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Resistência dos Materiais II: 
Vasos de Pressão 
de Paredes Finas 
Prof. Jorge A. R. Durán 
Enga. Mecânica UFF – Volta Redonda 
duran@vm.uff.br 
September 11 1 
Objetivos 
• Desenvolvimento e aplicação das equações para 
o cálculo das tensões principais em vasos de 
pressão esféricos e cilíndricos de paredes finas. 
• Análise da variação destas tensões com a 
inclinação dos planos de corte relacionando-as 
com falhas em vasos de pressão. 
Bibliografia Principal 
• Gere, J.M. (2003) “Mecânica dos Materiais”. 
Thomson Learning Ltda., 5a Ed., Brasil. 
September 11 2 
Vasos de Paredes Finas 
• Vasos de pressão com r/t>10 são considerados 
de paredes finas e classificados como 
estruturas de cascas. 
• Outros exemplos incluem os tanques de 
armazenamento de diversos produtos, 
compressores de ar, tubulações, cabines 
pressurizadas etc. 
September 11 3 
Vasos de Pressão 
September 11 4 Tanques de armazenamento de diversos produtos. 
Vasos de Pressão 
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Compressores de Ar. 
Vasos de 
Pressão 
September 11 6 
Aplicação em 
Plantas 
Nucleares 
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Fig. 8-1 Spherical 
pressure vessel. 
Vasos de 
Pressão 
Esféricos 
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Modo de Deformação Assumido 
September 11 8 
 
.const
r
u
dr
drdur
ii
ii 

 

Modo de Deformação Assumido 
• Apenas deslocamentos na direção radial, não 
circunferencial. 
• É razoável assumir que todos os pontos através 
da espessura tenham o mesmo deslocamento 
radial u, logo as deformações circunferenciais  
serão constantes. 
• Sendo o material LEHI, a uniformidade das 
deformações circunferenciais implica em uma 
distribuição uniforme das tensões 
circunferenciais. 
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Fig. 8-2 Cross section of spherical pressure vessel showing inner radius 
r, wall thickness t, and internal pressure p. 
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Fig. 8-3 Tensile stresses s in the wall of a spherical pressure vessel. 
t
rp
trrp
2
22


s
s
September 11 11 
Vasos de Pressão Esféricos 
• Devido à simetria do vaso e ao modo de deformação 
assumido, a tensão normal é uniforme ao redor da 
circunferência e constante na espessura. 
• A equação s=pr/2t será obtida para qualquer corte 
da esfera através do seu centro, logo o vaso estará 
submetido as mesmas tensões s em todas as 
direções. 
• Na superfície o estado é plano das tensões e no 
interior triaxial mas, como r/t>10 s3<<s1,2 e pode-se 
considerar estado plano em toda a espessura. 
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Fig. 8-4 Stresses in a spherical pressure vessel at (a) the outer surface 
and (b) the inner surface. 
p
t
rp
t
rp
 32,12,1
22
sss
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Exemplo 
• Problema 8.2-9 p. 439 Gere: Um tanque 
esférico de aço inoxidável (Sy=140Ksi, 
E=30E6psi n=0.38) tendo um diâmetro de 16 
in. é usado para armazenar gás propano em 
uma pressão de 3Ksi. O fator de segurança 
desejado em relação ao escoamento é de 2,75 
e []=1000ms. Determine a espessura 
necessária do tanque. 
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Teste de Pressão em Vaso Esférico 
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Fig. 8-6 Cylindrical pressure 
vessels with circular cross 
sections. 
Vasos de 
Pressão 
Cilíndricos 
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Vasos de Pressão Cilíndricos 
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Vasos de Pressão Cilíndricos 
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t
rp
btrbp


1
1 22
s
s
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Vasos de Pressão Cilíndricos 
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s2 
t
rp
trrp
2
2
2
2
2


s
s
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Fig. 8-8 Stresses in a circular cylindrical pressure vessel at (a) the outer 
surface and (b) the inner surface. 
Vasos de Pressão Cilíndricos 
p
t
rp
t
rp
 321
2
sss
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Falha em uma tubulação de cobre devido ao 
excesso de pressão interna pelo congelamento 
da água (freezing). Note que a falha ocorreu em 
planos a 45º da superfície do tubo. 
September 11 21 
Exemplo 
• Prob. 8.3-5 p. 440 do Gere: 
Um extensômetro é 
instalado na direção 
longitudinal na superfície 
de uma lata de alumínio 
(E=106 psi, n=0,33). A razão 
r/t=200. No momento da 
abertura a deformação 
varia de =170 ms. Qual era 
a pressão interna na lata? 
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• Prob. 8.3-14 p.441 do 
Gere: Uma roseta de 
extensômetros de 60º 
(ou roseta delta) é 
montada fora de um 
tanque de ar 
comprimido cilíndrico 
com uma relação 
r/t=25 e E=200GPa. As 
deformações foram 
a=80ms, b=c=275ms. 
Calcule a pressão no 
tanque. 
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Exercícios Propostos 
• Problemas do 8.2-1 até o 8.3-15 pgs. 439-442 
do Gere. 
September 11 24