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INTRODUC¸A˜O A LO´GICA MATEMA´TICA Prof. Isnaldo Isaac AULA 2 Conteu´do 1 Argumentac¸a˜o Lo´gica 2 1.1 Sentenc¸as (proposic¸o˜es) Matema´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Os quatificadores universal e existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tabelas-verdade dos conectivos lo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Conectivos e proposic¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Tabelas-verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Por que estou estudando Tabela-Verdade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA 1 Argumentac¸a˜o Lo´gica Vamos iniciar nossa segunda aula com um exemplo de como uma informac¸a˜o pode ser transmi- tida. As ovelhas da Alemanha Durante um congresso internacional que estava acontecendo na Alemanha, alguns pesquisadores que nunca haviam ido a Alemanha, nem tinham conhecimento do que la´ existia, aproveitaram para passear de trem. Estavam no mesmo trem um engenheiro, um f´ısico e um matema´tico. Cada um desses pesquisadores estava acompanhado dos seus respectivos filhos. No decorrer da viagem, o trem passava por um extenso pasto verde, onde se encontrava uma pequena ovelha solita´ria. Assim que o filho do engenheiro avistou a falou ao seu pai: — Olha pai, uma ovelha preta. O engenheiro prontamente respondeu: — E´ filho, todas as ovelhas da Alemanha sa˜o pretas. O filho do f´ısico, que vinha alguns vago˜es atra´s exclamou ao seu pai: — Veja pai, que linda aquela ovelha preta. O f´ısico respondeu prontamente: — Tambe´m acho filho. Agora sabemos que na Alemanha existe pelo menos uma ovelha preta. La´ no u´ltimo vaga˜o, vinham o matema´tico e seu filho, que quando viu a ovelha chamou a atenc¸a˜o do seu pai e disse: — Pai, pai, tem uma ovelha preta ali. O matema´tico olhou cuidadosamente para a ovelha e alertou o seu filho da seguinte forma. — Filho, com o que voceˆ ver na˜o da´ para concluir que a ovelha e´ preta, a u´nica coisa que se pode afirmar e´ que na Alemanha existe pelo menos uma ovelha que tem pelo menos um lado preto. Esta pequena histo´ria serve para chamar nossa atenc¸a˜o para as informac¸o˜es que apresentamos e tambe´m para os argumentos que usamos para concluir algumas coisas. 1.1 Sentenc¸as (proposic¸o˜es) Matema´ticas Com base na histo´ria acima, vemos que os resultados matema´ticos devem ser expressos com a exatida˜o necessa´ria que exigem. Na Liguagem Matema´tica na˜o ha´ lugar para ambiguidades, para figuras de linguagem ou para meta´foras, ta˜o comuns e ate´ mesmo apreciadas na Linguagem Coloquial ou Litera´ria. No dia a dia, quando algue´m diz a frase “ Estou chegando em um minuto!!” significa que ela vai chegar em pouco tempo. Ja´ na Matema´tica, um minuto representa um minuto mesmo, sessenta segundos. Sem querer ser chato, matematicamente, essa pessoa na˜o pode levar nenhum segundo a mais nem a menos para chegar! Na˜o e´ a` toa que a Matema´tica e´ uma Cieˆncia Exata, e e´ desta forma que ela funciona. Felizmente, podemos ficar tranquilos, ningue´m no dia a dia e´ obrigado a interpretar matematicamente a frase anterior. 2 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA Agora daremos algumas definic¸o˜es que nos servira˜o de ancora durante o decorrer do nosso curso. Definic¸a˜o 1.1 Chamamos frase a um conjunto de palavras – incluindo os sinais de acentuac¸a˜o e pontuac¸a˜o – ou de s´ımbolos matema´ticos, que se relacionam para comunicar uma ide´ia. Definic¸a˜o 1.2 Uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o e´ uma frase – podendo conter apenas s´ımbolos matema´ticos – que cumpre as condic¸o˜es: (i) Apresentar-se de forma estruturada como uma orac¸a˜o, com sujeito, verbo e predicado; (ii) E´ afirmativa declarativa (na˜o e´ interrogativa, nem exclamativa); (iii) Satisfaz os seguintes princ´ıpios: (a) Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo: uma sentenc¸a e´ falsa ou verdadeira, na˜o havendo uma terceira alternativa; (b) Princ´ıpio de Na˜o-contradic¸a˜o: uma sentenc¸a na˜o pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Como exemplos de sentenc¸as, conside as frases: 1. A soma das medidas dos aˆngulos internos de um triaˆngulo no plano e´ igual a cento e oitenta graus. 2. Existe x ∈ R positivo tal que x < 0 e x2 > 10. 3. Todo nu´mero par e´ divis´ıvel por 3. 4. O Brasil e´ o maior pa´ıs da Ame´rica Latina. 5. 3 + 9 = 11 6. x ∈ R, x2 − 16 > 0 =⇒ x > 4 ou x < −4. Voceˆ pode verificar que todas as frases acima sa˜o sentenc¸as, elas satisfazem (i), (ii) e (iii) da definic¸a˜o. Apenas 4 na˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica, pois nela na˜o ha´ objetos matema´ticos. Perceba que, uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o e´ uma afirmac¸a˜o de significado preciso, que na˜o deixa margem para interpretac¸o˜es amb´ınguas. Em Matema´tica, as ide´ias precisam ter essa caracter´ıstica e, por essa raza˜o, os resultados formais sa˜o formulados utilizando-se sentenc¸as. Segundo a definic¸a˜o, toda sentenc¸a e´, ou verdadeira ou falsa1, ja´ que na˜o ha´ uma terceira opc¸a˜o, e ja´ que na˜o pode ser falsa e verdadeira as mesmo tempo. Por isso, a lo´gica que iremos utilizar chama-se Lo´gica Bivalente ou Lo´gica Boleliana. O valor lo´gico de uma sentenc¸a e´ dito verdadeiro quando a sentenc¸a e´ verdadeira, e falso, caso contra´rio. Do item (iii) da definic¸a˜o de sentenc¸a, segue que a toda sentenc¸a esta´ associado um u´nico valor lo´gico: verdadeiro ou falso. 1usaremos ou ... ou com o sentido de exclusa˜o, ou seja, os dois na˜o ocorrem simutaneamente, diferente do ou, quando usarmos, onde as situac¸o˜es envolvidas podem ocorrer 3 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA A Matema´tica tem como um de seus objetivos descobrir e provar se certas sentenc¸as sa˜o verdadeiras ou falsas. E´ interessante resaltar que, a`s vezes, levam-se se´culos para isso! Para gravar mais precisamentea definic¸a˜o de sentenc¸a matema´tica, analisaremos algumas frases que deixam de satisfazer pelo menos uma das condic¸o˜es (i), (ii) ou (iii) e, consequente- mente, na˜o sa˜o sentenc¸as: 1. 1 3 + 3 (um terc¸o mais tre^s.) Esta frase na˜o esta´ estruturada como uma sentenc¸a, pois na˜o cumpre condic¸a˜o (i) da definic¸a˜o. A frase tem sujeito (um terc¸o mais treˆs), mas na˜o tem verbo nem predicado. Na˜o ha´ afirmac¸a˜o alguma nela, apenas uma frac¸a˜o somada a um nu´mero. Para torna´-la uma sentenc¸a, poder´ıamos completa´-la, por exemplo, como: 1 3 + 3 < 0 um terc¸o mais tre^s e´ menor do que zero. Desta forma a frase e´ afirmativa declarativa, tem sujeito, verbo e predicado e cumpre os dois Princ´ıpios (o do Terceiro Exclu´ıdo e o da Na˜o-Contradic¸a˜o). 2. 109 > 910 ? (dez elevado a nona e´ maior que nove elevado a de´cima?) A frase sem considerarmos a interrogac¸a˜o, esta´ estruturada como uma orac¸a˜o e satisfaz os dois Princ´ıpios, entretando, da forma em que esta´ apresentada, e´ interrogativa. Por conseguinte, na˜o e´ uma sentenc¸a. 3. 2x+ 6 = 3 (duas vezes um nu´mero mais seis e´ igual a tre^s.) A frase acima esta´ estruturada como uma orac¸a˜o, mas observe, para x = −3 2 a frase e´ verdadeira, e e´ falsa para x = 1, x = −9, ou para qualquer outro valor de x diferente de −3 2 . Portanto, na˜o ha´ como determinar se ela e´ verdadeira ou falsa, nada foi dito sobre o que seja a varia´vel x, ou quais os valores que ela assume. Esse fato contradiz o Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo e consequentemente a frase na˜o e´ uma sentenc¸a. O fato, entretanto, motiva a seguinte definic¸a˜o. Definic¸a˜o 1.3 Chama-se sentenc¸a aberta a uma frase subordinada a uma varia´vel que fica livre, sobre a qual nada se afirma, na˜o sendo poss´ıvel determinar o valor lo´gico da frase. Apesar do incoˆmodo de chamar sentenc¸a aberta a uma frase que, na verdade, na˜o e´ sentenc¸a, conforme definimos anteriormente, vamos respeitr a terminologia usada na literatura. Observac¸a˜o 1.4 Note: (i) A frase Este nu´mero n~ao e´ par e´ umasentenc¸a aberta. Qual a varia´vel livre desta sentenc¸a? 4 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA (ii) Sentenc¸as abertas podem conter mais de uma varia´vel livre: ′ x2 + y > cos z. ′ Exerc´ıcio 1 Explique por que “10 ≥ 10” e´ uma sentenc¸a verdadeira. 1.2 Os quatificadores universal e existencial Uma das maneiras de transformar uma sentanc¸a aberta em uma sentenc¸a e´, para cada varia´vel livre da sentenc¸a aberta, encontrar um conjunto adequado e indicar quantidade de elementos do conjunto que satisfazem as condic¸o˜es definidas pela varia´vel livre. Das opc¸o˜es para quantificar, uma e´ bastante especial: utilizar os s´ımbolos ∃ (existe) ou ∀ (para todo). Por exemplo, uma maneira de transformar a sentenc¸a aberta anterior, 2x+ 6 = 3, em uma sentenc¸a seria escrever: ∃x ∈ R | 2x + 6 = 3. (existe uma ne´mero real tal que o dobro dele adcionado com seis e´ igual a tre^s.) Dessa maneira temos uma sentenc¸a! Semelhantemente poder´ıamos ter escrito: ∀x ∈ R, 2x + 6 = 3. (Para todo nu´mero real, o seu dobro adcionado com seis e´ igual a tre^s.) Frase que agora tambe´m e´ uma sentenc¸a. Os s´ımbolos ∀ e ∃, com muita raza˜o sa˜o chamados quantificador universal e quantifi- cador existencial, respectivamente. Os quantificadores tem importaˆncia muito grande na Linguagem Matema´tica. O quantifi- cador universal e´ usado para definir condic¸o˜es satisfeitas por todos os elemento de um conjunto. Ja´ o quantificador existencial e´ usado para definir condic¸o˜es satisfeitas por, pelo menos, um elemento de um conjunto. Ao usar qualquer um dos quantificadores, tenha os seguintes cuidados em mente: 1. Cada quantificador deve estar subordinado a uma varia´vel pertencente a um determinado conjunto, por exemplo, ∀y ∈ N, y2 ≥ 0, escolhemos o conjunto como sendo o dos nu´meros naturais; 2. Em geral, a varia´vel a` qual a sentenc¸a esta´ subordinada e´ representada por uma letra. O significado da sentenc¸a permanece o mesmo, independente da letra escolhida para repre- sentar essa varia´vel. Por exemplo, tanto faz escrever ∃x ∈ Q | 5x− 1 = 0, como escrever ∃y ∈ Q | 5y − 1 = 0, ou ∃ξ ∈ Q | 5ξ − 1 = 0; 3. Ao utilizar um s´ımbolo para representar uma varia´vel, cuidado para na˜o reutiliza´-la no mesmo contexto, representando uma outra varia´vel, o que poderia causar grande confusa˜o; 5 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA 4. A ordem na qual os quantificadores de natureza distintas – existencial e universal ou universal e existencial – aparecem numa sentenc¸a pode modificar inteiramente o sentido da sentenc¸a. Por exemplo, os significados das sentenc¸as abaixo sa˜o totalmente distintos, ja´ que trocamos a ordem na qual aparecem os quantificadores de naturezas distintas: ∀ε > 0,∃δ > 0 ; |x− 1| < δ =⇒ |f(x)− f(1)| < ε e ∃ε > 0,∀δ > 0 ; |x− 1| < δ =⇒ |f(x)− f(1)| < ε; 5. Ja´ a ordem na qual aparecem quantificadores de mesma natureza pode ser trocada. Tanto faz escrever ∀a ∈ Z, ∀b ∈ N, a2 + b2 ∈ N, ou ∀b ∈ N, ∀a ∈ Z, a2 + b2 ∈ N. 6. Outras expresso˜es que podem substituir ’para todo’ sa˜o, por exmeplo, dado, para qualquer, para cada. Mas o s´ımbolo do quantificador universal na˜o muda. 7. Outras expresso˜es que podem sibstituir ’existe’ sa˜o, por exemplo, existe algum, existe pelo menos um. Pore´m, o s´ımbolo do quantificador existencial na˜o muda. Exerc´ıcio 2 Determine o valor lo´gico das seguintes sentenc¸as, justificando sua resposta: (i) Existem dois nu´meros primos entre 22 e 33, ou pi > √ 3; (ii) Se x e´ um nu´mero real, enta˜o x3 − 1 > 0 e 2x > 0; (iii) -3¿ Ha´ tambe´m outras maneiras de transformar uma sentenc¸a aberta numa sen- tenc¸a, sem necessariamente utilizar os quantificadores universal ou existencial. 1.3 Tabelas-verdade dos conectivos lo´gicos Nesta sec¸a˜o veremos como trabalhar com va´rias sentenc¸as ou proposic¸o˜es as mesmo tempo e como usa´-las para concluir o valor lo´gico de outras proposic¸o˜es. O conteu´do que apresentaremos agora tambe´m e´ conhecido como Ca´lculo Proposicional. 6 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA 1.3.1 Conectivos e proposic¸o˜es compostas Iniciamos relembrando duas operac¸o˜es importante entre conjuntos, a saber, reunia˜o2 e in- tersec¸a˜o. Mesmo sendo conhecidos desde os primeiros anos de escola, esses conceitos ainda causam muitas du´vidas, principalmente quando se apresentam os conjuntos soluc¸a˜o de equac¸o˜es ou inequac¸o˜es, e e´ comum ver-se confundir reunia˜o com intersec¸a˜o. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Usando A e B podemos construir dois conjuntos extremamente u´teis: 1. O primeiro, constitu´ıdo pelos elementos de A juntamente com os elemento de B, chamado A reunia˜o B e representado por A ∪ B. Escrevemos x ∈ A ∪ B, se x ∈ A ou x ∈ B. Portanto, tenha em mente que a reunia˜o esta´ relacionada com a conjunc¸a˜o gramatical ou. 2. O segundo conjunto e´ formado pelo elementos de A que tambe´m sa˜o elementos do conjunto B, chamado A intersec¸a˜o e denotado por A ∩ B. Escrevemos x ∈ A ∩ B, se x ∈ A e x ∈ B. Portanto, fixe bem que a intersec¸a˜o esta´ relacionada com a conjunc¸a˜o gramatical e . Dizemos que uma reunia˜o A ∪B e´ uma disjunc¸a˜o quando A ∩B = ∅. Geralmente, na Linguagem Coloquial, quando se emprega a conjunc¸a˜o gramatical ou , o fazemos no sentido excludente: “Voceˆ mora n capital ou no interior?”, “Pedro e´ filho de Maria ou de Joana?”, etc. No uso contidiano, o comportamento e´ como se a reunia˜o de dois conjuntos fosse algo separado de sua intersec¸a˜o. No uso matema´tico, ao se referir a qualquer reunia˜o, sempre deve-se levar em considerac¸a˜o a intersec¸a˜o, ja´ que para dois conjuntos quaisquer A e B temos A ∩ B ⊂ A ∪ B, e nem sempre uma reunia˜o de dois conjuntos e´ disjunta. Dessa forma, deferentemente da Linguagem Contidiana, nunca usar´ıamos na Matema´tica uma frase contendo as conjunc¸o˜es e/ou simultaneamente. Na Linguagem Matema´tica isso seria um pleonasmo enfa´tico! Matema´ticamente, quando usamos o ou, deve-se entender que tambe´m estamos considerando a possibilidade de ocorrer e. E´ necessa´rio que esses conceitos fiquem bem claros. Como no caso de conjuntos, quando trabalhamos com proposic¸o˜es matema´ticas, tambe´m podemos construir proposic¸o˜es dadas, utilizando certas palavras, chamadas conectivos lo´gicos, ou simplismente, conectivos . Por exemplo, “na˜o”, “se...enta˜o”, “se, somente se”, “ou” e “e” sa˜o tambe´m conectivos. Observe que utilizamos alguns desses conectivos nos exemplo 1.1. Proposic¸o˜es deste tipo, formadas por outras proposic¸o˜es com o aux´ılio de conectivos, sa˜o chamadas de porposic¸o˜es compostas. Oportunamente, chamam-se proposic¸o˜es simples aquelas que na˜o conteˆm mais de uma proposic¸a˜o em sua formac¸a˜o. Em alguns textos de Lo´gica, as proposic¸o˜es simples sa˜o chamadas proposic¸o˜es atoˆmicas. Quando for importante enfatizar, usaremos a notac¸a˜o P (R1, R2, · · · , Rk) para representar um sentenc¸a composta P , constituida de k sentenc¸as simples R1, R2, · · · , Rk. Quando na˜o for o caso, usaremos apenas letras ma´ıusculas P,Q,R, S, T etc. para represnetar qualquer sentenc¸a, composta ou simples. 2alguns livros chamam essa operac¸a˜o de unia˜o 7 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA As definic¸o˜es anteriores sa˜o o passo inicial para o estudo do chamado Ca´lculo Proposi- cional, ou Ca´lculo Sentencial. Ca´lculo Proposicional e´ a parte da Lo´gica que, entre outras coisas, trata de sentenc¸as compostas resultantes de operac¸o˜es lo´gicas, e dos valores lo´gicos dessas sentenc¸as. Como ocorre com os conjuntos, usando as proposic¸o˜es P e Q podemos formar duas proposic¸o˜es bastante especiais: P e Q, chamada conjunc¸a˜o das sentenc¸as P e Q, que denotaremos por P ∧Q e P ou Q, chamada disjunc¸a˜o das sentenc¸as P e Q, que denotaremos por P ∨Q Vamos aos exemplos de sentenc¸as conjuntivas e disjuntivas: Exemplo 1.5 Com as proposic¸o˜es P : ∃x ∈ R | x− 4 > 2 (existe um nu´mero real tal que a diferenc¸a entre este nu´mero e quatro e´ maior do que dois) e Q : ∀x ∈ R, x4 > 1 (para todo nu´mero real, tem-se quesua quarta pote^ncia e´ maior do que um.) podemos construir as proposic¸o˜es: P ∧Q : ∃x ∈ R | x− 4 > 2 e ∀x ∈ R, x4 > 1 e P ∨Q : ∃x ∈ R | x− 4 > 2 ou x ∈ R, x4 > 1. Definiremos que uma proposic¸a˜o conjuntiva P ∧Q e´ verdadeira apenas no caso em que as duas proposic¸o˜es P e Q o forem; e, reciprocamente, apenas quando ambas as proposic¸o˜es P e Q forem verdadeiras e´ que a proposic¸a˜o P ∧Q sera´ verdadeira. Por sua vez, definimos que uma proposic¸a˜o disjuntiva P ∨ Q e´ verdadeira, apenas quando pelo menos uma das proposic¸o˜es P ou Q for verdadeira; e, reciprocamente, apenas quando a proposic¸a˜o P ou a proposic¸a˜o Q for verdadeira (pelo menos uma das duas for ver- dadeira) e´ que a proposic¸a˜o P ∨Q sera´ verdadeira. Exemplo 1.6 P : 3 > 1 (proposic¸a˜o verdadeira) Q : −1 > 0 (proposic¸a˜o falsa) P ∨Q : 3 > 1 e − 1 > 0 (proposic¸a˜o verdadeira) P ∧Q : 3 > 1 ou − 1 > 0 (proposic¸a˜o falsa). Ainda sobre o valor lo´gico de sentenc¸as disjuntivas, podemos construir sentenc¸as logica- mente verdadeira bastante bizarras, como: 1 < 2 ou na lua se fabrica queijo do reino com leite de soja tirado de um ornitorrinco marciano. O fato e´ se´rio, mas a u´ltima sentenc¸a e´ so´ brincadeira! 8 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA 1.3.2 Tabelas-verdade Voceˆ deve ter notado, apartir dos exemplos dados nesta sec¸a˜o que o valor lo´gico de uma proposic¸a˜o composta depende dos conectivos e dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que a compo˜em, mas na˜o depende da natureza das sentenc¸as simples. Uma maneira pra´tica de encontrar e exibir os valores lo´gicos de proposic¸o˜es compostas e´ usando um dispositivo chamado TABELA-VERDADE. Nas tabelas-verdade, empregamos V para denotar o valor lo´gico verdade, e a letra F para denotar o valor lo´gico falso de uma proposic¸a˜o. Pelos Princ´ıpios do Terceiro Exclu´ıdo e o da Na˜o-Contradic¸a˜o, toda proposic¸a˜o esta´ asso- ciada a um u´nico valor lo´gico, F ou V. Logo, usando uma tabela-verdade, e´ poss´ıvel determinar os valores lo´gico de uma proposic¸a˜o composta P (R1, R2, · · · , Rk), levando em considerac¸a˜o os conectivos e as possibilidades dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples R1, R2, · · · , Rk que a compo˜e. As tabelas-verdade tem larga aplicac¸o˜es, em particular, na Linguagem Dual da Computac¸a˜o, em circuitos ele´tricos, entre outros. Como exemplo, veja como dispor em uma tabela-verdade os valores lo´gicos de proposic¸o˜es conjuntivas e disjuntivas: P Q P ∧Q P ∨Q V V V V V F F V F V F V F F F F Adiantamos que na˜o e´ dif´ıcio verificar que na˜o e´ dif´ıcio verificar que uma tabela verdadede uma sentanc¸a composta P (R1, R2, · · · , Rk), formada por k sentenc¸as simples R1, R2, · · · , Rk tem exatamente 2k linhas. Exerc´ıcio 3 Complete a tabela-verdade abaixo: P Q R P ∧Q Q ∨R P ∧R P ∧ (Q ∨R) (P ∧Q) ∨ (P ∧R) V V V V V F V F V V V V F F F F V F F F V F F F Na Lo´gica Formal, duas sentenc¸as compostas P (R1, R2, · · · , Rk) e Q(R1, R2, · · · , Rk) sa˜o ditas equivalentes quando possuem as mesma tabelas verdade, independetes dos valores lo´gicos das sentenc¸as simples R1, R2, · · · , Rk que as compo˜em. Representaremos esse fato por P (R1, R2, · · · , Rk) ≡ Q(R1, R2, · · · , Rk). que e´ lido como “a sentenc¸a P e´ equivalente a` sentenc¸a Q”. 9 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA Exerc´ıcio 4 Quem fez o exerc´ıcio anterior, agora pode constatar que as sentenc¸as P ∧ (Q∨R) e (P ∧Q) ∨ (P ∧R) sa˜o equivalentes. A equivaleˆncia de sentenc¸as e´ importante, pois em muitos casos e´ conviniente substituir uma sentenc¸a por outra que lhe seja equivalente. Listamos a seguir as principais propriedades de equivaleˆncia de conjunc¸a˜o e disjunc¸a˜o de proposic¸o˜es. IDEMPOTEˆNCIA COMUTATIVIDADE P ∧ P ≡ P P ∧Q ≡ Q ∧ P P ∨ P ≡ P P ∨Q ≡ Q ∨ P ASSOCIATIVIDADE DISTRIBUTIVIDADE (P ∧Q) ∧R ≡ P ∧ (Q ∧R) P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R) (P ∨Q) ∨R ≡ P ∨ (Q ∨R) P ∨ (Q ∧R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨R) Exerc´ıcio 5 Verifique que sa˜o va´lidas as chamadas propriedade de absorc¸a˜o: P ∧ (P ∨R) ≡ P e P ∨ (P ∧R) ≡ P. Na Lo´gica Formal, a duas propocic¸o˜es dadas, P e Q, e´ poss´ıvel associar uma outra propocic¸a˜o ’P −→ Q’, chamada sentenc¸a condicional da Lo´gica Formal, que e´ lida como “Se P , enta˜o Q” Defini-se da seguinte maneira a tabela-verdade da sentenc¸a condicional P −→ Q : P Q P −→ Q V V V V F F F V V F F V Nesse contexto, a proposic¸a˜o P chama-se antecedente e a proposic¸a˜o Q consequente. Exerc´ıcio 6 Construa a tabela-verdade das sentenc¸as abaixo: (i) P ∧Q −→ P ∨Q; (ii) (P −→ Q) −→ R; (iii) (P −→ Q) −→ P ; 10 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA 1.4 Argumentos Conside as sentenc¸as P : Pedro e´ brasileiro Q : Pedro e´ tarra´queo. Admitindo a sentenc¸a P , de que forma podemos deduzir a sentenc¸a Q? Pense um pouco e elabore uma justificativa para responder a pergunta. Sugerimos so´ continuar a leitura apo´s fazer o que solicitamos. Qualquer que tenha sido a maneira que voceˆ concluiu a sentenc¸a Q, partindo da sentanc¸a P , voceˆ usou afirmac¸o˜es advinhas do racioc´ınio lo´gico. Essas afirmac¸o˜es sa˜o chamadas argu- mentos. Os argumentos sa˜o elaborados com a finalidade de convencer de que certos fatos sa˜o va´lidos. Sendo menos informais, dado um nu´mero finito de sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk, Q chamamos argumento a qualquer afirmac¸a˜o de que as sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk acarretam, ou tem como consequeˆncia a sentenc¸a Q. Quando isso ocorre, tambe´m diz-se que “a sentenc¸a Q se deduz (ou se infere) das sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk”. As sentenc¸as P1, P2, · · · , Pk sa˜o chamadas de premissas, e a sentenc¸a Q chama-se conclusa˜o. As premissas devem estar adequadamente relacionadas com a conclusa˜o No caso das sentenc¸as anteriores, Pedro e´ brasileiro foi a premissa inicial e usada para deduzir a conclusa˜o Pedro e´ terra´quio. As palavras deduzir e inferir sa˜o sinoˆnimos bastante conhecidos, usaremos a ide´ia intuitiva do que significam. Sabemos que deduc¸o˜es sa˜o consequeˆncias de argumentac¸o˜es produzidas pelo racioc´ınio e sa˜o pra´ticas habituais do dia a dia. Vamos exemplificar as definic¸o˜es anteriores: Considerando a seguinte sequeˆncia de proposic¸o˜es que se relacionam P1 : Pedro e´ brasileiro, P2 : O Brasil e´ na Terra, Q : Pedro e´ terra´queo. Podemos usar as sentenc¸as P1 e P2 para montar nosso argumento a fim de deduzirQ: Como Pedro e´ brasileiro e o Brasil e´ na Terra, conclu´ımos que Pedro nasceu na Terra e, portanto, e´ um terra´queo. Na conclusa˜o dos argumentos, geralmente usam-se expresso˜es como: portanto, logo, con- clu´ımos, assim, consequentemente, entre outras. Chamaremos argumentos va´lidos aqueles nos quais a conclusa˜o e´ verdadeira, sempre que as premissas forem simultaneamente verdadeira, ou em outras palavras, quando na˜o for poss´ıvel ter conclusa˜o falsa partindo-se de premissas verdadeiras. Por exemplo, como Pedro e´ brasileiro, e´ um argumento va´lido. Diante do exposto, argumento na˜o-va´lidos e´ aquele cuja conclusa˜o e´ falsa e as premissas sa˜o (simultanemente) verdadeiras. Os argumentos sa˜o mais conhecidos como sofismos ou 11 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA fala´cias. Apresentaremos agora um tipo de argumento bastante utilizado. Definic¸a˜o 1.7 Um silogismo e´ um tipo de argumento lo´gico-dedutivo da forma H e´ M. S e´ H. Logo, S e´ M. Por exemplo: Todos os homens sa˜o mortais, Ora, So´crates e´ um homem. Logo, So´crates e´ mortal. Um silogismo e´ formado por treˆs elementos ba´sicos: 1. ’H e´ M’, que e´ conte´m uma afirmac¸a˜o geral e e´ chamado premissa maior; Exemplo: Todos os homens sa˜o mortais. 2. ’S e´ H’, que conte´m uma afirmac¸a˜o particular derivada e e´ chamado premissa menor ou termo me´dio; Exemplo: Ora, So´crates e´ um homem. 3. ’S e´ M’, que deve ser coerente com as premissas anteriores e e´ chamado conclusa˜o. Exemplo: Logo, So´crates e´ mortal. Cada premissa tem um elemento comum com a conclusa˜o, e ambas um termo em comum. Qual seria esse elemento em comum no exemplo de silogismo anteriore esse Exerc´ıcio 7 Refac¸a a argumentac¸a˜o na frase a seguir, usando silogismo. Como Pedro e´ brasileiro, e o Brasil e´ na Terra, concluı´mos que Pedro nasceu na Terra e, portanto, e´ um terra´queo. Exerc´ıcio 8 Complete a conclusa˜o do seguinte silogismo, que parte de uma premissa falsa: Premissa maior: Todos os gatos s~ao pardos. (Premissa falsa) Premissa menor: Pretinho e´ um gato (de cor preta). (Premissa verdadeira) Conclusa˜o: .............................................. (Conclusa˜o falsa). Exerc´ıcio 9 Deˆ exemplos de silogismos dentro da Matema´tica. 12 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA 1.5 Por que estou estudando Tabela-Verdade? Essa pergunta surge naturalmente. Confesso que eu mesmo na˜o sabia a importaˆncia que o conteu´do desta apostila tem! Coisa que so´ percebi quando passei a me deparar com as questo˜es de racioc´ınio-lo´gico que tem ganho espac¸o nos concursos pu´blicos. Encerraremos essa apostila relacionando, atrave´s de exemplos, o conteu´do apresentado com questo˜es de racioc´ınio-lo´gico retiradas de alguns concursos. Exemplo 1.8 Ao registrar os prec¸os de cinco produtos A, B, C, D e E, um consultor de mercado fez as seguintes anotac¸o˜es: I O prec¸o do produto A e´ inferior ao do produto C e superior ao do B. II O prec¸o do produto A e´ superior ao do D, e o prec¸o do produto D e´ superior ao do B, se, e somente se, o prec¸o de B e´ menor do que o prec¸o do C. III Os prec¸os dos produtos E e D sa˜o diferentes, se, e somente se, o prec¸o de B e´ igual ao do A. Supondo que todas as anotac¸o˜es desse consultor sejam afirmativas verdadeiras, conclui-se corretamente que o prec¸o do produto (a) B e´ inferior ao do D, inferior ao do E e igual ao do C. (b) A e´ superior ao do E, inferior ao do C e igual ao do B. (c) D e´ superior ao do C, inferior ao do A e igual ao do E. (d) E e´ superior ao do B, inferior ao do C e igual ao de D. (e) B e´ superior ao do C, inferior ao do D e inferior ao do A. Exerc´ıcio 10 Uma senha banca´ria e´ composta de 6 d´ıgitos. Cada d´ıgito e´ um nu´mero natural de zero a nove. Um cliente, com receio de esquecer a senha, deixa no cofre os lembretes que se seguem: • O quinto d´ıgito e´ o nu´mero consecutivo do terceiro. • O primeiro d´ıgito e´ o antecessor do dobro do terceiro. • O segundo d´ıgito tem quatro unidades a menos que o terceiro. • Somando-se o sexto d´ıgito com o quarto, obte´m-se 14 como resultado. • Somando-se o terceiro d´ıgito com o quarto, obte´m- se 10 como resultado. Para que outras pessoas na˜o identificassem a senha, ele na˜o deixou registrado que a soma de todos os d´ıgitos e´ 30. Supondo que todos os registros dele sejam verdadeiros, quando esse cliente faz qualquer operac¸a˜o banca´ria, os quatro primeiros algarismos da senha que ele digita na ma´quina formam o nu´mero 13 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA (a) 4.608. (b) 5.864. (c) 6.407. (d) 7.046. (e) 8.465. Exerc´ıcio 11 Sobre os 120 candidatos a um concurso, sabe-se que: • a raza˜o entre o nu´mero dos casados e o dos solteiros, nessa ordem, e´ de 2 para 3; • a raza˜o entre o nu´mero dos formados em faculdades do interior do Estado e o dos formados em faculdades da capital, nessa ordem, e´ de 5 para 3 entre os casados, e de 5 para 4 entre os solteiros. Sobre o total de candidatos, e´ verdade que (a) 20 sa˜o casados e formados em faculdades da capital. (b) 32 sa˜o solteiros e formados em faculdades da capital. (c) 42 sa˜o solteiros e formados em faculdades do interior. (d) 50 sa˜o casados. (e) 75 sa˜o solteiros. Exemplo 1.9 Uma proposic¸a˜o logicamente equivalente a` negac¸a˜o da proposic¸a˜o ”se o ca˜o mia, enta˜o o gato na˜o late”e´ a proposic¸a˜o (a) o ca˜o mia e o gato late. (b) o ca˜o mia ou o gato late. (c) o ca˜o na˜o mia ou o gato late. (d) o ca˜o na˜o mia e o gato late. (e) o ca˜o na˜o mia ou o gato na˜o late. Exerc´ıcio 12 Um trielo e´ uma disputa entre treˆs participantes, a exemplo do duelo, em que participam duas pessoas. Suponha que, certa manha˜, os senhores X, Y e Z encontram-se para resolver uma disputa, em que, a igual distaˆncia uns dos outros, atirara˜o com pistolas, um apo´s o outro, um u´nico tiro por vez, obedecendo a certa ordem, ate´ que apenas um permanec¸a vivo. Sabe-se que o senhor X acerta um tiro em cada treˆs, que o senhor Y acerta dois tiros em cada treˆs e que o senhor Z nunca erra. Para ser justo, o trielo sera´ iniciado com o senhor X atirando, seguido do senhor Y, se ainda estiver vivo, depois pelo senhor Z, se ainda estiver vivo, e assim sucessivamente ate´ restar vivo apenas um desafiante. Para aumentar suas chances de sobreviveˆncia na disputa, o melhor que o senhor X devera´ fazer, do ponto de vista lo´gico, e´ 14 Prof. Isnaldo Isaac 1 ARGUMENTAC¸A˜O LO´GICA (a) atirar no senhor Z, pois o senhor Z nunca erra um tiro, e e´ melhor elimina´-lo primeiro. (b) atirar no senhor Y, pois, se errar, o senhor Y escolhera´ atirar no senhor Z. (c) atirar em si mesmo. (d) atirar no senhor Z, pois o senhor Y tem maior probabilidade de acertar o primeiro tiro que o senhor X. (e) atirar para o ar ou para o cha˜o, sem acertar nenhum adversa´rio, pois, assim, na pro´xima rodada, ele podera´ ser o primeiro atirador de um duelo. Exerc´ıcio 13 Quatro faculdades de Direito participam de um conveˆnio Empresa-Escola para esta´gios de seus alunos em grandes escrito´rios de advocacia. Em certo dia, as quatro enviaram alunos a um escrito´rio, candidatando-se a uma vaga. La´ chegando, eles foram divididos em grupos, de forma que: • cada grupo tinha alunos de uma u´nica faculdade; • todos os grupos tinham a mesma quantidade de alunos; • a quantidade de alunos em cada grupo era a maior poss´ıvel; • nu´mero de alunos enviados pelas faculdades foi 12, 18, 24 e 36. Se para cada grupo foi elaborada uma prova distinta, enta˜o (a) cada grupo tinha exatamente 4 alunos. (b) foi aplicado um total de 15 provas. (c) foi aplicado um total de 6 provas. (d) foram formados exatamente 12 grupos. (e) para alunos de uma das faculdades foi aplicado um total de 8 provas. 15
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