Linguagem Matemática: Argumentação e Lógica

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INTRODUC¸A˜O A` LO´GICA MATEMA´TICA
Prof. Isnaldo Isaac
AULA 1
Conteu´do
1 Linguagem Matema´tica 1
1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Jogos Lo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 KAKURO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 HIDOKU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 O que eu ganho jogando? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 S´ımbolos e Fo´rmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Dica para resoluc¸a˜o de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
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1 Linguagem Matema´tica
Nesta primeira aula temos como principais objetivos motivar a necessidade de se
estruturar a argumentac¸a˜o e aprender a escrever a matema´tica de forma clara e
objetiva.
1.1 Motivac¸a˜o
Vamos iniciar nossa aula contando duas histo´rias que demonstram como pode ser inter-
essante o racioc´ınio lo´gico:
O paradoxo do barbeiro
Num reino muito antigo, so´ havia um barbeiro que cuidava da apareˆncia Real. O Rei,
para agradar o povo que estava insatisfeito com seu governo, decidiu decretar o seguinte:
Decreto Real: O Barbeiro Real barbeara´ somente aquelas pessoas que na˜o se barbeiam.
Caso esse decreto seja descumprido, ordeno a morte do barbeiro.
O sa´bio da corte, mago e conhecedor de Lo´gica e Matema´tica, ao ver o decreto real que
iria ser publicado, correu ao encontro do Rei, clamando para que Sua Majestade desistisse
de tal ide´ia. O Rei, espantado, achou uma impertineˆncia tal comportamento do mago, que
prontamente lhe explicou suas razo˜es:
Majestade, caso vossa Alteza decida publicar tal decreto, o pobre Barbeiro Real tera´ que
ser morto, pois e´ humanamente imposs´ıvel cumpr´ı-lo. Apesar de Vossa Majestade ja´ saber disso,
vou com sua permissa˜o tomar a liberdade de me explicar.
Imagine que tal decreto seja publicado e esteja em vigor em seu fabuloso reino. Neste
caso, restariam ao barbeiro duas possibilidades:
• O barbeiro na˜o se barbeia.
Neste caso, Vossa Sabedoria obrigaria ao barbeiro a se barbear, o que seria imposs´ıvel para
essa pobre criatura, uma vez que ele na˜o se barbeia. Resultado: ele seria morto.
• O barbeiro se barbeia.
Neste caso, ele estaria descumprindo seu decreto de barbear somente quem na˜o se barbeia.
Assim ele deveria ser morto.
Note, Vossa Majestade, que sabe mais do que eu, que ele seria morto de qualquer modo
caso tal decreto entrasse em vigor, aumentando ainda mais a insatisfac¸a˜o do povo. Assim, a
humilde sugesta˜o de seu servo e´ que em sua grac¸a e bondade, publicac¸a˜o de tal decreto seja
anulada.
Depois destas palavras sa´bias e preciosas do Mago da Corte, a vida do pobre barbeiro foi
salva e ele viveu ate´ os u´ltimos dias de sua vida cortando feliz a barba de quem na˜o se barbeava
e de quem se barbeava.
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Os Irma˜os Ganaciosos
No dia do aniversa´rio dos geˆmeos Cosme e Damia˜o, seu pai, dono de uma das maiores
bombonieres da cidade, decidiu trazer para presentear os dois aniversariantes uma sacola com
quarenta doces. A cada minuto, eles se alternariam na escolha, podendo pegar um ou dois doces.
Caso um deles pegasse dois doces, o pai pegaria a sacola de volta pois consideraria esta atitude
gananciosa. Todos os dois sabiam disso e sabiam que podem ficar com vinte doces cada um,
caso na˜o fossem gananciosos. O primeiro a escolher seu doce foi Cosme. O que o Cosme deveria
fazer?
Se voceˆ respondeu “pegar um doce apenas”, vamos mostrar a voceˆ que a lo´gica, pura e sim-
ples, vai nos levar a` direc¸a˜o contra´ria (apesar de toda pessoa de bom senso comec¸ar escolhendo
um doce).
Para ver isso, vamos imaginar que eles ja´ fizeram va´rias escolhas e os doces esta˜o acabando.
Como Cosme comec¸ou a retirar os doces, depois de 38 retiradas sucessivas, havera´ exatamente
dois doces na sacola. Neste caso, o que Cosme faria? Naturalmente, ele pegaria os dois doces.
Pore´m, seu irma˜o Damia˜o sabia disso e na escolha imediatmente anterior, quando houvesse treˆs
doces na sacola ele teria duas opc¸o˜es: tiraria um doce e deixaria seu irma˜o com os dois doces, ou
tiraria dois doces e acabaria a distribuic¸a˜o. Como ele conhecia seu irma˜o, sabia que se deixasse
os dois doces ele iria tira´-los. Neste caso, Damia˜o acabaria com o jogo quando houvesse treˆs
doces no saco.
Neste momento, argumentamos por analogia: quando houvesse quatro doces no saco,
Cosme saberia que se tirasse um doce, Damia˜o tiraria dois e acabaria com a distribuic¸a˜o. As-
sim, ele tiraria dois doces da sacola. Por sua vez Damia˜o... Argumentando de tra´s para frente,
conclu´ımos que o Cosme deveria tirar na sua primeira escolha dois doces e acabar com a dis-
tribuic¸a˜o. Entendeu?
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Bom, a essa altura voceˆ ja´ deve ter observado que a Lo´gica nem sempre e´ o´bvia. As
histo´rias acima servem para chamar nossa atenc¸a˜o para o fato de que textos ou situac¸o˜es simples
podem exigir uma reflexa˜o profunda.
Vamos exercitar agora nossa capacidade de argumentac¸a˜o lo´gica nos dois exerc´ıcios abaixo.
Ah! Voceˆs devem ter observado que ate´ agora, aparentemente, na˜o precisamos de nenhuma
ferramenta matema´tica.
E´ importante escrever de forma clara e objetiva a soluc¸a˜o dos problemas que seguem.
Exerc´ıcio 1.1 O pai do padre e´ o filho u´nico de meu pai. O que eu sou do padre?
Exerc´ıcio 1.2 A pol´ıcia prende quatro homens, um dos quais e´ culpado de um furto. Eles fazem
as seguintes declarac¸o˜es:
• Arnaldo: Bernaldo e´ o culpado;
• Bernaldo: Cernaldo e´ o culpado;
• Cernaldo: Bernaldo mente ao dizer que eu sou culpado;
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• Dernaldo: Eu na˜o sou culpado.
Se sabe que so´ uma destas declarac¸o˜es e´ a verdadeira, quem e´ o culpado pelo furto?
Em nosso pro´ximo exerc´ıcio, faremos uso dos conhecimentos obtidos no curso de A´lgebra
Elementar.
Exerc´ıcio 1.3 Descubra o erro da prova da afirmac¸a˜o abaixo:
Afirmac¸~ao: Tre^s e´ igual a dois.
“Seja x um nu´mero diferente de zero. Temos que:
3x− 3x = 2x− 2x.
Colocando-se 3 em evideˆncia no primeiro membro e 2 em evideˆncia no segundo membro, temos
que:
3(x− x) = 2(x− x).
Cancelando x− x em ambos os lados, obtemos que 3 = 2.”
Por fim, segue um exerc´ıcio que certamente merece bastante atenc¸a˜o pela situac¸a˜o pra´tica
que o mesmo apresenta.
Exerc´ıcio 1.4 Explique o que houve na historinha a seguir:
Tenho um d´ıvida de R$ 500, 00 em uma loja, pore´m na˜o tenho dinheiro para quita´-la.
Procuro dois bons e prestativos amigos e pec¸o emprestado R$ 250, 00 a cada um, ficando
com R$ 500, 00.
Vou a loja e, surpreso, me da˜o um abatimento de R$ 50, 00, pagando apenas R$ 450, 00
por minha d´ıvida.
Retorno a minha casa, deixo R$ 30, 00 guardados e levo R$ 20, 00 comigo.
Dirijo-me aos meus dois amigos e devolvo R$ 10, 00 a cada, restando uma d´ıvida de R$
240, 00 com cada um deles.
Ora, R$ 240, 00 + R$ 240, 00 = R$ 480, 00, mas em casa ainda tenho os R$ 30, 00,
quantias que somadas perfazem R$ 510, 00!
Enta˜o, eu ganhei R$ 10, 00 com essa transac¸a˜o! Como e´ bom pedir dinheiro emprestado
aos amigos!
1.2 Jogos Lo´gicos
Nesta sec¸a˜o vamos apresentar dois jogos lo´gicos e deixar um como trabalho de pesquisa para
evidenciar a importaˆncia de se obdecer a`s regras estabelecidas em cada contexto.
1.2.1 KAKURO
O Kakuro padra˜o e´ jogado em uma grelha composta de ce´lulas na˜o preenchidas - pretas e
brancas, respectivamente, geralmente no tamanho 8× 8, mas pode variar muito deste formato.
A grelha, assim como nas palavras cruzadas, e´ dividida em entradas, linhas ortogonais de ce´lulas
brancas e ce´lulas pretas. As ce´lulas pretas na˜o sa˜o inteiramente so´lidas, elas conteˆm um trac¸o
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diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito e um nu´mero em cada uma das
metades, de tal maneiraque cada entrada horizontal tem o seu nu´mero correspondente na
metade da ce´lula preta posicionada imediatamente a sua esquerda, e cada entrada vertical tem
o seu nu´mero na metade da ce´lula preta posicionada imediatamente acima. Estes nu´meros,
continuando a utilizar a terminologia das palavras cruzadas, sa˜o chamados de dicas.
O objetivo deste jogo e´ colocar nu´meros de 1 a 9, sem repetic¸o˜es, em cada uma das ce´lulas
brancas, de tal maneira que a soma de todos os nu´meros em cada entrada se iguale ao nu´mero
da dica associada a ela. E e´ esta restric¸a˜o aos nu´meros duplicados que faz com que os Kakuros
sejam criados com uma u´nica soluc¸a˜o poss´ıvel.
Vamos resolver o seguinte KAKURO.
Exerc´ıcio 1.5 Resolva o seguinte KAKURO.
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1.2.2 HIDOKU
O HIDOKU e´ um jogo de lo´gica matema´tica, em que a capacidade de associar informac¸o˜es
e´ bastante exercitada.
As regras sa˜o as seguintes:
• Devem ser usados, sem repetic¸a˜o, os nu´meros de 1 a 36, ou seja, a quantidades de quadrin-
hos a serem preenchidos;
• Voceˆ deve comec¸ar do nu´mero 1 (que esta´ circulado) e terminar no maior nu´mero que tem
posic¸a˜o normalmente pre´-definida com um c´ırculo tambe´m;
• A partir do nu´mero 1 voceˆ deve colocar seu sucessor e assim por diante, respeitando a
seguinte regra: O sucessor de um npemro deve estar sempre ao seu “alcance”, ou seja, na
vizinhanc¸a horinzontal, vertical ou diagonal do nu´mero em questa˜o.
Agora, divirta-se preenchendo este HIDOKU.
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Exerc´ıcio 1.6 Resolva os seguintes Hidokus, obdecendo a`s regras estabelecidas acima.
Agora, pesquisem sobre o jogo SUDOKU.
1.2.3 O que eu ganho jogando?
Vamos observar agora a relac¸a˜o desses jogos com a nossa disciplina.
1. Primeiro, percebemos que em cado jogo temos um contexto diferente, ou seja, cada jogo
tem um ambiente pro´prio composto de s´ımbolos que, nos casos apresentados, sa˜o tabelas
e nu´meros. No KAKURO nu´meros de 1 a 9 e no HIDOKU nu´meros de 1 a 36;
2. E´ fa´cil perceber que em ambos os jogos precisamos de uma configurac¸a˜o inicial para
comec¸ar a jogar;
3. Outra coisa importante e´ que cada jogo tem suas pro´prias regras, observe que as regras
esta˜o relacionadas com matema´tica ba´sica;
4. A u´ltima coisa que queremos chamar atenc¸a˜o e´ para a linguagem de cada jogo, ou seja, a
cada passo, avanc¸amos acrecentando um s´ımbolo que faz sentido em cada jogo.
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Agora podemos expressar a relac¸a˜o desses jogos com a disciplina.
A Matema´tica pode ser vista como um jogo, ou como uma colec¸a˜o de jogos, pois em cada
contexto temos uma condic¸a˜o inicial, temos regras a seguir e temos uma maneira pro´pria de nos
comunicarmos.
Esses jogos sa˜o modelos simples que apresentam de forma bastante clara cada um dos
itens acima.
Estamos falando do que em Lo´gica se chama de SISTEMA FORMAL , por convenieˆncia prefer-
imos esse caminho pelo fato de se introduzir conceitos que sera˜o essenciais em toda a matema´tica
de forma suave, sem exigir (pelo menos no in´ıcio), um alto grau de abstrac¸a˜o.
1.3 S´ımbolos e Fo´rmulas
Encerraremos esta aula apresentando a linguagem que e´ usada em todo o mundo para desenvolver
a matema´tica.
Como observamos anteriormente, a Matema´tica e´ um sistema formal, isso exige que ela
tenha uma linguagem pro´pria e uma maneira pro´pria de se comunicar.
Vamos apresentar agora um pequena tabela de s´ımbolos com seus respectivos significados:
SI´MBOLOS SIGNIFICADOS
∃ Existe; existe um; existe pelo menos um.
∀ Para todo; qualquer que seja; para cada.
∈ Pertence.
:= Por definic¸a˜o.
R Conjunto dos nu´meros reais.
C Conjunto do nu´meros complexos.
N Conjunto dos nu´meros naturais.
Z Conjunto do nu´meros inteiros.
Q Conjunto dos nu´meros racionais.
⇒ Implica; acarreta.
⇔ se, somente se,
→ se ... enta˜o
↔ se, somente se,
⊂ Esta´ contido.
⊃ Conte´m.
∪ Unia˜o; Reunia˜o.
∩ Intersec¸a˜o.
≈ Aproximadamente igual a
pi Pi.
i i, unidade imagina´ria.
; | Tal que.
Atividade de Glossa´rio, aumentar a lista de s´ımbolos matema´ticos.
Com esses s´ımbolos podemos comec¸ar a escrever as fo´rmulas matema´ticas, por exemplo,
∃ x ∈ R;x2 = 1, leˆ-se existe um nu´mero real tal que seu quadrado e´ igual a 1.
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Como no exemplo acima, usam-se s´ımbolos matema´ticos para escrever uma ide´ia ou para
apresentar um fato. O importante disso tudo e´ que essa linguagem e´ usada em todo o mundo. A
n´ıvel de curiosidade, as letras do nosso alfabeto sa˜o totalmente diferentes das letras do alfabeto
chineˆs, todavia, a forma de se escrever matema´tica e´ mesma tanto aqui como na China ou em
qualquer lugar civilizado.
Chamamos atenc¸a˜o para o fato que as vezes sera´ necessa´rio criarmos nossa pro´pria notac¸a˜o,
lembrando que, em cada contexto, a linguagem matema´tica podera´ sofrer alterac¸o˜es no seu
significado. Por exemplo, o s´ımbolo ∆, no curso de A´lgebra Elementar, representava sempre
o discriminante de uma equac¸a˜o do segundo grau, quando estivermos aprendendo Ca´lculo esse
mesmo s´ımbolo representara´, quase sempre, uma pequena variac¸a˜o, e, em Geometria Plana, o
mesmo s´ımbolo representara´ um certo triaˆngulo. Por isso, e´ importante lembrar que a notac¸a˜o
(conjunto de s´ımbolos com seus respectivos significados) varia conforme o contexto em que
estamos trabalhando, como foi observado quando fala´vamos dos jogos lo´gicos.
Agora e´ sua vez!
Exerc´ıcio 1.7 Escreva as sentenc¸as abaixo em portugueˆs sem usar s´ımbolos matema´ticos.
1. ∀y ∈ R, y ≥ 0, ∃x ∈ R, x2 = y.
2. Se ∃i ∈ N tal que n = 2i− 1, enta˜o ∃j ∈ N tal que n2 = 2j − 1.
3. ∀x ∈ R,∀y ∈ R, xy = yx.
4. ∀4ABC, se Aˆ = 90, enta˜o BC2 = AB2 + AC2.
Exerc´ıcio 1.8 Escreva as sentenc¸as abaixo usando o ma´ximo de s´ımbolos matema´ticos.
1. Todo nu´mero inteiro positivo e´ a soma de quatro nu´meros inteiros quadrados.
2. A me´dia geome´trica de dois nu´meros positivos e´ sempre menor que ou igual a sua me´dia
aritme´tica.
3. Todo polinoˆmio com coeficientes reais possui ao menos uma raiz complexa.
4. Entre um nu´mero qualquer e seu dobro sempre existe ao menos um nu´mero primo.
1.4 Dica para resoluc¸a˜o de problemas
Encerraremos nossa primeira aula dando algumas “regras gerais” que consideramos importante
ter em mente na hora de resolver um problema de matema´tica.
X Ler bem o enuciado do problema e utilizar todas as informac¸o˜es dispon´ıveis ;
X Fazer casos particulares ou casos mais simples de problemas similares, para adquirir fa-
miliaridade com o problema;
X Mudar a representac¸a˜o do problema, transformando-o em um problema equivalente;
X Usar a imaginac¸a˜o pesquisando caminhos alternativos. Extrapolar os limites!
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