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Resistência dos Materiais II: 
Vasos de Pressão 
de Paredes Grossas 
Prof. Jorge A. R. Durán 
Enga. Mecânica UFF – Volta Redonda 
duran@vm.uff.br 
September 11 1 
Objetivos 
• Desenvolvimento e aplicação das equações 
para o cálculo das tensões principais em 
cilindros de pressão de paredes grossas. 
• Aplicações ao Projeto Mecânico. 
Bibliografia Principal 
• Cook, R.D., Young, W.C. (1999), “Advanced Mechanics of 
Materials”. 2nd ed., Prentice-Hall, Inc. NJ, USA, 481pp. 
• JUVINALL, R. C. (1967), “Engineering Considerations of 
Stress, Strain and Strength”. McGraw-Hill, Inc., United 
States. 
September 11 2 
Cilindros de Paredes Grossas 
• Aplicações: Extração e transporte de petróleo e gás 
natural de um poço; cilindros hidráulicos, canos, tubos, 
caldeiras e tanques; tubulação da indústria da guerra. 
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Cilindros de Paredes Grossas 
September 11 4 
Cilindros de Paredes Grossas 
• Em vasos de paredes grossas não é possível 
considerar que os deslocamentos radiais 
sejam iguais através da espessura. 
September 11 5 
 
ii
ii
r
u
dr
drdur





Cilindros de Paredes Grossas 
• Considere, por exemplo, um vaso com t=ri. 
 
 
• Ou seja, para que a constância das  seja 
mantida (io) o deslocamento externo 
uo=2ui, o que não faz sentido. 
• De fato ui>uo e uma análise baseada na teoria 
da elasticidade se faz necessária. 
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i
o
o
o
o
i
i
i
r
u
r
u
r
u
2
  
Cilindros de Paredes Grossas 
• Solução de Lamé (1833) 
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

































2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
11
11
r
b
ba
a
p
r
a
ba
b
p
r
b
ba
a
p
r
a
ba
b
p
oi
oir


September 11 8 
Cilindro de paredes grossas de diâmetro externo 
2a e interno 2b submetido a pressão interna pi e 
sistema de coordenadas polares utilizado na 
solução de Lamé. 
September 11 9 
Cilindros de Paredes Grossas 
• Uma tensão axial z surge em cilindros de 
paredes grossas com tampas. A pressão 
interna gera forças axiais atuando na área 
projetada p b2 e a pressão externa gera forças 
atuando em p a2. 
• Estas forças serão resistidas pela tensão z 
atuando na área p (a2-b2), logo: 
 
September 11 10 
22
22
ba
apbp oi
z



Cilindros de Paredes Grossas 
• Algumas observações à Solução de Lamé: 
• A tensão de Tresca surge em r=b e, para 
pressão interna ou externa nulas será: 
 
 
 
• Sendo z constante, a deformação normal na 
direção axial independe de r: 
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










0
0
22
2
max
io
oi
pp
pp
p
ba
ap
22
222
ba
apbp
EE
oiz
z




Cilindros de Paredes Grossas 
• Definindo Ya/b o critério de Tresca fica: 
 
 
 
• Definindo Xp/[] e max=[] onde [] é a tensão 
admissível observa-se que, para um dado 
material []=const, a possibilidade de aumentar a 
pressão de trabalho X depende principalmente 
do aumento das proporções do cilindro Y: 
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










0
0
12
2
max
io
oi
pp
pp
p
Y
Yp
X
Y


1
1
Cilindros de Paredes Grossas 
• De acordo com a solução de Lamé, em 
cilindros de paredes grossas o aumento 
indiscriminado da seção resistente (a>>b) não 
implica na queda das tensões. Em r=b, por 
exemplo, tem-se: 
 
• Para uma razão a/b=5, por exemplo, tem-se 
September 11 13 
oi pp 2
 
 
13
0,
0,



o
o
par
pbr




Cilindros de Paredes Grossas 
• Ou seja, as tensões circunferênciais na parte exterior 
do cilindro são muito pequenas comparadas com as 
que ocorrem na borda interior. 
• Observa-se também que nesta região para a/b=5 
=26/24.pipi. 
• Estas análises também sugerem que as tensões na 
parede externa não variam muito se a forma desta não 
for circular. 
• Como regra geral, se a distância entre furos 
pressurizados de um corpo plano de qualquer forma ou 
entre um furo e as paredes externas for >5b,  e max 
podem ser aproximadas por pi. 
September 11 14 
Exemplos 
• Make an analytical and graphical comparison 
between Lame’s solution for  (at r=b, po=0) and 
the following approximations: 1)=piR/t where 
R=(a+b)/2 is the mean radius and t=a-b is the wall 
thickness and 2)=pib/t. How reliable are the 
elementary formulas for thin walled pressure 
vessel? 
• Problem 8.2-3: (a) A cylinder with end caps for 
which a=40mm and b=22mm is made of a 
material that yields in tension at 400MPa. Based 
on the maximum shear stress failure criterion, 
what is the allowable internal pressure if the 
safety factor is to be 1.6? 
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Exemplos 
• Problem 8.2-3: (b) Repeat part (a) but use the 
von Mises failure criterion. 
• Problem 8.2-4: A cylinder with end caps has 
the following dimensions and properties: 
a=20mm, b=10mm, E=200MPa and =0.28. 
Measurements show that a circumferential 
line on the outside changes in length from 
10.0000mm to 10.0040mm when internal 
pressure is applied. What is pi? 
 
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Exercícios Propostos 
• Estudar exemplos resolvidos do Cook&Young 
• Estudar exemplos resolvidos do Juvinall 1967. 
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