Problemas de Física do Contínuo

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Física do Contínuo - 2023.1
1a Lista de Problemas
1) Considere o movimento de uma partícula de massa m num campo de forças centrais associado à energia potencial
U(r), onde r é a distância da partícula ao centro de forças O. Neste movimento, a magnitude l = |⃗l| do momento
angular da partícula em relação a O se conserva. Sejam (r, θ) as componentes em coordenadas polares do vetor de
posição r⃗ da partícula em relação à origem O.
(a) Mostre que as componentes em coordenadas polares do vetor velocidade v⃗ da partícula são vr = dr/dt, a velocidade
radial, e vθ = rdθ/dt, a componente transversal da velocidade. Mostre que l = mrvθ.
(b) Mostre que a energia total E da partícula é dada por
E =
1
2
mv2r + Vef (r)
onde
Vef (r) = U(r) +
l2
2mr2
chama-se potencial efetivo para movimento na direção radial (0 > m, que pode ser tratada como centro de forças �xo em O.
2) Usando os resultados do Problema 1 e por analogia com a discussão do movimento unidimensional com energia
E dada num potencial (consulte a seção 6.5 do Moysés):
(a) Calcule, para o sistema de duas partículas em interação gravitacional do Problema 1(c), a distância r0 associada
ao mínimo de Vef (r) e a energia E0 correspondente. Mostre que r0 é o raio da órbita circular da partícula em torno
do centro de forças associada à energia total E0.
(b) Mostre que, para 0 > E > E0, a distância r ao centro de forças oscila entre dois valores rp e ra. Estes valores
correspondem ao periélio e ao afélio da órbita elíptica de energia E (veja a �gura 1(a)). Calcule o semieixo maior a
dessa órbita elíptica e mostre que E só depende de a (veja a �gura 1(b)).
Figura 1: Problema 2
1
(c) Calcule a velocidade da partícula numa órbita elíptica de semieixo maior a, quando se encontra à distância r do
centro de forças.
(d) Se a é o semieixo maior de uma elipse e c a semidistância focal (veja a �gura 1(b)), a razão e = c/a chama-se
excentricidade da elipse. Calcule a excentricidade e da órbita em função de a, E e do momento angular l.
3) O espalhamento Rutherford é a de�exão de uma partícula carregada (massa m, carga Ze) por outra (massa M ,
carga Z ′e), sob ação da força coulombiana. Supomos M >> m, de modo que a partícula de massa M pode ser
tratada como um centro de forças �xo. Para Z e Z ′ de mesmo sinal (ex.: partículas alfa de�etidas por um núcleo)
e sendo a partícula de massa m lançada a partir de uma grande distância da outra, com velocidade inicial v0 e
parâmetro de choque b (veja a �gura 2), a órbita de m é uma hipérbole do tipo ilustrado na �gura 2.
(a) Escreva o potencial efetivo Vef (r) (cf. Probl. 1) em função de b e v0.
(b) Calcule a distância r0 de máxima aproximação entre as duas partículas, como função de b e v0.
Figura 2: Problema 3
4) Uma moeda de massa m está conectada a um barbante de massa desprezível que passa através de um pequeno
buraco numa superfície perfeitamente lisa, como mostra a �gura 3. A moeda está inicialmente descrevendo uma
trajetória circular de raio ri e velocidade tangencial vi. O barbante é puxado lentamente para baixo, reduzindo o
raio da trajetória circular para r.
Figura 3: Problema 4
(a) Qual a velocidade tangencial da moeda quando o raio da trajetória circular é r.
2
(b) Ache a tensão no barbante como função de r.
(c) Calcule o trabalho W realizado pela pessoa ao mover a moeda de ri para rf . Para con�rmar seu resultado, faça
de duas maneiras: pela conservação da energia mecânica e diretamente pelo cálculo do trabalho W = −
∫ rf
ri
T⃗ (r) ·dr⃗.
5) Um bloco de madeira de massa M está repousando sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. O bloco
é preso a uma das extremidades de uma haste de comprimento ℓ. A outra extremidade da haste é pivotada em um
ponto P . Um projétil de massa m está viajando com velocidade v paralela ao plano horizontal e perpendicular à
haste. O projétil atinge o bloco e �ca incorporado na madeira.
Figura 4: Problema 5
(a) Qual a velocidade tangencial do sistema bloco+projétil após a colisão?
(b) Qual é a fração da energia cinética original que é perdida na colisão?
6) Uma bolinha presa a um �o de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com velocidade escalar
constante, mantendo-se a uma distância d = 0,5 m do eixo; o ângulo θ é igual a 30◦ (veja a �gura 5). O �o passa
sem atrito através de um orifício O numa placa e é puxado lentamente para cima até que o ângulo θ passa a ser 60◦.
Figura 5: Problema 6
(a) Qual é o raio da trajetória circular quando θ = 60◦?
(b) De qual fator variou a velocidade escalar (tangencial) da bolinha?
3
7) Duas partículas de mesma massa m estão presas às extremidades de uma mola de massa desprezível, inicialmente
com seu comprimento relaxado ℓ0. A mola é esticada até o dobro desse comprimento e é solta depois de se aplicar
velocidades iguais e opostas (v0,−v0) às partículas, perpendiculares à direção da mola, como mostra a �gura 6. A
velocidade v0 é tal que satisfaz a relação κℓ20 = 6mv20 , onde κ é a constante da mola.
Figura 6: Problema 7
(a) Calcule o módulo da componente transversal vθ da velocidade das partículas quando a mola volta a passar pelo
seu comprimento relaxado.
(b) Calcule o módulo da componente radial vr da velocidade das partículas quando a mola volta a passar pelo seu
comprimento relaxado.
8) Uma esfera sólida de massa M e raio R rotaciona em torno do eixo de rotação z, como mostra a �gura 7 (momento
de inércia I = 2
5MR2 para a esfera). Uma partícula de massa m = M
5 e dimensões desprezíveis, se encontra no
instante t = 0 em um dos polos da esfera (ϕ = 0). Nesta situação da partícula em ϕ = 0, a velocidade angular do
sistema em torno do eixo de rotação é ω0. A partícula se movimenta sobre a superfície da esfera com velocidade
linear constante v em direção ao outro polo (ϕ = π). Repare que a partícula alcança o seu objetivo no instante
t′ = πR/v. Mas atenção, a partícula não escorrega sobre a superfície, o que signi�ca que ela rotaciona junto com a
esfera em torno do eixo z.
Figura 7: Problema 8
(a) Qual a velocidade angular ω do sistema quando a partícula se encontra no outro polo (ϕ = π)?
(b) Qual a velocidade angular ω do sistema quando a partícula se encontra no equador (ϕ = π/2)?
(c) Calcule o deslocamento angular ∆θ realizado pelo sistema no intervalo de tempo que leva a partícula de um polo
4
até o outro. Sua resposta deve depender do raio R e das velocidades v e ω0. Uma dica é observar que o deslocamento
angular realizado quando a partícula sai de um polo e chega ao equador é o mesmo de quando ela sai do equador e
chega até o outro polo. Assim, a seguinte integral pode ser útil:
∫ π/2
0
du
1 + βsin2u
=
(π/2)√
1 + β
.
(d) Calcule a diferença no deslocamento angular causado na esfera de massa M devido a existência da partícula de
massa m, quando ela viaja de um polo até o outro?
9) A densidade da Terra em alguma distância r a partir do centro é ρ =
[
57
4 − 11
(
r
R
)]
× 103 kg/m3 (aproximada-
mente), sendo R o raio da Terra. O momento de inércia para a Terra rotacionando em torno do seu eixo central vale
I = cMR2, onde M é a massa da Terra e c é uma constante numérica. Determine o valor de c. Atenção: Resolva
explicitamente as integrais, ou seja, deixe indicado todos os passos da sua resolução.
10) Calcule o momento de inércia de um cone circular reto homogêneo, de massa M e raio da base R, em relação
ao eixo do cone. Atenção: Sua resposta será da forma I = cMR2, onde c é uma constante numérica. Determine o
valor de c.
11) A polia na �gura 8 pode rotacionar em torno de um eixo sem atrito. A polia consiste de um discode raio R
e massa M = 1,5 kg e seu momento de inércia é dado por I = 1
2MR2. Os blocos A e B são conectados por um
cabo muito leve e inextensível, que não escorrega sobre a polia. O bloco A pode deslizar sobre a mesa, sendo 0,6 o
coe�ciente de atrito cinético entre o bloco A e a mesa. O sistema é então solto do repouso, com o bloco B se movendo
verticalmente. Calcule a velocidade do bloco B após percorrer uma distância vertical de 0,8 m. Dados: a massa do
bloco A é 2,0 kg e a massa do bloco B é 3,0 kg. Deixe indicado de maneira clara todos os passos na resolução.
Figura 8: Problema 11
5
12) Uma haste metálica muito �na, de comprimento d e massa M , pode girar livremente em torno de um eixo
horizontal, que a atravessa perpendicularmente e está a uma distância d/4 de uma das extremidades. A haste é solta
a partir do repouso, na posição horizontal.
Figura 9: Problema 12
a) Calcule o momento de inércia I da haste, com respeito ao eixo em torno do qual ela gira.
b) Calcule o módulo da velocidade angular ω adquirida pela haste após ter caído de um ângulo θ, conforme mostra
a �gura 9.
c) Calcule o módulo da aceleração angular α adquirida pela haste após ter caído de um ângulo θ, conforme mostra
a �gura 9.
13) Um bloco de massa m = 4,0 kg, que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação
θ = 30◦ em relação à horizontal, está ligado por um �o, que passa sobre uma polia (disco) de raio R = 0,30 m e
massa M = 6,0 kg, a uma massa m′ = 3,0 kg suspensa (veja a �gura 10). O sistema é solto do repouso. Considere
o �o muito leve e inextensível, além disso, o �o não escorrega sobre a polia. Considere g = 9,8 m/s2.
Figura 10: Problema 13
a) Calcule a aceleração vertical ay da massa m′. Após o sistema ser solto, a massa m′ desce ou sobe?
b) Calcule a aceleração angular αz da polia.
c) Calcule a tensão no �o para o lado preso ao bloco m′.
d) Calcule a tensão no �o para o lado preso ao bloco m.
e) Para qual valor de ângulo θ = θ′, o sistema permanecerá em repouso após ser liberado? Discuta o comportamento
da massa m′ (sobe ou desce) para as situações θ > θ′ e θ m2 e uma polia que
é um disco de massa M e raio R. O corpo m2 está repousando no chão, e o m1 está a uma distância h acima do
chão quando é liberado do repouso. O eixo da polia não tem atrito. O �o é leve, não estica e não escorrega na polia.
Utilize a segunda lei de Newton para resolver este problema.
Figura 14: Problema 16
(a) Calcule o intervalo de tempo exigido para m1 atingir o chão.
(b) Determine as velocidades dos blocos m1 e m2 quando eles passam um pelo outro.
8
17) Uma bobina de massa M e raio R é desenrolada sob a ação de uma força F⃗ para a direita, como mostra a �gura
15. Assuma que a bobina não escorrega durante o desenrolamento e que pode ser tratada como um cilindro sólido
com momento de inércia ICM = 1
2MR2 (eixo de rotação passando pelo centro de massa).
Figura 15: Problema 17
a) Calcule a aceleração linear do centro de massa em função do módulo da força aplicada e da massa da bobina.
b) Calcule o módulo da força de atrito estático em função da força aplicada. Qual a direção da força de atrito em
relação à �gura 15?
18) Um cilindro sólido homogêneo de massa M e raio R está rotacionando livremente com velocidade angular ω0
em torno de um eixo que passa pelo seu centro (ICM = 1
2MR2). No instante t = 0, o cilindro é colocado sobre um
plano horizontal cujo coe�ciente de atrito cinético é µ, como mostra a �gura 16. Repare que logo após o cilindro
tocar o plano horizontal, a velocidade linear do centro de massa é nula. Devido à interação do cilindro com o plano,
o cilindro rola para a direita, porém deslizando sobre a superfície, até que em um determinado instante de tempo o
deslizamento cessa e o cilindro rola sem deslizar com velocidade linear (e angular) constante.
Figura 16: Problema 18
a) Em relação à �gura 16, qual o sentido da força de atrito cinético após o cilindro ter sido colocado no plano?
b) Calcule o instante de tempo t′, após o cilindro ter sido colocado no plano, em que o deslizamento cessa.
c) Calcule a distância horizontal percorrida pelo cilindro até o deslizamento cessar.
d) Calcule a razão entre a energia cinética �nal (quando o cilindro rola sem deslizar) e a energia cinética inicial,
Kf/Ki.
9
19) Uma roda especí�ca de massa M e raio R é lançada (em t = 0), com velocidade inicial v0 horizontal e sem
rotação inicial, sobre um plano horizontal com coe�ciente de atrito cinético µ, como mostra a �gura 17. A roda
possui um momento de inércia para o eixo central que passa pelo seu centro de massa dado por ICM = 3
4MR2.
Figura 17: Problema 19
(a) Em relação à �gura 17, qual o sentido da força de atrito cinético logo após o lançamento?
(b) Qual é o instante de tempo t′, após o lançamento, que a roda passará a rolar sobre o plano horizontal sem
deslizar?
(c) Qual a distância horizontal total percorrida pela roda até isso ocorrer (rolar sem deslizar)?
(d) Qual é a velocidade vCM da roda quando ela passa a rolar sem deslizar?
(e) Calcule o deslocamento angular total (∆θ) realizado pela roda, desde o lançamento até o instante em que ela rola
sem deslizar.
(f) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito cinético. Para con�rmar os resultados, faça de duas maneiras:
pela conservação da energia mecânica e diretamente do trabalho realizado pela força e pelo torque de atrito cinético.
20) A �gura 18 mostra um giroscópio didático. O dispositivo é construído com uma roda de bicicleta que pode
rotacionar (com velocidade angular constante ω) em torno de um eixo horizontal. O eixo possui comprimento r de
cada lado da roda, ou seja, 2r é a distância entre as extremidades 1O e 2O mostradas na �gura 18. O momento de
inércia da roda é I e sua massa é m. A massa do eixo é desprezível. As extremidades 1O e 2O do eixo são presas a
um suporte que pode rotacionar (com velocidade angular constante Ω) em torno de um eixo vertical que passa pelo
centro da roda. Atenção para o sentido das velocidades ω e Ω.
Figura 18: Problema 20
(a) Encontre expressões para as forças F1 e F2 que o suporte aplica no eixo, nos pontos 1O e 2O, respectivamente.
10
As expressões devem depender das variáveis fornecidas no enunciado, além da aceleração da gravidade g.
(b) Para a situação em que o suporte é travado em sua base, ou seja, o eixo horizontal permanece em repouso, quais
são os valores das forças F1 e F2?
(c) Determine a velocidade angular Ω tal que a força F2 é nula. Qual o valor da força F1 nesta situação?
(d) Para uma velocidade angularΩ com magnitude maior que o valor determinado no item (c), qual o sentido (para
cima ou para baixo) das forças F1 e F2?
Respostas:
2) a) r0 = l2
GMm2 ;
mv2
r0
= GMm
r20
; E0 = −GMm
2r0
; b) E = −GMm
2a ; c) v2 = GM
(
2
r − 1
a
)
; d) e =
√
1 + l2
2ma2E
3) a) Vef (r) =
ZZ′e2
r +
mv2
0b
2
2r2 ; b) r0 = ZZ′e2
mv2
0
×
{
1 +
[
1 +
(
mv2
0b
ZZ′e2
)2
]1/2}
4) a) v =
(
ri
r
)
vi; b) T (r) =
mr2i v
2
i
r3 ; c) W = 1
2mv2i
[(
ri
rf
)2
− 1
]
5) a) vf = mv
M+m ; b) M
m+M
6) a) d′
d = 3−(1/3); b) v′
v = 3(1/3)
7) a) vθ = 2v0; b) vr = 0. Cuidado com resoluções encontradas por aí. Não é porque o torque é nulo que a velocidade
é necessariamente nula! As partículas partem de uma velocidade radial nula e voltam a ter velocidade radial nula na
posição relaxada da mola, porém possuem velocidade radial não nula entre estes dois instantes de tempo, a�nal elas
se deslocaram de uma posição à outra.
8) a) ω = ω0; b) ω = 2
3ω0; c) ∆θ =
√
2
3
(
ω0πR
v
)
; δ∆θ = ω0πR
v
(
1−
√
2
3
)
9) c = 61/180
10) c = 3/10
11) v =
√
2gd(mB−µmA)
mA+mB+(M/2) = 2,2 m/s
12) a) I = (7/48)Md2; b) ω =
√
24g sin θ
7d ; c) α = 12g cos θ
7d
13) a) ay = − g(m′−m sin θ)
m′+m+(M/2) = -0,98 m/s2 (seguindo a referência adotada na �gura). A massa m′ desce; b) αz =
-3,267 rad/s2 (horário); c) T ′ = 26,46 N; d) T = 23,52 N; e) θ′ = 48, 59◦. Se θ > θ′ → ay > 0 → m′ sobe. Se
θ mg
11