V- Circulo de Mohr Tensoes

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CÍRCULO DE 
MOHR
PARA 
TENSÕES
CÍRCULO DE 
MOHR
PARA 
TENSÕES
Resistência dos Materiais XI
x
y
z
σσσσx
σσσσx
σσσσy
σσσσy
ττττyx
τxy
Num certo ponto da superfície de um corpo carregado 
são conhecidas as tensões em dois planos 
perpendiculares
Estado Plano de Tensões
Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σσσσ
σσσσ
ττττ
Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais ττττ
Representação Gráfica das 
Tensões no Plano de Mohr
σσσσ
ττττ
0
Marque as tensões normais de 
tração à direita da origem
Marque as tensões normais de 
compressão à esquerda da origem
σσσσ
ττττ
0
Marque para CIMA as 
tensões tangenciais que giram 
o elemento no sentido 
HORÁRIO
Marque para BAIXO as 
tensões tangenciais que giram 
o elemento no sentido 
ANTI-HORÁRIO
σσσσ
ττττ
Exemplo 1: σx = + 50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyx - 40MPa
50 50
-10
-10
-40
-40
50
40
-10
40
Plote no plano σ σ σ σ x τ τ τ τ os valores das tensões apresentadas x
y
σσσσ
ττττ
50
40
-10
40
Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo 
de Mohr σσσσC = ½ (σσσσx + σσσσy)
Observe o 
triângulo 
assinalado
Observe o 
triângulo 
assinalado
Trace o círculo 
com centro em 
C e passando 
pelos dois 
pontos
Trace o círculo 
com centro em 
C e passando 
pelos dois 
pontos
20
C
ττττ
50
40
-10
40
20
Os catetos do triângulo valem:
ττττxy = 40ττττxy = 40
½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30
σσσσC
ττττ
50
40
-10
40
A hipotenusa valerá:
ττττxy = 40ττττxy = 40
½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30
1 2 2
2[ ( )]x y xyσ σ τ− +
2 230 40 50+ >
σσσσ
ττττ
50
40
-10
40
20
A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr
R = 50 σmáx= σc + R 
= 70
σmáx= σc + R 
= 70
σσσσ
τmáx = R = 50τmáx = R = 50
PORTANTO:
σmín= σc - R 
= -30
σmín= σc - R 
= -30
As tensões principais ficam assim determinadas:
τmáx = [½ (σx -σy )]2 + (τxy)2 = 50τmáx = [½ (σx -σy )]2 + (τxy)2 = 50
σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx -σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx -σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70
σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx -σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx -σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30
40
Observe ainda na figura formada:
Ponto que 
representa o 
estado de tensão 
no plano que tem 
o eixo “x” como 
perpendicular
Ponto que 
representa o 
estado de tensão 
no plano que tem 
o eixo “x” como 
perpendicular
40
-10
ττττ
20 50 σσσσ
x
40
50
y
40
10
Ponto que 
representa o 
estado de tensão 
no plano que tem 
o eixo “y” como 
perpendicular
Ponto que 
representa o 
estado de tensão 
no plano que tem 
o eixo “y” como 
perpendicular
A interseção dessas direções é o chamado PÓLO
x
40
50
y
ττττ
σσσσ50
40
-10
40
20
40
10 A direção que une o pólo ao ponto do círculo 
correspondente à tensão σ1 é a direção 1
1
70
A direção que une o pólo ao ponto do círculo 
correspondente à tensão σ2 é a direção 2
2
-20
ττττ
σσσσ
x
40
50
y
50
40
-10
40
20
40
10
1
70
Observe que o ângulo inscrito, entre as 
direções “1” e “x”, mostrado na figura :
θθθθ1
... é igual à metade do ângulo central 
assinalado:
2θ2θ2θ2θ1111
Sendo: tg 2θθθθ1111 = τ= τ= τ= τxy / ½ (σσσσx – σσσσy)
ττττxy
½ (σσσσx – σσσσy)
ττττ
σσσσ
x
40
50
y
50
40
-10
40
20
40
10 No caso em estudo: τxy = - 40, σx = 50 e σx = -10
tg 2θθθθ1111= = = = −−−−1,331,331,331,33
θθθθ1
2θθθθ1111= = = = −−−−59,059,059,059,0ºθθθθ1111= = = = −−−−29,529,529,529,5º
Para o estado de tensão em análise teremos portanto
x
y
5050
-40
-40
-10
-10
θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0
70
70 -30
-30
θ
 = θ
 = θ = θ = −−−− 29 ,529 ,529 ,529 ,5 ºθ
 = θ
 = θ = θ = −−−− 29 ,529 ,529 ,529 ,5 ºθ = θ = θ = θ = −−−− 74 ,574 ,574 ,574 ,5 ºθ = θ = θ = θ = −−−− 74 ,574 ,574 ,574 ,5 º
20
20
50
50
2020 ττττ
50
40
-10
40
70-20
σσσσ
P
20
Alguns exemplos de estados de tensão comuns
Tração 
Pura
Compressão 
Pura
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
Semi 
hidrostáticoσ
τ
σ
τ
Corte 
Puro
Flexão 
Simples
Vaso de 
pressão
σ
τ
Tubo sob 
pressão e 
torção
Tarefa: em cada caso exemplificado 
indique a posição ocupada pelo pólo.
Exercício proposto: para o estado de tensões esquematizado 
na figura e utilizando o Círculo de Mohr, pede-se:
48 MPa
72 MPa
36 MPa
x
y
z
1) As tensões máximas de tração e 
de compressão. Indicar os planos 
onde ocorrem;
2) As tensões máximas de 
cisalhamento. Indicar os planos 
em que ocorrem;
3) As componentes normal e 
tangencial da tensão ocorrente no 
plano “P” assinalado na figura
P
30º
fim