Cálculo 3 - Derivadas Parciais

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Universidade Federal de Pelotas Cálculo 3 
Centro de Engenharias 
Prof.ª Karin L. B. Simonato 
 
Exercício 1: Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e 
de segunda ordem nos pontos (1,4 e (-3 e 2) 
a) f(x, y) = 5x2 + 4xy3 + 2y 
b) f(x, y) = -x3 + x3y5 + 2yx 
c) f(x, y) = 3x2 – 3xy3 + 2y + 2x + 6 
d) f(x, y) = √ x
2 – 
 
 
x2y3 + x 
e) f(x, y) = 5x2 – 6xy3 + 2y + 123 
f) f(x, y) = sen(5x2) + 4xy3 + y – x3 
g) f(x, y) = e3x + 2y – 5x2 – 7xy + 2y3 + 12 
h) f(x, y) = cos(xy) – sem(xy) + 10 
Exercício 2: Seja f(x, y) = x2y3. Calcule: 
 
 
 e 
 
 
 
Exercício 3: Seja f(x, y) = -5x5 + xy – 3y. Calcule: 
 
 
 e 
 
 
 
Exercício 4: Calcule 
 
 
 e 
 
 
 para cada uma das funções abaixo. 
a) f(x, y) = (x + 4y – 31)5 
b) f(x, y) = 
 
c) f(x, y) = 3x(x – y) 
Exercício 5: Seja f(x, y) = -2x2 + 5y3 
a) Calcule 
 
 
 (1,5) 
b) Calcule 
 
 
 (4, 2) 
Exercício 6: Seja f(x, y) = 6x5y3 – 4xy2 – 6xy + 6y + 9 – 2x2. Determine o valor 
de: 
a) fxxx(2, -1) 
b) fxyx(2, -1) 
c) fyxxx(2, -1) 
Exercício 7: Seja f(x, y) = x2 – 3xy5 +2x. Calcule as derivadas parciais de 
primeira e segunda ordem. 
 
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Prof.ª Karin L. B. Simonato 
 
Exercício 8: Seja f(x, y) = x2 – 3xy5 +2x. Calcule as derivadas parciais de 
primeira e segunda ordem. 
Exercício 9: Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela 
satisfaz a equação de Laplace: 
 
 
 
 
 
 
 
Mostre que as seguintes funções são harmônicas: 
a) f(x, y) = x3 – 3xy2 – 2y2 + 2xy 
b) g(x, y) = ln(x2 + y2) 
Exercício 10: Use a regra da cadeia para calcular dz/dt. 
a) z = x3 – 3xy2; x = 2t, y = t2 
b) z = xlny; x = 3t, y = et 
Exercício 11: Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência de 
equações paramétricas x = cost e y = sent. 
A temperatura da água é dada pela função T(x, y) = x2ey – xy3. Determine a 
expressão da derivada dt/dx: 
a) Usando a regra da cadeia; 
b) Expressando T em função de t e aplicando as regras de derivação. 
Exercício 12: Use a regra da cadeia para calcular dz/dt, quando: 
a) Z = 3x2y3, sendo x = t4 e y = t2 
b) Z = 3cost – sen(xy), sendo x = 1/t e y = 3t 
c) Z = e1 – xy, sendo x = t1/3 e y = t3 
Exercício 13: Mostre graficamente que não existem os limites de funções reais 
de duas variáveis no ponto indicado. 
a) ( ) ( )
 
 
 
 
b) ( ) ( )
 
 
 
 
c) ( ) ( )
 
 
 
 
d) ( ) ( )
 ( )
( ) 
 
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Exercício 14: Dê o domínio das funções. 
a) √ 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
e) ( ) 
 
√ 
 
f) ( ) √