Exercícios 4 (funções várias variáveis)

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MAT01025 - Lista de Exercícios no. 4 
 
Funções de várias variáveis 
 
 
 
1. Seja . Calcule , e . 
 
2. Seja . Calcule: 
(a) ; 
(b) . 
 
3. Sendo a função produção de Cobb-Douglas , 
(a) calcule , e ; 
(b) mostre que, para constante positiva, . 
 
4. Para o cálculo de impostos, o valor de uma propriedade residencial é geralmente muito menor 
que o valor real de mercado. Sendo o valor de mercado, a avaliação utilizada para o cálculo 
dos impostos pode ser apenas 40% de . Representando por , o IPTU cobrado em uma 
comunidade e dado pela função 
 
 
 
 , 
onde é o valor de mercado da propriedade (em dólares), é uma dedução padrão (dependendo 
do tipo de propriedade) e é a alíquota do imposto (dada em unidades de dólares por centenas 
de dólares) do valor líquido corrigido (avaliação utilizada para o cálculo do imposto menos a 
dedução padrão). 
 (a) Determine o IPTU de uma propriedade cujo valor de mercado é de $200.000 e cuja dedução 
padrão é de $5.000, considerando uma alíquota de $2,50 por centena de dólares do valor líquido 
corrigido. 
(b) Determine o imposto devido, se a alíquota for elevada em 20%, subindo para $3,00 por 
centena de dólares do valor líquido. Considere o mesmo valor para a propriedade e a mesma 
dedução padrão. O acréscimo no valor do imposto também é de 20%? 
 
5. Um fazendeiro consegue produzir unidades de um determinado 
produto agrícola, utilizando unidades de mão de obra e unidades de capital (o capital é 
utilizado para o aluguel ou compra da terra, materiais e equipamento). 
(a) Calcule as produtividades marginais de mão de obra e capital quando e . 
(b) Seja um número pequeno. Utilize o resultado do item (a) para determinar o efeito 
aproximado na produção, provocado pela mudança na quantidade de mão de obra de para 
 unidades, enquanto o capital fixo é mantido em 5 unidades. 
(c) Utilize o item (b) para estimar a variação na produção, quando a quantidade de mão de obra 
decresce de 10 para 9,5 unidades, e o capital permanece fixo em 5 unidades. 
 
6. Em uma certa comunidade suburbana, as pessoas que querem chegar à cidade podem fazê-lo 
por trem ou ônibus. A demanda para esses tipos de transporte varia, dependendo do custo. Seja 
 o número de pessoas que irão tomar o ônibus, sendo o preço da passagem do 
ônibus, e o preço da passagem do trem. Por exemplo, se , então 7.000 
pessoas irão tomar o ônibus quando a passagem de ônibus custar $4,50 e o preço da passagem 
do trem for $6,00. Por que se tem 
 
 
 e 
 
 
 ? 
 
7. Seja o preço médio de um aparelho para videocassetes, o preço médio das fitas para 
vídeo, a demanda por aparelhos para videocassete e a demanda por fitas de 
vídeo. Explique por que 
 
 
 e 
 
 
 . 
 
8. Richard Stone determinou que o consumo anual de alimentos nos Estados Unidos era dado 
por 
 , 
onde é a renda agregada real (renda pessoal após a dedução dos impostos, ajustada pela 
inflação), é o preço médio dos alimentos no varejo e é o preço médio de outros produtos e 
serviços no varejo. Determine quais das derivadas parciais de primeira ordem são positivas, 
quais são negativas, e interprete estes fatos. 
 
9. Calcule 
 
 
 , para a função produção , em que corresponde a 
unidades de mão de obra e corresponde a unidades de capital. Explique por que 
 
 
 é sempre 
negativa. 
 
10. Uma companhia produz e vende dois produtos A e B, os quais são vendidos por $10 e $9 
por unidade, respectivamente. O custo para produzir unidades do produto A e unidades do 
produto B é 
 . 
Determine os valores de e de que maximizam o lucro da companhia. 
[OBS.: lucro = (faturamento) – (custo).] 
 
11. Uma companhia produz e vende dois produtos A e B, os quais são vendidos por $ e $ 
por unidade, respectivamente. Seja o custo para se produzir unidades do produto A e 
 unidades do produto B. Mostre que, se o lucro da companhia for maximizado quando , 
 , então: 
 
 
 e 
 
 
 . 
 
12. Determine todos os pontos onde tem um possível máximo ou mínimo 
relativo. Depois, utilize o teste da derivada segunda para determinar, se possível, a natureza de 
 em cada um desses pontos. Se o teste da derivada segunda for inconclusivo, indique este 
fato em sua resposta. 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
 
13. As funções de demanda de dois tipos de bombons A e B de uma loja são dadas por 
 e , onde e representam as quantidades (em milhares) com preços 
correspondentes e , dos bombons A e B, respectivamente. O custo total da empresa é 
dado, em milhares de unidades monetárias, por . Determine o lucro 
máximo da loja, bem como as quantidades e os preços ótimos de seus produtos. 
 
14. A função receita total semanal de uma importadora de dois produtos A e B é dada por 
 
 , onde e são as quantidades dos 
produtos A e B, respectivamente. A função custo total da importadora é 
 . Determine a quantidade ótima de importação dos dois tipos de produtos, de modo 
a maximizar o lucro da empresa e seu valor ótimo. 
 
15. Uma loja vende duas marcas de guaraná, um local e outro nacional, em quantidades e 
(em milhares), respectivamente, sendo a função lucro total dada por 
 
 , em 1000 unidades monetárias. Determine a quantidade 
ótima de cada produto e o valor do lucro ótimo. 
 
 
16. Determine os preços ótimos, as quantidades ótimas e o valor do lucro ótimo de uma 
indústria que fabrica dois tipos de sabonetes A e B, cujas funções de demanda são 
 e , sendo e as quantidades (em milhares) com preços correspondentes e 
 , dos sabonetes A e B, respectivamente. A função custo total da indústria é dada por 
 
 , em 1000 unidades monetárias. 
 
17. A função custo total, para a produção de dois tipos, A e B, de aparelhos de TV, é dada por 
 
 , onde e representam as quantidades (em milhares) 
produzidas de TV tipo A e de TV tipo B, respectivamente. Determine a quantidade ótima de 
produção de cada tipo de TV, de modo a minimizar o custo total de produção. 
 
18. O lucro total semanal de uma indústria (em 1000 unidades monetárias), na produção de 
rádios e aparelhos de CD para automóveis, é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , onde e representam as quantidades produzidas de rádios e aparelhos de CD, 
respectivamente. A produção desses produtos é restrita a 230 unidades semanais. Quantas 
unidades de rádio e aparelhos de CD devem ser produzidas para maximizar o lucro da indústria? 
 
19. Determine a produção ótima de produtos dos tipos 1 e 2 (em 1000 unidades), para 
minimizar a função custo de uma indústria modelada por 
 (em 1000 
unidades monetárias), onde e são as quantidades produzidas (em milhares) dos produtos 1 e 
2, respectivamente, sabendo-se que a restrição de produção é . 
 
20. O departamento de marketing de uma empresa estima que, se forem gastos em publicidade, 
 reais em revistas e reais em outdoors, o valor das vendas mensais será modelado por 
 reais. O orçamento da empresa para investimento em publicidade é de R$ 
60.000. Determine o quanto deve ser gasto em publicidade, em revistas e em outdoors, para a 
maximização das vendas. 
 
21. O custo de produção de sapatos e bolsas é dado por , onde e são as 
quantidades produzidas de sapatos ebolsas, respectivamente. Para minimizar o custo, que 
quantidades devem ser produzidas, sabendo que o total é de 18 unidades? 
 
22. O número de falhas de um sistema de navegação, em função do número e de troca de 
peças de dois subsistemas é dado por . Para minimizar as 
falhas, que número de trocas deve ser feito para cada parte, sabendo que , isto é, um 
subsistema necessita do dobro do número de peças do outro? 
 
23. O custo de produção semanal de dois tipos de pães, de centeio e de aveia, é dado por 
 , onde é o número de pães de centeio e é o número de pães 
de aveia, ambos em 100 unidades. Para minimizar o custo, quantos pães devem ser produzidos 
semanalmente, dado que a produção é de 2.400 unidades? 
 
24. Uma empresa possui duas fábricas que produzem cimento. Se as fábricas A e B produzem 
 e sacos, respectivamente, os custos de fabricação de cada uma são 
 e 
 
 . Se um pedido de 1.100 sacos deve ser entregue, determine como a 
produção deve ser distribuída entre as duas fábricas, a fim de minimizar o custo total de 
produção. 
 
25. O custo de reparo de radares de sistemas de superfície em função do número de inspeções 
 e nos pontos e , respectivamente, é dado por 
 
 
 . Minimize o custo considerando que o número total de inspeções é 10. 
 
 
 
 
Respostas 
 
1) ; ; . 
 
2) (a) ; (b) . 
 
3) (a) ; ; . 
 
4) (a) ; (b) . 
 
5) (a) 
 
 
 
 
 unidades do produto / unidade de mão de obra; 
 
 
 
 
 
 
 unidades do produto / unidade de capital. 
 
 (b) A produção aumentará em unidades. 
 (c) A produção diminuirá em 240 unidades. 
 
8) 
 
 
 , pois ...; 
 
 
 , pois ... ; 
 
 
 , pois .... 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , refletindo o fato de que ... 
 
10) e 
 
12) (a) tem um mínimo local em . 
 (b) tem um máximo local em . 
 (c) tem um mínimo local em . 
 (d) tem um máximo local em e um ponto de sela em . 
 (e) tem um mínimo local em 
 
 
 e um ponto de sela em 
 
 
 . 
 
13. O lucro máximo da loja é de 160,75 em milhares de unidades monetárias, a quantidade de 
bombons do tipo A corresponde a = 9 e de bombons do tipo B corresponde a = 1,5, 
correspondendo aos preços ótimos = 22 e = 7,5 unidades monetárias, respectivamente. 
 
14. A quantidade ótima de é de 200 unidades e a de é de 100 unidades. O lucro ótimo é de 
10.500 unidades monetárias. 
 
15. A quantidade ótima de é de 53, em 1000 unidades, e a de é de 55, em 1000 unidades; o 
lucro ótimo da loja é de 770 mil unidades monetárias. 
 
16. As quantidades ótimas correspondem a = 3 e a = 2, em 1000 unidades, com preços = 
25 e = 24 unidades monetárias; o lucro ótimo da indústria é de 90 em 1000 unidades 
monetárias. 
 
17. As quantidades ótimas, em 1000 unidades, correspondem a = 3 e a = 3; o custo total 
mínimo é de 973 unidades monetárias. 
 
18. Devem ser produzidos 180 rádios e 50 aparelhos de CD. 
 
19. 2000 unidades do produto tipo 1 e 1000 unidades do produto tipo 2. 
 
20. Deve-se gastar R$ 15.000 em revistas e R$ 45.000 em outdoors. 
 
21. Devem ser produzidos 6 sapatos e 12 bolsas. 
 
22. Deve ser feita uma troca de peça em um dos subsistemas e duas trocas no outro: 
 = 1 e = 2. 
 
23. Devem ser produzidos 600 pães de centeio e 1.800 pães de aveia. O custo mínimo é de 564 
unidades monetárias. 
 
24. A fábrica A deve produzir 275 sacos de cimento e a fábrica B, 825 sacos, para ter um custo 
de 908.100 unidades monetárias. 
 
25. O número ótimo de inspeções no ponto é 5, e no ponto é 5, e o custo de reparo é de 
205 unidades monetárias.