Exercícios 5 (equações diferenciais)

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MAT01025 - Lista de Exercícios no. 5 
 
Equações diferenciais 
 
Responda aos Exercícios 1 a 6, sem resolver a equação diferencial. 
 
1. Seja , o saldo em $ de uma caderneta de poupança, ao final de anos, e suponha que 
satisfaça a equação diferencial 
 
 
 
(a) Faça um gráfico de 
 
 
 . 
(b) Sabendo que, após um ano, o saldo será de $ 150.000, o saldo estará crescendo ou 
decrescendo nesse momento? Com qual taxa estará crescendo ou decrescendo? 
(c) Escreva esta equação diferencial sob a forma , e depois, interprete-a em 
palavras. 
 
2. Uma notícia é colocada no ar para uma audiência potencial de 200.000 pessoas. Seja o 
número de pessoas que ouviram a notícia após horas, e suponha que satisfaça o seguinte 
problema de valor inicial: 
 
 
 
 
 
 
(a) Descreva, em palavras, este problema de valor inicial. 
(b) Faça um gráfico de 
 
 
 . 
(c) Marque, neste gráfico, o valor de e explique como irá variar , com o passar do 
tempo. 
(d) Faça um esboço do gráfico da solução, em função de , deste problema de valor inicial. 
 
3. Seja , o montante de capital investido por certa empresa de negócios em função do 
tempo . Suponha que a direção da empresa decida que o nível ótimo de investimento deva ser 
 dólares e que, em qualquer instante de tempo, a taxa de variação do capital investido (também 
denominada taxa líquida) deva ser proporcional à diferença entre e o capital investido. 
(a) Construa uma equação diferencial que descreva a situação. 
(b) Faça um gráfico de 
 
 
 . 
(c) Marque neste gráfico um valor de , e explique como variará com o passar do 
tempo. 
(d) Repita o solicitado em (c), para . 
(e) Faça um esboço do gráfico da solução, em função de , de cada um dos problemas de 
valor inicial correspondentes à condição inicial dada em (c) e em (d). 
 
4. Considere o seguinte problema de valor inicial para : 
 
 
 
 
A partir do gráfico de , e sabendo que , responda: 
(a) É correto afirmar que a solução é decrescente para todo ? 
(b) Faça um esboço do gráfico da solução, em função de , deste problema de valor inicial. 
 
5. Seja , o tamanho de uma população após dias, e suponha que satisfaça o seguinte 
problema de valor inicial: 
 
 
 
 
 
 
(a) Descreva, em palavras, este problema de valor inicial. 
(b) Faça um gráfico de 
 
 
 . 
(c) Marque, neste gráfico, o valor de e explique como irá variar , com o passar do 
tempo. 
(d) Faça um esboço do gráfico da solução, em função de , deste problema de valor inicial. 
(e) Com que rapidez a população estará crescendo quando contiver 3.000 membros? 
 
6. Seja , o número (em milhares) de peixes em um lago, após anos, e suponha que 
satisfaça a seguinte equação diferencial: . Faça o gráfico de , e a partir 
desse gráfico, responda: 
(a) O que ocorre com a população com o passar do tempo, se a população inicial for de 6.000 
peixes? Faça um esboço do gráfico da correspondente solução em função de . 
(b) O que ocorre com a população com o passar do tempo, se a população inicial for de 1.000 
peixes? Faça um esboço do gráfico da correspondente solução em função de . 
(c) O que ocorre com a população com o passar do tempo, se a população inicial for de 5.000 
peixes? Faça um esboço do gráfico da correspondente solução em função de . 
(d) O que ocorre com a população com o passar do tempo, se a população inicial for de zero 
peixe? Faça um esboço do gráfico da correspondente solução em função de . 
 
=================================================================== 
 
7. Uma pessoa faz um empréstimo de $ 100.000 em um banco que cobra 7,5% de juros anuais 
compostos continuamente. Qual deveria ser a taxa anual de pagamentos se o empréstimo deve 
ser pago exatamente em 10 anos? (Suponha que os pagamentos sejam efetuados continuamente 
ao longo do ano.) 
 
8. Planejando sua aposentadoria, uma pessoa efetua depósitos contínuos em uma conta de 
poupança, à taxa de $ 3.600 por ano. Sabendo que a conta de poupança rende 5% de juros 
anuais, compostos continuamente, e sendo zero o saldo inicial, determine quanto dinheiro 
haverá na conta ao final de 25 anos. 
 
9. De acordo com o relatório do Federal House Finance Board, o preço médio nacional de 
residências familiares, em outubro de 2001, era de $ 219.600. Nesta mesma época, a taxa média 
de juros anuais pré-fixada de uma hipoteca convencional de 30 anos era de 6,76% compostos 
continuamente. Uma pessoa comprou uma casa pelo preço médio, pagou 10% do preço no 
momento da compra, e financiou o restante com uma hipoteca de 30 anos com taxa pré-fixada. 
Suponha que a pessoa efetuou pagamentos contínuos, a uma taxa anual constante A. 
(a) Determine a taxa de pagamento anual requerida para quitar o empréstimo em 30 anos. 
(b) De quanto serão os pagamentos mensais? 
(c) Determine o total de juros pagos durante a hipoteca. 
 
10. Vinte anos antes de sua aposentadoria, Kelly abriu uma conta de poupança com rendimentos 
de 5% ao ano compostos continuamente, e contribuiu para essa conta a uma taxa anual de $ 
1.200 durante 20 anos. Por outro lado, dez anos antes de sua aposentadoria, John abriu uma 
conta de poupança que também rendia a uma taxa anual de 5% compostos continuamente, e sua 
taxa anual de contribuição foi de $ 2.400 durante 10 anos. Pergunta-se: No momento da 
aposentadoria, quem tinha mais dinheiro na conta? (Suponha que as contribuições eram feitas 
continuamente.) 
 
 
11. Dada , uma função de demanda de certo bem, onde é a quantidade demandada e é o 
preço de uma unidade, define-se Elasticidade da Demanda como sendo 
 
 
 , onde 
 
 
 
. 
 
(a) Determine a equação diferencial que deve ser satisfeita pela função de demanda, no caso em 
que a elasticidade da demanda for a seguinte função linear do preço: . 
 
(b) Determine a função de demanda no caso (a), sabendo que . 
 
12. Depois de depositar um montante de $ 10.000 em uma conta de poupança que rende 4% de 
juros anuais compostos continuamente, uma pessoa continuou efetuando depósitos durante um 
certo tempo, e, depois, começou a fazer retiradas. Representando por , o número de anos 
depois que a conta foi aberta, tem-se que a taxa anual de depósitos era de (3.000 – 500 ) 
dólares por ano. (Taxas negativas de depósito correspondem a retiradas.) 
 
(a) Faça um gráfico da taxa anual de depósitos em função do tempo. 
 
(b) A partir do gráfico traçado em (a), determine durante quanto tempo a pessoa contribuiu para 
a conta, antes de começar a retirar dinheiro. 
 
(c) Determine a quantidade de dinheiro na conta, anos após o depósito inicial. (Suponha 
que os depósitos e as retiradas eram feitas continuamente.) 
 
(d) Faça um gráfico da solução determinada em (c) e, a partir daí, determine aproximadamente 
após quantos anos, o saldo da conta estará zerado. 
 
 
Respostas 
 
7. Aproximadamente $ 14.214 por ano. 
 
8. Aproximadamente 179.305 dólares. 
 
9. (a) Aproximadamente $ 15.385 por ano. 
 (b) Aproximadamente $ 1.282 por mês. 
 (c) Aproximadamente $ 263.914. 
 
10. Kelly. 
 
11. (a) 
 
 
 . 
 (b) 
 
 
. 
 
12. (b) 6 anos. 
 (c) . 
 (d) Aproximadamente 17,2 anos.