantificadores de natureza distintas – existencial e universal ou
universal e existencial – aparecem numa sentenc¸a pode modificar inteiramente o sentido
da sentenc¸a. Por exemplo, os significados das sentenc¸as abaixo sa˜o totalmente distintos,
ja´ que trocamos a ordem na qual aparecem os quantificadores de naturezas distintas:
∀ε > 0,∃δ > 0 ; |x− 1| < δ =⇒ |f(x)− f(1)| < ε
e
∃ε > 0,∀δ > 0 ; |x− 1| < δ =⇒ |f(x)− f(1)| < ε;
5. Ja´ a ordem na qual aparecem quantificadores de mesma natureza pode ser trocada. Tanto
faz escrever
∀a ∈ Z, ∀b ∈ N, a2 + b2 ∈ N,
ou
∀b ∈ N, ∀a ∈ Z, a2 + b2 ∈ N.
6. Outras expresso˜es que podem substituir ’para todo’ sa˜o, por exmeplo, dado, para qualquer,
para cada. Mas o s´ımbolo do quantificador universal na˜o muda.
7. Outras expresso˜es que podem sibstituir ’existe’ sa˜o, por exemplo, existe algum, existe pelo
menos um. Pore´m, o s´ımbolo do quantificador existencial na˜o muda.
Exerc´ıcio 2 Determine o valor lo´gico das seguintes sentenc¸as, justificando sua resposta:
(i) Existem dois nu´meros primos entre 22 e 33, ou pi >
√
3;
(ii) Se x e´ um nu´mero real, enta˜o x3 − 1 > 0 e 2x > 0;
(iii) -3¿
Ha´ tambe´m outras maneiras de transformar uma sentenc¸a aberta numa sen-
tenc¸a, sem necessariamente utilizar os quantificadores universal ou existencial.
1.3 Tabelas-verdade dos conectivos lo´gicos
Nesta sec¸a˜o veremos como trabalhar com va´rias sentenc¸as ou proposic¸o˜es as mesmo tempo e
como usa´-las para concluir o valor lo´gico de outras proposic¸o˜es. O conteu´do que apresentaremos
agora tambe´m e´ conhecido como Ca´lculo Proposicional.
6
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
1.3.1 Conectivos e proposic¸o˜es compostas
Iniciamos relembrando duas operac¸o˜es importante entre conjuntos, a saber, reunia˜o2 e in-
tersec¸a˜o. Mesmo sendo conhecidos desde os primeiros anos de escola, esses conceitos ainda
causam muitas du´vidas, principalmente quando se apresentam os conjuntos soluc¸a˜o de equac¸o˜es
ou inequac¸o˜es, e e´ comum ver-se confundir reunia˜o com intersec¸a˜o.
Sejam A e B conjuntos quaisquer. Usando A e B podemos construir dois conjuntos
extremamente u´teis:
1. O primeiro, constitu´ıdo pelos elementos de A juntamente com os elemento de B, chamado
A reunia˜o B e representado por A ∪ B. Escrevemos x ∈ A ∪ B, se x ∈ A ou x ∈ B.
Portanto, tenha em mente que a reunia˜o esta´ relacionada com a conjunc¸a˜o gramatical ou.
2. O segundo conjunto e´ formado pelo elementos de A que tambe´m sa˜o elementos do conjunto
B, chamado A intersec¸a˜o e denotado por A ∩ B. Escrevemos x ∈ A ∩ B, se x ∈ A e
x ∈ B. Portanto, fixe bem que a intersec¸a˜o esta´ relacionada com a conjunc¸a˜o gramatical
e .
Dizemos que uma reunia˜o A ∪B e´ uma disjunc¸a˜o quando A ∩B = ∅.
Geralmente, na Linguagem Coloquial, quando se emprega a conjunc¸a˜o gramatical ou , o
fazemos no sentido excludente: “Voceˆ mora n capital ou no interior?”, “Pedro e´ filho de Maria
ou de Joana?”, etc. No uso contidiano, o comportamento e´ como se a reunia˜o de dois conjuntos
fosse algo separado de sua intersec¸a˜o.
No uso matema´tico, ao se referir a qualquer reunia˜o, sempre deve-se levar em considerac¸a˜o
a intersec¸a˜o, ja´ que para dois conjuntos quaisquer A e B temos A ∩ B ⊂ A ∪ B, e nem sempre
uma reunia˜o de dois conjuntos e´ disjunta.
Dessa forma, deferentemente da Linguagem Contidiana, nunca usar´ıamos na Matema´tica
uma frase contendo as conjunc¸o˜es e/ou simultaneamente. Na Linguagem Matema´tica isso seria
um pleonasmo enfa´tico! Matema´ticamente, quando usamos o ou, deve-se entender que tambe´m
estamos considerando a possibilidade de ocorrer e. E´ necessa´rio que esses conceitos fiquem bem
claros.
Como no caso de conjuntos, quando trabalhamos com proposic¸o˜es matema´ticas, tambe´m
podemos construir proposic¸o˜es dadas, utilizando certas palavras, chamadas conectivos lo´gicos,
ou simplismente, conectivos . Por exemplo, “na˜o”, “se...enta˜o”, “se, somente se”, “ou” e “e”
sa˜o tambe´m conectivos.
Observe que utilizamos alguns desses conectivos nos exemplo 1.1. Proposic¸o˜es deste tipo,
formadas por outras proposic¸o˜es com o aux´ılio de conectivos, sa˜o chamadas de porposic¸o˜es
compostas. Oportunamente, chamam-se proposic¸o˜es simples aquelas que na˜o conteˆm mais
de uma proposic¸a˜o em sua formac¸a˜o. Em alguns textos de Lo´gica, as proposic¸o˜es simples
sa˜o chamadas proposic¸o˜es atoˆmicas. Quando for importante enfatizar, usaremos a notac¸a˜o
P (R1, R2, · · · , Rk) para representar um sentenc¸a composta P , constituida de k sentenc¸as simples
R1, R2, · · · , Rk. Quando na˜o for o caso, usaremos apenas letras ma´ıusculas P,Q,R, S, T etc.
para represnetar qualquer sentenc¸a, composta ou simples.
2alguns livros chamam essa operac¸a˜o de unia˜o
7
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
As definic¸o˜es anteriores sa˜o o passo inicial para o estudo do chamado Ca´lculo Proposi-
cional, ou Ca´lculo Sentencial. Ca´lculo Proposicional e´ a parte da Lo´gica que, entre outras
coisas, trata de sentenc¸as compostas resultantes de operac¸o˜es lo´gicas, e dos valores lo´gicos dessas
sentenc¸as.
Como ocorre com os conjuntos, usando as proposic¸o˜es P e Q podemos formar duas
proposic¸o˜es bastante especiais:
P e Q, chamada conjunc¸a˜o das sentenc¸as P e Q, que denotaremos por P ∧Q
e
P ou Q, chamada disjunc¸a˜o das sentenc¸as P e Q, que denotaremos por P ∨Q
Vamos aos exemplos de sentenc¸as conjuntivas e disjuntivas:
Exemplo 1.5 Com as proposic¸o˜es
P : ∃x ∈ R | x− 4 > 2 (existe um nu´mero real tal que a diferenc¸a entre este
nu´mero e quatro e´ maior do que dois)
e
Q : ∀x ∈ R, x4 > 1 (para todo nu´mero real, tem-se quesua quarta pote^ncia e´
maior do que um.)
podemos construir as proposic¸o˜es:
P ∧Q : ∃x ∈ R | x− 4 > 2 e ∀x ∈ R, x4 > 1
e
P ∨Q : ∃x ∈ R | x− 4 > 2 ou x ∈ R, x4 > 1.
Definiremos que uma proposic¸a˜o conjuntiva P ∧Q e´ verdadeira apenas no caso em que as
duas proposic¸o˜es P e Q o forem; e, reciprocamente, apenas quando ambas as proposic¸o˜es P e
Q forem verdadeiras e´ que a proposic¸a˜o P ∧Q sera´ verdadeira.
Por sua vez, definimos que uma proposic¸a˜o disjuntiva P ∨ Q e´ verdadeira, apenas
quando pelo menos uma das proposic¸o˜es P ou Q for verdadeira; e, reciprocamente, apenas
quando a proposic¸a˜o P ou a proposic¸a˜o Q for verdadeira (pelo menos uma das duas for ver-
dadeira) e´ que a proposic¸a˜o P ∨Q sera´ verdadeira.
Exemplo 1.6 P : 3 > 1 (proposic¸a˜o verdadeira)
Q : −1 > 0 (proposic¸a˜o falsa)
P ∨Q : 3 > 1 e − 1 > 0 (proposic¸a˜o verdadeira)
P ∧Q : 3 > 1 ou − 1 > 0 (proposic¸a˜o falsa).
Ainda sobre o valor lo´gico de sentenc¸as disjuntivas, podemos construir sentenc¸as logica-
mente verdadeira bastante bizarras, como: 1 < 2 ou na lua se fabrica queijo do reino com leite de
soja tirado de um ornitorrinco marciano. O fato e´ se´rio, mas a u´ltima sentenc¸a e´ so´ brincadeira!
8
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
1.3.2 Tabelas-verdade
Voceˆ deve ter notado, apartir dos exemplos dados nesta sec¸a˜o que o valor lo´gico de uma
proposic¸a˜o composta depende dos conectivos e dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que
a compo˜em, mas na˜o depende da natureza das sentenc¸as simples.
Uma maneira pra´tica de encontrar e exibir os valores lo´gicos de proposic¸o˜es compostas
e´ usando um dispositivo chamado TABELA-VERDADE. Nas tabelas-verdade, empregamos
V para denotar o valor lo´gico verdade, e a letra F para denotar o valor lo´gico falso de uma
proposic¸a˜o.
Pelos Princ´ıpios do Terceiro Exclu´ıdo e o da Na˜o-Contradic¸a˜o, toda proposic¸a˜o esta´ asso-
ciada a um u´nico valor lo´gico, F ou V. Logo, usando uma tabela-verdade, e´ poss´ıvel determinar
os valores lo´gico de uma proposic¸a˜o composta P (R1, R2, · · · , Rk), levando em considerac¸a˜o os
conectivos e as possibilidades dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples R1, R2, · · · , Rk que a
compo˜e.
As tabelas-verdade tem larga aplicac¸o˜es, em particular, na Linguagem Dual
da Computac¸a˜o, em circuitos ele´tricos, entre outros.
Como exemplo, veja como dispor em uma tabela-verdade os valores lo´gicos de proposic¸o˜es
conjuntivas e disjuntivas:
P Q P ∧Q P ∨Q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Adiantamos que na˜o e´ dif´ıcio verificar que na˜o e´ dif´ıcio verificar que uma tabela verdadede
uma sentanc¸a composta P (R1, R2, · · · , Rk), formada por k sentenc¸as simples R1, R2, · · · , Rk tem
exatamente 2k linhas.
Exerc´ıcio 3 Complete a tabela-verdade abaixo:
P Q R P ∧Q Q ∨R P ∧R P ∧ (Q ∨R) (P ∧Q) ∨ (P ∧R)
V V V
V V F
V F V
V V V
F F F
F V F
F F V
F F F
Na Lo´gica Formal, duas sentenc¸as compostas P (R1, R2, · · · , Rk) e Q(R1, R2, · · · , Rk) sa˜o
ditas equivalentes quando possuem as mesma tabelas verdade, independetes dos valores lo´gicos
das sentenc¸as simples R1, R2, · · · , Rk que as compo˜em. Representaremos esse fato por
P (R1, R2, · · · , Rk) ≡ Q(R1, R2, · · · , Rk).
que e´ lido como “a sentenc¸a P e´ equivalente a` sentenc¸a Q”.
9
Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
Exerc´ıcio 4 Quem fez o exerc´ıcio anterior, agora pode constatar que as sentenc¸as P ∧ (Q∨R)
e (P ∧Q) ∨ (P ∧R) sa˜o equivalentes.
A equivaleˆncia de sentenc¸as e´ importante, pois em muitos casos e´ conviniente
substituir uma sentenc¸a por outra que lhe seja equivalente.
Listamos a seguir as principais propriedades de equivaleˆncia de conjunc¸a˜o e disjunc¸a˜o de
proposic¸o˜es.
IDEMPOTEˆNCIA COMUTATIVIDADE
P ∧ P ≡ P P ∧Q ≡ Q ∧ P
P ∨ P ≡ P P ∨Q ≡ Q ∨ P
ASSOCIATIVIDADE DISTRIBUTIVIDADE
(P ∧Q) ∧R ≡ P ∧ (Q ∧R) P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R)
(P ∨Q) ∨R ≡ P ∨ (Q ∨R) P ∨ (Q ∧R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨R)
Exerc´ıcio 5 Verifique que sa˜o va´lidas as chamadas propriedade de absorc¸a˜o:
P ∧ (P ∨R) ≡ P e P ∨ (P ∧R) ≡ P.
Na Lo´gica Formal, a duas propocic¸o˜es dadas, P e Q, e´ poss´ıvel associar uma outra
propocic¸a˜o ’P −→ Q’, chamada sentenc¸a condicional da Lo´gica Formal, que e´ lida como
“Se P , enta˜o Q”
Defini-se da seguinte maneira a tabela-verdade da sentenc¸a condicional P −→ Q :
P Q P −→ Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Nesse contexto, a proposic¸a˜o P chama-se antecedente e a proposic¸a˜o Q consequente.
Exerc´ıcio 6 Construa a tabela-verdade das sentenc¸as abaixo:
(i) P ∧Q −→ P ∨Q;
(ii) (P −→ Q) −→ R;
(iii) (P −→ Q) −→ P ;
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Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA
1.4 Argumentos
Conside as sentenc¸as
P : Pedro e´ brasileiro
Q : Pedro e´ tarra´queo.
Admitindo a sentenc¸a P , de que forma podemos deduzir a sentenc¸a Q? Pense um pouco
e elabore uma justificativa para responder a pergunta. Sugerimos so´ continuar a leitura apo´s
fazer o que solicitamos.
Qualquer que tenha sido a maneira que voceˆ concluiu a sentenc¸a Q, partindo da sentanc¸a
P , voceˆ usou afirmac¸o˜es advinhas do racioc´ınio lo´gico. Essas afirmac¸o˜es sa˜o chamadas argu-
mentos. Os argumentos sa˜o elaborados com a finalidade de convencer de que certos fatos sa˜o
va´lidos.
Sendo menos informais, dado um nu´mero finito de sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk, Q chamamos
argumento a qualquer afirmac¸a˜o de que as sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk acarretam, ou tem como
consequeˆncia a sentenc¸a Q. Quando isso ocorre, tambe´m diz-se que “a sentenc¸a Q se deduz
(ou se infere) das sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk”. As sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk sa˜o chamadas de
premissas, e a sentenc¸a Q chama-se conclusa˜o. As premissas devem estar adequadamente
relacionadas com a conclusa˜o
No caso das sentenc¸as anteriores, Pedro e´ brasileiro foi a premissa inicial e usada para
deduzir a conclusa˜o Pedro e´ terra´quio.
As palavras deduzir e inferir sa˜o sinoˆnimos bastante conhecidos, usaremos a ide´ia intuitiva
do que significam. Sabemos que deduc¸o˜es sa˜o consequeˆncias de argumentac¸o˜es produzidas pelo
racioc´ınio e sa˜o pra´ticas habituais do dia a dia.
Vamos exemplificar as definic¸o˜es anteriores:
Considerando a seguinte sequeˆncia de proposic¸o˜es que se relacionam
P1 : Pedro e´ brasileiro,
P2 : O Brasil e´ na Terra,
Q : Pedro e´ terra´queo.
Podemos usar as sentenc¸as P1 e P2 para montar nosso argumento a fim de deduzirQ: Como
Pedro e´ brasileiro e o Brasil e´ na Terra, conclu´ımos que Pedro nasceu na Terra e, portanto, e´
um terra´queo.
Na conclusa˜o dos argumentos, geralmente usam-se expresso˜es como: portanto, logo, con-
clu´ımos, assim, consequentemente, entre outras.
Chamaremos argumentos va´lidos aqueles nos quais a conclusa˜o e´ verdadeira, sempre
que as premissas forem simultaneamente verdadeira, ou em outras palavras, quando na˜o for
poss´ıvel ter conclusa˜o falsa partindo-se de premissas verdadeiras. Por exemplo, como Pedro e´
brasileiro, e´ um argumento va´lido.
Diante do exposto, argumento na˜o-va´lidos e´ aquele cuja conclusa˜o e´ falsa e as premissas
sa˜o (simultanemente) verdadeiras. Os argumentos sa˜o mais conhecidos como sofismos ou
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fala´cias.
Apresentaremos agora um tipo de argumento bastante utilizado.
Definic¸a˜o 1.7 Um silogismo e´ um tipo de argumento lo´gico-dedutivo da forma
H e´ M.
S e´ H.
Logo, S e´ M.
Por exemplo:
Todos os homens sa˜o mortais,
Ora, So´crates e´ um homem.
Logo, So´crates e´ mortal.
Um silogismo e´ formado por treˆs elementos ba´sicos:
1. ’H e´ M’, que e´ conte´m uma afirmac¸a˜o geral e e´ chamado premissa maior;
Exemplo: Todos os homens sa˜o mortais.
2. ’S e´ H’, que conte´m uma afirmac¸a˜o particular derivada e e´ chamado premissa menor
ou termo me´dio;
Exemplo: Ora, So´crates e´ um homem.
3. ’S e´ M’, que deve ser coerente com as premissas anteriores e e´ chamado conclusa˜o.
Exemplo: Logo, So´crates e´ mortal.
Cada premissa tem um elemento comum com a conclusa˜o, e ambas um termo em comum.
Qual seria esse elemento em comum no exemplo de silogismo anteriore esse
Exerc´ıcio 7 Refac¸a a argumentac¸a˜o na frase a seguir, usando silogismo.
Como Pedro e´ brasileiro, e o Brasil e´ na Terra, concluı´mos que Pedro nasceu
na Terra e, portanto, e´ um terra´queo.
Exerc´ıcio 8 Complete a conclusa˜o do seguinte silogismo, que parte de uma premissa falsa:
Premissa maior: Todos os gatos s~ao pardos. (Premissa falsa)
Premissa menor: Pretinho e´ um gato (de cor preta). (Premissa verdadeira)
Conclusa˜o: .............................................. (Conclusa˜o falsa).
Exerc´ıcio 9 Deˆ exemplos de silogismos dentro da Matema´tica.
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1.5 Por que estou estudando Tabela-Verdade?
Essa pergunta surge naturalmente. Confesso que eu mesmo na˜o sabia a importaˆncia que o
conteu´do desta apostila tem! Coisa que so´ percebi quando passei a me deparar com as questo˜es
de racioc´ınio-lo´gico que tem ganho espac¸o nos concursos pu´blicos.
Encerraremos essa apostila relacionando, atrave´s de exemplos, o conteu´do apresentado
com questo˜es de racioc´ınio-lo´gico retiradas de alguns concursos.
Exemplo 1.8 Ao registrar os prec¸os de cinco produtos A, B, C, D e E, um consultor de mercado
fez as seguintes anotac¸o˜es:
I O prec¸o do produto A e´ inferior ao do produto C e superior ao do B.
II O prec¸o do produto A e´ superior ao do D, e o prec¸o do produto D e´ superior ao do B, se,
e somente se, o prec¸o de B e´ menor do que o prec¸o do C.
III Os prec¸os dos produtos E e D sa˜o diferentes, se, e somente se, o prec¸o de B e´ igual ao do
A.
Supondo que todas as anotac¸o˜es desse consultor sejam afirmativas verdadeiras, conclui-se
corretamente que o prec¸o do produto
(a) B e´ inferior ao do D, inferior ao do E e igual ao do C.
(b) A e´ superior ao do E, inferior ao do C e igual ao do B.
(c) D e´ superior ao do C, inferior ao do A e igual ao do E.
(d) E e´ superior ao do B, inferior ao do C e igual ao de D.
(e) B e´ superior ao do C, inferior ao do D e inferior ao do A.
Exerc´ıcio 10 Uma senha banca´ria e´ composta de 6 d´ıgitos. Cada d´ıgito e´ um nu´mero natural
de zero a nove. Um cliente, com receio de esquecer a senha, deixa no cofre os lembretes que se
seguem:
• O quinto d´ıgito e´ o nu´mero consecutivo do terceiro.
• O primeiro d´ıgito e´ o antecessor do dobro do terceiro.
• O segundo d´ıgito tem quatro unidades a menos que o terceiro.
• Somando-se o sexto d´ıgito com o quarto, obte´m-se 14 como resultado.
• Somando-se o terceiro d´ıgito com o quarto, obte´m- se 10 como resultado.
Para que outras pessoas na˜o identificassem a senha, ele na˜o deixou registrado que a soma
de todos os d´ıgitos e´ 30. Supondo que todos os registros dele sejam verdadeiros, quando esse
cliente faz qualquer operac¸a˜o banca´ria, os quatro primeiros algarismos da senha que ele digita
na ma´quina formam o nu´mero
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(a) 4.608.
(b) 5.864.
(c) 6.407.
(d) 7.046.
(e) 8.465.
Exerc´ıcio 11 Sobre os 120 candidatos a um concurso, sabe-se que:
• a raza˜o entre o nu´mero dos casados e o dos solteiros, nessa ordem, e´ de 2 para 3;
• a raza˜o entre o nu´mero dos formados em faculdades do interior do Estado e o dos formados
em faculdades da capital, nessa ordem, e´ de 5 para 3 entre os casados, e de 5 para 4 entre
os solteiros.
Sobre o total de candidatos, e´ verdade que
(a) 20 sa˜o casados e formados em faculdades da capital.
(b) 32 sa˜o solteiros e formados em faculdades da capital.
(c) 42 sa˜o solteiros e formados em faculdades do interior.
(d) 50 sa˜o casados.
(e) 75 sa˜o solteiros.
Exemplo 1.9 Uma proposic¸a˜o logicamente equivalente a` negac¸a˜o da proposic¸a˜o ”se o ca˜o mia,
enta˜o o gato na˜o late”e´ a proposic¸a˜o
(a) o ca˜o mia e o gato late.
(b) o ca˜o mia ou o gato late.
(c) o ca˜o na˜o mia ou o gato late.
(d) o ca˜o na˜o mia e o gato late.
(e) o ca˜o na˜o mia ou o gato na˜o late.
Exerc´ıcio 12 Um trielo e´ uma disputa entre treˆs participantes, a exemplo do duelo, em que
participam duas pessoas. Suponha que, certa manha˜, os senhores X, Y e Z encontram-se para
resolver uma disputa, em que, a igual distaˆncia uns dos outros, atirara˜o com pistolas, um apo´s
o outro, um u´nico tiro por vez, obedecendo a certa ordem, ate´ que apenas um permanec¸a vivo.
Sabe-se que o senhor X acerta um tiro em cada treˆs, que o senhor Y acerta dois tiros em
cada treˆs e que o senhor Z nunca erra. Para ser justo, o trielo sera´ iniciado com o senhor X
atirando, seguido do senhor Y, se ainda estiver vivo, depois pelo senhor Z, se ainda estiver vivo,
e assim sucessivamente ate´ restar vivo apenas um desafiante. Para aumentar suas chances de
sobreviveˆncia na disputa, o melhor que o senhor X devera´ fazer, do ponto de vista lo´gico, e´
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(a) atirar no senhor Z, pois o senhor Z nunca erra um tiro, e e´ melhor elimina´-lo primeiro.
(b) atirar no senhor Y, pois, se errar, o senhor Y escolhera´ atirar no senhor Z.
(c) atirar em si mesmo.
(d) atirar no senhor Z, pois o senhor Y tem maior probabilidade de acertar o primeiro tiro
que o senhor X.
(e) atirar para o ar ou para o cha˜o, sem acertar nenhum adversa´rio, pois, assim, na pro´xima
rodada, ele podera´ ser o primeiro atirador de um duelo.
Exerc´ıcio 13 Quatro faculdades de Direito participam de um conveˆnio Empresa-Escola para
esta´gios de seus alunos em grandes escrito´rios de advocacia. Em certo dia, as quatro enviaram
alunos a um escrito´rio, candidatando-se a uma vaga. La´ chegando, eles foram divididos em
grupos, de forma que:
• cada grupo tinha alunos de uma u´nica faculdade;
• todos os grupos tinham a mesma quantidade de alunos;
• a quantidade de alunos em cada grupo era a maior poss´ıvel;
• nu´mero de alunos enviados pelas faculdades foi 12, 18, 24 e 36.
Se para cada grupo foi elaborada uma prova distinta, enta˜o
(a) cada grupo tinha exatamente 4 alunos.
(b) foi aplicado um total de 15 provas.
(c) foi aplicado um total de 6 provas.
(d) foram formados exatamente 12 grupos.
(e) para alunos de uma das faculdades foi aplicado um total de 8 provas.
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