cilindros_compostos_interferencia

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Resistência dos Materiais II: 
Vasos de Pressão: Cilindros 
Compostos. Interferência. 
Prof. Jorge A. R. Durán 
Enga. Mecânica UFF – Volta Redonda 
duran@vm.uff.br 
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Objetivos 
• Aplicação da solução de Lamé ao caso de cilindros 
compostos. 
• Discutir as vantagens do pré-tensionamento em 
cilindros compostos. 
• Aplicações ao Projeto Mecânico. 
Bibliografia Principal 
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• Cook, R.D., Young, W.C. (1999), “Advanced Mechanics of 
Materials”. 2nd ed., Prentice-Hall, Inc. NJ, USA, 481pp. 
• JUVINALL, R. C. (1967), “Engineering Considerations of 
Stress, Strain and Strength”. McGraw-Hill, Inc., United 
States. 
Cilindros Compostos. Interferência. 
• Da teoria de cilindros de paredes grossas 
sabemos que nem a sq nem a tmax serão menores 
que a pressão interna pi para a>>b. Em r=b (onde 
ocorre a tmax) tem-se: 
 
 
• Assim, o aumento da espessura de parede 
visando aumentar a pressão de trabalho implica 
em um sub-aproveitamento do material. 
• Este problema pode ser minimizado mediante um 
pré-tensionamento antes da aplicação de pi. 
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oi pp 2qs
Cilindros Compostos. Interferência. 
• O objetivo deste pré-tensionamento é criar 
tensões residuais compressivas sq (r=b) de 
maneira que, após aplicar a pressão de 
trabalho pi, o valor resultante de sq seja 
menor. 
• O embutimento por interferência de um 
cilindro dentro de outro equivale a carregar o 
cilindro interno com uma pressão externa 
po=pc, onde pc é a pressão da interferência, 
que gera, de acordo com Lamé, as tensões 
mostradas na figura. 
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Cilindros Compostos. Interferência. 
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Cilindros Compostos. Interferência. 
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• Os dois cilindros são considerados do mesmo 
material sendo que o cilindro externo tem um 
diâmetro interno ligeiramente menor do que o 
diâmetro externo do cilindro interno. 
• A interferência se consegue mediante um 
aquecimento do cilindro externo que permite a 
entrada do interno. Após o resfriamento o 
cilindro externo exerce a pressão pc no interno, 
gerando neles as tensões já mostradas na figura 
anterior. 
Cilindros Compostos. Interferência. 
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• Após a inserção dos cilindros, a pressão pi que 
gera as mesmas tensões de Tresca nas 
interfaces r=b e r=c (ver desenvol. no Cook) é: 
 
 
 
• O valor de c que maximiza a eq. anterior será: 













2
2
2
2
2
2 a
c
c
bS
p
y
i
bac 
Cilindros Compostos. Interferência. 
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• A pressão interna admissível em cilindros 
compostos (utilizando o c da eq. anterior) será: 
 
 
• No projeto de cilindros compostos os 
parâmetros de partida são pi e b. Os valores a 
definir são os raios a e c e a diferença de raios 
D=ucouci: 
 
 
 ba
bap
p
E
cp
Sp
b
a ic
i
yi 

D


2/1
  


















a
b
S
a
ab
ab
bS
p y
y
c 12
2 2
2
Cilindros Compostos. Interferência. 
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• Como D=c.eq=c.a.T a mudança de temperatura 
(teórica) necessária para efetuar a inserção do 
cilindro é T=D/(ca. 
• Na prática, a inserção de um cilindro em outro 
exige uma folga radial um pouco maior do que 
D e por tanto é preciso utilizar uma 
temperatura maior. 
• Durante o resfriamento podem surgir tensões 
devidas ao atrito entre os cilindros, mas estas 
não são consideradas no presente curso. 
Cilindros Compostos. Interferência. 
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• Da teoria de cilindros simples sabemos que a 
pressão admissível de acordo com o critério de 
Tresca é: 
 
 
 
• O que permite encontrar uma relação entre a 
pressão admissível para cilindros compostos e 
simples: 
 
  ba
a
p
p
s
c


2
 















2
1
2 a
bS
p
y
s
Exemplos 
• Reconsider the example problem 8.2-3: For 
the same data and with a=12(10-6)/oC, design 
a compound cylinder, that is, determine the 
required dimensions, shrink-fit pressure pc, 
the radius difference D and the required 
uniform temperature change. Also determine 
stresses at r=b and at r=c under the design 
pressure. How much weight is saved as 
compared with a single cylinder? Use 
E=200GPa e n=0.3. 
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Exercícios Propostos 
• Estudar exemplos resolvidos do Cook&Young. 
• Estudar o desenvolvimento das equações no 
Cook&Young. 
• Estudar exemplos resolvidos do Juvinall 1967. 
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