Equações Diferenciais: Introdução e Classificação

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa Paula Francis Benevides 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 1
 AULA 01 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1 – INTRODUÇÃO: 
 Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, 
embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois 
operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: 
a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por 
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades 
puramente matemáticas; 
b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência 
entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo 
grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de 
uma grandeza; 
c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação 
que envolve uma grandeza; 
d) o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; 
conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser 
aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); 
e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: 
 
 em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é 
que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se 
fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: 
 
 é possível escrever: 
 dy = f(x).dx 
 que se denomina equação diferencial. 
f) uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a 
obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo 
Integral. 
 
1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas 
derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para 
a forma diferencial. As equações diferenciais da forma ( )yfy =′ são chamadas de 
autônomas. 
 
Exemplos: 
 
1) 13 −= x
dx
dy
 
 
2) 0=− ydxxdy 
 
3) 
2
2 3 2 0
d y dy y
dxdx
+ + = 
 
4) 2"' 2( ") ' cosy y y x+ + = 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 2
5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + = 
 
6) 
2 2
2
2 2
z z x y
x y
∂ ∂+ = +∂ ∂ 
 
7) 
z zz x
x y
∂ ∂= +∂ ∂ 
 
1.2 - Classificação: 
 Havendo uma só variável independente, como em (1) a (5), as derivadas são ordinárias 
e a equação é denominada equação diferencial ordinária. 
 Havendo duas ou mais variáveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas são 
parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. 
 
1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que 
nela aparece. As equações (1), (2) e (7) são de primeira ordem; (3), (5) e (6) são de segunda 
ordem e (4) é de terceira ordem. 
 
1.2.2 - Grau: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a 
derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. 
Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo 
grau. 
 
 As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. 
 
Exemplos: 
 
1
3
33
3
=−
dx
yd
y
dx
ydx ⇒ 3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx =−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 ⇒ 3a ordem e 2o grau 
 
 
yxLg
dx
dyLg =− 2 ⇒ y
x
dx
dy
Lg =2 ⇒ yedx
dy
x
=.12 ⇒ yexdx
dy 2= ⇒ 1a ordem e 1o grau 
 
 Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato 
quanto a ordem e grau. 
 
 
1.3 – Origem das Equações Diferenciais: 
 Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 
4y x Cx= + 4y x Cx= + ou 2y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, 
representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não 
puderem ser substituídas por um número menos de constantes. 
 Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a 
uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece 
eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n 
equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da 
primitiva. 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 3
Exemplos: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: 
 
a) 6
2
3 2 +−= xxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = C1 sen x + C2 cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = Cx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = C1 x2 + C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 4
e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) y = C1 e3x + C2 e- 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 01 – EXERCÍCIOS 
1) x2 + y2 = C2 
2) y = C ex 
3) x3 = C (x2 – y2) 
4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 
5) y = (C1 + C2x) ex + C3 
6) y = C1 e2x + C2 e- x 
7) ay
y
xLg += 1 
8) x2y3 + x3y5 = C 
9) y = Ax2 + Bx + C 
10) y = Ae2x + Bex + C 
11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 
12) ln y = Ax2 + B 
Respostas: 
1) 0=+ ydyxdx 
2) 0=− y
dx
dy
 
3) 
dx
dyxyxy 23 22 =− 
4) 042
2
=+ y
dx
yd
 
5) 02 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
6) 022
2
=−− y
dx
dy
dx
yd
 
7) 0ln =−⋅ y
dx
dy
y
xx 
8) 22 3 3 5 0dy dyy x xy y x
dx dx
⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9) 
3
3 0
d y
dx
= 
10) 
3 2
3 26 11 6 0
d y d y dy y
dxdx dx
− + − = 
11)
2
3 22 4 0dy dyx x y
dx dx
⎛ ⎞ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y− − = 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 5
AULA 02 
 
1.3 - Resolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, 
verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, 
transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente 
duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada 
termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a 
resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. 
¾ Solução geral: (a primitiva de uma equação diferencial) solução que contem tantas 
constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. 
¾ Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se 
valores particulares as constantes arbitrárias. 
¾ Solução singular: solução que não pode ser deduzida da equação geral. 
 
 
1.4 - Curvas Integrais: 
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução 
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais 
da equação diferencial. 
 
Exemplo: 
 x
dx
dy 2= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 
 
 São equações de 1a ordem e 1o grau: 
 
),( yxF
dx
dy = ou 0=+ NdyMdx 
 
em que M = M(x,y) e N = N(x,y). 
 Estas funções tem que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 6
2.1 – TIPOS DE EQUAÇÃO: 
 
2.1.1 - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. 
 
 Uma equação do tipo Mdx+ Ndy = 0 em que M e N pode ser: 
a) Funções de apenas uma variável: 
b) Produtos com fatores de uma só variável ou 
c) Constantes. 
 
é denominada equação de variáveis separáveis. 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações: 
 
1) 13 −= x
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) y dx – x dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 7
 
3) 04 =−− dy
y
xxdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 8
6) (x – 1) dy – y dx = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2
+
+= 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 9
8) (1 + x2)dy – xydx = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
+
+= 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 10
10) 0cos =+ xy
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02 – EXERCÍCIOS 
 
1) 0.1 =−
dx
dytgy
x
 
2) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 
3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 
4) xy dx – (1 + x2) dy = 0 
5) 
42
2
+=
−
x
e
dx
dy y
 
6) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 
7) 
dx
dyxyy
dx
dyxa =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 2 
8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 
9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) x cos y = C 
2) C
y
x =−+ 1)1ln(2 2 
3) (2 + y)(3 – x) = C 
4) C y2 = 1 + x2 
5) Cxarctge y =−
2
2 
6) C
yxy
x =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− 22 112
1ln 
7) 
y
y
k
a aex
+= ln2 
8) tg x . tg y = C 
9) C
b
ybarctgy
ax
axax =−++
−+ 2ln
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 11
AULA 03 
 
 
2.1.2 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
 
 Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈ R, vale a 
relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈ 
R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y) 
 
Exemplos: 
1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2. 
2) 2
2
),(
y
xyxg = e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yarctgyxh ),( são funções homogêneas de grau 0 
 
 Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos 
os monômios da função possuem o mesmo grau. No caso de uma função racional (quociente de 
polinômios), os membros do numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominador 
devem também ter um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do denominador pode ser menor ou 
igual que o grau da expressão do numerador. 
 Uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal y’ = f(x, y) é dita homogênea se 
),( yxff = é uma função homogênea de grau zero. 
 
Exemplos: 
 1) 
xy
yx
dx
dy 22 += 
 2) 2
2
'
y
xy = 
 3) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yarctgy' 
 
 Resumindo, As equações homogêneas são as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são 
funções homogêneas em x e y e do mesmo grau. 
 
 
2.1.2.1 – Resolução: 
 Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma 
equação de variáveis separáveis com a substituição y(x)=x.u(x) ou de uma forma mais 
simples y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita. Assim, dy = xdu + udx e uma 
equação da forma y’ = f(x,y) pode ser transformada em uma equação separável da forma 
),( xuxfu
dx
dux =+ e após simplificações obtemos uma equação com variáveis separáveis. 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
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Exemplos: 
1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 13
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03 – EXERCÍCIOS 
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 
2) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 
3) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 
4) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 
5) 044
2
2
2
2 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
dyyxy
dx
dyy 
6) Determinar a solução particular da 
equação (x2 – 3y2)dx + 2xydy = 0 para y = 
1 e x = 2. 
 
 
Respostas: 
1) y2 + 2xy – x2 = K 
2) y3 + 3xy2 + x3 = k 
3) 
x
yarctgyxC =+ 221ln 
4) 
2
2
2 x
y
kex = 
5) Cxyx =±− 23 22 
6) xxy
8
31−=
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 14
AULA 04 
 
2.1.3 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS 
ÀS DE VARIÁVEIS SEPARADAS; 
 
São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em 
equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. 
 São equações da forma: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++=
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
 
 
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. 
 
 Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma 
soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos 
independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que 
equivale a efetuar uma translação de eixos. 
 
 
 Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: 
 
2.1.3.1 – O determinante 
22
11
ba
ba
 é diferente de zero 
Resolução: 
 Seja o sistema (1) 
⎩⎨
⎧
=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
 cuja solução é dada pelas raízes x = α e y = β . 
 A substituição a ser feita será: 
 ⎩⎨
⎧
=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
β
α
 
 Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados 
para o ponto ( βα , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é 
verdadeiro, uma vez eu o determinante considerado é diferente de zero. 
 Assim sendo, a equação transformada será: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++++
++++=
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
βα
βα
 
x
y
u
v
P
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 15
 Como α e β são as raízes do sistema: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=
vbua
vbuaF
du
dv
22
11 
que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. 
 
 
Exemplos: 
Resolver a equação 
23
132
−+
−−=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
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2.1.3.2 – O determinante 
22
11
ba
ba
 é igual a zero. 
 Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as 
retas no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto 
impróprio). A equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. 
 Como 
22
11
ba
ba
 = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode 
escrever: 
 a1b2 = a2b1 ∴ 
1
2
1
2
b
b
a
a = (1) 
 
 Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: 
 
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a ≠== 
 
 a2 = ma1 
 b2 = mb1 
 Assim: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++=
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
 
 
 Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se: 
 )(1 1
1
xat
b
y −= 
 Derivando em relação a x: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 1
1
1 a
dx
dt
bdx
dy
 
 Equação transformada: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
1
1
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
 
 
 )(11 tGbadx
dt =− 
que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
 
Exemplo: Resolver a equação 
136
12
−−
+−=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações DiferenciasProfa Paula Francis Benevides 
 
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Aula 04 – Exercícios 
 
1) (2x – 3y)dx – (3x – y -1)dy = 0 
2) (x + 2y – 4)dx – (2x + y -5)dy = 0 
3) (3y + x)dx + (x + 5y – 8)dy = 0 
4) (2x + 3y -1)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0 
5) 
yx
yx
dx
dy
++
−−=
1
331
 
Respostas: 
1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 
2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 
3) ln[5(y – 4)2 + 4(x + 12)(y – 4) + (x + 12)2] – 
2 arctg ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
− 2
12
)4(5
x
y
= K 
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 
5) 3x + y + 2ln(-3x – 3y + 3) = K 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 18
AULA 05 
 
 
2.1.4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS: 
 Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se 
existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e 
suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: 
 
x
N
y
M
∂
∂=∂
∂
 
 
 Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja 
diferencial dada por: 
 dy
y
udx
x
udu ∂
∂+∂
∂= (2). 
 Então, comparando (1) e (2) teremos: 
 ),( yxM
x
u =∂
∂
(3) e ),( yxN
y
u =∂
∂
(4). 
 Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), 
em relação à variável x, da qual teremos 
 ∫ += )(),(),( ygdxyxMyxf (5). 
 Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: 
 )('
),(
yg
y
dxyxM
y
f +∂
∂=∂
∂ ∫
 (6). 
 Igualando (6) e (4) resulta: 
 ),()('
),(
yxNyg
y
dxyxM =+∂
∂∫
. 
 Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: 
 1
),(
),()( Cdy
y
dxyxM
yxNyg +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−= ∫ ∫ (7). 
 Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: 
 Cdy
y
dxyxM
yxNdxyxMyxf =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+= ∫ ∫∫ ),(),(),(),( . 
 
 
 Logo, a solução é da forma 
 ∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+= Cdy
y
PNMdxyxU ),( 
 
onde costuma-se denotar ∫= MdxP 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 19
Exemplos: 
1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 20
3) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 05 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 
 
2) 2xy dx + x2 dy = 0 
 
3) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 
 
4) 0)( 22 =−− θθ drrdre 
 
5) 
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
+=++ 
 
 
 
Respostas: 
 
1) Ksenyxyx =++ 2
4
4
 
 
2) x2y = K 
 
3) coshxcosy = K 
 
4) Kre =− 22θ 
 
5) Kyxx =++ 22 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 21
AULA 06 
 
 
2.1.4.1 – FATOR INTEGRANTE: 
 
 Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: 
x
N
y
M
∂
∂≠∂
∂
. 
 Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar 
toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é 
uma ED exata. 
 Se ela é exata, existe u(x, y) = cte e MF
dx
u .=∂ e NF
dy
u .=∂ e 
FN
x
FM
yx
N
y
M
yx
u
∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂∂
∂ 2
 
 
 Tomando a condição de exatidão FN
dx
FM
y
∂=∂
∂
 
 F
x
NN
x
FF
y
MM
y
F
∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂
 
 e achar F por aqui é loucura!!!!!!! 
 
 Vamos supor então que F(x,y) = F(x) 
 
x
NFN
x
F
y
MF ∂
∂+∂
∂=∂
∂
 
 dividindo tudo por FN≠ 0 e organizando, temos: 
 
x
N
Nx
F
Fy
M
N ∂
∂⋅+∂
∂⋅=∂
∂⋅ 111 
 
x
N
Ny
M
Nx
F
F ∂
∂⋅−∂
∂⋅=∂
∂⋅ 111 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂⋅=∂
∂⋅
x
N
y
M
Nx
F
F
11
 
 reescrevendo: dx
x
N
y
M
N
dF
F ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂⋅= 11 
 integrando: ∫ += CdxxRF )(ln 
 ∫= dxxRecxF )(.)( 
 onde: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
x
N
y
M
N
xR 1)( 
 
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: 
 ∫= dyyRecyF )(.)( 
onde: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−=
x
N
y
M
M
xR 1)( 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 22
Em resumo: 
 Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, 
x
N
y
M
∂
∂≠∂
∂
, mostra-se 
que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. 
 A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. 
 
F(x): F(y): 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
x
N
y
M
N
xR 1)( ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−=
x
N
y
M
M
yR 1)( 
 
 
∫= dxxRecxF )(.)( ∫= dyyRecyF )(.)( 
 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do 
fator integrante. 
 
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 23
2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 06– EXERCÍCIOS 
 
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 
 
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 
 
3) seny dx + cos y dy = 0 
 
Encontre a solução particular em: 
 
4) 2xy dy = (x2 + y2) dx para y(1) = 2 
 
5) 3y2 dx + x dy = 0 para y(1) = 1/2 
 
 
Respostas: 
1) x2 cos y + x4 = C 
 
2) Ctgyex =2 
 
3) Ceseny x =. 
 
4) xxy 32 += 
 
5) 
2ln3
1
+= xy 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 24
AULA 07 
 
 
2.1.5 – EQUAÇÕES LINEARES: 
 
 Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma: 
 )()( xQyxP
dx
dy =+ (1) 
 Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x)≠ 0, a 
equação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de 
equações diferenciais desse tipo a saber: 
 
 
1o Método: Substituição ou de Lagrange: 
 Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (matemático francês: 1736-
1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas 
Parciais. O método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) e 
Z= )(xψ , sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. 
 Derivando em relação a x, tem-se: 
 
dx
dZt
dx
dtZ
dz
dy += (2) 
 Substituindo (2) em (1) vamos obter: 
 QPZt
dx
dZt
dx
dtZ =++ 
 Q
dx
dZtPt
dx
dtZ =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + (3) 
 
 Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber: 
 
i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy += ∫ (4) 
 
ii) Q = 0, então 0=+ Py
dx
dy
 (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de 
variáveis separáveis. Daí, 0=+ Pdx
y
dy
. Integrando essa última, resulta em ∫−= PdxCyln . 
Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução ∫=∫= −− PdxCPdxC eeey . 
Fazendo Cek = , temos ∫= − Pdxkey (5) que representa a solução da equação homogênea ou 
incompleta. Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez que 
y=Z.t, teremos a solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). 
Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao 
resto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado a 
partir desta condição. Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 
0=+ Pt
dx
dt
 (6), que é da mesma forma já estudada no caso ii. Assim, ∫= − Pdxket . Substituindo 
este resultado em Q
dx
dZt = obtemos Q
dx
dZke
Pdx =∫− . Daí, Qe
kdx
dZ Pdx∫= 1 e Qdxe
k
dZ
Pdx∫= 1. 
Integrando este último resultado, temos CQdxe
k
Z
Pdx +∫= ∫1 (7). Lembrando que y = Z.t, 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 25
vamos obter, substituindo “t” e “Z”: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∫∫= ∫− CQdxekkey PdxPdx 1 , onde resulta, finalmente 
em: 
 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∫∫= ∫− CdxQeey PdxPdx .. (8) que é a solução geral da equação (1) 
 
 
 
2o Método: Fator Integrante: 
 Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo 
diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à 
equação original de nosso problema: 
 QPy
dx
dy =+ 
 Vamos reescrever esta última sob a forma 
 (Py – Q) dx + dy = 0 
 Multiplicando ambos os membros por 
∫ Pdxe (fator integrante) obtemos a expressão 
( ) 0=∫+−∫ dyedxQPye PdxPdx . Aqui, identificamos as funções “M” e “N”: 
 ( )QPyeM Pdx −∫= e ∫= PdxeN 
 Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: 
 ∫=∂
∂ PdxPe
y
M
 e ∫=∂
∂ PdxPe
x
N
 
confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Resolver a equação 2−=− x
x
y
dx
dy
 por: 
 
a. Lagrange 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 26
b. Fator integrante: 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 27
2) senxytgx
dx
dy =− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 7 – EXERCÍCIOS 
 
1) 0cot =−+
x
gx
x
y
dx
dy
 
2) arctgxy
dx
dyx =++ )1( 2 
3) xytgx
dx
dy cos. += 
4) x
x
y
dx
dy =− 
5) 3
2 x
x
y
dx
dy =+ 
6) (x + seny – 1)dy – cosy.dx = 0 
 
7) Achar a solução particular para y = 0 e x=0 
em 
x
ytgx
dx
dy
cos
1=− 
 
Respotas: 
 
1) [ ]Csenx
x
y += )ln(1 
2) arctgxeCarctgxy −+−= .1 
3) xCxsenxy sec2
4
1
2
1
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= 
4) 2xCxy += 
5) 2
4
6
1
x
Cxy += 
6) x=(-2tgy+2secy+y+c)(secy+tgy) 
7) 
x
xy
cos
= 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 28
AULA 08 
 
 
2.1.5 – EQUAÇÕES DE BERNOULLI: 
 
 Equação da forma: 
nQyPy
dx
dy =+ (1) para 1≠n e 0≠n 
 
Pois, se: 
 
n = 0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior 
 
n = 1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea 
 
 
 Transformação de variável: 
 
Substitui por ty n =−1 
 
Deriva-se em relação a x: 
 
dx
dt
dx
dyyn n =− −)1( (2) 
 
Substituindo (1), que é: 
 
nQyPy
dx
dy =+ ⇒ PyQy
dx
dy n −= 
em (2) temos: 
 
 ( )
dx
dtPyQyyn nn =−− −)1( 
 
 ( )( )
dx
dtPyQn n =−− −11 
 
como ty n =−1 , temos: 
 
dx
dtPtQn =−− ))(1( 
 
 QntPndx
dt )1(])1[( −=−+ 
 
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 29
Exemplos: 
 
1) 232 xy
x
y
dx
dy =− 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 30
2) 32 xyxy
dx
dy =− 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 31
AULA 08 – EXERCÍCIOS 
 
1) 33 yxxy
dx
dy =+ 
 
2) xyy
dx
dyx ln2=+ 
 
3) 33 yxy
dx
dyx =+ 
 
4) yxy
xdx
dy += 4 
 
5) 02 2 =+− xy
dx
dyxy 
 
 
Respostas: 
 
1) 2
.1
1
2 xeCx
y
++
= 
 
2) 
Cxex
y += ).ln(
1
 
 
3) 1.2 2223 =+− yxCyx 
 
4) 
2
4 ln
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += Cxxy 
 
5) 
x
Cxy ln.2 = 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 32
AULA 09 
 
 
2.1.6 – EQUAÇÃO DE RICCATI: 
 
 A equação de Jacopo Francesco Riccati (matemático italiano 1676 – 1754) é da forma 
 
 )()()( 2 xRyxQyxP
dx
dy ++= (1) 
 
onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação 
linear e, quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Liouville (matemático francês) 
mostrou que a solução da equação de Riccati só é possível quando se conhece uma solução 
particular y0. Caso contrário, ela só é integrável através de uma função transcendente. 
 
Resolução: 
 
 Admitindo-se uma solução particular y0 da equação (1) e fazendo y = y0 + z (2), onde 
“z” é uma função a ser determinada. Como y0 é solução, temos 
 
 RQyPy
dx
dy ++= 0200 (3) 
Por outro lado, derivando (2) tem-se: 
 
 
dx
dz
dx
dy
dx
dy += 0 (4) 
 
Substituindo (2) e (4) na equação (1) : 
 
 RzyQzyP
dx
dz
dx
dy ++++=+ )()( 0200 
 
Desenvolvendo e agrupando os termos: 
 
 RQyPyzQPyPz
dx
dz
dx
dy +++++=+ 020020 )2( (5) 
 
Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em: 
 
 20 )2( PzzQPydx
dz =+− (6) 
 
que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida. 
 
Em resumo: Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 
qualquer de (1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente 
R(x) transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 33
Exemplos: 
1) Verificar se y = x é solução particular da equação 32
2
=++
x
y
x
y
dx
dy
. Em caso afirmativo, 
calcular a solução geral. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 34
2) Mostrar que y = - x é solução particular da equação ( ) 0121 223 =++++ yxxy
dx
dyx e 
procurar a solução geral. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 09 – EXERCÍCIOS 
 
1) Mostrar que 
x
y 1= é solução 
particular da equação 2
2 2
x
y
dx
dy −= 
e calcular a sua solução geral. 
2) Sabendo que y = 1 é solução 
particular da equação 
1)12( 2 −=−−+ xxyyx
dx
dy
 calcular a 
sua solução geral. 
3) Calcular a solução da equação 
11121 2 −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= xy
x
y
xdx
dy
 
sabendo que y = x é solução 
particular. 
4) Dar a solução geral da equação 
0232 =+++ yy
dx
dy
 sabendo que y 
= - 1 é solução particular. 
 
 
 
Respostas: 
1) 
kx
x
x
y +−= 3
231
 
2) 
Cxe
Cxey x
x
+−
+−=
)1(
)2(
 
3) 2
322
xk
xxkxy −
−+= 
4) 
1
2
−
−= x
x
Ce
Cey 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 36
AULA 10 
 
 
3 – EQUAÇÕES DE 1a ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 
 
3.1 – Envoltórias e Soluções Singulares: 
 
3.1.1 – Envoltória de uma Família de Curvas: 
 Seja f(x,y,α )=0 uma família de curvas dependentes do parâmetro “α ”. Define-se 
como envoltória a curva que é tangente a toda a linha que constituem a família de curvas. 
Pode-se existir uma ou mais envoltórias para uma mesma família de curvas, como também 
poderá não haver nenhuma. As curvas que forma a família são chamadas envolvidas. 
Geralmente, a envoltória é definida pelo sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∂
∂
=
0),,(
0),,(
α
α
α
yxf
yxf
 ...(1), cuja equação pode ser 
obtida pela eliminação do parâmetro α em (1). Também podemos obter a equação da 
envoltória sob a forma paramétrica, resolvendo o sistema para x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e → envolvidas de equação f(x, y, α ) = 0 
 E → envoltória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não há envoltória 
 
 
e 
e 
e 
E
F(x,y,C(x,y))=0 
Equações DiferenciasProfa Paula Francis Benevides 
 
 37
Exemplo: 
 Obter a envoltória de uma família de circunferência com centro sobre o eixo x e raio 
igual a 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2 – Soluções Singulares: 
 Uma equação diferencial não linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa 
0,, =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
dyyxF ...(2) , cuja solução geral é do tipo F(x,y,C)=0, que representa uma família de 
curvas (curvas integrais), a cada uma das quais está associada uma solução particular da 
equação dada. A envoltória dessa família de curvas (caso exista) representa a solução singular 
da equação original. De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de 
coordenadas (xo,yo) da envoltória e da curva integral corresponde a dyo/dxo. Além disso, tem-
se que os elementos xo, yo e dyo/dxo de cada ponto da envoltória satisfazem à equação (2), 
pois são elementos de uma curva integral. Portanto, a envoltória é uma solução da equação 
(2) que não resulta da fixação da constante C, e por esta razão, é uma solução singular. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 38
Exemplo: 
 Determinar a solução geral e a solução singular da equação 
2
22 x
dx
dyx
dx
dyy +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 39
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em resumo: 
 
¾ Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação 
diferencial. 
¾ Envoltória: Tomando-se como exemplo a família de curvas dependentes de um 
parâmetro f(x,y,α )=0, define-se como envoltória a curva que é tangente a todas as 
linhas que constituem a família. 
¾ Envolvida: É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução 
particular da equação. 
 
 Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltórias para uma mesma 
família, como também poderá não haver nenhuma. Por exemplo, uma família de 
circunferências concêntricas não apresenta envoltória. 
 
 
 
AULA 10 – EXERCÍCIOS 
 
1) Dar a envoltória das seguinte 
famílias de curvas: 
 a) αα
14 2 += xy 
 b) 0)2(2 222 =++++ αα yyx 
 
2) Determinar a envoltória de um 
segmento de reta cujas 
extremidades descrevem 2 retas 
perpendiculares. 
3) Obter a solução singular da equação 
12
2
2 =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ y
dx
dyy 
4) Achar a solução geral e a solução 
singular da equação: 
 
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
dx
dy
dx
dyxy 
Respostas: 
 
1) a ) y3 = 27x b) x2 + 4y = 0 
2) 3
2
3
2
3
2 l=+ yx (astróide) 
3) y = ± 1 
 
4) y = Cx + c2 (solução geral) 
 
4
2xy −= (solução singular) 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 40
AULA 11 
 
 
3.2 – EQUAÇÃO DE CLAIRAUT: 
 
 A Equação de Clairaut (Aléxis Claude Clairaut – matemático francês: 1713 – 1765) tem 
a forma 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
dx
dy
dx
dyxy φ . 
 
Resolução: 
 Chamando p
dx
dy = 
 a equação de Clairaut fica ( )pxpy φ+= . (1) 
 
Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: 
 
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy )('1. φ++= 
 ( ) 0)(' =+ px
dx
dp φ (2) 
 0=
dx
dp
 ∴ Cp = 
 
A solução geral é dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C 
 
 Assim, )(CCxy φ+= é a solução geral da equação de Clairaut (família de retas) 
 
 De (2), tem-se: 
 0)(' =+ px φ (3) 
 xp −=∴ )('φ 
 
 Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relação F(x,y)=0 que representa a solução 
singular. 
 
Exemplos: 
 Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut: 
 
1) 
dx
dy
dx
dyxy ln−= 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 0
2
=+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ y
dx
dyx
dx
dy
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 42
AULA 11 – EXERCÍCIOS 
Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut: 
 
1) 
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
dx
dy
dx
dyxy 
 
2) 01
23
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
dyy
dx
dyx 
 
3) 045 =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− y
dx
dyx
dx
dy
 
 
4) 
2
4 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++=
dx
dy
dx
dyxy 
 
 
Respostas: 
 
1) y = Cx + 3C2 (geral) 
 x2 = -12y (singular 
 
2) 2
1
C
Cxy += (geral) 
 4y3 = 27x2 (singular) 
 
3) C(5 – y + xC) + 4 = 0 (geral) 
 (y – 5)2 = 16x (singular) 
 
4) 24 CCxy ++= (geral) 
 2
22
2
1
)1(4
x
xy −
±= 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 43
AULA 12 
 
 
3.3 – EQUAÇÃO DE LAGRANGE: 
 A equações da Lagrange tem a forma ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
dx
dy
dx
dyxFy φ ...(1). 
 Observamos que a equação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange, 
se 
dx
dy
dx
dyF =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
. 
Resolução: 
 A solução da equação de Lagrange, geralmente é dada sob a forma paramétrica. 
 
 Chamando p
dx
dy = a equação de Lagrange fica ( )ppxFy φ+= )( . 
 Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: 
 
dx
dpp
dx
dppxFpFp )(')(')( φ++= 
 
dx
dpp
dx
dppxFpFp )(')(')( φ=−− 
 Multiplicando por 
dp
dx
 e dividindo por [p – F(p)], tem-se: 
 
)(
)('
)(
)('
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
−=−−
φ
 
 De onde se pode escrever 
 QPx
dp
dx =+ 
 
 Como em geral não será possível isolar p na solução da equação linear anterior, a 
solução geral da equação de Lagrange será dada na forma paramétrica: 
⎩⎨
⎧
=
=
)(
)(
pyy
pxx
 
 
Exemplo: 
 Resolver a equação 
2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
dx
dyx
dx
dyxy 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 44
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 12 - EXERCÍCIOS 
1) 
dx
dy
dy
dxxy −= 
2) 
dx
dydx
dyxy 12 += 
3) 
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
dx
dyx
dx
dyy 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) 
[ ]
( )[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−+
−
−=
−−+
−
−=
pCpp
p
y
Cpp
p
px
1ln
1
1
)1ln(
1
2
2
2
2
 
2) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
 
3) 
⎩⎨
⎧
+−+=
+−=
−
−
2)1(
22
2pepCy
pCex
p
p
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 45
AULA 13 
 
4 - EXERCÍCIOS GERAIS 
 
Calcule as Equações Diferenciais abaixo: 
1) 0)2(3 =−− dyyxydy 
2) 0
2 =+ − dyyexdx x 
3) 0)1( 2 =−− dxydyx 
4) 0coscos2 =⋅+⋅ xdysenysenxdxy 
5) )cos( yx
dx
dy += 
6) 0)()(2 22 =+++ dyyxdxyxx 
7) dxyxydxxdy 22 +=− 
8) 0)( 22 =−+− xydydxyxyx 
9) 0)2( =−+ dyxxyydx 
10) 0)52()42( =+−++− dxyxdyyx 
11) 
342
12
++
++=
yx
yx
dx
dy
 
12) 0)139()23( =+−++− dyyxdxyx 
13) 
012)cos()cos( =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ + dy
y
xxyxdx
x
yxyy
 
14) 032 4
22
3 =−+ dyy
xydx
y
x
 
15) 0)46()63( 3222 =+++ dyyyxdxxyx 
16) 
yxy
xyx
dx
dy
2
2
+
+−= 
17) 0)cos1()1( =−++ dyxdxysenx 
18) 0)2.(sec).(sec =+−+− dyxtgyydxytgxx 
19) 0)cos2( 2 =−− senydyxdxeyx x , 
determinar a solução particular para x = 0. 
20) dxexydxxdy x2=− 
21) 02 =−+ xdyydxdyy 
22) 0)ln( 3 =−+ dyxydx
x
y
 
23) Achar a solução particular para y = b e x 
= a em 0=−+ xey
dx
dyx 
24) 0)32(2 =+− dyxydxy 
25) 222 y
x
y
dx
dy =+ 
26) dxyyxdy )1( 2 += 
27) 22 )1( xyxy
dx
dyx +=− 
28) Conhecendo-se a solução particular y = 
ex da equação 
xx eyye
dx
dy 22)21( −=++− calcular sua 
solução geral. 
 
 
Calcular a solução geral e a singular das 
seguintes equações: 
 
29) 
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=
dy
dx
dx
dyxy 
30) 
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++=
dx
dy
dx
dyxy 
31) 
dx
dy
dx
dyxy += 
32) 
dx
dysen
dx
dyxy += 
 
 
Resolver as seguintes equações de 
Lagrange: 
 
33) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
dx
dyx
dx
dyy 2
2
134) 
2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
dx
dy
dx
dyxy 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 46
Respostas: 
1) )ln(126 2 Cyxy =− 
2) 22
2
Cey x =+ 
3) 1)1(ln =− xCy 
4) Cyx =+ secsecln 
5) Cxyxgyx +=+−+ )(cot)sec(cos 
6) Cyyxx =++ 323 32 
7) 222 yxCxy +−= 
8) C
X
yxy =+− )ln( 
9) Cx
y
x =+ ln 
10) )3()1( 3 +−=−+ yxCyx 
11) Cxyyx =−+++ 48)584ln( 
12) )126ln(62 +−=++ yxCyx 
13) Cyxyxysen =++ ln2)( 
14) C
yy
x =− 13
2
 
15) Cyyxx =++ 4223 3 
16) Cyyx =++ 222 )1( 
17) Cxyyx =−+ cos 
18) Cx)-y(2secysecx =++ 
19) 1cos2 −=− xeyx 
20) xxeCxy += 
21) Cyxy =+2 
22) Cyyx =+ 3ln2 
23) 
x
eabey
ax −+= 
24) 
y
Cyx 12 −= 
25) 0122 =−+ xyyCx 
26) 2
2
2
xC
xy −= 
27) 
11
1
2 −−= xCy 
28) 
1
2
−
−+= x
xxx
Ce
eCeCey 
29) 
23
2
4
27
1
xy
C
Cxy
−=
−=
 
30) 
2
2
1
1
xy
CCxy
−=
++=
 
31) CCxy += 
 Não há solução singular 
32) 
21arccos xxxy
senCCxy
−+=
++
 
33) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−= −
22
1
2
1
2(
6
1
)(
3
1
pCpy
pCpx
 
34) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
p
pCy
p
p
Cx
3
2
3
2
3
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 47
AULA 14 
 
5 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 
 
5.1 - MODELO MATEMÁTICO: 
 É freqüentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno 
da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. 
A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos é 
construída levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos 
compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento 
de populações animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento 
radioativo de uma substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta. 
 A construção de um modelo matemático de um sistema começa com: 
i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a 
principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa, 
estamos especificando o nível de resolução do modelo. 
A seguir, 
ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o 
sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também 
quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema. 
 
Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um 
modelo de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de 
Física, a força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento 
de um corpo em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujo 
trabalho é predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em 
conta a resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra. 
Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de 
uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais 
equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma 
equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. 
Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema 
de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar 
resolvê-lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem 
consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. 
Porém, se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução 
do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As 
etapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte 
diagrama: 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 48
 Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo 
matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita. 
 Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolve a variável tempo t. 
Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da 
variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e 
futuro. 
 
5.2 - CIRCUITOS EM SÉRIE: 
 
 Considere o circuito em série de malha simples mostrado na Figura 13.1(a), contendo um 
indutor, resistor e capacitor. A corrente no circuito depois que a chave é fechada é denotada por 
i(t); a carga em um capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas 
como indutância, capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes. Agora, 
de acordo com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada 
deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha. A Figura 13.1(b) mostra os símbolos e 
as fórmulas para a respectiva queda de voltagem em um indutor, um capacitor e um resistor. 
Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, 
adicionando-se as três quedas de voltagem. 
 
 
,2
2
dt
qdL
dt
diL
indutor
= 
dt
dqRiR
resistor
= q
c
capacitor
1 
 
 
Figura 13.1 (a) Figura 13.1 (b) 
 
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de 
segunda ordem 
 )(12
2
tEq
cdt
dqR
dt
qdL =++ 
 
 
 Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de 
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é 
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura 13.2 
 Figura 13.2 
 
 Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t). 
 )(tERi
dt
diL =+ 
 
onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A 
corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 49
 A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é a 
carga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura 13.3, a segunda lei 
de Kirchhoff nos dá 
 )(1 tEq
C
Ri =+ 
 
 
 Figura 13.3 
 
mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acima 
transforma-se na equação diferencial linear 
 )(1 tEq
Cdt
dqR =+ 
 
 
Exemplo: 
 Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é ½ 
Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. 
 
Resolução: 
L= indutância = ½ ERi
dt
diL =+ 
R = resistência = 10 1210
2
1 =+⋅ i
dt
di
 
i = corrente 2420 =+ i
dt
di
 
 
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24 
 
∫ ∫ == tdtPdt 2020 [ ]∫ +⋅= − cdxeei tt 242020 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += − ceei tt 2020
20
24
 
cei t ⋅+= −20
5
6
 
 
Para i(0) = 0 
ce0
5
60 += 
5
6−=c 
 
Logo: 
 
tei 20
5
6
5
6 −−= 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 50
5.3 - CRESCIMENTO E DESCRESCIMENTO DE POPULAÇÃO: 
 
O problema de valor inicial: 
 
 kx
dt
dx = N(t0) = N0 N = N0.ekt 
 
onde k é uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias físicas envolvendo 
crescimento e decrescimento. 
 
Exemplo: 
 Em uma cultura, há inicialmente N0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de 
bactérias passa a ser 3/2 N0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao númerode bactérias 
presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. 
Resolução: 
 
N(to) = N0 
N(t1) = 2
3
No 
 kx
dt
dx = 
 ∫ ∫= kdtxdx 
 lnx = kt + c 
 lnx – ln c = kt 
 ln
c
x
= kt 
 ekt = 
c
x
 
 x = c.ekt 
para t = 0 
N(0) = N0 
N0 = ce0 
N0 = c 
 X = N0.ekt 
 
Para t = 1 
N(1) = 
2
3
N0 
1.
00 .2
3 keNN = 
2
3=ke 
ek = 1,5 
ln1,5 = k 
k = 0,4055 
 N = N0.e0,4055.t 
 3N0 = N0.e0,4055.t 
 ln3 = ln e0,4055.t 
 0,4055t = 1,0986 
 t = 2,71 horas 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 51
5.4 - MEIA VIDA: 
 
Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-
vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 se 
desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma 
substância, mais estável ela é. 
Por exemplo, a meia do ultra-radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 
anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopo 
de urânio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. 
Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206. 
 
 A.K
dt
dA = A(0) = A0 2)(
0AtA = kteAA .0= 
 
Exemplo: 
 Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectado 
que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desse 
isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente. 
 
Resolução: 
t = 0 → A0 
t = 15 → A0 – 0,043%A0 
 99,957%A0 
 0,99957A0 
 kA
dt
dA = 
 ∫ ∫= kdtAdA 
 ln A = kt + c 
 kt
c
A =ln 
 kte
c
A = 
 A = c.ekt se t = 0 
 A(0) = A0 
 A0 = c.e0 
 C = A0 
 
A(t) = A0.ekt 
A(15) = A0.e15k A(t) = 2
0A 
0,99957 A0 = A0.e15k 
teAtA
410.8867,2
0 .)(
−−= 
Ln0,99957 = ln e15t teA
A 000287,0
0
0 .
2
−= 
-0,0043 = 15 k te 000287,0ln
2
1ln −= 
K = - 2,8667.10- 4 -0,6931 = - 0,000287t 
t = 2415,147 
t ≅ 2415 anos 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 52
5.5 - CRONOLOGIA DO CARBONO: 
 
Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idade 
de fósseis usando o carbono radioativo. 
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é 
produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. 
A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma 
constante e, como conseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os 
organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. 
Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, 
cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil 
com a razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. 
O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca 
de 5.600 anos. 
 
Exemplo: 
 Um osso fossilizado contém 
1000
1
 da quantidade original do C-14. Determine a idade do 
fóssil. 
 
Resolução: 
 
A(t) = A0.ekt 
5600.
0
0 .
2
keA
A = 
ke5600ln
2
1ln = 
5600k = - 0,6931 
K = - 0,000123776 
 
 A(t) = A0.e- 0,000123776t 
 teAA 000123776,000 .100
1 −= 
 te 000123776,0ln
100
1ln −= 
 - 0,000123776 t = - 6,9077 
 t = 55.808 anos 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 53
5.6 - RESFRIAMENTO: 
 
A lei de resfriamento de Newton, diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um 
corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo (T) e a 
temperatura constante do meio ambiente, Tm, isto é: 
 
 )( mTTKdt
dT −= , onde k é uma constante de proporcionalidade. 
 T = C.ekt + Tm 
 
Exemplo: 
 Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, sua 
temperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, se 
a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF? 
 
Resolução: 
T(0) = 3000F )( mTTkdt
dT −= 
T(3) = 2000F )70( −= Tk
dt
dT
 
T(?) = 750 ∫ ∫=− kdtT dT )70( 
Tm = 700 cktT +=− )70ln( 
 kt
c
T =− 70(ln 
 
c
Tekt 70−= 
 70. += ktecT 
 
T(0) = 3000 
300 = C.ek.0 + 70 
C = 2300 
 
T = 230.ekt + 70 
 
T(3) = 200 
200 = 230.e3k + 70 
230 e3k = 130 
230
1303 =ke 
230
130lnln 3 =ke 70.230 19018,0 += − teT 
230
130ln3 =k 70.23075 19018,0 += − te 
K = - 0,19018 
230
707519018,0 −=− te 
 - 0,19018t = ln
230
5
 
 T = 20,13 minutos 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 54
AULA 14– EXERCÍCIOS 
1) Encontre uma expressão para a corrente em 
um circuito onde a resistência é 12Ω , a 
indutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem 
constante de 60 V e o interruptor é ligado quanto 
t = 0. Qual o valor da corrente? 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma força eletromotriz é aplicada a um circuito 
em série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e 
a resistência é de 50 ohms. Ache a curva i(t) se 
i(0) = 0. Determine a corrente quanto t ∞→ . 
Use E = 30 V. 
3) Uma força eletromotriz de 100 V é aplicada a 
um circuito em série RC no qual a resistência é de 
200Ω e a capacitância é de 10- 4 farads. Ache a 
carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Ache a 
corrente i(t). 
4) Uma força eletromotriz de 200 V é aplicada a 
um circuito em série RC no qual a resistência é de 
1000Ω e a capacitância é 5 x 10- 6 farads. Ache a 
carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Determine a 
carga da corrente em t = 0,005s. Determine a 
carga quando t ∞→ . 
5) Sabe-se que a população de uma certa 
comunidade cresce a uma taxa proporcional ao 
número de pessoas presentes em qualquer 
instante. Se a população duplicou em 5 anos, 
quando ela triplicará? 
6) Suponha que a população da comunidade do 
problema anterior seja 10000 após 3 anos. Qual 
era a população inicial? Qual será a população em 
10 anos? 
7) A população de uma cidade cresce a uma taxa 
proporcional à população em qualquer tempo. Sua 
população inicial de 500 habitantes aumenta 15% 
em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 
8) O isótopo radioativo de chumbo, Ph 209, 
decresce a uma taxa proporcional à quantidade 
presente em qualquer tempo. Sua meia vida é de 
3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente 
inicialmente, quanto tempo levará para 90% de 
chumbo desaparecer? 
9) Inicialmente havia 100 miligramas de uma 
substância radioativa presente. Após 6 horas a 
massa diminui 3%. Se a taxa de decrescimento é 
proporcional à quantidade de substância presente 
em qualquer tempo, determinar a meia vida desta 
substância. 
10) Com relação ao problema anterior, encontre 
a quantidade remanescente após 24 horas. 
11) Em um pedaço de madeira queimada, ou 
carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha se 
desintegrado. Qual a idade da madeira? 
12) Um termômetro é retirado de uma sala, em 
que a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora 
onde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o 
termômetro marcava 50ºF. Qual será a 
temperatura marcada pelo termômetro no 
instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 
15ºF? 
13) Segundo a Lei de Newton, a velocidade de 
resfriamento de um corpo no ar é proporcional à 
diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oC 
e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 
60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura 
descerá para 30oC? 
14) Um indivíduo éencontrado morto em seu 
escritório pela secretária que liga imediatamente 
para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas 
depois da chamada, examina o cadáver e o 
ambiente, tirando os seguintes dados: A 
temperatura do escritório era de 20oC, o cadáver 
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Uma 
hora depois medindo novamente a temperatura 
do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo 
que a temperatura de uma pessoa viva é de 
36.5oC, prende a secretária. Por que? No dia 
seguinte o advogado da secretária a liberta, 
alegando o que? 
Respostas: 
1) tetI 355)( −−= 
2) tcei 500
5
3 −+= e 
5
3)(lim =∞→ tit 
3) tceq 50
100
1 −+= onde C = -1/100 e 
 tei 50
2
1 −= 
4) tceq 200
1000
1 −+= 
 tcei 200200 −−= 
 
500
1−=C 
 coulombsq 0003,0)005,0( = 
 ampi 1472,0)005,0( = 
 
1000
1→q 
5) 7,92 anos. 
6) x0 = 6600,66 e N(10) = 26.396,04 
7) N(30) = 760 
8) t = 11 horas 
9) t = 136,72 horas 
10) 88,5 gramas. 
11) 15600 anos 
12) T(1) = 36,66ºF e t = 3,06 min 
13) t = 60 min 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 55
AULA 15 
 
6 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2a ORDEM 
E ORDEM SUPERIOR 
 
 Padrão E.D.O-2 linear: 
 y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x) 
 
onde: 
¾ p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema 
¾ r(x) termos de excitação (input) 
¾ y(x) resposta do sistema 
 
Se r(x) = 0, ∀ x∈I → Eq. Dif. Homogênea 
 r(x) ≠ 0 → Eq. Dif. não homogênea 
 
 A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I), isto 
é y1 / y2 = h(x) ≠ cte. 
 Logo y1(x) e y2(x) constituem uma base para a solução da EDO-2 homogênea, logo y(x) 
= C1y1(x) + C2y2(x) é solução. 
 Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente. 
 
Exemplo: Obter y2(x), sabendo que y1(x) = x 
 (1 – x2)y” – 2xy’ + 2y = 0 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 56
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 57
6.1 - EDO-2 COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
Homogênea: y” +ay’ +by = 0 
 
Solução proposta xexy λ=)( 
 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
=
x
x
x
ey
ey
ey
λ
λ
λ
λ
λ
2"
' substituindo na EDO-2: 
0)(
0
2
2
=++
=++
x
xxx
eba
beeae
λ
λλλ
λλ
λλ
 , com xe x ∀≠ 0λ 
 
temos assim, 0)( 2 =++= baP λλλ , que é a equação característica da EDO-2 dada. 
 
 Achados 1λ e 2λ que satisfazem a )(λP , temos a base da solução. Então encontramos as 
“raízes” 1λ e 2λ por Báskara. 
 
Caso 1: 1λ e 2λ são reais e diferentes 
 
xx eCeCy 21 21
λλ += 
 
Caso 2: 1λ e 2λ são reais e iguais 
 
xexCCy λ)( 21 += 
 
Caso 3: 1λ e 2λ são complexos conjugados ( )( bia ± 
 )cos( 21 senbxCbxCey
ax += 
Exemplos: 
1) y” + 2,2y’ +1,17y = 0 , com y(0) = 2 e y’(0) = - 2,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 58
 
2) y” - 2√2 y’+2y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) y”+4y = 0, com y(0) = 3 e y(π /2) = -3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 15 – EXERCÍCIOS 
 
1) x2y” – 5xy’ +9y = 0 , com y1(x) = x3 
2) x2y” + xy’ + (x2 – ¼)y = 0, 
 com y1(x) = x-1/2 cosx 
3) y” + 2y’ + 2y = 0, 
 com y(0) = 1 e y(π /2) = 0 
4) y” – 25y = 0 
 com y(0) = 0 e y’(0) = 20 
5) y” – y’ – 2y = 0 
 com y(0) = -4 e y’(0) = -17 
6) y”-9π 2y=0 
7) 9y” + 6y’ + y = 0 
 com y(0) = 4 e y’(0) = 3
13− 
8) y” + 2ky’ +k2y = 0 
9) 8y” – 2y’ – y = 0 
 com y(0) = 0,2 e y’(0) = 0,325 
10) 4y” – 4y’ - 3y = 0 
 com y(-2) = e y’(-2) = 2
e− 
Respostas: 
 
1) y2(x) = x3 lnx 
2) y2(x) = x-1/2senx 
3) y = e-xcosx 
4) y = - 2e- 5x + 2e5x 
5) y = 3e- x – 7e2x 
6) xx eCeCy ππ 32
3
1
−+= 
7) 3)34(
x
exy −−= 
8) y = (C1 + xC2) e- kx 
9) 24 5,03,0
xx
eey +−= − 
10) y = e – 0,5x 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 59
AULA 16 
 
6.2 - EULER – CAUCHY 
 
A equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma: 
 
ByA
dx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA n
n
n
n =+++++++ 012
2
2
2 )()()( L 
 
onde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos 
teabax .=+ 
 que irá eliminar os coeficientes variáveis. 
 
 
 No caso da equação ter a forma: 
 
 
0'"2 =++ byaxyyx 
Faremos: 
y = xm 
y’ = mxm-1 
y” = m(m-1)xm-2 
 
 Substituindo y, y’ e y” na EDO-2, temos que: 
 (m2 + (a – 1) m + b)xm = 0 
 
como y(x) = xm tem que ser diferente de zero, temos m2 + (a – 1) m + b = 0, que é uma 
equação do segundo grau com duas raízes. 
 
Caso 1: m1 e m2 são reais e diferentes. 
 
 
21
21)(
mm xCxCxy += 
 
Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais 
 
 )ln()( 21 xxCxCxy
mm += 
 
 
mxxCCxy ))ln(()( 21 += 
 
Caso 3: m1 e m2 são complexas conjugadas )( bia ± 
 
 )]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy
a += 
 
Exemplos: 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 60
1) 012)12(2)12( 2
2
2 =−+−+ y
dx
dyx
dx
ydx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) x2y” + 2xy’ + 2y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 16 – EXERCÍCIOS 
 
1) x2y”- 20y = 0 
2) (1+x)3y”’+9(1+x)2y”+18(1+x)y’+6y = 0 
3) 10x2y” + 46xy’+32,4y = 0 
4) x2y”+ xy’+y = 0 
5) 4x2y”+24xy’+25y = 0 
 com y(1) = 2 e y’(1) = - 6 
6) x2y”- 3xy’+ 4y = 0 
 com y(1) = 0 e y’(1) = 3 
 
Respostas: 
1) C1x-4 + C2x5 
2) 3
3
2
21
)1()1(1 x
C
x
C
x
Cy +++++= 
(C1 + C2 lnx) x-1,8 
3) C1.cos(lnx) + C2.sen(lnx) 
4) (2 – lnx) 2
5−x 
5) 3x2lnx 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 61
 
AULA 17 
 
 
6. 3 - EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=++
10
00
)('
)(
)()(')("
..
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP 
 
 y1(x).y2(x) → base para a solução da EDO-2 homogênea 
 yh(x) → solução da EDO-2 homogênea 
 yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) 
 yp(x) → solução particular, função qualquer que satisfaz a EDO-2 não-homogênea 
 
 A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma: 
 
 
 )()()( xyxyxy ph += 
 
 
Teorema da existência da Unicidade: Se p(x) e q(x) são funções contínuas sobre o 
intervalo aberto I e x0 ∈I, então o P.V.I. possuiu uma única solução y(x) sobre I. 
 
 Para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes 
métodos: 
 
i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes 
ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange 
iii. Método do operador derivada D. 
 
 
6.3.1 - Solução por coeficientes a determinar (Descartes): 
 Vale somente para EDO-2 com coeficientes constantes 
 
Padrão para solução particular: 
 
Termo em r(x) Proposta para yp(x) 
xkeα xCeα 
,...)1,0( =nkxn 0111 ... CxCxCxC nnnn ++++ −− 
⎭⎬
⎫
xKsen
xK
α
αcos
 xsenCxC αα 21 cos + 
⎪⎭
⎪⎬⎫
xsenke
xke
x
x
β
β
α
α cos
 )cos( 21 xsenCxCe
x ββα + 
 
 
obs: 
 
1. se r(x) é composição de funções da 1o coluna, yp(x) é composição das respectivas 
funções na 2o coluna. 
2. se r(x) coincide com uma função que compões yh(x), multiplique por x (ou por x2) para 
considerar raiz dupla da equação característica. 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 62
 
 
Exemplo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
+=+−
0)0('
1)0(
'2" 2
y
y
xeyyy x
 
Equações DiferenciaisProfa Paula Francis Benevides 
 
 63
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 17 – EXERCÍCIOS 
 
1) y” + 4y = sen 3x 
 
2) y” + 2y’ +10y = 25x2 + 3 
 
3) y” + 2y’ – 35y = 12e5x + 37 sen 5x 
 
Problema de valor inicial: 
 
4) y” + 1,5y’ – y = 12x2 + 6x3 – x4 
 y(0) = 4 e y’(0) = - 8 
 
5) y” – 4y = e-2x – 2x 
 y(0) = 0 e y’(0) = 0 
 
 
Respostas: 
 
1) xsenxBsenxA 3
5
122cos −+ 
 
2) xxxsenCxCe x −++− 221 2
5)33cos( 
 
3) 
xsenxxeeCeC xxx 56,05cos1,0552
7
1 −−++− 
 
4) 424 xe x +− 
 
5) xxx xexee 222
4
1
2
1
8
1
8
1 −− −++− 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 64
AULA 18 
 
 
6.3.2 - SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: 
 
¾ Qualquer tipo de excitação r(x) 
¾ Qualquer coeficiente p(x) e q(x) desde que contínuos. 
 
EDO – y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x) 
Sendo: 
 y1(x) e y2(x) a base para a EDO-2 homogênea. A idéia é constituir a solução particular 
com uma combinação destas utilizando parâmetros variáveis. 
 
yp(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) 
 
onde, 
 ∫−= dxxw xrxyxu )( )()()( 2 e ∫= dxxw xrxyxv )( )()()( 1 
 
Sendo que W = W(y1,y2), que é o Determinante de Wronski (Wronskiano) 
 
)(
''
),(
2
2
1
1
21 xWy
y
y
y
yyW == 
 
 
6.3.2.1 - Teorema de (in)dependência Linear de soluções: 
 Seja um p(x) e q(x) funções contínuas sobre um intervalo I, então duas soluções y1(x) 
e y2(x), definidas sobre I, são linearmente dependentes (LD), se, e somente se, W(y1, y2) = 0 
para algum ponto x0 que pertence a I. 
 Assim, se existe um ponto x1 que pertence a I onde W(y1, y2) ≠ 0, então y1 e y2 são 
linearmente independentes (LI) 
 
Exemplo: 
 x2y” – 2xy’ +2y = x3cosx 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 65
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 18 – EXERCÍCIOS 
 
1) y” + 4y’ + 3y = 65x 
 
2) x2y” – 4xy’ + 6y = 21x-4 
 
3) 4x2y” + 8xy’ – 3y = 7x2 – 15x3 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) 
9
260
3
65)( 2
3
1 −++= −− xeCeCxy xx 
 
2) 432
2
1 2
1 −++ xxcxc 
 
3) 
3
)( 3223
2
2
1
1
xxxCxC −++ − 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 66
AULA 19 
 
 
6.4 - MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 
 
6.4.1 – Operador “D” (operador derivada): 
 Os operadores são símbolos sem nenhum significado isolado que indicam, de modo 
abreviado, as operações que devem ser efetuadas 
 Dada uma função definida por y=f(x), chama-se operador derivada, denotado por D, a 
dx
dD = , 2
2
2
dx
dD = , 3
3
3
dx
dD = , ... 
 
6.4.2 - Propriedades: 
 Sejam u=u(x) e v =v(x): 
P1. D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva) 
P2. D(m.u)=m.Du, (propriedade comutativa, sendo m uma constante) 
P3. Dm(Dnu)=Dm+nu, (sendo m e n constantes positivas) 
P4. O operador inverso ∫ −=− dxueeuaD axax ..1 , a ∈ℜ. 
P5. O operador direto uaDuuaD .)( −=− au
dx
du −= , a ∈ℜ. 
 
6.4.3 – Resolução de Equações Lineares 
1) Resolver a equação ( ) xeyDD 32 65 =+− , utilizando o operador inverso. 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 67
2) Resolver, empregando operadores: 01272
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 0442
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) xey
dx
yd −=−2
2
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 68
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 69
 
6.5 – SIMPLIFICAÇÃO DO MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 
 
Casos particulares 
1°. Na equação diferencial axeyDP =)( a solução particular será dada por axp eaPy )(
1= , se 
P(a)≠0 
 
2°. Na equação diferencial )()( 2 axsenyDP = a solução particular será dada por 
)(
)(
1
2 axsenaP
y p −= , desde que P(-a
2) ≠ 0. 
 
3°. Na equação diferencial )cos()( 2 axyDP = a solução particular será dada por 
)cos(
)(
1
2 axaP
y p −= . 
 
4°. Na equação diferencial mxyDP =)( a solução particular será dada por mp xDPy )(
1= , onde 
)(
1
DP
 deverá ser desenvolvido em série de potências crescentes em D. 
 Isto é; ao + a1D + a2D2 + ... + amDm, desprezados os termos seguintes ao Dm e sendo ao 
diferente de zero. 
 
5°. Na equação diferencial )(.)( xfeyDP ax= a solução particular será dada por 
)(
)(
1 xf
aDP
ey axp += , desde que P(D + a) seja diferente de zero. 
 
 
AULA 19 – EXERCÍCIOS 
1) (D2 – D – 12)y = 0 
2) senxy
dx
dy
dx
yd =+− 652
2
 
3) senxey
dx
dy
dx
yd x=+− 232
2
 
4) (D3-16D)y=e4x + 1 
5) (D2 – 7D+12)y = 5e3x 
6) (D3 – 3D + 2)y = xe-2x 
7) ( ) ( ) xx eeyDD −+=−− 2321 2 
8) ( ) 142 −=− xyD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) y = C1e4x + C2e-3x 
2) xsenxeCeCy xx cos
10
1
10
13
2
2
1 +++= 
3) ( )senxxeeCeCy xxx −++= cos
2
2
21 
4) 
1632
44
3
4
21
xexeCeCCy xxx −+++= − 
5) xxx xeeCeCy 342
3
1 5−+= 
6) xxxxx exexeCxeCeCy 2
2
22
321 1827
2 −−− ++++=
 
7) xxxxx eexCeBxeAey −−−++=
6
1
2
3 22 
8) 
4
1
4
22 +−+= − xBeAey xx
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 70
AULA 20 
 
7 - EXERCÍCIOS GERAIS 
 
Calcule as Equações Diferenciais abaixo: 
1) 1284 22
2
+−=− xxy
dx
yd
 
2) 222
2
3
3
−=−− x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
3) 1234 32
2
4
4
+−=− xx
dx
yd
dx
yd
 
4) 
xey
dx
dy
dx
yd −=+− 3232
2
 
5) 
xey
dx
yd 2
2
2
44 =− 
6) 
xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344 =+− 
7) 
xey
dx
dy
dx
yd 222
2
=+− 
8) senxy
dx
dy
dx
yd 2232
2
=+− 
9) x
dx
dy
dx
yd cos342
2
=+ 
10) xseny
dx
yd 23164
4
=− 
11) xy
dx
yd 2cos542
2
=− 
12) 52 22
2
+=− xe
dx
dy
dx
yd
 
13) 
xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44 =+− 
14) xey
dx
dy
dx
yd x cos8822
2
−=−− 
15) 
2
244 22
2 xey
dx
dy
dx
yd x +=+− 
16) 
x
ey
dx
dy
dx
yd x=+− 22
2
 
17) 
x
y
dx
yd
cos
1
2
2
=+ 
18) 
senx
y
dx
yd 1
2
2
=+ 
19) xyxyyx 32'2"2 =+− 
20) 02'2"3'" 23 =+−+ yxyyxyx 
21) 02'2'"3 =−+ yxyyx 
22) )1ln(6)1(18)1(9)1( 2
2
2
3
3
3 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx +=++++++
 
RESPOSTAS: 
1) 4
4
2 222
2
1 −+−+= − xxeCeCy xx 
2) 
2
5
4
2
2
321
xxeCeCCy xx +−++= − 
3) 
824
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx −−−+++= − 
4) 
2
2
21
x
xx eeCeCy
−
++= 
5) 
xxx xeeCeCy 222
2
1 ++= − 
6) 
xxx exxeCeCy 2222
2
1 2
3++= 
7) )( 221 xxCCey
x ++= 
8) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21 +++= 
9) )4(cos
17
34
21 senxxeCCy
x +++= − 
10) 
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx ++++= −
 
11) 
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx −+= − 
12) 
22
5 22
21
x
x xexeCCy +−+= 
13) 
xexxCCy 2
3
21 6 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++= 
14) )22cos3(
5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy
exxx ++−+= −
 
15) 
8
1)( 2221
++++= xexxCCy x 
16) xxexeexCCy xxx ln)( 21 +−+= 
17) xsenxxxsenxCxCy +++= coslncoscos 21 
18) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21 +−+=
 
19) xxxCxCy ln3221 −+= 
20) 
2
321 ln
−++= xCxxCxCy 
21) [ ])(ln)cos(ln 321 xsenCxCxxCy ++= 
22) )1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21 +++++++= xx
C
x
C
x
Cy 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 71
AULA 21 
 
 
8 – MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM 
SUPERIOR 
 
 Vimos que uma única equação pode servir como modelo matemático para fenômenos 
diversos. Por essa razão, examinamos uma aplicação, o movimento de uma massa conectada 
a uma mola, detalhadamente na seção 6.1 abaixo. Veremos que, excetopela terminologia e 
pelas interpretações físicas dos quatro termos na equação linear ay” + by’ + cy = g(t), a 
matemática de um circuito elétrico em série é idêntica à de um sistema vibratório massa-mola. 
Formas dessa equação diferencial linear de segunda ordem aparecem na análise de problemas 
em várias áreas da ciência e da engenharia. Na seção 6.1, consideramos exclusivamente 
problemas de valor inicial, enquanto na seção 6.2 examinamos aplicações descritas por 
problemas de contorno conduzem-nos aos conceitos de autovalor e autofunção. A seção 6.3 
começa com uma discussão sobre as diferenças entre mola linear e mola não-linear; em 
seguida, mostraremos como um pêndulo simples e um fio suspenso levam a modelos não-
lineares. 
 
8.1 – EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: 
 
8.1.1 - Sistema Massa-Mola: 
 Movimento Livre não amortecido 
 
Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um suporte 
rígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre. A distensão ou 
elongação da mola naturalmente dependerá da massa; massas com pesos diferentes 
distenderão a mola diferentemente. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora F 
oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Enunciado de forma simples, F 
= ks, onde k é a constante de proporcionalidade chamado constante da mola. A mola é 
essencialmente caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa de 10 libras alonga 
em ½ pé uma mola, então 10 = k(½) implica que k = 20 lb/pés. Então uma massa de, 
digamos, 8 lb necessariamente estica a mesma mola somente 2/5 pé. 
 
Segunda Lei de Newton: Depois que uma massa m é conectada a uma mola, provoca uma 
distensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio no qual seu peso W é igual à força 
restauradora ks. Lembre-se de que o peso é definido por W = mg, onde g= 32 pés/s2, 9,8m/s2 
ou 980 cm/s2. 
 
 
s
l
x
equilíbrio 
Posição 
inicial 
mg
K(s+x)
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 72
 Conforme indicado na figura acima, a condição de equilíbrio é mg = ks ou mg – ks = 0. 
Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio, a força 
restauradora da mola será então k(x + s). Supondo que não haja forças de retardamento 
sobre o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas – 
movimento livre – podemos igualar F com a força resultante do peso e da força 
restauradora: 
kxksmgkxmgxsk
dt
xdm
zero
−=−+−=++−= 43421)(2
2
 (1) 
 
 O sinal negativo indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao do 
movimento. Além disso, podemos adotar a convenção de que os deslocamentos medidos 
abaixo da posição de equilíbrio são positivos. 
 
8.1.1.1 - ED do Movimento Livre não amortecido: 
 Dividindo a equação (1) pela massa m obtemos a equação diferencial de segunda 
ordem 
 022
2
=+ x
dx
xd ω (2) 
onde mk /2 =ω 
 A equação (2) descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre não 
amortecido. Duas condições iniciais óbvias associadas com (2) são x(0) = x0 e x’(0) = x1, 
representando, respectivamente, o deslocamento e a velocidade iniciais da massa. Por 
exemplo, se x0 > 0, x1 < 0, a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com 
uma velocidade inicial dirigida para cima. Quando x1 = 0, dizemos que ela partiu do repouso. 
Por exemplo, se x0 < 0, x1 = 0, a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima 
da posição de equilíbrio. 
 
8.1.1.2 - Solução e Equação do Movimento: 
 Para resolver a Equação (2), observamos que as soluções da equação auxiliar m2 + ϖ 2 
=0 
são números complexos m1 = ϖ i, m2 = - ϖ i. Assim, determinamos a solução geral de (2) 
como: 
 
 tsenCtCtx ωω 21 cos)( += (3) 
 
 O período das vibrações livres descritas por (3) é T = 2 ωπ / e a freqüência é 
πω 2//1 == Tf . Por exemplo, para x(t) = 2 cos 3t – 4 sen 3t, o período é 2π /3 e a 
freqüência é 3/2π unidades; o segundo número significa que há três ciclos do gráfico a cada 
2π unidades ou, equivalentemente, que a massa está sujeita a 3/2π vibrações completas por 
unidade de tempo. Além disso, é possível mostrar que o período 2π /ϖ é o intervalo de tempo 
entre dois máximos sucessivos de x(t). Lembre-se de que o máximo de x(t) é um 
deslocamento positivo correspondente à distância máxima de x(t) é um deslocamento positivo 
correspondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio, 
enquanto o mínimo de x(t) é um deslocamento negativo correspondente à altura máxima 
atingida pela massa acima da posição de equilíbrio. Vamos nos referir a cada caso como 
deslocamento extremo da massa. Finalmente, quando as condições iniciais forem usadas 
para determinar as constantes C1 e C2 em (3), diremos que a solução particular resultante ou a 
resposta é a equação do movimento. 
 
Exemplo: 
 Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t = 0, a massa é solta 
de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 3
4 pés/s para 
cima. Determine a equação do movimento livre. 
Solução: 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 73
 Convertendo as unidades: 
 6 polegadas = ½ pé 
 8 polegadas = 2/3 pé 
 Devemos converter a unidade de peso em unidade de massa 
 M = W/g = 2/32 = 1/14 slug 
 Além disso, da lei de Hooke , 2 = k(½) implica que a constante de mola é k = 4 lb/pé, 
Logo, (1) resulta em: 
 x
dt
xd 4
16
1
2
2
−= 
 0642
2
=+ x
dt
xd
 
 ϖ 2 = - 64 
 ϖ = 8i 
 x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t 
 
 O deslocamento e a velocidade iniciais são x(0) = 2/3 e x’(0) = - 4/3, onde o sinal 
negativo na última condição é uma conseqüência do fato de que é dada à massa uma 
velocidade inicial na direção negativa ou para cima. 
 Aplicando as condições iniciais a x(t) e a x’(t), obtemos C1 = 2/3 e C2 = - 1/6, assim, a 
equação do movimento será: 
 tsenttx 8
16
18cos
3
2)( −= 
 
 
8.1.2 – Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido 
 O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal, uma vez que é 
descrito pela Equação (1) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a 
massa em movimento. A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito, haverá 
pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente. 
 
8.1.2.1 - ED do Movimento Livre Amortecido: 
 No estudo de mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo são 
consideradas proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. Em particular, vamos 
supor durante toda a discussão subseqüente que essa força é dada por um múltiplo constante 
de dx/dt. Quando não houver outras forças externas agindo sobre o sistema, segue na 
segunda lei de Newton que 
 
dt
dxkx
dt
xdm β−−=2
2
 (4) 
 
ondeβ é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é uma 
conseqüência do fato de que a força amortecedora age no sentido oposto ao do movimento. 
 Dividindo-se (4) pela massa me, obtemos a equação diferencial do movimento livre 
amortecido 
 02
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+ x
m
k
dt
dx
mdt
xd β
 (5) 
ou 
 02 22
2
=++ x
dt
dx
dt
xd ωλ (6) 
onde 
 
m
βλ =2 e 
m
k=2ω 
 
 O símbolo 2λ foi usado somente por conveniência algébrica, pois a equação auxiliar é: 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 74
 m2 + 2λ m + 2ω = 0 
e as raízes correspondentes são, portanto, 
 221 ωλλ −+−=m e 222 ωλλ −−−=m 
 Podemos agora distinguir três casos possíveis, dependendo do sinal algébrico de 
22 ωλ − . Como cada solução contém o fator de amortecimento te λ− , λ >0, o deslocamento da 
massa fica desprezível após um longo período. 
 
CASO I: Superamortecido 
 022 >−ωλ 
 
 tmtm eCeCtx 21 21)( +=