Matemática Básica x Raciocínio Lógico 2022

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Matemática Básica x raciocínio lógico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2022 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. ENSINO FUNDAMENTAL. 
2. Raciocínio lógico. 
3. CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS. 
4. FUNÇÕES E Suas aplicações. 
5. LOGARITMOS E EXPONENCIAIS. 
6. TRIGONOMETRIA. 
7. SEQUENCIAS E PROGRESSÕES. 
8. SISTEMAS LINEARES. 
9. MATRIZES E DETERMINANTES. 
10. Análise combinatória. 
11. Binômio de Newton. 
12. Probabilidade. 
13. Polinômios e equações polinomiais. 
14. Números complexos. 
15. Geometria analítica. 
16. Geometria plana. 
17. Geometria espacial. 
18. Estatística e matemática financeira. 
19. Um pouco de cálculo. 
20. Problemas ao redor do brasil. 
 
 
 
 
1. ENSINO FUNDAMENTAL. 
 
1. (Adriano 2007) Assinale a alternativa que representa o último dígito do número 72007 – 32007 . 
 
A) 3 D) 6 
B) 4 E) 7 
C) 5 
Solução: Observe as potências de 7 e de 3, bem como seus algarismos da unidade. 
71 = 7 31 = 3 
7² = 49 3² = 9 
 7³ = 243 3³ = 27 
 74 = 2041 34 = 81 
Desta forma, vamos dividir 2007 por quatro, já que existe uma repetição de 4 em 4. 
 
Como o resto da divisão é 1, então 72007 tem 7 como algarismo da unidade. Isso ocorre, da mesma forma 
com 32007. 
Somando os restos temos que 7 – 3 = 4 e o algarismo da unidade será 4. 
 
(Enem 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza 
do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o 
reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da 
água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão 
ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a 
A) 2. 
B) 4. 
C) 5. 
D) 8. 
E) 9. 
Resposta: C 
 
(Adriano 2021) Juliana possui 60 figurinhas que custam 6,20 cada. Segue abaixo uma das figurinhas da garota. 
 
Sabe-se que ela quer vender suas figurinhas por 5,50 a unidade. Assinale qual será o prejuízo da garota se ela 
vendeu metade das figurinhas? 
a) 71 d) 31 
b) 25 e) 16 
c) 21 
(Adriano 2021) A senha do tablet do doutor João Guilherme é o valor numérico da expressão abaixo. 
𝑎𝑥 + 3𝑥 + 3𝑏 + 𝑏𝑎 
Sabendo que 𝑎 + 3 = 21 e 𝑏 + 𝑥 = 237, marque a alternativa que revela a senha do doutor. 
a) 6781 
b) 2436 
c) 9781 
d) 3798 
e) 4977 
 
(Adriano 2021) Bela está com velocidade de 40 m/s e percorre uma rua durante um tempo de 16 segundos. Quanto 
tempo, aproximadamente, ela demoraria se fosse com velocidade de 90 m/s? 
a) 4 segundos 
b) 7 segundos 
c) 9 segundos 
d) 1 segundo 
e) 3 segundos 
 
(Adriano 2021) Considere x e y inteiros positivos, tais que x + 3y = 12. Qual alternativa revela o valor de 4x + 12y 
– 3? 
a) 90 
b) 45 
c) 41 
d) 37 
e) 39 
Solução: Observe que 4x + 12y = 4x + 4.3y = 4(x + 3y). 
Agora vamos escrever a expressão completa substituído o valor dado de x + 3y. 
4x + 12y – 3 = 4(x + 3y) – 3 = 4.12 – 3 = 48 – 3 = 45. 
Isso revela que a alternativa correta será letra. 
 
 
(CMRJ 2021) Um comerciante adquiriu um fogão, ao custo de R$ 840,00, para revender em sua loja. Ele 
quer vender o fogão por um preço de modo que possa oferecer 20% de desconto ao cliente, sobre o valor 
anunciado na loja, e, ainda assim, obter um lucro de 20% sobre o preço de custo. Então o valor anunciado na 
loja deverá ser: 
A) R$ 880,00 
B) R$ 1.008,40 
C) R$ 1.176,00 
D) R$1.209,60 
E) R$ 1.260,00 
 
Solução: Considere o preço de venda como V. O lucro L é dado pela diferença ente o preço de venda e o 
preço de custo: L = V – C. No caso o comerciante quer L = 20%.C (20% sobre os 840 reais) e que o preço 
anunciado seja de 0,8V (desconto de 20% sobre o preço de venda). Temos: 0,2.(840) = 0,8V – 840 => 168 
= 0,V – 840 => 0,8V = 168 + 840 => V = 1008/0,8 = 1260. O preço anunciado na loja. 
 
 
(Adriano 2006) Dado que 57249 33 =− , podemos dizer que 
27
1
3 +
, vale: 
 
A) 
2
3 D) 
5
4 
B) 
5
3 E) 1 
C) 
4
5 
 
Solução: Usando a identidade a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) com 𝑎 = √7
3
 e 𝑏 = 2. 
(√7
3
)
3
+ 23 = (√7
3
+ 2)(√7
3
² − √7
3
. 2 + 2²) 
7 + 8 = (√7
3
+ 2)(√49
3
− 2√7
3
+ 4) 
15 = (√7
3
+ 2)(5 + 4) 
 
(√7
3
+ 2) =
15
9
=
5
3
 (I) 
Como queremos saber o inverso de I, teremos 
1
√7
3
+2
=
3
5
. 
 
Enem 2014 – Azul – 162 (M) 
Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da 
tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão: 
Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip 
O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. 
 
Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. 
O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo 
total da conta em pelo menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução 
pretendida pelo morador? 
A) 134,1 
B) 135,0 
C) 137,1 
D) 138,6 
E) 143,1 
Resposta: C 
 
Enem 2017 – 2ª Azul – 147 (F) 
Os computadores operam com dados em formato binário (com dois valores possíveis apenas para cada dígito), utilizando 
potências de 2 para representar quantidades. Assim, tem-se, por exemplo: 1 kB = 210 Bytes, 1 MB = 210 kB e 1 GB = 210 
MB, sendo que 210 = 1 024. Nesse caso, tem-se que kB significa quilobyte, MB significa megabyte e GB significa gigabyte. 
Entretanto, a maioria dos fabricantes de discos rígidos, pendrives ou similares adotam preferencialmente o significado 
usual desses prefixos, em base 10. Assim, nos produtos desses fabricantes, 1GB = 103 MB = 106 kB = 109 Bytes. Como a 
maioria dos programas de computadores utilizam as unidades baseadas em potências de 2, um disco informado pelo 
fabricante como sendo de 80 GB aparecerá aos usuários como possuindo, aproximadamente, 75 GB. 
Um disco rígido está sendo vendido como possuindo 500 gigabytes, considerando unidades em potências de 10. 
Qual dos valores esta mais próximo do valor informado por um programa que utilize medidas baseadas em potências de 2? 
a) 468 GB 
b) 476 GB 
c) 488 GB 
d) 500 GB 
e) 533 GB 
Resposta: A 
 
(IFCE 2021) Qual é a quantidade de raízes reais distintas da equação 𝑥4 − 4𝑥² + 𝑦² + 
4
𝑦²
 = 0? 
A) 2 
B) 0 
C) 4 
D) 6 
 
Enem 2017 – 2ª Azul – 142 (M) 
Duas amigas irão fazer um curso no exterior durante 60 dias e usarão a mesma marca de xampu. Uma delas gasta um 
frasco desse xampu em 10 dias enquanto que a outra leva 20 dias para gastar um frasco com o mesmo volume. Elas 
combinam de usar, conjuntamente, cada frasco de xampu que levarem. 
O número mínimo de frascos de xampu que deverão levar nessa viagem é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 9. 
Resposta: E 
Solução: 
 Se a primeira gasta 1/10 do volume do frasco por dia e a segunda 1/20 do volume por dia, então o número 
mínimo de frascos será: 
 
60 . (1/10 + 1/20) = 9 
 
(Adriano 2007) Se no dia 1º de setembro o salário mínimo fosse de R$ 480,00 reais, o sargento Albert depositando R$ 
15.000,00 reais, a uma taxa de 4% ao ano, teria no máximo, quantos salários mínimos no dia lº de dezembro? 
 
A) 17 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32 
 
(UFMG) O valor da expressão E(x) = 
x1
1
1
1
1
1
+
+
+
 para x = 
2
1
 é 
a) 5/8 
b) 1/2 
c) 3/8 
d)que ela está na sala C? 
 
Resposta: D 
 
Enem 2017 -1ª Azul – 175 (M) 
Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma 
hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a 
probabilidade de acusar a cor verde é de 2/3 e a de acusar a cor vermelha é de 1/3. Uma pessoa percorreu a pé toda essa 
avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos. 
Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde? 
 
Resposta: A 
 
1) Enem 2015 – 1ª Azul – 142 (F) 
Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao 
acaso. 
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 
A) 1/100 
B) 19/100 
C) 20/100 
D) 21/100 
E) 80/100 
Resposta: C 
 
Qual a probabilidade de jogarmos duas moedas e as duas serem caras? 
a) 1/9 
b) 1/8 
c) 1/3 
d) 1/4 
e) 1/2 
Solução: P(1ª moeda). P(2ª moeda) = ½ . ½ = ¼. Portanto, a resposta é letra D. 
 
(AFA 2011) Um colecionador deixou sua casa provido de R$ 5,00, disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O 
vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir. 
 
• 5 dif-erentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 cada miniatura; 
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$ 1,00 cada miniatura; 
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 cada miniatura. 
O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é 
a) 15 
b) 21 
c) 42 
d) 90 
 
2) Enem 2014 – Azul – 158 (F) tag: Interpretação de gráficos e tabelas 
Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e 
doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 
1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o 
resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. 
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos 
indivíduos. 
 
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. 
São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado). 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de 
A) 47,5%. 
B) 85,0%. 
C) 86,3%. 
D) 94,4%. 
E) 95,0%. 
Resposta: E 
 
(Adriano 2006) Se f(x) = x2 – 16, podemos encontrar o número de interseções do gráfico de f(x) e g(x) = 2senx. 
Logo o número de interseções é igual a . 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
(Adriano/2021) Considere o ângulo 
2
0

  e que 
4
1
cos = . 
Seja 
gx
xxx
K
cot1
seccos.secsec2
−
−
= . Qual o algarismo da unidade de 2
3
K ? 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
Solução. Desenvolvendo a expressão, temos: 
16
16
1
1
4
1
1
cos
1
.coscos
.
.cos
cos
cos
.cos
cos
cos
1
1
.
cos
1
cos
1
cot1
seccos.secsec
22
22
222
==






==
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
x
senxx
senx
xsenx
senx
senxx
xsenx
senx
xsenx
senxx
xsenx
senx
x
senxxx
gx
xxx
 
 
 
 
7. SEQUENCIAS E PROGRESSÕES. 
 
(EFOMM 2005) Determine as raízes na equação x³ – 9x² + 26x – 24 = 0, sabendo que elas estão em P.A. 
a) S = {1,2,3} 
b) S = {1,3,5} 
c) S = {2,4,6} 
d) S = {2,3,4} 
e) S = { } 
 
(Adriano 2006) Considere a sequência an= 5n, qual o valor da soma dos 3 primeiros termos se *Nn , ou seja n = 1, 2, 3, 
... 
A) 30 D) 25 
B) 35 E) 45 
C) 15 
 
(Adriano 2006) Seja (3, 5, 9, 17, ...) uma seqüência, tal que An é seu termo geral, onde n ≥ 2. Assinale abaixo o item que 
representa seu sexto termo: 
A) 60 D) 67 
B) 61 E) 70 
C) 65 
 
(Adriano 2006) Quando uma progressão aritmética (P.A) possui a1 = 8 e r = 2, qual será o 2008ª termo? 
 
A) 2 D) 4012 
B) 4 E) 4022 
C) 4001 
 
(Adriano 2006) Na progressão (2, ..., 512) foi interpolado 3 termos, então a razão dessa P.G, vale: 
 
A) 0 D) 3 
B) 1 E) 4 
C) 2 
 
(Adriano 2006) Sendo ( 3, 6, 9, ..., a2008) uma progressão aritmética (P.A), assinale o item que representa a soma dos 
algarismos do qüinquagésimo termo? 
 
A) 6 D) 12 
B) 14 E) 22 
C) 41 
 
(Adriano 2006) Seja an = a1 + (n – 1).r a fórmula para calcular o termo geral de uma P.A, então o número de termos que 
possui a Progressão Aritmética abaixo, é um número . 
 
(2, 7, 12, ..., 42) 
 
A) irracional 
B) ímpar 
C) par 
D) menor que 7. 
E) um divisor de 55. 
 
(Adriano 2006) Sendo p = 3 + 8 + 13 + ... uma soma de infinitos números. 
O valor de 
8)4925(
P
 , onde p8 é a soma dos 8 primeiros termos de p é um número. 
A) múltiplo de 71 C) divisor de 225 
B) múltiplo de 35 D) é divisor de 259 
 
(Adriano 2008) Considere a seqüência de quadrados abaixo: 
 
 
 
Seja A a soma de todos os números que estão nos quadrados. 
 
O valor de 
20091004 
A . 
A) 4 D) 15 
B) 5 E) 18 
C) 16 
 
(Adriano 2008) Na soma ...8644348643 22222222 ++−+++−+ 
Vamos obter: 
A) 5/3 C) 5/2 
B) 3/2 D) 4/3 
 
 
 
(Adriano 2009) O prof. Adriano Carneiro propôs o seguinte desafio!!! 
 
“ Simplificando a expressão ..... 84 xxx ” 
Podemos dizer que a expressão simplificada é: 
 
A) x D) x – 3 
B) x – 1 E) x 10 
C) x – 2 
 
(Adriano 2009) Considere a sequência de razão 3 e .33. 21 =bb 
Calcule a soma de seus 6 primeiros termos. 
 
A) 12 + 6 2 D) 39 + 3 
B) 11 + 15 2 E) 37 – 3 
C) 39 – 13 3 
 
(Adriano 2009) A produção de bactérias em um bolo de aniversário obedece a uma função f(t), onde t é a produção de 
bactéria em horas. 
Sabendo que f(1) = 6, f(2) = 12 e f(3) = 36, o número de bactérias que serão produzidas quando t = 2007, é: 
 
A) 2×2007 
B) 3×2007 
C) 2×22007 
D) 3×22007 
 
(Adriano 2009) Uma progressão aritmética possui razão igual a 2. Determine a soma dos 7 primeiros termos dessa P.A, se 
a28 + a20 = 100. 
A) 20 
B) 40 
C) 50 
D) 70 
E) 90 
(Adriano 2008) Encontre a lei de formação de uma seqüência, onde a1 = 5, a2 = 9, a3 = 17, a4 = 33, ... . Marque a alternativa 
que indica a soma dos dígitos de a2008. 
 
A) 9 D) 35 
B) 14 E) 47 
C) 23 
 
(Adriano 2008) Dados que (1, 5, 25, ... , 527) são termos de uma Progressão Geométrica (P.G) tal que o quádruplo da soma 
de suas parcelas adicionada a 1 (Hum), vale exatamente: 
A) 510 – 1 
B) 528 + 2 
C) 527 – 1 
D) 527E) 528 
 
(Adriano 2008) A fórmula m(t) = m0 .e – kt, representa o decaimento de uma substância x. 
Seja 1 ≤ t ≤ 2008 o tempo de decaimento, determinando m(1) × m(2) × m(3) × ... × m(2008), teremos: 
A) m0
2008
 .e – 1008.2009k D) m0
2006
 .e – 1008.2009k 
B) m0
2008
 .e – 1004.2009k E) m0
2006
 .e – 1008.2009k 
C) m0
2006
 .e – 1008.2009k 
 
(Adriano 2008) Sejam ax – 1, bx + 1 e ax + 1 termos consecutivos de uma P.G, tal que bx + 1 é seu termo médio, podemos 
dizer que; se (bx + 1)2 + 1 = (ax – 1)2 o valor de ax.q2.(ax – 1) é equivalente a um número . 
A) irracional. 
B) racional. 
C) quadrado perfeito. 
D) divisor de 7 ou de 8. 
E) múltiplo de 7 ou de 8. 
 
(Adriano 2008) A forma de uma seqüência é PA = 2A + 5, com +A . 
Sejam R e Q, respectivamente, a soma dos r-termos da seqüência e a soma da diferença dos extremos dos q-termos da 
seqüência, encontre o mínimo da equação R – Q = 0, para q = 8. 
(EFOMM 2005) Determine as raízes na equação x³ – 14x² + 56x – 64 = 0, sabendo que elas estão em P.G. 
a) S = { } 1,2,4 
b) S = { } 2,3,4 
c) S = { } 2,3,6 
d) S = { } 2,4,6 ( e ) S = { } 
 
 (EFOMM 2005) Trabalhando x horas por semana um operário ganha R$ 60,00 por semana trabalhada. Em um novo 
emprego, esse mesmo operário, continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana, porém trabalha 4 horas a mais por 
semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada. Determine o valor de x. 
a ) 6 ( b ) 8 ( c ) 10 ( d ) 12 ( e ) 14 
 
(EFOMM 2007) Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$ 
400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Cláudio na B e obtiveram o 
mesmo valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados? 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
(E) 9 
 
(EFOMM 2007) Uma sala de aula do CIABA tem parede conjugada com o ginásio de esportes, ele é retangular e os seus 
outros lados serão reformados por causa de uma infiltração. Para que essa reforma se realize, é necessário isolar os 3 lados 
com 400m de tela de modo a produzir uma área máxima. Então, o quociente de um lado pelo outro é 
(A)0,5 
(B) 1 
(C) 1,5 
(D)2,5 
(E) 3 
 
(EFOMM 2008) Numa Instituição de Ensino, ocorreu uma inspeção de limpeza nos setores de esportes e no alojamento dos 
alunos. Sabendo que o setor esportivo dispõe de um maior número de funcionários e que cinco destes também 
desempenham funções no alojamento, pode-se afirmar que, com um quantitativo de 10 funcionários, a soma dos possíveis 
valores de pessoas no setor esportivo é 
 
(A) 10. 
(B) 11. 
(C) 12. 
(D) 13. 
(E) 14. 
 
(EFOMM 2008) Uma churrascaria cobra, num almoço, R$ 10,00 por pessoa. Após as 15h, esse valor cai para R$ 8,00. 
Estima-se que o custo total de um almoço seja de R$ 6,00 por pessoa. Em certo dia, na churrascaria almoçaram 100 
pessoas; x dos quais permaneceram até as 15h. Assinale a alternativa que representa o intervalo de variação de x a fim de 
que 3003𝑧 = 1
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
 
A única alternativa que indica uma característica do número 5.(x + y + z), é: 
A) primo maior que 7. D) múltiplo de 18. 
B) ímpar menor que 7. E) menor que – 5. 
C) divisor de 20. 
 
Resolva o sistema, se possível, e classifique-o. 





=−−
=+−
=++
35
032
42
zyx
zyx
zyx
 
Solução. Os sistemas foram escalonados. 
 
a) 





=−−
=+−
=++
35
032
42
zyx
zyx
zyx
 
31
21
5
2
LL
LL
−
− 





=+
=+
=++
17116
835
42
zy
zy
zyx
 
32 56 LL − 




−=−
=+
=++
3737
835
42
z
zy
zyx
. Calculando o valor de z, temos: 
1
37
37
=
−
−
=z ; 1
5
5
5
)1(38
5
38
==
−
=
−
=
z
y ; 
134)1(2)1(4
24
=−=−−=
−−=
x
zyx
. 
Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado. 
 
(ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o sistema 





=+−
=+−
=−+
azy
zyx
zyx
2
13
0
 admita infinitas soluções. 
Solução. Escalonando o sistema: 





+−=
−=−
=−+
+






=+−
−=−
=−+
−





=+−
=+−
=−+
a
zy
zyx
LLazy
zy
zyx
LL
azy
zyx
zyx
210
124
0
22
124
0
2
13
0
32
21 . 
Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, 
2
1
=a . 
 
(IFCE 2021) O sistema {
𝑎𝑥 − 𝑦 = 𝑏
𝑥 − 𝑦 = 𝑎
 tem infinitas soluções sempre que 
a) 𝑎 = 𝑏 
b) 𝑎 = 𝑏 = 1 
c) 𝑎 ≠ 𝑏 = 1 
d) 𝑎 = −1 e 𝑏 = 1 
 
Determine o valor de x + y – 4z para o sistema abaixo. 





=++
=++
=++
14633
10422
52
zyx
zyx
zyx
 
 
 
(EFOMM 2008) Durante uma visita turística ao Ver-o-Peso em Belém-Pa, alguns turistas estavam à procura do tão 
conhecido Açaí, fruta típica do Pará, e dos pratos típicos saborosos: tacacá e maniçoba extremamente consumidos na 
região Norte, para degustarem. Um grupo sentou-se a uma mesa e consumiu 9 tigelas de açaí, 7 cuias de tacacá e 6 pratos 
de maniçoba totalizando um valor R$ 52,50. Outro grupo, em outra mesa, consumiu 5 tigelas de açaí, 4 cuias de tacacá e 3 
pratos de maniçoba, totalizando um valor R$ 25,00. Considerando esses valores, então o consumo de 2 tigelas de açaí, 1 de 
tacacá e 3 pratos de maniçoba totaliza um valor de : 
(A) R$ 32,50. 
(B) R$ 41,00. 
(C) R$ 30,50. 
(D) R$ 45,50. 
(E) R$ 50,00. 
 
(IFCE 2021) Na análise e modelagem de um problema chegou-se a 
{
𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 11
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 9
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 7
 
onde as variáveis são números naturais. Sobre o conjunto solução desse problema, marque a única opção correta. 
A) Qualquer um dos seus infinitos elementos é tal que 𝑧 = 5𝑞 + 1. 
B) Tem um total de 15!/2!⋅13! elementos. 
C) É um conjunto não enumerável. 
D) É um conjunto unitário. 
 
(EFOMM 2013) Durante o Treinamento Físico Militar na Marinha, o uniforme usado é tênis branco, short 
azul e camiseta branca. Sabe-se que um determinado militar comprou um par de tênis, dois shortes e três 
camisetas por R$100,00. E depois, dois pares de tênis, cinco shortes e oito camisetas por R$235,00. Quanto, 
então, custaria para o militar um par de tênis, um short e uma camiseta? 
a) R$50,00. 
b) R$55,00. 
c) R$60,00. 
d) R$65,00. 
e) R$70,00. 
(UFRN) A solução do sistema 





=++
=−+
=++
1323
524
6
zyx
zyx
zyx
 é: 
a) (-2, 7, 1) 
b) (4, -3, 5) 
c) (0, 1, 5) 
d) (2, 3, 1) 
e) (1, 2, 3) 
Resp: e) 
(FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema 





=+
=+
=−
104
4
3
zy
zx
yx
, então ABC vale: 
a) -5 
b) 8 
c) -6 
d) -10 
e) 5 
Resp: c) 
 
(Cesgranrio) O sistema 





=+
=+−
=−+
byx
zayx
zyax
1
0
 tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros 
a e b, podemos concluir que: 
a) a = 1 e b arbitrário. 
b) a = 1 e 0b 
c) a = 1 e b = 1 
d) a = 0 e b = 1 
e) a = 0 e b = 0 Resp: d) 
 
(IFCE 2021) No sistema linear 𝜌 abaixo, 𝑡 é um número inteiro. 
ρ: {
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 5
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑡 − 2
 
Sobre as soluções desse sistema é correto concluir que: 
A) Para cada valor 𝑡 ∈ ℤ, 𝜌 possui infinitas soluções. 
B) 𝜌 não possui solução se 𝑡 ∈ {10,17}. 
C) 𝜌 não possui solução para todo 𝑡 ∈ ℤ. 
D) Para cada valor de 𝑡 ∈ ℤ, 𝜌 tem solução única dada por 𝑆 = {(
17−𝑡
21
,
𝑡−10
7
,
5𝑡−1
21
)}. 
 
(FCC – BA) O sistema linear 



=+
=+
12 yxa
ayx
 é impossível se e somente se: 
a) 1a e 1−a 
b) 1=a ou a = –1 
c) 1=a 
d) 1−=a 
e) Ra Resp: d) 
 
9. MATRIZES E DETERMINANTES. 
 
(Adriano 2006) Considere as matrizes 





+
=
xx
x
N
3
39
 e 





=
x
M
1
32
e a função g(x) = 2.det(x) – 3, determinando o 
mínimo que g(M.Nt) pode assumir, temos: 
A) – 3 
B) – 4 
C) 3 
D) 4 
(Adriano 2006) Sejam A e B matrizes 3 × 3, 










=
200
103
151
A e 










=
104
010
251
B . Se C = AB – At, o valor de c22 – c32 é um 
número? 
 
A) primo D) potência de 3 
B) ímpar E) potência de 7 
C) quadrado perfeito 
 
(Adriano 2006) Sejam 




 −
=
21
12
A e 





=
21
43
B , o que podemos dizer do número det ((A – B)2). 
A) é múltiplo de todos os números. 
B) é divisor de todos os números. 
C) é raiz da equação x2 – 7x + 3 = 0. 
D) possui pelo menos 3 divisores. 
E) possui pelo menos 2 divisores. 
 
(Adriano 2007) Dado que a matriz A de 4ª ordem, pode ser resolvida pelas regras de Chió ou Laplace, procure encontrar 
o valor do determinante da matriz A. Onde det A ≠ 0. 














=
0011
1020
3100413
2200801
A 
Agora resolva a equação biquadrada abaixo: 
x4 – 2x2 = det A. 
A) x = 2 
B) x2 = 5 
C) x = 7 
D) x = i 
E) x5 = – 1 
(Adriano 2007) Seja Mt a matriz transposta de 
33
021
203
011











−
−
=M . Se det M ≠ 0, então det (Mt). det (2M). det(M–1) 
é: 
A) 30 
B) 16 
C) – 16 
D) 14 
E) – 14 
 
(Adriano 2007) Seja 





=
53
32
A uma matriz 2 × 2, determine det (A-1) + det (2A). 
A) 4 
B) 5 
C) – 5 
D) – 2 
 
(Adriano 2007) Resolva a equação matricial abaixo, tal que x  0. 
 
1
23
4
15
2008
=
+
−
xx
xx
xx
 
 
A) 1 C) 3 
B) 2 D) 4 
 
(Adriano 2007) Na Matriz ao lado: 














−
−
=
11256427
125169
1543
1111
M 
Temos que 
04
det
3 xx
M
−
= , com x ≠ 0, logo x é um múltiplo de: 
A) 31 
B) 89 
C) 121 
D) 126 
E) 401 
 
(Adriano 2008) Na matriz M de ordem quatro, temos que seu determinante tem valor igual ao algarismo da unidade da 
expressão 
=
+++
2007
1
)765(3
k
kkk , logo vamos obter qual valor para det (3M) – det M t. 
A) 550 
B) 560 
C) 570 
D) 620 
E) 635 
 
(Adriano 2008) Seja M a matriz de ordem 3, discuta a expressão det (M – 1 + M t) + det (2M2) × det M – 1 , se aij = 2i – j. 
 
(Adriano 2008) Sobre as matrizes A e B de ordem n, podemos afirmar que A é simétrica, se A e B são inversíveis. Para A 
= B.I, onde I é a matriz identidade. Responda os itens abaixo: 
A) Calcule det BT. 
B) Se det P – 1 = (det P) – 1, com P matriz de ordem n. Logo λ є R temos que det (A – λI) = det (B – λI). 
Justifique sua resposta! 
 
Resolva a equação: 
 = 
Solução: Calculando os determinantes separadamente, teremos que: 
 xxxxxx
x
xx
535)06()035(
53
0
1
513
10
21
22 −−=+−−+−=− 75
57
1
2 +=
−
x
x
x
 
Fazendo a igualdade, fica: 
2
5
10
10575535 22 −=
−
==−+=−− xxxxx 
Portanto, - 2 é solução da equação dada. 
 
Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo. 
 
a) 0
734
2108
154
=−
−
 b) 0
0134
015
0127
=
−
 c) 0
241
402
531
=
−
 
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem: 
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha. 
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros. 
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4. 
Encontre o determinante de cada matriz. 
 
a) 
0140
3121
5340
2132
−
−
 b) 
1402
1643
4121
3000
−
−
 c) 
1000
1000
4120
3198
−
 
Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina-se alguns 
cofatores. 
a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem: 
1193116]3532)[1(]4810)[2()]7)(5()16)(2)[(1()]16)(3()2)(5)[(2(
14
13
).5(
14
34
)2()1(
14
34
).3(
14
12
).5()2(
014
534
213
).1(
014
312
534
).2(
0140
3121
5340
2132
−=−−=−+−−=−++−+−=
=






 −
−+
−
+






 −
−=
=−
−
+
−
=
−
−
 
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a13 e a23. 
Determine o conjunto verdade das equações. 
Solução. 
a) Aplicando Laplace na linha 1, temos: 
 
 
6
1
6
23
3266]21420).[2(6)]2).(1()14).(()20).().[(2(
6
64
21
).1(
24
41
).(
26
42
).().2(6
2642
421
11
0002
=
−
==+=+−=−−+−+
=







−+
−
−
−
−
−
=
−
−
−
xxxxxx
xx
x
xx
 
(ITA) Se 1det −=










zyx
rqp
cba
, calcule o valor do 










+++
−−−
zyx
zryqxp
cba
333
222
222
det = 12. 
 
Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra 
previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for multiplicado a uma 
linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos: 
a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2). 
b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere. 
c) A 3ª linha foi multiplicada por (3). 
Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no valor: (-1).(-
2).(2).(3) = 12. 
(Unicamp-2006) Sejam dados: a matriz 










−−
−
−−−
=
211
211
111
x
x
xxx
A , encontre o conjunto solução da equação 0)det( =A . 
Solução. Aplicando Laplace na 1ª coluna, temos: 
].84).[1(]1334)[1(
]1)[1(]33)[1(]4).[1(]122)[1(]122)[1(]4).[1(
)]1(1)1.(2).[1()]1(1)1.(2)[1(]4).[1(
211
211
111
−−=−+−+−−=
−−++−−−−−=+−−−++−+−−−−−=
=−−−−+−−−−−−−−=
−−
−
−−−
xxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
x
x
xxx
 
Como essa expressão deve ser nula, temos: 



==
=
=−−=
−−
−
−−−
284
1
0]84).[1(0
211
211
111
xx
x
xx
x
x
xxx
 
OBS. Repare que para x = 1, a 1ª coluna seria toda nula, logo anularia o determinante. Se x = 2, a 2ª coluna seria igual à 
primeira, anulando também o determinante. 
Encontre o valor de x na matriz 




−
=
x
A
3
21
sabendo que det A-1 = 
10
1
− . 
 
Solução. Como 
A
A
det
1
det 1 =− conclui-se que 
10
1
det
1
−=
A
. Logo, det A = - 10. Substituindo esse valor no cálculo do 
determinante de A, temos: 
410610
3
21
−=−=−−= xx
x
 
 
Seja A-1 a inversa de 





−−
−
=
21
49
A . Determine A + A-1. 
Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa. 










−=−=
−=−=




−=+
=+−




=−−
=+−



−=−=
==




=+
=+−




=−−
=+−






=











−−
−
11/222/369
22/9922
9189
049
12
049
11/122/189
22/1122
0189
149
02
149
10
01
.
21
49
bb
dd
db
db
db
db
aa
cc
ca
ca
ca
ca
dc
ba
 
Logo a soma das matrizes será. 






−−
−
=





−
−−
+





−−
−
=+ −
22/5322/21
11/4211/100
22/922/1
11/211/1
21
49
1AA 
(EFOMM 2020) Seja a matriz A 
 
Qual é o valor do determinante da matriz A? 
A) 96 
B) 98 
C) 100 
D) 144 
E) 288 
 
(EFOMM 2009) Qual é o número inteiro cujo produto por 9 é um número natural composto apenas pelo 
algarismo 1 ? 
A) 123459 
B) 1234569 
C) 12345679 
D) 12345789 
E) 123456789 
 
(EFOMM 2013) O código Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 1835, é um sistema de representação que utiliza 
letras, números e sinais de pontuação através de um sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, perturbações 
sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. Sabendo-se que um código semelhante ao código Morse trabalha com duas letras 
pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número de palavras criadas é: 
a) 10. 
b) 15. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 30. 
 
(EFOMM 2014) Suponha um lote com dez peças, sendo duas defeituosas. Testam-se as peças, uma a uma, até que sejam 
encontradas as duas defeituosas. A probabilidade de que a última peça defeituosa seja encontrada no terceiro teste é igual 
a 
a) 1/45. 
b) 2/45. 
c) 1/15. 
d) 4/45. 
e) 1/9. 
(EFOMM 2006) Se o 5º número de uma P.A. de 9 termos é 16, então a soma de seus termos será: 
A) 76 
B) 96 
C) 144 
D) 176 
E) 196 
 
(EFOMM 2006) O centro da circunferência de equação cartesiana x² + y² +16x – 4y + 12 = 0 é o ponto de coordenadas: 
A) (- 8, 2) 
B) (- 16, 4) 
C) (8, - 2) 
D) (4, - 1) 
E) (16, - 4) 
 
De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do 
segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? 
 
(EFOMM 2006) A área do quadrilátero limitado pelas retas y = 2x + 1, x = 2, x = 6 e y = 0 é 
 
A) 40 
B) 36 
C) 32 
D) 30 
E) 28 
 
 
 
 (EFOMM 2006) O valor de b para que a reta y = x + b não intercepte os ramos da hipérbole x 2 – y 2 = 1 é 
A) -1 
B) 0 
C) 1 
D) 2 
E) √2 
 
(EFOMM 2006) Sejam α um arco do 1º quadrante e β um arco do 2º quadrante, tais que cosα = 0,8 e sen α = 0,6. O valor de 
sen (α + β) é 
A) 1,00 
B) 0,96 
C) 0,70 
D) 0,48 
E) 0,00 
 
(EFOMM 2006) O ângulo agudo que a reta x – y = 15 faz com o eixo Ox é 
A) 75º 
B) 60º 
C) 45º 
D) 30º 
E) 15º 
 
(EFOMM 2006) Qual o valor de e, que é um escalar real, em que a parte imaginária do número complexo 
2+𝑖
𝑒+2𝑖
 é nula? 
A) – 4 
B) – 2 
C) 1 
D) 2 
E) 4 
 
 
10. Análise combinatória. 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de 
k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total 
T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: 
T = k1 · k2 · k3 · ... · kn 
Exemplos 
a) Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se 
você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções têm de escolha? 
b) Uma prova de Matemática é constituída por 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta 
cada uma das questões, qual o número total de maneiras de apresentar o gabarito? 
c) Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o número total de possíveis resultados? 
 
(Adriano 2006) O Professor Adriano deseja ir ao Centro da Cidade de Fortaleza. 
Sabendo que existem três tipos de transportes (carro, ônibus e moto) e dois caminhos diferentes. Quantas maneiras 
diferentesele poderá ir ao Centro. 
A) 2 D) 8 
B) 4 E) 10 
C) 6 
 
(Adriano 2006) Dada a equação (x + 1)! – x! = - 5x!, obtemos que a quinta parte da solução elevada a noningentésima, 
nonagésima, sétima potência é igual a: 
A) 1 D) 25 
B) – 1 E) 125 
C) 5 
 
(Adriano 2007) Dados na figura abaixo, quatro pontos colineares ABCD e quatro pontos não-colineares no plano α . 
 
Quantos triângulos distintos podem ser formar com esses oitos pontos. 
 
A) 50 D) 53 
B) 51 E) 54 
C) 52 
 
(Adriano 2006) Determinando o número de Anagramas da palavra AVATAR, vamos obter um número X, então 1+X 
é igual a: 
A) 11 
B) 12 
C) 13 
D) 14 
E) 15 
 
(Adriano 2006) Resolva a equação A2
x + 2 = 3x(x + 1) e determine o valor do quadrado de x2007. 
 
A) zero 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4 
 
(Adriano 2007) Numa questão da lista de treinamento para Olimpíada Cearense de Matemática (OCM), Adrian Lucas 
organizou 9 pontos no quadro-negro, sendo que A, B, C e D pertenciam a reta r e E, F e C pertenciam a reta s. Podemos 
dizer que o número de triângulos que ele formou ligando esses pontos, 
 
A) 78 
B) 79 
C) 81 
D) 83 
 
(Adriano 2006) Resolva a equação 71
1
=+
+
−
CP
x
x
x
x
. Valor de x2 é igual a: 
A) 18 
B) 9 
C) 7 
D) 4 
 
(Adriano 2006) Numa comissão de professores para a elaboração da Olimpíada de Matemática, foi escolhido sempre 1 
professores e 5 diretores. Seja A o número de comissões distintas (de 5 pessoas) que podemos formar com 8 
professores e 6 diretores. Logo, temos: 
A) A = 2000 
B) A + 2 = 2001 
C) A – 2 = 2008 
D) A + 6 = 2008 
E) A – 7 = 2005 
 
(Adriano 2007) Qual dos itens revela o número de anagramas que podemos formar com o nome ADRIAN LUCAS, tais 
que as letras D, U, S fiquem sempre juntas no início do anagrama. 
A) 236 
B) 327 
C) 328 
D) 333 
E) 336 
 
(Adriano 2007) O garoto Adrian Lucas deseja formar números distintos de 4 dígitos, tais que sempre comece com par e 
termine com um ímpar menos 7. 
Quantos números dessa característica esse garoto poderá formar, se ele somente dispõe dos números 0, 1, 5, 6, 7, 8. 
A) 12 
B) 24 
C) 48 
D) 68 
E) 96 
 
(Adriano 2006) Responda os itens abaixo: 
A) Quantas comissões distintas de 3 professores e 2 diretores, podemos formar se fossemos escolher em 
um grupo de quatro diretores e dez professores excluindo o professor W. 
B) Quantos números de três dígitos não divisíveis por 3, podemos formar com o conjunto {2, 5, 7, 8}. 
 
Um baralho tem 52 cartas. Se retirarmos duas cartas, uma de cada vez e sem reposição, quantas 
possibilidades existem? 
Num estádio de futebol há 12 portões de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa: 
a) entrar por um portão e depois sair? 
b) entrar por um portão e depois sair por outro diferente? 
 
43. Marque a alternativa que revela o número correto de anagramas da palavra SONHO. 
a) 24 
b) 46 
c) 120 
d) 60 
e) 58 
Solução: Como existe a letra O repetida, teremos que: 
𝑃5
2 =
5!
2!
=
120
2
= 60 
 
. Leia o poema a seguir. 
De tudo, ao meu amor serei atento 
Antes, e com tal zelo, e sempre, e tanto 
Que mesmo em face do maior encanto 
Dele se encante mais meu pensamento 
No poema abaixo recitado em sala pelo professor Adriano Carneiro, encontramos as palavras atento, tanto 
e encanto. Considerando todas as palavras do poema, qual a chance de um aluno escolher uma palavra e esta ser 
uma das três citadas acima? 
a) 
2
27
 
b) 
3
27
 
c) 
1
29
 
d) 
3
29
 
e) 
2
28
 
 
Assinale o valor da expressão 𝐸 =
6+5!
3!
. 
a) 3 d) 20 
b) 9 e) 21 
c) 15 
Solução: Vamos calcular os fatoriais primeiro. 
𝐸 =
6 + 5!
3!
=
6 + 120
6
=
126
6
= 21 
Alternativa E. 
 
A abertura de certo tipo de mala depende de dois cadeados. Para abrir o primeiro, é preciso digitar sua senha, que 
consiste num número de três algarismos distintos escolhidos de 1 a 9. Aberto o primeiro cadeado, deve-se abrir o 
segundo, cuja senha obedece às mesmas condições da primeira. Nessas condições, assinale o número máximo de 
tentativas necessário para abrir a mala. 
a) 401 
b) 260 
c) 504 
d) 802 
e) 1008 
 
Solução: Um cadeado não depende do outro. Logo, para abrir um cadeado, temos 9 x 8 x 7 possibilidades. Isto é 
504 tentativas possíveis. Para o outro teremos as mesmas condições. Logo o número máximo será 2 x 504 = 1008 
tentativas. 
 
Quantos anagramas da palavra ABACATE possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética? 
a) 17 d) 19 
b) 20 e) 18 
c) 21 
Solução: Inicialmente escreveremos o anagrama BCTAAAE. 
Como as letras B, C e T devem ficar nessa ordem BCT. Vamos calcular a permutação por repetição do anagrama 
acima. 
𝑃5
3 =
5!
3!
=
120
6
= 20 
Portanto, serão 20 anagramas. 
 
(PUC-SP) O total de números naturais de três algarismos distintos que existem no nosso sistema de 
numeração é: 
a) 650 
b) 615 
c) 640 
d) 649 
e) 648 
 
(IFCE 2021) Durante cinco dias, uma equipe de quatro alunos recebeu um exercício por dia, para ser 
resolvido e devolvido. Ficou decidido para essa equipe que para cada exercício, seria sorteado um dos 
quatro alunos, para resolver e devolver este exercício. Ao final dos cinco dias, verificou-se que cada membro 
da equipe ficou responsável por ao menos um exercício. Nas condições apresentadas, quantos são os 
possíveis resultados do sorteio das questões nessa equipe? 
A) 120 
B) 480 
C) 240 
D) 1024 
 
Escrevendo os anagramas da palavra BALDE, quantos são os anagramas que começam com D? 
a) 12 
b) 21 
c) 24 
d) 28 
e) 30 
 
Adrian Lucas tem 18 carinhos de corrida da marca Ferrari. O garoto deseja escolher quatro carros para colocar no 
Grid e simular uma corrida. De quantos modos diferentes ele pode escolher os carros não importando a 
organização dos carros na largada? 
a) 3060 
b) 3040 
c) 2018 
d) 2021 
e) 2020 
Solução: Como o garoto quer fazer escolhas sem importar a ordem. Podemos usar combinação simples de 18 
elementos escolhe 4. Então, 
𝐶18
4 =
18!
4! (18 − 4)!
=
18 ∙ 17 ∙ 16 ∙ 15 ∙ 14!
24 ∙ 14!
= 3060 
Assim, a letra correta será letra A. 
 
(UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. 
Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a 
foto? 
a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720 
(UFR-PE) Qual o número de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo apenas três 
letras) fazendo uso das letras A, B, C, D? 
a) 34 
b) 72 
c) 96 
d) 64 
e) 102 
(IFCE 2021) No interior da região limitada por um cubo de aresta 3√3 m marcam-se vinte e oito pontos distintos. Sobre 
as distâncias possíveis entre dois desses pontos, a única certeza é que: 
A) Todas as distâncias são menores que 3 m. 
B) Exatamente uma dessas distâncias é igual a √3 m. 
C) Ao menos uma dessas distâncias é menor ou igual a 3 m. 
D) Ao menos uma dessas distâncias é menor ou igual a √3 m. 
 
(UFBA) Uma firma deseja imprimir calendários de diversos modelos variando a quantidade de meses em 
cada folha do calendário, desde que o número de meses incluídos em cada folha de determinado modelo 
seja constante. O número de modelos que podem ser feitos é: 
a) 6 
b) 12 
c) 28 
d) 794 
e) 13.345 
 
(MACK-SP) O total de números, formados com os algarismos distintos, maiores que 50.000 e menores que 
90.000 e que são divisíveis por 5, é: 
a) 1.596 
b) 2.352 
c) 2.686 
d) 2.788 
e) 4.032 
 
Em um site de rede social,os usuários podem agrupar os amigos cadastrados de acordo com certos 
critérios. O quadro a seguir apresenta como estão agrupados os amigos cadastrados de certa pessoa. 
 
Grupo Nº de 
amigos 
Trabalho 12 
Escola 10 
Família 9 
Outros 10 
 
 Sabendo que essa pessoa deseja enviar uma mensagem para 10 amigos, sendo 3 do grupo Trabalho, 3 do 
grupo Escola, 3 do grupo Família e 1 do grupo Outros, de quantas maneiras diferentes essa pessoa pode 
enviar a mensagem? 
Solução. Como a ordem das mensagens em cada grupo não é relevante, temos: 
 
22176000)10()84()120()220(10
!6!3
!6.7.8.9
!7!3
!7.8.9.10
!9!3
!9.10.11.121
10
3
9
3
10
3
12 === CCCC 
 
 
(IFCE 2021) Observe a figura a seguir. 
 
Ela representa o Estado do Ceará dividido por suas regiões. Considere a tarefa de colorir esse mapa de modo que cada 
região seja colorida por uma única cor e, além disso, que regiões com a mesma fronteira tenham que ter cores diferentes. 
Qual é a menor quantidade de cores distintas necessárias para a realização dessa tarefa? 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
 
Kílvia Morais é uma advogada de sucesso que deseja contratar alguns funcionários. Em seu novo gabinete ela 
precisa de apenas três assessores. 
 
Sabendo que Kílvia tem uma lista de 16 currículos para a função. De quantos modos distintos ela poderá escolher 
3 candidatos ao cargo? 
a) 60 d) 480 
b) 98 e) 560 
c) 120 
(IFCE 2021) A soma de todos os números inteiros de três algarismos formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4, é 
A) 1110 
B) 6660 
C) 16650 
D) 17760 
Encontre um número natural n tal que n! – 12 . (n – 1)! = 0 
Uma festa possui 12 participantes. Sabendo que cada pessoa cumprimentou uma única vez outra pessoa e todos se 
cumprimentaram, exceto, os casais Aline e Robson, Pedro e Vivi. 
 
A alternativa que revela o número de apertos de mãos realizados na festa é. 
a) 62 d) 26 
b) 64 e) 70 
c) 60 
 
(IFCE 2021) O logotipo de um restaurante é a palavra ALENTO, com cada letra pintada com uma cor distinta. No esquema a 
seguir, vê-se o logotipo, com cada cor identificada por um número. 
 
Para uma promoção, produziu-se guardanapos distintos, distinguíveis uns dos outros apenas pelas cores de cada letra da 
palavra ALENTO. Nesses diferentes guardanapos, as cores nas letras estão reordenadas em relação ao original do logotipo, 
de modo que nenhuma letra estivesse pintada com a cor original. O esquema a seguir exibe o que pode ser visto em um 
desses guardanapos. 
 
Na promoção, o cliente que percebesse essa distinção, em relação ao original, do seu guardanapo, recebia uma sobremesa 
de brinde. Quantas sobremesas, no máximo, esse restaurante ofereceu de brinde? 
A) 6 
B) 265 
C) 720 
D) 120 
 
10. Dois barcos navegam em direções perpendiculares. A trajetória de um deles forma um ângulo de 18º 24’ com a direção 
indicada pela agulha da bússola, indicando o norte. Qual é a medida do ângulo agudo formado pela trajetória do outro 
barco e pela direção indicada pela agulha da bússola? 
a) 41º 36’ 
b) 51º 36’ 
c) 71º 36’ 
d) 75º 36’ 
e) 79º 36’ 
 
(EFOMM 2005) Determine a medida do ângulo interno A no triângulo ABC da figura abaixo, sabendo-se que, BD é a 
bissetriz do ângulo interno B, e CD a bissetriz do ângulo externo C. 
 
( a ) 60º ( b ) 80º ( c ) 100º ( d ) 110º ( e ) 120º 
 
 
 
11. Binômio de Newton. 
 
Sabendo que p ≠ q, resolva o sistema: 





=−






=





2q3p
q
10
p
10
. 
Solução: Como p é diferente de q, temos que p + q = 10. Utilizando a outra equação informada, temos: 
{
𝑝 + 𝑞 = 10 →× (3)
𝑝 − 3𝑞 = 2
⇒ {
3𝑝 + 3𝑞 = 30
𝑝 − 3𝑞 = 2
⇒ 4𝑝 = 32 ⇒ 𝑝 =
32
4
= 8.  𝑆𝑒 𝑝 = 8 ⇒ 𝑞 = 10 − 8 = 2. 
𝐿𝑜𝑔𝑜,  𝑝 = 8 𝑒 𝑞 = 2. 
 
(Adriano/2021) Com base na relação se Stifel, assinale o valor da expressão abaixo. 












+





+





+





10
13
10
12
9
11
8
10
7
10
 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 2 
Solução: Observe a 





=




 −
+





−
−
p
n
p
n
p
n
Stifeldelação
1
1
1
:.Re . 
Desta forma, fica: 
1
10
13
10
13
10
13
10
12
9
12
10
13
10
12
9
11
8
11
10
13
10
12
9
11
8
10
7
10
=












=












+





==












+





+





=












+





+





+





 
 
(Adriano/2021) O inteiro mais próximo do 
k66
0k 2
1
.
k
6
−
=












 está na alternativa? 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 13 
e) 15 
Solução: Transformando a soma em um binômio de Newton, temos que: 
64
729
2
3
1
2
1
)1.(
2
1
.
6
2
1
.
6
6666
0
66
0
=





=





+=











=











−
=
−
=
 k
k
k
k
k kk
 
Como 3,11
64
729
 então a alternativa correta será letra C. 
 
(Adriano 2007) Encontre o termo médio Tm do desenvolvimento 
2007
1






+
x
x 
Marque o item que é igual a 1003!.1004!.Tm. 
A) 2006! D) 2009! 
B) 2007! E) 2001! 
C) 2008! 
 
(Adriano 2007) Se (2 + x)n = 2 + n.x, temos que (1,002)10 é: 
A) 11,78 C) 1,08 
B) 11,98 D) 0,04 
 
(Adriano 2007) Considerando a soma 





++







+







16
18
...
3
18
2
18
 igual L, teremos que o menor primo que divide L 21, é: 
A) 2 D) 7 
B) 3 E) 11 
C) 5 
(Adriano 2007) Calculando o termo médio de 
7
5
2
1 





+ , temos: 
A) 112/125 
B) 125/112 
C) 120/105 
D) 111/105 
 
(Adriano 2007) O polinômio S(x) está escrito na forma 
p
p
p
p
b
Cxx
−
=
−−






−
1
..)3(.)3( 21
21
0
122 , onde b é uma constante. 
Marque o valor numérico de b2 para que a soma dos coeficientes de S(x) seja 1. 
A) – 1 B) – 2 C) 0 D) 2 E) 4 
 
(Adriano 2007) “Em matemática, Binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente 
à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se 
salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou 
foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de 
séries infinitas”. 
 Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%B3mio_de_Newton. Acesso em: 28 out, 2010. 
Considere o binômio ( )20112007 1−ax , determine o valor da soma de seus coeficientes para a = 2. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
(Adriano 2007) Dados α e β coeficientes inteiros do binômio 
10






−
y
x

 , se o termo médio vale – 252, podemos dizer 
que 
5






y
x
é igual a: 
A) 32008 D) (– 1)2009 
B) 22008 E) (– 2)2009 
C) 12008 
 
(Adriano 2006) Na expressão binomial 
21
3 





−
x
y
x , temos que o termo independente de x é igual a 10640. Então o 
número máximo de divisores que y pode possui, é: 
 
A) 0 D) 3 
B) 1 E) 4 
C) 2 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Can%C3%B4nicahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_%28matem%C3%A1tica%29
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%B3mio_de_Newton
(Adriano 2009) Albert Einstein resolveu grandes equações para demonstrar a teoria da relatividade especial. 
 
Se , fosse uma dessas equações, marque o valor numérico de k ½ . 
A) 21002 D) 22003 
B) 21003 E) 22004 
C) 21004 
(Adriano 2008) Na expressão abaixo: ,
1
.
1
18
2
4
18
2
4






+





−=
x
x
x
xE com x ≠ 0. 
Mostre que o termo independente de x é um número múltiplo de 3 maior que 101. 
 
Qual o valor da soma 
k
k k
−
=
 




 100
100
2
4
100
? 
a) 3100 
b) 4100 
c) 5100 – 140 .599 
d) 5100 – 104 .499 
e) 5100 – 105 .599 
 
12. Probabilidade. 
 
Retiradas duas cartas de um baralho de 52 cartas, calcule a probabilidade de: 
a) ambas serem de copas 
b) ambas serem do mesmo naipe 
c) formarem um par 
d) ao menos uma ser figura 
 
(Adriano 2006) Uma caixa A possui 3 esferas X e 4 esferas Y. Outra caixa B tem 7 esferas X e 5 esferas Y. Se escolhermos 
ao acaso uma caixa e dela for retirada uma esfera também ao acaso. A probabilidade de acontecer caixa B e esfera Y, é: 
A) 3/7 D) 7/36 
B) 4/3 E) 12/36 
C) 5/24 
 
(Adriano 2006) O garoto Adrian estava brincando no jardim e fez com um giz o desenho no piso de 
cimento, veja figura ao lado. 
 
Ele resolveu calcular a probabilidade de que ao lançar um dado qualquer, esse possa cair na área cinza. 
Observação: Os traços sob os lados indicam que o lado foi dividido ao meio. 
A) 3/24 
B) 8/48 
C) 7/48 
D) 4/24 
 
(Adriano 2008) Um número é dito palíndromo quando invertida a ordem dos seus dígitos ele não se altera. Logo qual a 
probabilidade de retirarmos de uma caixa com esferas numeradas de 100 a 999, um número palíndromo é 
aproximadamente: 
A) 9% 
B) 10% 
C) 12% 
D) 17% 
E) 90% 
 
(Adriano 2007) Um baralho possui 52 cartas. Adrian Lucas perdeu todas as cartas do naipe de copas. Podemos dizer 
que a probabilidade do garoto puxar duas cartas sucessivamente (sem reposição) e a 1ª cara ser de 
paus, com a 2ª rei, é igual a: 
A) 4/114 
B) 5/114 
C) 3/114 
D) 2/114 
 
(Adriano 2007) Uma urna possui bolas brancas e vermelhas num total de 10 bolas. Se a probabilidade de um aluno 
retirar a bola vermelha é 2/5. Qual a probabilidade de sai bola branca em duas retiradas sucessivas? 
A) 1 
B) 1/6 
C) 1/2 
D) 1/3 
 
(Adriano 2007) Uma urna contém 18 esferas, tais que doze são vermelhas e seis são verdes, a probabilidade de após 
retirarmos duas esferas sem reposição, não termos esferas iguais: 
A) 8/17 D) 5/16 
B) 8/16 E) 8/31 
C) 5/17 
 
(Adriano 2007) Lançam-se quatro vezes um dado com faces nomeadas de A, B, C, D e E. Logo a probabilidade de ocorrer 2 
fases D, é: 
A) 91% 
B) 90% 
C) 88% 
D) 87% 
E) 78% 
 
(Adriano 2008) Chamamos P(B/A) a probabilidade de ocorrer o evento B tendo ocorrido o evento A. 
No quadro abaixo, considere as escolhas A, B e C. 
 
 I. A é a escolha de o número ser par. 
 II. B é a escolha de o número ser menor que Cinco. 
 III. C é a escolha de o número ser múltiplo de 3. 
Assinale o item que representa a P(B/A) + P(C/B). 
A) 20/23 D) 21/23 
B) 22/23 E) 22/20 
C) 21/20 
 
(Adriano 2008) Um baralho foi encontrado com somente 39 cartas, onde apenas as cartas do naipe de ouro estavam 
completas. Sabendo que Simon retirou duas cartas, assinale a alternativa que revela a probabilidade dessas cartas não 
serem ambas de ouro. 
 
A) 12 /19 D) 13 /19 
B) 12 /18 E) 17 /19 
C) 15 /19 
 
(FGV - 2021 – IMBEL) Cargos de Nível Médio. Sorteando aleatoriamente um número do conjunto 
{1, 2, 3, ..., 49, 50}, 
a probabilidade de ele seja múltiplo de 4 ou de 6 é de 
a) 0,26. 
b) 0,28. 
c) 0,30. 
d) 0,32. 
e) 0,40. 
 
(Adriano 2008) Em uma urna existem 3 envelopes de 5.000,00 reais, 6 envelopes de 10.000,00 reais e 4 envelope de 
20.000,00 reais. 
Após a retirada sucessiva de dois envelopes, qual a probabilidade do prof. Adriano Carneiro ter tirado: 
A) 20.000,00 reais. 
B) 25.000,00 reais. 
C) Maior ou igual a 30.000,00 reais. 
 
Enem 2013 - Azul -145 (F) 
Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as 
cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2021-imbel-cargos-de-nivel-medio-reaplicacao
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor 
é 
A) 17/70 
B) 17/53 
C) 53/70 
D) 53/17 
E) 70/17 
Resposta: A 
 
Qual a probabilidade de jogarmos duas moedas e as duas serem caras? 
a) 1/9 
b) 1/8 
c) 1/3 
d) 1/4 
e) 1/2 
Solução: P(1ª moeda). P(2ª moeda) = ½ . ½ = ¼. Portanto, a resposta é letra D. 
 
 
Escolhem-se, sem reposição, duas cartas de um baralho comum com 52 cartas. 
 
Qual a probabilidade das cartas serem cartas de copas? 
a) 2/3 d) 1/17 
b) 7/8 e) 1/15 
c) 6/13 
Solução: Como não há reposição, ficamos com P(1ª copas). P(2ª copas) = 
13
52
. 
12
51
 = 1/17. 
Portanto, a resposta é letra D. 
 
(EFOMM 2015) Uma turma de alunos do 1º ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às 10h20 
e de 10h30 às 12h. As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias 
diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? 
a) 9. 
b) 18. 
c) 36. 
d) 48. 
e) 54 
(EFOMM 2015) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma 
face amarela e uma outra face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do bolso ao 
acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é amarela, a probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha será 
a) 6 1 . ( b ) 3 1 . ( c ) 3 2 . ( d ) 2 1 . ( e ) 2 3 . 
 
Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
 
Enem 2015 – 2ª Azul – 155 (F) 
Durante um jogo de futebol foram anunciados os totais do público presente e do público pagante. Diante da diferença 
entre os dois totais apresentados, um dos comentaristas esportivos presentes afirmou que apenas 75% das pessoas que 
assistiam àquele jogo no estádio pagaram ingresso. 
Considerando que a afirmativa do comentarista está correta, a razão entre o público não pagante e o público pagante 
naquele jogo foi 
A 1/4 
B 1/3 
C 3/4 
D 4/3 
E 3/1 
Resposta: B 
 
Uma urna possui bolas idênticas quanto ao peso e formato. As bolas estão na sequencia numerada de 41 a 120. 
 
Anthony escolhe uma bola ao acaso da urna. Qual a chance do garoto retirar uma bola que seja um número 
quadrado perfeito? 
a) 5% 
b) 7% 
c) 11% 
d) 20% 
e) 12% 
 
(EFOMM 2016) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada 
lançamento, anota-se o número obtidona face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a 
probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b OU que a, b e c sejam primos? 
 
(EFOMM 2016) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é ( a ) 40320. ( b ) 
38160. ( c ) 37920. ( d ) 7200. ( e ) 3600. 
(EFOMM 2017) Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila 
aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro? 
a) 3/31 
b) 1/36 
c) 1/24 
d) 1/12 
e) 1/6 
 
(EFOMM 2017) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais 
consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? 
a) 24 
b) 120 
c) 480 
d) 1920 
e) 3840 
 
(EFOMM 2018) Um programa de auditório tem um jogo chamado “Porta Premiada”, que funciona da seguinte 
maneira: 10- há três portas: uma tem prêmios e duas estão vazias; 2o- o apresentador pede ao convidado que escolha uma 
das portas; 3o- após a escolha, o apresentador abre uma das duas portas não escolhidas. Como ele sabe qual é a premiada, 
abre uma vazia; 4o- depois de aberta uma das portas, ele pergunta ao convidado se deseja trocar de porta; 5o- finalmente, 
abre a porta do convidado para verificar se ganhou ou perdeu. Analisando o jogo de forma puramente probabilística, 
verifique qua(l)(is) das estratégias abaixo tem a maior probabilidade de vencer o jogo. I- Após escolher a porta, não trocá-la 
até o final do jogo. 11- Todas as probabilidades são iguais; não há estratégia melhor que a outra, ou seja, tanto faz trocar 
ou não a porta. Ill- A melhor estratégia é sempre trocar a porta. Sobre as estratégias I, II e III apresentadas, é correto 
afirmar que 
 
a) somente a alternativa I está correta. 
b) somente a alternativa II está correta. 
c) somente a alternativa III está correta. 
d) nenhuma alternativa está correta. 
e) todas as alternativas apresentam circunstâncias com a mesma probabilidade de vencer. 
 
(EFOMM 2018) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento. Analisando 
esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamentos de pratos, a probabilidade de ele não ter acertado 
todos os tiros se tomará maior que a probabilidade de acertar todos? 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
(EFOMM 2018) Em uma festa, sabe-se que cada pessoa tem três amigos, mas que não há três pessoas que sejam 
amigas duas a duas. Qual é, então, a menor quantidade possível de pessoas na festa? 
a) 9. 
b) 8. 
c) 7. 
d) 6. 
e) 4. 
(EFOMM 2019) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas 
sejam retiradas da uma, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três 
bolas retiradas tenham a mesma cor? 
a) 7,44% 
b) 8,33% 
c) 9,17% 
d) 15,95% 
e) 27,51% 
(EFOMM 2019) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Num 
exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo. Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo 
aproximado, qual é a probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente duas vezes? 
a) 4,12% 
b) 18,67% 
c) 24,58% 
d) 27,29% 
e) 40,25% 
(EFOMM 2019) Considere uma loja que vende cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos 
comprar três refrigerantes desta loja? 
a) Dez. 
b) Quinze. 
c) Vinte. 
d) Trinta e cinco 
e) Sessenta. 
(EFOMM 2020) Quantos são os anagramas da palavra MERCANTE que possuem a letra M na Ia posição (no caso, a 
posição de origem), ou a letra E na 2a posição, ou a letra R na 3a posição? 
 
A) 60 
B) 120 
C) 10920 
D) 12600 
E) 15120 
 
(EFOMM 2005) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo A , sabendo que M Mˆ D é o ponto médio de BC . 
 
 
a) 30° 
b) 40° 
c) 45° 
d) 50° 
e) 60° 
 
(EFOMM 2008) 
 
Em determinados lugares, as embarcações de grande porte não podem aproximar-se muito da costa, por isso dispõem de 
pequenos barcos para transportar passageiros. Analisando a figura acima, pode-se observar que ABCDEFGH representa um 
paralelepípedo retângulo e EFGHIJ, um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo (com ângulo reto no vértice H e 
ângulo α no vértice I tal que sen α = 3/5). A superfície externa do barco será pintada com um líquido impermeabilizante. 
Sabe-se que cada metro quadrado da embarcação necessita de 2 litros desse líquido, que custa R$ 2,00. Sabendo que AB = 
3m, AE = 6m e AD = 4m, quanto será gasto na pintura? 
A) 208 reais 
B) 340 reais 
C) 400 reais 
D) 416 reais 
E) 520 reais 
 
(EFOMM 2008) Uma empresa utiliza mão-de-obra terceirizada para carregar os contêineres. A equipe A carrega 
completamente um contêiner em 20 horas; a B, em 23 horas; e a C, estando carregado, o esvazia em 26 horas. Se 
trabalhassem as três equipes juntas, o tempo aproximado que as três firmas juntas levariam para esvaziar um contêiner 
completamente cheio é: 
A) 6 horas e 25 min. 
B) 6 horas e 30 min. 
C) 7 horas e 35 min. 
D) 8 horas e 40 min. 
E) 9 horas e 10 min. 
 
(EFOMM 2007) Uma embarcação destinada à pesca deparou-se com a situação de homem ao mar (DHM), iniciando 
rapidamente uma manobra de resgate, cuja trajetória é dada pela função x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0. A razão da área varrida e 
o comprimento da manobra é 
A) 1,0 
B) 1,5 
C) 2,0 
D) 2,5 
E) 3,0 
(EFOMM 2007) Alguns amigos combinaram viajar e economizaram R$ 900,00. Quando estava próximo o dia da viagem, 
mais duas pessoas entraram no grupo e cada participante pagou a menos R$ 75,00. Quantas pessoas havia no início? 
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 8 
E) 10 
 
(AFA 2011) Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. 
• Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5 reais. 
• Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4 reais. 
• Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou k reais. 
Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu, é correto afirmar que 
a) o guaraná custou o dobro da esfirra. 
b) os três amigos, juntos, consumiram 16 reais. 
c) cada esfirra custou 2 reais. 
d) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu. 
 
 
 
 
 
13. Polinômios e equações polinomiais. 
 
 
(Adriano 2006) O Prof. Adriano Carneiro considerou um polinômio definido por 
P(x) = x2 – 3x + 4. 
Calculando P(– 2), obtemos: 
 
A) 10 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
E) 21 
(Adriano 2007) Sendo x + b = 13 e y + a = 15, podemos afirmar que o valor numérico de P(x) = xy + ax + by + ab, é igual a: 
A) 10 
B) 195 
C) 196 
D) 216 
E) 219 
 
(Adriano 2006) Adrian Lucas usou o teorema do resto para determine o resto de K(x) = x2008 – 2x1004 + 1 por Q(x) = x – 1. 
Qual o valor encontrado pelo garoto? 
A) 0 
B) 1 
C) 4 
D) 6 
E) 21 
 
(Adriano 2006) O polinômio p(x) = 2x – 1, revela número mínimo de movimentos que você deve fazer para passar todos 
os discos da 1ª para 3ª torre(ver figura) sem colocar peças menores embaixo das menores. 
 
 
Se Adrian Lucas fez 1023 movimentos, assinale a alternativa que indica o número (x) de discos. 
A) 9 D) 15 
B) 10 E) 18 
C) 5 
 
(Adriano 2007) Determine a, b, c de modo o polinômio 
P(x) = (2a – 1)x2 + (3a – 2b)x + (4a – c) 
seja identicamente nulo. Assinale o item que representa o valor aproximado de a + b + c. 
A) 0 B) 2 C) 3 D) 6 E) 13 
 
(Adriano 2006) Se – i é raiz de p(x) = x3 – 2x2 – 3i, portanto o quadrado da soma das outras duas raízes é: 
A) 3 – 2i 
B) 3 + 3i 
C) 3 + 4i 
D) 3 – 3i 
 
(Adriano 2006) Assinale o item que corresponde o quociente da divisão de x4 + 3x2 por x – 1. 
A) x3 – x2 + 3x + 1 
B) x3 + x2 + 4x + 4 
C)x3 + x2 – 4x – 4 
D) x3 + x2 – 5x + 1 
 
(Adriano 2006) Sendo a, b e c raízes da equação algébrica 
x3 – 3x – 2 = 0. 
 Assinale o valor de 222 cba ++ . 
 
A) 7 
B) 6 
C) 5 
D) 3 
E) 2 
 
(Adriano 2006) Usando o teorema do resto, quais os possíveis restos da divisão de p(x) = x4 – x3 + 7 por 
x2 – 9. 
A) 31 ou 105 
B) 72 ou 100 
C) 61 ou 115 
D) 31 ou 115 
E) 71 ou 100 
 
(Adriano 2006) Seja 3 uma raiz do polinômio p(x) = x3 – 4x – k, então: 
A) k é múltiplo de 3. 
B) k é múltiplo de 2. 
C) k é divisível por 7. 
D) k é divisível por 11. 
E) k é primo. 
 
(Adriano 2006) Seja P(x) = x2 – 3x + 4k divisível por x – 2. O valor de k– 1 é: 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
Solução: Como a raiz de x – 2 = 0 vale 2, basta fazer P(2) em P(x). 
P(2) = 22 – 3 ∙ 2 + 4k = 0 => 4 – 6 + 4k = 0 => 4k = 2 => k = 2/4 = ½ 
Logo k-1 = (1/2)-1 = 2 
(Adriano 2006) Como p(x) é divisível por x – 2 e x + 2, temos que p(0) é: 
A) par 
B) ímpar 
C) primo 
D) múltiplo de 5 
E) múltiplo de 7 
 
(Adriano 2008) Seja x2008 + 1 = (x + 1).(x2007 – x2006 + x2005 – . . . – x + 1). 
Se x2007= 2007a, x2006= 2006a,... . Calcule o valor algébrico de x + 1, para x ≠ – 1. 
11004
12008
)
+
+
a
a
A 12009) +aD 
12008) +aB 12018) +aE 
11004
12008
)
+
−
a
a
C 
 
(Adriano 2008) Sejam a, b e c raízes do polinômio p(x) tal que p(x) = x3 – 8x + 8, então 
2)(
888
abc
cba ++ 
A) – 2 
B) 0 
C) – 1 
D) 1 
 
(Adriano 2007) O jovem Einstein usou o método de calcular as raízes racionais de uma equação polinomial da forma x4 
+ 3x3 + 2 = 0, podemos afirmar que x assume um valor: 
 
A) inteiro. 
B) ímpar positivo. 
C) natural menor que 7. 
D) primo maior que 7. 
E) múltiplo de 5 maior que 31. 
 
(Adriano 2007) Na expressão polinomial ,
111
2
2 −
+
+
=
−
−
x
B
x
Ax
x
rx 
 o valor numérico de A + B – r é: 
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 
 
(Adriano 2007) O professor Einstein escreveu P(x), um polinômio de raízes reais, tais que i é uma das soluções deste 
polinômio P(x) = x3 + 2x2 + x + 2. 
 Portanto o produto das outras duas raízes, vale: 
A) i D) 5i 
B) 2i E) 7i 
C) 3i 
 
(Adriano 2007) Adrian Lucas tentou resolver o seguinte polinômio x4 + 3x3 + 3x + 1 = 0, o garoto assumiu 
que A = x + x – 1. 
Logo se a1 e a2 são raízes da equação em função de A, calcule 
21
21
aa
aa

+
. 
A) 0,3 
B) 0,5 
C) 0,6 
D) 1,0 
E) 1,5 
 
(Adriano 2007) Sobre o polinômio p, sabemos que 2 e i são suas raízes de multiplicidade 2 e 1, respectivamente. Logo 
se o coeficiente do termo de maior grau é a, podemos dizer que: 
A) a = 1 D) a = 3 
B) a = 2 E) a = 4 
C) a = 7 
 
(Adriano 2007) Usando o método da divisão de polinômio de Descartes, encontre o quociente e o resto da divisão de 
P(x) = x4 – 3x2 + 4 por D(x) = x2 – 2x. 
 
(Adriano 2008) Sobre o polinômio de variável real, K(x) = x3 – rx2 – 2p2x – q3 podemos afirmar que α, β e ω são suas 
raízes. Seja γ a soma dos quadrados das raízes, resolva: 
A) Escreva γ em função de r e p, na forma fatorada. 
B) Usando a desigualdade 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 3√𝑥𝑦𝑧3 . Encontre o menor valor que α(β + ω) + βω pode assumir. 
 
(Adriano 2008) A terna (a, b, c) possui números reais tal que a2 + c2 = 8bc e 2b2 = ac. Se a = – c, prove que (a + 2b – c)2 = 
0. 
 
(Adriano 2008) Sejam m e n inteiros que satisfazem a relação abaixo. 
4
3
4
2
16
13
2 −
+
+
=
−
−
x
n
x
m
x
x 
Determine 48(m + n). 
 
Sendo z = (m2 – 6m + 5) + (m2 – 1)i, determine m de modo que z seja um imaginário puro. 
 
Solução. A parte imaginária deve ser diferente de zero e a parte real deve ser nula. 
Condições para resolver o problema 




+−=
0)Im(
56)Re( 2
z
mmz
. 
Agora basta determinar as raízes da equação abaixo. 



=
=
=−−=−−−=+−−=+−
5
1
0)5).(1(0)5()5(055056 22
m
m
mmmmmmmmmm 
 (Mackenzie) Seja o polinômio P(x)  2x4 – x3 + 1. O valor de P(i5) é: 
a) i + 3 b) i – 3 c) i – 2 d) i e) 2i 
resp – A 
 
(IFCE 2021) O módulo da diferença entre os valores de 𝑧 ∈ ℂ, tais que 𝑧 = √3 − 4𝑖, é 
A) 2 
B) 2√5 
C) 4 
D) 5 
2. (PUC-SP) Os valores de A e B tais que 
x1
B
x
A
xx
x1
2 −
+
−
+
 são, respectivamente: 
a) 2 e 1 b) 3 e 2 c) 1 e 2 d) 2 e 3 e) 1 e 3 
resp – C 
 
(IFCE 2021) A soma dos coeficientes do polinômio 𝑃(𝑥) = (3𝑥 + 7)2021 − 1 é um número que contém 𝑛 
algarismos iguais a 9. Nessas condições, pode-se concluir que: 
A) 𝑛 é um múltiplo de 3. 
B) 𝑛 é um múltiplo de 7. 
C) 𝑛 é um múltiplo de 37. 
D) 𝑛 é múltiplo de 43. 
 
Escreva Z = 2 – 2i forma trigonométrica e calcule Z5. 
Solução. Inicialmente escreveremos Z2 na forma trigonométrica. 
4
7
2
2
2
1
22
2
2
2
2
1
22
2
cos
22844)2()2() 22 



=







−=−=−=
===
==+=−+=
sen
zi 
Logo 





+=
4
7
4
7
cos22

isenz . 
Agora vamos calcular Z5 
( ) 





+=





+=











+





=
4
3
4
3
cos2128
4
35
4
35
cos2128
4
7
.5
4
7
.5cos22 5
5
5 
isenisenzisenz 
 
(FEI) Determine a e b para que a igualdade 
3x2x
5x3
1x
b
3x
a
2 −−
−
=
+
+
−
 seja verificada para todo x real diferente de 
– 1 e 3. 
RESP – a = 1 e b = 2 
 
(IFCE 2021) Sendo 𝑖 a unidade imaginária, e 
𝑆 = ∑ 𝑖2𝑘+1
1010
𝑘=0
 
 a única opção correta para o valor de 𝑆 é: 
A) – 𝑖 
B) 0 
C) 𝑖 
D) 1010 
 
(Cescem – SP) Se os polinômios f  2x3 – (p – 1)x + 2 e g  qx3 + 2x +2 são idênticos, então o valor da 
expressão p2 + q2 é: 
a) 13 
b) 5 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
R B 
(IFCE 2021) Dado um polinômio 𝑃, em que 𝑃(𝑟) = 𝑃(1/𝑟) = 0, os números 𝑟 e 1/𝑟 são chamados de raízes 
recíprocas de 𝑃. No polinômio 
𝑃(𝑥) = 𝑥5 +
11
4
𝑥4 −
55
8
𝑥3 −
55
8
𝑥2 +
11
4
𝑥 + 1. 
a soma dos quadrados das raízes recíprocas, é: 
𝑎) 
483
28
 
𝑏) −
69
8
 
𝑐) 
11
4
 
𝑑) 
341
16
 
 
 
14. Números complexos. 
 
(Adriano 2006) Se 𝑧 = 3 − 𝑖 e 𝑧̅² = 𝑎 − 𝑏𝑖. Como 𝑖² = −1, podemos afirmar que: 
A) 𝑎 + 𝑏 = 1 
B) 𝑎 ∙ 𝑏 = 7,55 … 
C) 𝑎 − 𝑏 = 15 
D) 𝑎 ∶ 𝑏 = −1,33 … 
E) 𝑎 − 2𝑏 = 0 
 
(Adriano 2006) Simon estava resolvendo problemas de números complexos. Quando encontrou o seguinte número 
complexo z = 3 – 4i. Determine a quinta parte do módulo desse número complexo. 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
 
(Adriano 2007) Seja z = (k – i)2 um número complexo com parte imaginária nula e 3
2
3
+=
+
+
p
z
z
, temos que p2007 é 
igual a: 
A) 3 D) 1 
B) – 3 E) zero 
C) – 1 
 
(Adriano 2006) Seja uma função cuja lei de formação é: 
ix
xF
−
=
3
)( 
Encontre F( i2 ) + F(– i ), assinale a parte imaginária da soma. 
A) – i / 2 
B) – i / 3 
C) 1 
D) i3 
 
(Adriano 2006) Efetuando i3016 +− , encontraremos z = a + bi, qual um possível valor para parte real de z. 
A) – 8 D) – 3 
B) – 5E) – 1 
C) – 4 
 
(Adriano 2006) Adrian Lucas resolveu inventar um conjunto /A / maior que o conjunto dos números complexos, daí 
o garoto desenvolveu a seguinte equação: 
 
 
Encontre o valor da unidade imaginária (i) no conjunto /A /. 
A) – 7 B) – 12 C) – 17 D) – 5 E) – 3 
 
(Adriano 2006) Sobre o polinômio p(x) = x6 + 1, podemos afirmar que suas raízes interligadas no plano cartesiano 
formam um. 
A) pentágono. 
B) quadrilátero. 
C) hexágono de 33/2 de área. 
D) hexágono de 3/2 de área. 
E) não forma polígono. 
 
(Adriano 2006) Representando o subconjunto dos complexos E = { z  C / | z – 2i| ≤ 4 } no plano de 
Argand – Gass. Teremos uma figura de área igual a: 
A) π/2 
B) 2π 
C) 3π 
D) 4π 
E) 12π 
 
(Adriano 2006) Seja z = (1 + 2i)3, podemos obter o módulo ρ, então o valor de ρ2 – 5, é: 
A) 12,5 
B) 12,0 
C) 125 
D) 120 
 
(Adriano 2007) Considerando 21003.z = – (1 – i)2007, então o módulo do conjugado de z, é: 
𝑎) 1 
𝑏) 2 
𝑐) 3 
𝑑) √3 
𝑒) √2 
(Adriano 2006) Quando alguma equação exige uma raiz quadrada de um número negativo, a solução é 
impossível dentro do conjunto dos números Reais ℝ. Por isso, os matemáticos idealizarão o número i. 
Chamaremos de α e β respectivamente, os argumentos de 1z e 2z , daí um possível valor de tg (α + β) dos 
números complexos (ℂ), 121 += iz e 112 zzz = , será: 
A) 0 
B) 1 
C) 2/ 3 
D) 4/5 
E) 2/7 
 
(Adriano 2007) Assinale o gráfico que representa o número complexo abaixo: 
 
 
 
 
 
(Adriano 2006) O professor Adriano Carneiro deseja encontrar o módulo do número complexo z, cuja lei de 
formação é z = (cos (π/3) + isen (π/3))2. 
Ajude-o! 
A) 1 C) 3 
B) 2 D) 4 
 
 
(Adriano 2008) Considere a igualdade 
𝑥+𝑦𝑖
5−2𝑖
=
6𝑖
𝑥𝑦
 , encontre o valor de 
𝑥
𝑦
. 
𝑎) 
8
5
 
𝑏) 
7
5
 
𝑐) 
3
5
 
𝑑) 
2
5
 
 
(Adriano 2007) Seja 03/11 
e) 5/11 
R- A 
Enem 2017 – 1ª Azul – 176 (M) tag: porcentagem, razões e proporções 
A energia solar vai abastecer parte da demanda de energia do campus de uma universidade brasileira. A instalação de 
painéis solares na área dos estacionamentos e na cobertura do hospital pediátrico será aproveitada nas instalações 
universitárias e também ligada na rede da companhia elétrica distribuidora de energia. 
O projeto inclui 100 m2 de painéis solares que ficarão instalados nos estacionamentos, produzindo energia elétrica e 
proporcionando sombra para os carros. Sobre o hospital pediátrico serão colocados aproximadamente 300 m2 de painéis, 
sendo 100 m2 para gerar energia elétrica utilizada no campus, e 200 m2 para geração de energia térmica, produzindo 
aquecimento de água utilizada nas caldeiras do hospital. 
Suponha que cada metro quadrado de painel solar para energia elétrica gere uma economia de 1 kWh por dia e cada metro 
quadrado produzindo energia térmica permita economizar 0,7 kWh por dia para a universidade. Em uma segunda fase do 
projeto, será aumentada em 75% a área coberta pelos painéis solares que geram energia elétrica. Nessa fase também 
deverá ser ampliada a área de cobertura com painéis para geração de energia térmica. 
Para se obter o dobro da quantidade de energia economizada diariamente, em relação à primeira fase, a área total dos 
painéis que geram energia térmica, em metro quadrado, deverá ter o valor mais próximo de 
a) 231. 
b) 431. 
c) 472. 
d) 523. 
e) 672. 
Resposta: C 
 
(Adriano 2007) Simplificando bpbpbp +−− .. 22 , temos: 
A) bp + C) ²² bp − 
B) bp − D) )²( bp+ 
Solução: 
²²))(()²()²())(())((.
))((22
bpbpbpbpbpbpbpbpbpbpbpbpbp
bpbpbpbpbpbpbpbpbpbpbp
−=+−=+−=++−−=++−−
+−+−=+−+−=+−− 
 
Outra maneira seria fazer ²)²²(²)²²)(²( bpbpbp −=−− 
 
22222222222 )(²².. bpbpbpbpbpbpbpbpbpbp −=−=−−=−+−=+−− 
 
 
1) Enem 2017 – 1ª Azul – 146 (M) 
Em um teleférico turístico, bondinhos saem de estações ao nível do mar e do topo de uma montanha. A travessia dura 1,5 
minuto e ambos os bondinhos se deslocam à mesma velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A partir da estação 
ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo da montanha. 
Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho A? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
Resposta: B 
 
2) Enem 2017 – 1ª Azul 142 (F) 
Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80cm de 
aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito: 
Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm 
Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm 
Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm 
Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 85 cm 
Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior. 
A caixa escolhida deve ser a de número 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Resposta: C 
 
(Adriano 2021) Sabe-se que 𝑎 + 𝑏𝑘 = 13 e que 𝑘 = 4. Encontre o valor da expressão abaixo. 
𝑘 + 2𝑎 + 2𝑏𝑘 − 1 
A expressão tem valor igual a: 
a) 29 d) 47 
b) 17 e) 69 
c) 39 
Solução: Inicialmente, vamos fatorar a expressão 
𝑘 + 2𝑎 + 2𝑏𝑘 − 1 = 4 + 2(𝑎 + 𝑏𝑘) − 1 = 3 + 2 ∙ 13 = 29 
Logo, alternativa A 
 
3) Enem 2015 – 2ª Azul – 162 (regra de três composta) (M) 
Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de 
trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de 
marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. 
Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga 
horária de trabalho necessita ser ajustada. 
Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda? 
A) 1 hora e 30 minutos. 
B) 2 horas e 15 minutos. 
C) 9 horas. 
D) 16 horas. 
E) 24 horas 
Resposta: C 
 
(Adriano 2021) Júlia tem 15 selos que valem 3,50 cada um. Qual será o prejuízo dela se a garota conseguir vende-
los por 3,00? 
a) 7,50 d) 3,10 
b) 1,30 e) 7,60 
c) 3,00 
Solução: O prejuízo de cada selo será de 0,50. 
Basta agora apenas multiplicar 15 x 0,50 = 7,50. 
Resposta alternativa A. 
 
4) Enem 2016 – 1ª Azul – 141 (D) 
De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo abc/deRfg, como 185/65R15. Essa marcação 
identifica as medidas do pneu da seguinte forma: 
• abc é a medida da largura do pneu, em milímetro; 
• de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em 
milímetro); 
• R significa radial; 
• fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada. 
A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados. 
Podemos montar um quadro com as informações dadas: 
Assim, montamos a regra de três: 
6/x = 96/36 . 5400/21600 
x = 9 
 
O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor 
que há somente pneus com os seguintes códigos: 
175/65R15, 175/75R15, 175/80R15, 185/60R15 e 205/55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus 
disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura. 
Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação 
a) 205/55R15. 
b) 175/65R15. 
c) 175/75R15. 
d) 175/80R15. 
e) 185/60R15. 
Resposta: E 
 
(Adriano 2021) Ana Beatriz possui 18 carinhos de corrida da marca Chevrolet. A garota sabe que o total de 
carrinho vale 180,00 reais. Sabendo que seu amigo Pedro vai comprar metade de seus carinhos. Quanto Ana irá 
receber do amigo? 
a) 30 d) 20 
b) 90 e) 100 
c) 60 
Solução: Sem usar regra de três podemos calcular o preço de cada carinho. 
180/18 = 10,00 
Logo metade será 9 carrinhos. 
9 x 10 = 90,00 
Assim, a letra correta será letra B. 
 
5) Enem 2017 – 2ª Azul – 139 (M) 
Um motorista de um carro flex (bicombustível) calcula que, abastecido com 451 litros de gasolina ou com 60 litros de 
etanol, o carro percorre a mesma distância. 
Chamando de x o valor do litro de gasolina e de y o valor do litro de etanol, a situação em que abastecer com gasolina é 
economicamente mais vantajosa do que abastecer com etanol é expressa por 
 
Resposta: E 
 
 
(Adriano 2007) Sejam m, n e p números inteiros, tais que m e n são pares e p é impar. 
Como n(m2 + mn + np) + p(m2 + mp + np + 2mn) = 238, podemos afirmar que 2m – n + 3p é: 
 
A) primo D) cubo perfeito 
B) múltiplo de 9 E) quadrado perfeito 
C) divisor de 7 
 
 
Enem 2015-1ª Azul – Questão 158 (D) 
A expressão “Fórmula de Young” é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada a dose 
do adulto: 
 
Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é 
de 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas 
identifica que algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 mg de um medicamento Y, cuja 
dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da medicação Y administrada à criança estava correta. 
Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a 
A 15. 
B 20. 
C 30. 
D 36. 
E 40. 
Resposta: B 
 
(Adriano 2007) Resolvendo a equação x2 + x – 2 = 0, vamos obter as raízes iguais a: 
 
A) 1 e 2. D) – 1 e – 2. 
B) 1 e – 2. E) não possui raízes.a uma. 
A) elipse 
B) hipérbole 
C) reta 
D) parábola 
E) circunferência 
 
(Adriano 2008) Determinando uma das equações das assíntotas da hipérbole 9x2 – 3y2 = 1 você vai obter: 
A) y = x 
B) y = – x 
C) y = x2 
D) y = 3√3x 
E) y = 3√2x 
 
(Adriano 2008) Qual o valor da área do polígono formado pelos pontos (0, 5), (0, 7) e (8, 0) no plano xy. 
 
(Adriano 2008) Para x + y = 2 e x2 + y2 ≤ (5/3)2, calcule: 
A) Os valores extremos ξ e γ que x pode assumir. 
B) Encontre o mínimo de ξ + γ – 3. 
 
(Adriano 2008) Usando que √3 ≈ 1,8 e a figura abaixo está contida no plano xOy. 
 
Encontre: 
a) a equação da reta r. 
b) a reta s perpendicular a r e que passa pelo centro do círculo. 
c) A área do triângulo ABC. 
 
 
(Adriano 2008) Na figura, encontre o comprimento da corda BH. 
 
Sendo AB = BC = CD = DE = EF = FG = p e considere CB, AGH os arcos de semi-circunferência. 
 
(EFOMM 2005) A equação x - 3 = 0 no plano representa 
a) um ponto do eixo das abscissas. 
b) uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas. 
c) uma reta perpendicular à reta x + y = 0. 
d) uma reta concorrente à reta x + y = 0. 
e) uma reta paralela à reta y – 3 = 0. 
 
 
16. Geometria plana. 
 
(Adriano 2006) Clara de Assis brincava com um cordão de 72 cm. Com metade desse cordão fez um triângulo isósceles 
de base 10 cm e com o resto um quadrado. 
 
O valor da soma das áreas das figuras em cm2, é igual a: 
A) 100 
B) 105 
C) 110 
D) 120 
E) 125 
 
(Adriano 2006) Na figura, determine a metade do quadrado do comprimento AB. 
 
A) 29 m2 
B) 38 m2 
C) 54 m2 
D) 64 m2 
E) 74 m2 
 
(Adriano 2006) Na figura ao lado, temos E como ponto médio de AB, EC = 5√2 m e AB = 10 m. Determine a razão entre 
as áreas dos triângulos ABC com o quadrilátero AECD. 
 
A) 4 
B) 3 
C) 2 
D) 1 
E) 10 
 
(Adriano 2006) O apótema de um quadrado é dois terços do apótema de um hexágono de lados igual k. Sabendo que 
esses dois polígonos convexos estão inscritos em uma mesma circunferência. Calculando a área do quadrado em função 
de k, temos: 
 
 
 
 
(Adriano 2006) Considere o retrato do professor Adriano Carneiro na figura abaixo. 
 
Se a distância dos olhos ao ponto B vale 14 cm. Determine a superfície ocupada pela imagem, se o triângulo esférico 
vale 12 π cm2. 
A) 68,5 cm2 
B) 78,5 cm2 
C) 98,5 cm2 
D) 88,5 cm2 
(Adriano 2006) Um polígono possui 4 lados a mais que o octógono. Seja ai o ângulo interno desse polígono, se N é o 
número de diagonais do octógono e S a soma dos ai do polígono, temos que S + N, è igual a: 
A) 150 
B) 160 
C) 170 
D) 180 
 
(Adriano 2006) Qual a área da figura abaixo? 
 
A) 74 m2 
B) 24 m2 
C) 14 m2 
D) 28 m2 
E) 27 m2 
 
(Adriano 2006) Considere P um ponto exterior a circunferência de raio 6 cm e AP = 10 cm um segmento tangente. De A 
traça-se uma perpendicular ao diâmetro da circunferência de centro O. 
Como B é a interseção da reta PO, qual dos itens representa o valor aproximado do segmento PB e a área do triângulo 
APO. 
A) 4 cm, 28 cm2 
B) 4 cm, 30 cm2 
C) 5 cm, 40 cm2 
D) 6 cm, 12 cm2 
E) 6 cm, 18 cm2 
 
(Adriano 2006) Um quadrado ABCD de perímetro 20 cm, está circunscrito num círculo de raio R. 
 
Considere um quadrado menor de vértices MNPQ, tais que M, N, P e Q são pontos médios dos lados do quadrado 
maior. Seja O a interseção dos segmentos AC e BD. Calcule a razão entre a área do setor circular PON com a área 
limitada pelo quadrado menor e seu círculo circunscrito. 
A) π/3(π – 3) – 1 
B) π/2(π – 2) – 1 
C) π/4(π – 4) – 1 
D) π/4(π – 2) – 1 
E) π/3(π – 4) – 1 
 
(Adriano 2009) Na figura abaixo, os seguimentos CD e CE são iguais. 
 
Sendo ABC um triângulo equilátero, seja º50ˆ =DEC e α a medida da bissetriz interna do ângulo ,ˆDCB a 
razão 

ba +
 vale: 
A) 10/ 14 D) 9/ 6 
B) 10/ 15 E) 13/ 51 
C) 9 / 5 
 
(Adriano 2006) Na figura ao lado, temos dois quadrados e um círculo de perímetro igual a π metros (m). 
 
 Sejam α, β e ω, respectivamente, o perímetro do quadrado menor, a área colorida e o apótema do hexágono regular 
de vértices M, N, P e Q. Então α(m) + 4β – 4√3ω(m) vale aproximadamente, 
 
A) 0,7 m2 
B) 0,9 m2 
C) 1,10 m2 
D) 1,13 m2 
E) 2,65 m2 
 
(Adriano 2006) Num quadrilátero, temos que AB = 18 cm, BC = 12 cm, seja AD ≥ 3.DC, calcule o menor valor para o 
perímetro do quadrilátero. 
 
A) 41 C) 43 
B) 42 D) 44 
 
(Adriano 2006) Na figura, temos que BDC = 30º e seja DP = r2√3 metros, marque a alternativa que revela o valor da 
área do quadrilátero ABCD, em m2: 
Sugestão: use que (r + 1)(12 + r2) = 4. 
 
A) √2 r D) √4 r 
B) √5 r E) √3 r 
C) √7 r 
 
(Adriano 2007) Sejam x + x – 1 e y + y – 1 as medidas dos catetos de um triângulo, determine o menor valor natural que 
sua hipotenusa pode assumir. 
 
 
A) 2 
B) 3 
C) 5 
D) 7 
E) 11 
 
(Adriano 2006) Adrian Lucas deseja ladrilhar 75% da sala desenhada ao lado, sabendo que cada ladrilho possui forma 
retangular de 8 dm × 10 dm. 
 
Quantos ladrilhos aproximadamente o garoto deve comprar para que no final sobre 25% das peças? 
 
 
 
A) 28 C) 68 
B) 48 D) 88 
 
(Adriano 2007) O valor da área colorida da figura abaixo, é 
 
A) 4 + 2π2 
B) 4 + 2π 
C) π2 + 5 
D) π + 5 
 
(Adriano 2007) Sejam os arcos AC = 140º, BC = 120º e BE = 200º, encontre os valores de a e b, tais que a.b é um 
número? 
 
A) múltiplo de 7 
B) quadrado perfeito 
C) cubo perfeito 
D) divisor de 15 
 
(Adriano 2006) O prof. Adriano Carneiro propôs o seguinte desafio: 
 
 
“Calcule a medida de x na figura se o arco AB vale 100° e x é a soma dos ângulos a, b e c.” 
Marque a alternativa da medida de x. 
A) 208° 
B) 209° 
C) 350° 
D) 360° 
E) 420° 
 
(Adriano 2007) Um triângulo isósceles ABC de base AB, possui um ponto D na bissetriz relativa ao vértice C. Seja H o pé 
da perpendicular em relação ao ponto D, então BCH = 40º, logo qual o ângulo que a bissetriz do vértice A forma com a 
perpendicular, se os segmentos AD e CD são congruentes. 
A) 25° 
B) 32° 21’ 
C) 38° 25’ 
D) 42° 73’ 
E) 51° 17’ 
 
(Adriano 2006) Na figura ao lado, seja ACB o ângulo obtuso do triângulo isósceles de base AB, com C = 120º a 
medida do ângulo ACB. 
 
Determine o semi-perímetro do triângulo e a área do círculo circunscrito ao triângulo. 
 
(Adriano 2006) Dado os ângulos â, ô, î e û do polígono abaixo. 
 
Mostre que î + ô = â + û. 
 
 (Adriano 2006) Calcule a área cinza, sabendo que o quadrado possui lado 8 cm, onde M e L são pontos médios, 
respectivamente, de CD e BC. 
 
Observe também que o arco LM possui a circunferência centrada no ponto C. 
Use π = 3,1 
 
(Enem 2016) Um terreno retangular de lados cujas medidas, em metro, são x e y será cercado para a construção de um 
parque de diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens de um rio. Observe a figura. 
 
Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7 500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados 
do terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados. 
Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem ser relacionados pela equação 
a) 4(2x + y) = 7 500 
b) 4(x+ 2y) = 7 500 
c) 2(x + y) = 7 500 
d) 2(4x + y) = 7 500 
e) 2(2x + y) = 7 500 
Resposta: A 
 
(EFOMM 2005) No hexágono ABCDEF, abaixo, a medida do ângulo ABC é quatro vezes a medida do ângulo EFA. Determine 
a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 
 
a) 70° 
b) 80° 
c) 85° 
d) 100° 
e) 120° 
 
(Enem 2016) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. 
Essa região está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura. 
 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes informativos serão afixados por 
toda a fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de 
um conjunto de desigualdades algébricas. 
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são 
a) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9 
b) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
c) 3y – x ≥ 0; 2y – x ≤ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
d) 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9 
e) 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
Resposta: E 
 
(EFOMM 2005) Tangenciando a reta r encontramos três circunferências tangentes entre si. Determine a medida do raio da 
circunferência menor, sabendo que as outras duas têm raios de medida igual a 5 cm. 
 
a) 1,25 
b) 1,50 
c) 1,75 
d) 1,85 
e) 2 
 
(IFCE 2021) Num círculo de centro 𝐶, o diâmetro 𝐴B mede 12 dm. Um setor 𝑃CQ é tal que o raio 𝐶P forma ângulo de 30° 
com 𝐴B, e o raio 𝐶Q forma ângulo de 60° com 𝐴B; além disso, o único ponto de interseção de 𝐴B com setor é 𝐶. Para a 
produção de uma peça, gira-se o setor 𝑃CQ de 360°, em torno do diâmetro 𝐴B, gerando um sólido. Dentre os intervalos 
exibidos, marque o único que contém todos os possíveis resultados para o volume de uma peça assim construída, em 
decímetros cúbicos. 
A) [225, 850]. 
B) [150, 225]. 
C) [150, 650]. 
D) [225,650]. 
 
(Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme a figura 1. A estrutura 
de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre 
de tecnologia, mas conectada com a natureza. 
 
 
A forma geométrica cujas arestas estão representadas na figura 2 é 
a) tetraedro 
b) piramide retangular 
c) tronco de piramide retangular 
d) prisma quadrangular reto 
e) prisma triangular reto 
Resposta: E 
 
(IFCE 2021) Todas as 6 faces quadrangulares de um prisma regular são congruentes a um quadrado de lado 4 cm. 
Considerando a aproximação de √3 ≈
7
4
, qual é a soma do menor com o maior volume possível para esse prisma, em 
centímetros cúbicos? 
A) 28 
B) 64 
C) 168 
D) 232 
17) Enem 2014 – Azul – 144 
Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com 
adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável 
pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à 
parte da superfície lateral a ser revestida. 
Qual deverá ser a forma do adesivo? 
 
Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 
2cm576 . 
Solução. Utilizando as fórmulas da área e do volume, temos: 
cmRRR
esferaÁrea
ResferaÁrea
12144
4
576
576.4
576)(
.4)(
22
2
====




=
=



 
Observe acima que fizemos a comparação entre a formula e o valor da área da esfera. Agora substituindo R na formula do 
volume da esfera, temos que: 
( ) 3
33
2304576.4
3
)1728(.4
3
)12(.4
3
.4
)( cm
R
esferaV 

===== 
 
(Enem 2017) A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas medidas internas dos cômodos estão 
indicadas. A espessura de cada parede externa da casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m. 
 
Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é calculado conforme 
a área construída da residência. Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída. 
O valor do IPTU desse imóvel, em real, é 
a) 250,00. 
b) 250,80. 
c) 258,64. 
d) 276,48. 
e) 286,00. 
Resposta: E 
 
(EFOMM 2007) Ao ocorrer uma falta de luz, rapidamente, são utilizados geradores (GSA) a diesel. Estes dispõem de duas 
polias, como mostra o desenho acima. Para que a maior polia possa dar uma volta completa, a menor deverá girar 
 
A) 180° 
B) 360° 
C) 600° 
D) 720° 
E) 780° 
 
(Enem 2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo 
formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e 
a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura. 
 
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante. 
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é, 
 
 
 
 
 
Resposta: D 
 
(Enem 2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus 
clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo 
com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior 
é 
A) 1/8 
B) 7/8 
C) 8/7 
D) 8/9 
E) 9/8 
Resposta: D 
 
(Enem 2015) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na 
forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume 
desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. 
Qual é a profundidade, em metros, desse poço? 
A) 1,44 
B) 6,00 
C) 7,20 
D) 8,64 
E) 36,00 
 
(Enem 2017) A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando 
feito em vias urbanas. 
Caminhão entala em viaduto no Centro 
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da 
Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e 
transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto. 
 
Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja 
parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos. 
 
A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a 
carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto. 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu 
vão? 
a) 2,82 
b) 3,52 
c) 3,70 
d) 4,02 
e) 4,20 
Resposta: D 
 
(Enem 2016) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricas de raio R, com volume 
dado por (4/3)π.(R)3. 
Observou-se que haverá redução de custos se forem utiliza dos frascos cilíndricos com raio da base, cujo volume será dado 
por π(R/3)2. h, sendo h a altura da nova embalagem. 
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser 
igual a 
a) 2R. 
b) 4R. 
c) 6R. 
d) 9R. 
e) 12R. 
Resposta: E 
 
(Enem 2014) Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares 
(dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células 
produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro dediagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, 
exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele 
atinja o seu objetivo? 
A) Retirar 16 células. 
B) Retirar 40 células. 
C) Acrescentar 5 células. 
D) Acrescentar 20 células. 
E) Acrescentar 40 células. 
 
GABARITO: 
1) A 
 
 
(Enem 2015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o 
cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e 
todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. 
A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais 
desse bairro. 
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre 
num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x² + y² – 2x – 4y – 31 ≤ 0. 
A fim de avaliar a qualidade do sinal, o proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma 
inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio 
enquanto os outros não. 
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas 
A A e C. 
B B e C. 
C B e D. 
D A, B e C. 
E B, C e D. 
 
(Enem 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será 
construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 
palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características. 
 
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é 
A) 3. 
B) 5. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 10. 
Resposta: A 
 
(Enem 2016) Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se que, se a fonte sonora 
estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a 
parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao 
volume do material do revestimento. 
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte 
sonora, é 
 
Resposta: B 
 
(Enem 2014) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço 
ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a 
corda não chegue a alcançar a posição horizontal. 
 
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no 
topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. 
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função 
A) f(x) = −√2 − 𝑥2 
B) f(x) = √2 − 𝑥2 
C) f(x) = x2 – 2 
D) f(x) = −√4 − 𝑥2 
E) f(x) = √4 − 𝑥2 
 
(Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, 
mostradas na figura. 
 
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% 
maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em 
A) 14,4% 
B) 20,0% 
C) 32,0% 
D) 36,0% 
E) 64,0% 
Resposta: D 
 
(Enem 2017) Pivô central é um sistema de irrigação muito usado na agricultura, em que uma área circular é projetada para 
receber uma estrutura suspensa. No centro dessa área, há uma tubulação vertical que transmite água através de um cano 
horizontal longo, apoiado em torres de sustentação, as quais giram, sobre rodas, em torno do centro do pivô, também 
chamado de base, conforme mostram as figuras. Cada torre move-se com velocidade constante. 
 
Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será instalado em uma fazenda, sendo que as distâncias entre torres consecutivas bem 
como da base à torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende ajustar as velocidades das torres, de tal forma que o pivô 
efetue uma volta completa em 25 horas. Use 3 como aproximação para π. 
Para atingir seu objetivo, as velocidades das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metro por hora, de 
a) 12, 24 e 36. 
b) 6, 12 e 18. 
c) 2, 4 e 6. 
d) 300, 1200 e 2700. 
e) 600, 2400 e 5400. 
Resposta: A 
 
(Enem 2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro 
medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, 
conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe 
fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará 
dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces. 
 
 
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a 
a) 5 - √91/2 
b) 10 – √91 
c) 1 
d) 4 
e) 5 
Resposta: C 
 
(Enem 2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um 
pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser 
plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e entre elas e as laterais do 
terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas 
paralelamente ao lado de maior extensão. 
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é 
A) 4. 
B) 8. 
C) 9. 
D) 12. 
E) 20. 
Resposta: C 
 
(Enem 2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa 
representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, 
respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas. 
 
Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? 
Use 3,0 como aproximação para π. 
A 55,5 
B 60,0 
C 175,5 
D 235,5 
E 240,0 
Resposta: B 
 
(Enem 2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. 
Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma 
mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, 
ficando com consistência cremosa. 
Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1 000 cm3 e, após essa mistura ficar 
cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem 
fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. 
O volume máximo, em cm³, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é 
A 450. 
B 500. 
C 600. 
D 750. 
E 1 000. 
Resposta: C 
 
(Adriano 2007) Seja k um inteiro, onde 2k, k + 1 e 10 são lados de um triângulo. Determine o valor máximo para o 
perímetro desse triângulo. 
A) 40 D) 43 
B) 42 E) 45 
C) 41 
Solução: Vamos usar a desigualdade triangular que diz que a soma de cada dois lados do triângulo sempre será maior 
que o terceiro lado. 
2k + k + 1 > 10 => 3k > 9 => k > 3 
2k + 10 > k + 1 => k > - 9 
10 + k + 1 > 2k => k2k + k + 1 + 10 = 3k + 11 = 3 ∙ 10 + 11 = 30 + 11 = 41. 
 
(Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua 
vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com asespecificações das 
dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais 
a 3 cm, 1 cm e 2 cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será 
A) 6. 
B) 600. 
C) 6 000. 
D) 60 000. 
E) 6 000 000. 
Resposta: E 
 
 
 
17. Geometria espacial. 
 
(Enem 2016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados 
perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de 
maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente 
lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha 
lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2. 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são pontos em que a 
bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. 
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? 
a) 1 
b) 
2√10
5
 
c) 
√10
2
 
d) 2 
e) √10 
Resposta: E 
 
(Adriano 2008) Considere os planos α (horizontal) e  (vertical) da figura ao lado, e as afirmações abaixo. 
 
 
 I) A reta r intersecta o plano α em I. 
 II) s   = I e r  α = M. 
 III) As retas r , s e AC são coplanares. 
 IV) Os pontos B, C e D são colineares. 
Assinale a alternativa que possui apenas afirmações falsas. 
A) I e II D) I, III e IV 
B) II e III E) II e IV 
C) I, II e IV 
 
(Adriano 2010) Responda: 
 X) Dois planos intersectam no espaço quando existir um (a) em comun. 
 XX) Duas retas são reversas quando não estão no mesmo (a) . 
 Completando as lacunas, podemos afirmar que é solução apenas o item: 
A) ponto e reta. D) reta e ponto. 
B) reta e plano. E) plano e reta. 
C) ponto e plano. 
 
(Adriano 2010) Se a área lateral do cilindro equilátero vale 16π cm2. Qual o valor do diâmetro deste cilindro? 
A) 4 
B) 8 
C) 16 
D) 24 
E) 125 
 
(Adriano 2013) A razão entre a área total de um cubo de aresta 4 cm e o volume de uma esfera inscrita nesse cubo, 
vale . Use π = 3 
 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
 
(Adriano 2014) A diagonal de um cubo mede A2, sendo 4 cm a aresta deste cubo quanto vale 
4 3
A ? 
A) 13 
B) 12 
C) 10 
D) 8 
E) 2 
 
(Adriano 2014) Sendo a, 6, 18 números racionais que são, respectivamente, inversamente proporcionais a 2, 3, b, assinale 
a única alternativa que representa valor do número ab + ba. 
A) 1 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
E) 13 
 
(Adriano 2010) Os Alunos do Colégio Luzardo Viana fizeram um estudo da classificação das retas que formam poliedros 
convexos. 
 
Usando seus conhecimentos e considerando a figura ao lado. 
Marque a única alternativa que não possui pares de retas reversas. 
A) AD e BE 
B) ED e AC 
C) HC e DF 
D) AG e BD 
E) EF e EB 
 
(Adriano 2008) O triângulo ABC é retângulo em B, com H sendo a altura relativa ao lado AC. 
 
Se girarmos 60º no eixo AB, obteremos um sólido de vértice A. Daí teremos que o volume desse sólido será, igual a: 
A) 2117 
B) 2179 
C) 2789 
D) 2879 
E) 2197 
 
(Adriano 2010) O garoto Adrian Lucas construiu um hexaedro (cubo) ABCDEFGH de lados iguais a 5 centímetros(cm). Se 
25=AC cm e 33=BI cm, qual a soma dos segmentos AB, AC e FI. 
 
 
A) 255+ 
B) 3225 − 
C) 32255 ++ 
D) 22355 −+ 
E) 35275 −+ 
 
(Adriano 2010) Se o volume de um cone de raio k é 3/4 do volume de uma esfera de diâmetro x e sabendo que a altura 
do cone mede 2x. 
O valor de x2 em função de k, é: 
 
A) 4k2 
B) 2k2 
C) k – 3 
D) 3k – 7 
 
(Adriano 2010) A soma do número de faces, arestas e vértices do poliedro convexo é igual a: 
 
A) 17 D) 21 
B) 18 E) 32 
C) 20 
 
(Adriano 2008) Considere o cone ao lado: 
 
 Se enchermos o cone de água e depois colocarmos 5 esferas de raio 1 cm, teremos o volume de água desperdiçado 
igual Vd . 
Qual o item que representa aproximadamente o volume de água restante nesse cone. 
A) 120,5 π cm3 
B) 123,2 π cm3 
C) 120,3 π cm3 
D) 121,3 π cm3 
 
(Adriano 2007) O prof. Adriano Carneiro desenhou a figura ao lado em uma de suas aulas do 2º ano do Ensino Médio, 
classificando as retas EG e AB como paralelas e AF e DH como concorrentes. 
 
Podemos dizer que a reta CD intersecta o p(ADEG) e os planos p(BCFH) e p(ABCD) são secantes. Qual item abaixo está 
falso? 
 
A) AC // FG D) Os pontos A, H e F são colineares 
B) HF  p(EGHF) E) p(ABCD) é secante a p(CDEF) 
C) BF  p(EGFH) = F 
(Adriano 2007) Um poliedro convexo possui 2 faces hexagonais e 6 faces retangulares, determine o número de vértices 
deste poliedro. 
A) 12 D) 23 
B) 13 E) 31 
C) 22 
 
(Adriano 2008) Chamamos um poliedro convexo de octaedro quando este possui . 
A) três faces. D) oito faces. 
B) quatro vértices. E) nove arestas. 
C) oito vértices. 
 
(Adriano 2007) O número de arestas de um poliedro qualquer é igual ao triplo do seu número de vértices. Sabendo que 
este poliedro possui 18 faces determine o número de vértices. 
A) sete. D) vinte e três. 
B) oito. E) oitenta e dois. 
C) vinte. 
 
(Adriano 2008) Uma abelha rainha entrou na sala ao lado (ver figura) pelo orifício que está representada 
pelo ponto L e percorreu uma distância x como na trajetória abaixo. 
 
Trajetória: L → I → E → caiu no canto A. 
Sejam AC e I, respectivamente, a diagonal do quadrado ABCD e o ponto central do plano p(EFGH), então o 
valor numérico de 22−x , vale em centímetros: 
A) 3 D) 11 
B) 5 E) 13 
C) 7 
 
(Adriano 2008) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do eixo das ordenadas no desenho abaixo. Onde a 
poligonal escura delimita a casca do sólido. 
 
A) 
3
140
 
B) 200 
C) 100 
D) 
3
148
 
E) 
3
147
 
 
(Adriano 2007) Considere um cubo inscrito em uma circunferência (λ) de raio r, sabendo que o volume do cubo é 8m3; 
determinando a área da superfície de uma esfera (em m2) pertencente a (λ). 
A) 5π 
B) 6π 
C) 8π 
D) 10π 
E) 12π 
 
(Adriano 2011) Assinale a alternativa que representa a medida do apótema de uma pirâmide triangular regular cujas 
arestas da base e laterais medem, respectivamente, 10 e 13 centímetros. 
A) 11 
B) 12 
C) 14 
D) 15 
E) 17 
 
(Adriano 2010) Considere um cone cujo diâmetro e a alturasão respectivamente 2 e x metros e que seu volume é 
sempre menor que 30π m3. O número de soluções inteiras da inequação que representa a variação do volume do cone, 
é igual a: 
A) menor que 77 soluções. 
B) maior que 57 soluções. 
C) igual a 47 soluções. 
D) menor que 90 soluções. 
E) menor que 97 soluções. 
 
(Adriano 2008) Considere a figura, determine o volume desse sólido, sabendo que  vale 30º e AB = AC = 8 m. 
Use: BO = 5 m e BV = 13 m. 
 
A) 16 m3. 
B) 24 m3. 
C) 64 m3. 
D) 72 m3. 
E) 81 m3. 
 
(Adriano 2009) Uma pedra preciosa P possui o formato de dois cones idênticos unidos pela base, como indicado abaixo. 
 
Seja 10 centímetros o diâmetro da peça e R$ 13,50 reais o preço de 2 cm3 dessa peça. Qual item representa o valor 
aproximado de P, em reais? 
A) R$ 3.456,70 
B) R$ 3.298,75 
C) R$ 5.298,75 
D) R$ 5.398,15 
 
(Adriano 2008) Seja a área lateral do cone reto igual a 7 cm2 . Determine o volume desse cone sabendo que seu raio é 
metade da altura e que sua geratriz mede 5cm. Use  = 3. 
 
A) 103 C) 115 
B) 113 D) 105 
 
 
(Adriano 2008) Adrian Lucas estava brincando com uma massa de modelar, quando teve a seguinte idéia. 
 
 Construiu uma secção plana que dista 8m do eixo de um cilindro de raio 10m. (ver figura) 
 
Determinando a área (S) da secção destacada, teremos 
que a maior esfera (E) contida neste cilindro possuirá área igual a: 
 
 
 
(Adriano 2007) Seja Aπ2 cm2 o valor da área lateral de um cilindro o qual possui um diâmetro de 2π cm, podemos deduzir 
que a altura deste cilindro 
vale . 
A) o dobro de A 
B) a metade de A 
C) o quadrado de A + 1 
D) o triplo de A2 – 1 
E) a quarta parte de A2A 
 
(Adriano 2006) Considere o poliedro convexo de 2 faces hexagonais e 3 faces quadrangular, é verdade que o número 
de vértices desse sólido é igual a: 
 
A) 2 
B) 3 
C) 5 
D) 7 
E) 9 
 
(Adriano 2008) Na figura abaixo, determine o volume do sólido {ABEF} onde os colchetes indicam que o polígono ABEF 
girou 60° para leste ou oeste. 
 
Use: AB = BC = CD,  = 3 e DÂE = 45°. 
 
A) 
12
2
 
B) 
64
2
 
C) 
128
2
 
D) 
256
2
 
E) 
512
2
 
 
(Adriano 2008) Uma casca de sorvete possui um formato de uma pirâmide hexagonal. Sabendo que a aresta da base mede 
3 cm e sua aresta lateral vale o dobro da medida de sua profundidade, marque o item que revela o valor da aresta lateral, 
área da base e algum volume de sorvete contido nesta casca, respectivamente. 
A) 32 mm, 3
2
27
m2 e 
2
27
dm3 
B) 32 cm, 3
2
27
cm2 e 
2
27
cm3 
C) 33 cm, 3
2
27
m2 e 
2
27
m3 
D) 32 cm, 5
2
37
m3 e 
2
27
m3 
E) 22 dm, 3
2
27
mm e 
2
27
cm3 
(Adriano 2007) Um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento x, largura y e altura z, 
possui um líquido de 1/27 de altura. 
Sabendo que z = 27(x + y), então o máximo valor do volume desse reservatório, é: 
A) 5(x + y)3 
B) 8(x + y)3 
C) 5(x + z)3 
D) 9(x + y)3 
E) 5(y + z)3 
(Adriano 2007) Uma pirâmide de base pentagonal regular possui um volume que é igual a cinco sextos do quadrado da 
altura (h2). 
Sabendo que a razão entre o lado (l) e a altura (h) dessa pirâmide vale raiz cúbica de três, se calcularmos o apótema da 
base, vamos obter 
 da raiz cúbica de quatro. 
 
A) metade 
B) o dobro 
C) o quádruplo 
D) o sêxtuplo 
E) o n – upla 
(Adriano 2009) Sabendo que P1 e P2 serão encaixados. 
 
Se as diagonais de P1 valem 10 cm, BC = 6 cm e o sólido P2 possui altura e diâmetro exatamente igual ao sólido P1, 
identifique a alternativa que representa aproximadamente o volume do ar contido dentro de P1 que é externo a P2, para 
que a coroa circular formada entre os círculos que contem os pontos DC e W possua uma área de 7π cm2. 
 
A) 0,127 l 
B) 0,135 l 
C) 1,327 l 
D) 1,338 l 
E) 2,361 l 
 
(Adriano 2007) Considere d, m1 e m2, respectivamente, a diagonal da base e os apótemas laterais de uma pirâmide 
retangular de dimensões 6 e 2 metros. Adrian Lucas determinou a soma dos quadrados de d, m1 e m2, quando a aresta 
lateral for igual a 5 metros, logo ele obteve um número que é divisível por . 
A) 14 
B) 60 
C) 35 
D) 8 
E) 9 
 
(Adriano 2007) Considere um paralelepípedo ABCDEFGH, onde I é o ponto médio de EF, AB = 6 cm, BC = 4 cm e CG = x 
cm, Calcule o comprimento da poligonal AIGBD para que o volume seja 96 cm3. 
Use: √2 = 1,4 e √13 = 3,6 
A) 21,8 cm 
B) 22,8 cm 
C) 31,8 cm 
D) 32,8 cm 
 
(Adriano 2007) Se a órbita do Planeta Terra fosse tão excêntrica, teríamos que ver o tamanho aparente do Sol mudar ao 
longo do ano. Quando próximo dele, deveríamos vê-lo enorme (e morreríamos de calor) e quando distante dele o veríamos 
pequeno e morreríamos congelados (os dois hemisférios da Terra simultaneamente). Além disso, quando próximo teríamos 
marés enormes e quando distante teríamos somente as marés devido à atração gravitacional da Lua. 
 Sendo 32π km2 a superfície do “Hemisfério Norte” do Planeta Ky, podemos afirmar que o diâmetro de sua superfície 
vale. 
A) 1000 m. 
B) 2000 m. 
C) 6000 m. 
D) 8000 m. 
E) 12000 m. 
(Adriano 2007) Em um icosaedro foi marcado todos os seus vértices com as letras α, β e ω. Sabendo que Adrian Lucas 
escolheu três vértices ao acaso, qual a probabilidade dessa escolha ser um triângulo de vértices α, β e ω, se existirem 6 
vértices α, 8 vértices β e 6 vértices ω. 
A) 5/36 
B) 5/37 
C) 7/36 
D) 8/45 
E) 8/49 
 
(Adriano 2006) Considere o sólido ao lado: 
 
Seja ⌊3,21⌋ = 3 a função que calcula o valor inteiro, sabendo que o volume desse sólido é 𝑉 = 21√3 e @ = 3h/2, 
determine o valor de ⌊@²⌋. 
 
(Adriano 2006) Considere a figura abaixo: 
 
 Efetue o cálculo do volume da revolução de S e do triângulo no mesmo sentido indicado na figura, sendo a área 
escura S igual a 9π m2. 
 
(Adriano 2009) Considere as medidas a, b e c as arestas de um paralelepípedo retângulo, definidas por a = 2x2 – 1, b = 
x2 – 5 e c = 6 – 3x2. 
A) Determine o número de soluções da equação a3 + b3 + c3 = 378. 
B) Calcule um possível valor para o volume desse paralelepípedo. 
Use x > 0. 
(Adriano 2009) Quantos litros podemos armazenar no cilindro cujo raio vale 3 cm e sua altura é o triplo do diâmetro? 
(Considere que π = 3,14 e 1 dm3 = 1 l) 
 
(Adriano 2009/ Modificada em 2014) Quantos litros, aproximadamente, podemos armazenar no cilindro cujo raio vale 3 
cm e sua altura é o triplo do diâmetro? 
(Considere que π = 3,14 e 1 dm3 = 1 l) 
A) um litro 
B) meio litro 
C) três litros 
D) cinco litros 
E) mais de dez litros. 
 
(Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-
la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma 
 
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a 
largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo 
de silo. 
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. 
Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado). 
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é 
A) 110.B) 125. 
C) 130. 
D) 220. 
E) 260. 
Resposta: A 
 
Um copo de papel, em forma de cone circular reto, tem em seu interior 200 m de chá-mate, ocupando 
2
3
 de sua altura, 
conforme mostra a figura abaixo. 
 
Qual é a capacidade desse copo, em mililitros? 
Solução. Utilizando v = 200 mL e a relação entre altura e volume, temos: 
mLVV
Vh
h
Vh
h
V
v
675)27).(25(
8
)200).(27(
27
82001
.
3
22003
2 3
3
====





=








= 
 
 
(Enem 2015) Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-
d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de 
armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a 
alteração da altura, mantendo a mesma forma. 
Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é 
A) oito vezes maior. 
B) quatro vezes maior. 
C) duas vezes maior. 
D) a metade. 
E) a quarta parte. 
Resposta: B 
 
(Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no 
formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos 
grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m3. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão 
para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. 
 
Utilize 3 como aproximação para π. 
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo 
é 
A 6. 
B 16. 
C 17. 
D 18. 
E 21. 
RESPOSTA D 
 
18. Estatística e matemática financeira. 
 
(Adriano 2007) Determine a media aritmética aproximada de 3sen2x, 3cos2x e – 1. 
A) 5% B) 4% C) 67% D) 22% E) 100% 
(FGV – 2021 – FUNSAÚDE – CE) Analista de Patologia Clínica. Em um conjunto de 12 números, a média de 4 
deles é 15 e a média dos outros 8 é 18. A média dos 12 números é 
a) 17. 
b) 16,8. 
c) 16,5. 
d) 16. 
e) 15,5. 
 
19. Um pouco de cálculo. 
 
LIMITES DE FUNÇÕES 
 
Vamos considerar ( )xf uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
""a , exceto no ""a . Daí, diz-se que o limite de ( )xf quando x tende a ""a ( )ax → é L , e representa-se 
por 
( ) Lxf
ax
=
→
lim 
se − ax0 para todo 0 existe sempre um número correspondente 0 tal que ( ) − Lxf para 
que − ax0 , isto é, se ( ) −− Lxfax0 . 
Podemos demonstrar que o ( ) 754lim
3
=−
→
x
x
 através da definição de limites dada acima. 
Inicialmente dividiremos em duas partes: 
(a) Encontrar um valor para  : 
Uma análise preliminar do problema indica que se 0 , deve encontrar-se um  tal que 
( ) −− 754x sempre que − 30 x , 
mas 
( ) −−=−=−− 3434124754 xxxx sempre que − 30 x , 
isto é, 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2021-funsaude-ce-analista-de-patologia-clinica
4
3

−x sempre que − 30 x , logo 
4

= . 
(b) Prova: 
Por tanto, dado 0 , escolhe-se 
4

= , e se − 30 x , então, 
( ) =




 
=−−=−=−−
4
443434124754 xxxx 
Assim 
( ) −− 754x sempre que − 30 x , 
por tanto 
( ) 754lim
3
=−
→
x
x
 
 
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 
 3→x 
donde 
 ( ) 751253454lim
3
=−=−=−
→
x
x
 
Outra maneira de calcular o limite de uma função f será aplicar o valor de “a”. Veja os exemplos A SEGUIR. 
i) ( ) 2774575lim
4
=+=+
→
x
x
 
ii) 823lim
2
)2)(23(
lim
2
443
lim
22
2
2
=+=
−
−+
=
−
−−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
, observe que nesse exemplo temos que fatorar a função f(x) = 
3x² – 4x – 4. Dai cancela-se o fator comum x – 2. 
iii) 
2
3
4
9
3lim
18lim
3
18
lim
1
1
1
==
+
+
=
+
+
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
, neste exemplo podemos aplicar o valor de x após separar os radicais. 
 
Alguns limites apresentam indeterminação quanto a divisão. Veja o próximo exemplo. 
0
024
lim
0
=
−+
→ x
x
x
 Indeterminação 
Para este caso, precisamos racionalizar o numerador, usando a fatoração ( ) ( ) 22 bababa −=−+ . 
  
24
44
lim
24
2424
lim
24
lim
000 ++
−+
=
++
++−+
=
−+
→→→ xx
x
xx
xx
x
x
xxx
 
4
1
24lim
1
24
1
lim
24
lim
0
00
=
++
=
++
=
++
→
→→ xxxx
x
x
xx
 
 
Agora vamos entender a determinação 


 calculando o limite 





+
+
→ 1
1
lim
2
3
x
x
x
. 
Solução: Devemos dividir as funções do numerador e denominador pela maior potencia de x. No caso x³.
 
==
+
+
=






+
+
=












+
+
=












+
+
=





+
+
→
→
→→→ 0
1
00
01
11
lim
1
lim1
11
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
2
3
3
3
33
2
33
3
2
3
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 
Calcule lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
. 
 
Qual o valor do limite abaixo? 
lim
𝑥→1/2
2𝑥² + 5𝑥 − 3
2𝑥² − 5𝑥 + 2
 
Assinale o valor da soma de limites a seguir. 
lim
𝑥→−2
8 + 𝑥³
4 − 𝑥²
+ lim
𝑥→−1
(𝑥10 − 45𝑥 − 6) 
a) 43 
b) 44 
c) 46 
d) 45 
e) 47 
 
O limite abaixo vale? 
lim
𝑥→∞
[7 + (1 +
1
𝑥
)
𝑥
] 
a) 7e 
b) e7 
c) 7 – e 
d) 7 + e 
e) 7e 
 
Determine o valor de 
4
2
2 1
2 1x
x x
Lim
x→
+ −
−
 
R ½ 
 
1. Acha a derivada de y = (5x3 – 4x2) / (3x7 + 9x2) 
 
2. A função volume de uma esfera está expressa abaixo 
V(r) = 4r3 / 3 
Calcule a segunda derivada de V(r). 
 
4. Se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑔(𝑥) = cos 𝑥, calcular 
𝑔′(𝑥)+𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
. 
 
(IFCE 2021) 
Uma fábrica produz peças para calhas de escoamento pluvial. A partir de uma folha retangular de 60 cm de comprimento e 
40 cm de largura, que é dobrada ao meio, produz-se cada peça, em formato de V e com 60 cm de comprimento. Qual deve 
ser a distância entre as margens da peça, ou seja, entre as extremidades superiores do V, para que tenha a maior 
capacidade possível? 
 
A) 10√2 𝑐𝑚 
B) 20√3 𝑐𝑚 
C) 20√2 𝑐𝑚 
D) 10√3 𝑐𝑚 
 
5. Use a regra de cadeia para derivar 
y = ln (5x3 – 4x2 – 3x + 2) 
 
Encontre o valor de f’(2) sendo a função f(s) = (s² – 1)(3s – 1)(5s² + 2s). 
 
 
(IFCE 2021) Seja 𝑃(𝑥) = 𝑥³ + (𝑡 – 10)𝑥² + (33 − 6𝑡)𝑥 + 9𝑡 − 36 um polinômio de coeficientes reais. O 
conjunto de todos os valores de 𝑡, para os quais 3 é uma raiz dupla de 𝑃, é: 
A) {𝑡 ∈ ℝ|𝑡 ≠ 1} 
B) {𝑡 ∈ ℝ|1 ≤ 𝑡 ≤ 4} 
C) {𝑡 ∈ ℝ|𝑡 ≠ 1 e 𝑡 ≤ 4} 
D) {𝑡 ∈ ℝ|𝑡 = 1 ou 𝑡 = 4} 
 
Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em 
segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: 
( ) 1102 2 −+= tttS 
Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
 
(IFCE 2021) Num sistema cartesiano ortogonal Oxy, o ponto (0, 6) é o ponto de inflexão do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 𝑎𝑥² 
+ 𝑏x + 𝑐. Sabendo-se que essa função admite um valor mínimo local, quando 𝑥 = √
7
3
. O valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é 
A) 4 
B) −1 
C) 3 
D) 6 
 
 
Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível. 
6. Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5. 
 R: ..
6
129
au 
7. Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções xy = ; y = 0 e a reta x = 4 
R: .a.u
3
16
 
8. Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
R: .a.u
3
16
 
9. Determine o volume V do sólido S gerado pela revolução da região R sob o gráfico de f no intervalo [1, 2] em 
torno do eixo X: 
f(x) = 
Resp: 
 
 
20. Problemas ao redor do brasil. 
 
1. (IFAL 2010) De quantos modos podemos comprar 4 sorvetes em um bar que os oferece em 8 sabores 
distintos? 
 a) 105 
b) 180 
c) 330 
d) 320 
e) 285 
 
2. (IFAC 2012) Um garoto fanático por carros ganha três tartarugasde idades e tamanhos diferentes. Ele resolve dar 
apenas um nome a cada animal e diferentes entre si. Os nomes serão escolhidos entre os seguintes nomes de carros: Gol, 
Focus, Vectra, Civic, Pallas, Corolla e Sandero. Ele não levará em consideração se o animal é fêmea ou macho, pois ele não 
consegue distinguir o sexo desses animais. De quantas formas distintas ele poderá nominar as três tartarugas? 
a) 420 c) 105 b) 5.040 d) 210 e) 35 
3. (UECE/Magistério Tauá 2008) A imagem da função real, de variável real, definida por f(x) = 2 − 3cos x , é o intervalo 
A) [ -1 , 2 ] B) [ 0 , 5 ] C) [ 3 , 4 ] D) [ -1 , 5] 
4. (Maranhão 2020) Seja n um número natural. Qual o valor da soma de todos os possíveis valores do máximo 
divisor comum dos inteiros 3n e n + 8? 
a) 6. 
b) 10. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 60. 
5. (Prefeitura de Crato 2021) Sejam p e q números primos positivos. Racionalizando a expressão 
1
√𝑝 + √𝑞 − √𝑝 + 𝑞
 
obtemos: 
𝑎) 
𝑝√𝑞 + 𝑞√𝑝 − √𝑝𝑞(𝑝 + 𝑞)
2𝑝𝑞
 
𝑏) 
𝑝√𝑞 + 𝑞√𝑝 + √𝑝𝑞(𝑝 + 𝑞)
2𝑝𝑞
 
𝑐) 
√𝑝𝑞(𝑝 + 𝑞) − 𝑝√𝑞 − 𝑞√𝑝
𝑝𝑞
 
𝑑) 
√𝑝𝑞(𝑝 + 𝑞) + 𝑝√𝑞 − 𝑞√𝑝
2𝑝𝑞
 
𝑒) 
√𝑝𝑞(𝑝 + 𝑞) − 𝑝√𝑝 − 𝑞√𝑞
2𝑝𝑞
 
 
6. (IFMT 2012) Quantos são os divisores naturais de 21600 que são múltiplos de 3? [A] 72 [B] 54 [C] 30 [D] 48 
7. Um hospital possui um grupo de 12 enfermeiros, dos quais 7 são mulheres. Para os plantões, são selecionados 4 
profissionais. Quantos grupos distintos de plantonistas poderão ser formados de forma que haja ao menos uma mulher em 
cada um deles? 
a) 495 
b) 490 
c) 460 
d) 210 
e) 70 
8. (UECE/Magistério Tauá 2008) O menor valor de 
1
4+𝑠𝑒𝑛 𝑥
, para 𝑥 real é 
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/5 
d) 1/6 
9. (IFAC 2012) Uma calculadora apresenta defeito nas teclas dos números zero, quatro, cinco e sete. Usando as demais 
teclas numéricas, quantos números de algarismos distintos e inteiros podem ser digitados com valores compreendidos 
entre 99 e 9.999? a) 760 c) 480 b) 325 d) 200 e) 360 
10. (IDECAN 2012) Certo pai comprou 5 bombons de sabores diferentes e deseja entregá-los a cada um de seus quatro 
filhos, sendo que um deles receberá dois bombons. De quantas maneiras esse pai poderá distribuir os bombons para seus 
filhos? A) 120 B) 240 C) 160 D) 360 E) 180 
11. (IFAC 2012) Um reservatório de combustível está sendo esvaziado para manutenção. A quantidade de combustível 
no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por: 
V = 300 (20 – t)² 
A quantidade de água que sai da caixa nas 10 primeiras horas de escoamento é: 
a) 60.000 litros. c) 90.000 litros. b) 30.000 litros. d) 75.000 litros. e) 100.000 litros. 
12. (Colégio Militar/PE 2011) Um proprietário do mercadinho QUEBRA-GALHO vende, em média, 300 caixas de 
chocolates por R$ 20,00 cada caixa. Entretanto, verificou que cada vez que diminui R$ 1,00 no preço da caixa, vende 40 
caixas a mais. Se ele pretende maximizar a sua receita, então o preço de cada caixa deve ser 
A) R$ 13,75 B) R$ 15,30 C) R$ 12,50 D) R$ 9,60 E) R$ 6,26 
13. (IFMT 2012) Qual o número máximo de regiões delimitadas por 5 retas no plano? 
[A] 10 [B] 12 [C] 15 [D] 16 
14. (IFAC 2012) Qual é a probabilidade de escolhermos, de maneira aleatória, um anagrama com as letras da palavra 
MARIA, onde as consoantes não apareçam dispostas uma ao lado da outra? 
a) 1/6 c) 3/5 b) 2/3 d) 4/5 e) 5/6 
15. (Prefeitura de Crato 2021) A expressão sen 90° − sen 80° é equivalente a 
A) 2 · sen 85° · cos 5° 
B) 2 · sen 75° · cos 15° 
C) 2 · sen 55° · cos 25° 
D) 2 · sen 10° · cos 80° 
E) 2 · sen 5° · cos 85° 
16. (IDECAN 2012) Seja x o menor número natural de 4 algarismos que é simultaneamente divisível por 3, 5 e 8. A soma 
dos algarismos de x é A) 6. B) 9. C) 12. D) 15. E) 18. 
17. (UECE/Magistério Tauá 2008) No desenvolvimento de (2x + 3)4, com os expoentes de x em ordem decrescente, o 
quarto termo é 
A) 216x² 
B) 216x 
C) 96x³ 
D) 81x 
18. (IFMT 2012) Na figura tem-se que D é ponto médio de 𝐵𝐶, 𝐶Â𝐵 ≡ 𝐶Ê𝐷 e 𝐴𝐹 é altura. 
 
O ângulo 𝐷Ê𝐹 mede: 
[A] 42,5° [B] 40° [C] 30° [D] 37,5° 
19. (IFRJ 2010) Considere o paralelogramo ABCD, a seguir, de área 36 cm². Sejam E o ponto médio do segmento AB, F o 
ponto de interseção entre os segmentos AC e DE e AB = 9 cm. É correto afirmar que 
 
a) a altura do paralelogramo com relação à base CD mede 6 cm. 
b) a área do triângulo AED é 12 cm². 
c) a razão entre a área do triângulo FCD e a área do triângulo FAE é 1/2. 
d) a área do quadrilátero BCFE é 15 cm². 
e) nenhuma das sentenças anteriores é verdadeira. 
20. (Colégio Militar/PE 2011) Assinale a alternativa que representa a simplificação do número irracional 
√𝟕 + 𝟒√𝟑. 
𝑎) 1 + √3 
𝑏) 1 − √3 
𝑐) 3 + √3 
𝑑) − 1 + √3 
𝑒) 2 + √3 
21. (IFAL 2010) As medidas dos ângulos do triângulo PQR são tais que Pconstruídos 3 túneis: o primeiro conduz à liberdade em 3 horas; o segundo, em 5 horas, e o terceiro conduz ao ponto de 
partida em 9 horas. Assinale o tempo médio que os detentos que descobrem os túneis gastam para escapar. A) 5 horas. B) 
6 horas. D) 8,5 horas. C) 3 horas. E) 7 horas. 
32. (SEDUC 2018) Dentre todos os números reais positivos, aquele que somado com o dobro do seu inverso 
multiplicativo resulta no menor valor possível é 
𝑎) √3 
𝑏) 
3√6
5
 
𝑐) 
5√5
8
 
𝑑) √2 
33. (IFPA 2015) Uma senha de celular pode ser salva com 4 dígitos. Quantas maneiras diferentes a senha, contendo 
apenas números, do celular pode ser salva? A) 240 B) 5040 C) 504 D) 2016 E) 602 
34. (IDECAN 2016) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 405. Sabendo‐se que a soma dos 
seus 25 termos é 2.050, então seu 20º termo é: A) 159. B) 181. C) 214. D) 280. 
35. (UECE/Magistério Tauá 2008) Se os números (x – 1), (x + 2) e (2x – 1), nesta ordem, estão em progressão 
aritmética, então o valor de x é 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 
36. (Exército – 2020) Três números cuja soma é 36 formam uma progressão aritmética de razão r, sendo r > 0. 
Se somarmos 2 ao terceiro termo dessa progressão aritmética, sem alterar os outros dois termos, eles vão 
formar uma progressão geométrica de razão q. O resultado da operação √
𝑟
𝑞
 é: 
𝒂) 
𝟐√𝟔
𝟑
 
𝒃) 
√𝟔
𝟐
 
𝒄) 
𝟒√𝟐
𝟑
 
𝒅) 
√𝟔
𝟑
 
𝒆) 
𝟐√𝟑
𝟑
 
37. (IFAL 2010) No triângulo PQR, a mediana e a altura relativas ao vértice P dividem o ângulo QP̂R em três ângulos de 
mesma medida. Determine as medidas dos ângulos do triangulo PQR. 
a) 90°, 45° e 45° 
b) 75°, 60°e 45° 
c) 90°, 60°e 30° 
d) 55°, 60°e 45° 
e) N.D.A 
38. (IDECAN 2016) Uma família de 4 pessoas consome semanalmente 12 litros de refrigerante cujo rótulo indica que em 
um copo de 200 ml do produto contém 22 g de açúcar. Considerando que todos consomem a mesma quantidade de 
refrigerante, então num período de 56 dias a quantidade de açúcar consumida por cada membro dessa família 
corresponde a: A) 1,56 kg. B) 1,92 kg. C) 2,32 kg. D) 2,64 kg. 
39. (Prefeitura do Crato 2021) Lançando simultaneamente n dados cúbicos não viciados e numerados de 1 até 6, qual a 
probabilidade de obtermos a soma de todas as faces que estão voltadas para cima igual a n + 1? 
A) 1 − 6−n B) 1 − 6−n−1 C) 6−n D) (n + 1) · 6−n E) n · 6−n 
40. (Exército – 2020) Em uma escola, 12 alunos, sendo 7 do período matutino e 5 do período vespertino, estão 
capacitados para compor a equipe de 3 pessoas, que representará a escola em uma Olimpíada de Matemática. O número 
de equipes distintas, constituídas cada uma por 1 aluno do período vespertino e 2 alunos do período matutino que podem 
ser formadas para esse fim é (A) 140. (B) 84. (C) 124. (D) 95. (E) 105. 
41. (IFAL 2010) Seja PQR um triângulo de lados medindo 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule sua área e o raio da circunferência 
inscrita neste triangulo. 
𝑎) 5√3 𝑐𝑚² 𝑒 2 𝑐𝑚 
𝑏) 10√3 𝑐𝑚² 𝑒 √3 𝑐𝑚 
𝑐) 10 𝑐𝑚² 𝑒 2√3 𝑐𝑚 
d) 10 𝑐𝑚² 𝑒 2 𝑐𝑚 
𝑒) 15√3 𝑐𝑚² 𝑒 5√3 𝑐𝑚 
 
42. (IFSC 2012) Quando dividimos um polinômio P(x) por (x − 1) obtemos resto 1, e quando dividimos P(x) 
por (x + 1) obtemos resto – 5. Desta forma, quando dividirmos P(x) por x² – 1 obteremos resto: 
A) 3x − 2 
B) − 5 
C) 2x − 5 
D) 5 
E) x + 3 
43. (SEDUC 2018) O valor do número real b para o qual existe uma progressão geométrica cuja soma dos n primeiros 
termos, para qualquer número inteiro positivo n, é igual a 3n+1 + b é 
A) 3. B) 2. C) -3. D) -2. 
44. (IFAL 2010) Sabe-se que o número de 7 algarismos 21358ab, em que a é o dígito das dezenas e b das unidades, é divisível 
por 99. Determine a e b. 
a) 3 e 5 
b) 1 e 7 
c) 4 e 6 
d) 2 e 4 
e) N.D.A. 
 
45. (IFPI 2017) Num vestibular para os cursos de medicina e odontologia, compareceram 260 candidatos às vagas de 
medicina e 200 para odontologia. A nota média geral foi de 70 pontos, quando foram considerados somente os candidatos 
a dentista, a nota média foi de 80 pontos. A nota média dos concorrentes às vagas de medicina foi aproximadamente de: a) 
59,4 b) 62,3 c) 70,6 d) 56,7 e) 67 
46. (IDECAN 2016) Um plano contém doze pontos. Considerando‐se que NÃO existem três pontos que estejam 
alinhados, o número de triângulos que se pode formar com esses pontos é: A) 120. B) 220. C) 340. D) 720 
47. (IDECAN 2016) Um cubo foi inscrito em uma esfera de raio 4 cm. Dessa forma, a área total do cubo, em cm2 , é: A) 
32. B) 72. C) 96. D) 128. 
48. (UECE/Magistério Tauá 2008) Na figura, a seguir, temos dois quadrados, um de lados medindo a unidades 
de comprimento e o outro de lados medindo b unidades de comprimento, com a > b. 
 
Assinale a alternativa que contém o valor de x. 
𝑎) 
𝑏2
𝑎 − 𝑏
 
𝑏) 
𝑎²
𝑏−𝑎
 
𝑐) 
𝑏²
𝑎+𝑏
 
𝑑) 
𝑎²
𝑎+𝑏
 
49. (IFAL 2010) Um copo cilíndrico tem 3 cm de raio e 12 cm de altura. Estando inicialmente cheio de um 
certo liquido, o copo é inclinado até que o plano de sua base faça um ângulo de 45° com o plano horizontal. 
Calcule o volume que sobrou no copo. 
a) 36πcm3 
b) 27πcm3 
c) 81πcm3 
d) 64πcm3 
e) 48πcm3 
50. (Prefeitura de Crato 2021) Considere as seguintes afirmações acompanhada dos seus valores lógicos: 
• Pedro é um estudante: Verdadeiro 
• Simão não é um corredor: Falso 
• Márcio é um pintor: Falso 
• Cícero não sabe nadar: Verdadeiro 
Assinale a alternativa que apresenta uma proposição composta verdadeira: 
A) Cícero sabe nadar ou Pedro não é um estudante 
B) Se Márcio não é um pintor, então Simão não é um corredor 
C) Pedro não é um estudante ou Simão é um corredor 
D) Se Pedro é um estudante, então Márcio é um pintor 
E) Cícero não sabe nadar e Simão não é um corredor 
51. (IFPI 2017) A média de idade dos 6 jogadores de um time de handebol é 27 anos, ao substituir 4 jogadores a média 
caiu para 23 anos. A média dos jogadores que saíram supera a dos jogadores que entraram em: a) 7 anos. b) 6 anos. c) 5 
anos. d) 4 anos. e) 3 anos. 
52. (Colégio Militar/PE 2011) Sabendo-se que sen(x) + cos(x) = 1,2, assinale o valor do produto sen(x).cos(x) A) 0,22 B) 
0,34 D) 0,23 C) 0,35 E) 0,45 
53. (IFSC 2012) A soma dos 3 primeiros termos de uma PG crescente é igual a 73 vezes o primeiro termo desta PG. A 
soma dos algarismos do terceiro termo desta PG é: A) 7 B) 12 C) 20 D) 15 E) 22 
54. (SEDUC 2018) Seja XYZW um paralelogramo tal que a bissetriz do ângulo interno X intercepta o lado ZW no ponto E, 
entre Z e W. Se a medida do lado XY é igual a 6 m e se a área do trapézio XYZE é igual a cinco vezes a área do triângulo 
XWE, então, a medida do lado YZ do paralelogramo, em metros, é igual a A) 2,0. B) 2,5. C) 3,0. D) 3,5. 
55. (IFAL 2010) Determine o valor de y ∈ ℝ que satisfaz a igualdade 
 
logy 49 = logy2 7 +log2y 7. 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/8 
e) 1/7 
56. (IFPI 2017) Uma loja oferece um celular por R$ 2.688 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo com juros de 
10% a.m, em dois pagamentos mensais iguais: Um no ato da compra e o outro no mês seguinte. Qual o valor de cada um 
dos pagamentos mensais, caso o consumidor opte por comprar o aparelho a prazo? a) 1265,00 b) 1288,00 c) 1392,00 d) 
1408,00 e) 1521,00 
57. (IFSC 2012) Num campeonato de futebol, a vitória conta 3 pontos, o empate 1 ponto e a derrota 0 pontos. O 
campeonato foi disputado somente em um turno, onde todos jogaram contra todos. Somando-se a pontuação final de 
todos os times, chegamos num total de 176 pontos. Sabendo-se que o número de vitórias foi o dobro do número de 
empates, podemos afirmar que neste campeonato haviam: A) 12 times. B) 18 times. C) 16 times. D) 14 times. E) 10 times. 
58. (IFAL 2010) Sejam α, β e γ números reais positivos, tais que seus logaritmos numa base k são números 
primos satisfazendo: 
{
log𝑘(αβ) = 49
log𝑘
𝛼
𝛾
= 44
 
Determine quanto vale √log𝑘(𝛼𝛽𝛾). 
a) 2√13 
b) √26c) 4√93 
d) 3√5 
e) 5√22 
 
 
59. (IFRS 2016) Sabe-se que a equação 3x³ +9x² + kx – 1 = 0 admite duas raízes opostas entre si. Nessas condições, o 
número real k é igual a: 
a) 1/3 
b) – 3 
c) 3 
d) – 161/3 
e) – 1/3 
60. (IDECAN 2016) Em um verão, trabalhando seis dias por semana durante quatro horas por dia, uma formiga gasta 
seis semanas para carregar certo número de grãos de açúcar. Dessa forma, se trabalhar com eficiência 20% maior, mas 
durante apenas cinco dias por semana, três horas por dia, o número de semanas que gastará para carregar o mesmo 
número de grãos de açúcar no mesmo trajeto será: A) 5. B) 7. C) 8. D) 9. 
61. (IFSC 2015) Um sólido de revolução é obtido pela rotação completa em torno do eixo das ordenadas de um 
quadrilátero que tem como vértices, os pontos A(1,3), B(1,1), C(4,1) e D(4,5). Assinale a alternativa que apresenta o volume 
do referido sólido em unidades de volume. (A) 48 π (B) 32π (C) 16π (D) 84 π (E) 64 π 
62. (UFPI 2011) Divide-se o número 1 em três partes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. O valor do produto 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 sabendo que este é máximo, é 
igual à: 
𝑎) 
1
9
 
𝑏) 
1
27
 
𝑐) 
1
3
 
𝑑) 
1
81
 
𝑒) 
1
4
 
63. (Prefeitura do Crato 2021) Suponha que 1 − i é raiz da equação x³+ px² + 12x + q = 0 onde p, q ∈ R. O valor de p + q é: 
A) −17 
B) −7 
C) 7 
D) 27 
E) 28 
64. (IFRJ 2010) Seja ABCDEFGH um cubo cuja aresta mede 4 cm e sejam I o ponto médio do segmento HE e J ponto 
médio do segmento AE, como mostra a figura a seguir. Sabendo-se que a reta GI intersecta a reta FE no ponto K a razão 
entre o volume do sólido com vértices em E, J, I, G, F, B e o volume do cubo é 
 
a) 1/8 
b) 7/24 
c) 1/2 
d) 3/4 
e) 7/8 
65. (IFSC 2012) Sobre uma circunferência são marcados dois pontos A e B de forma que AB = 60°. Traçamos uma 
tangente por A, uma tangente por B, e no ponto de intersecção destas duas tangentes marcamos um novo ponto C. 
Sabendo-se que AC = 5 cm, podemos afirmar que a área do triângulo ABC, em 2 cm , é de: 
𝑎) 
5
2
 
𝑏) 
25√3
4
 
𝑐)
5√3
2
 
𝑑) 25 
𝑒) 10 
66. (IFRS 2016) Sobre cada cateto de um triângulo retângulo é traçado um semicírculo de raio igual à metade da medida 
do cateto. Sobre a hipotenusa é traçado um outro semicírculo passando por , cujo raio é a metade da medida da 
hipotenusa. A área total das regiões semicirculares limitadas pelos arcos de circunferência tem o mesmo valor absoluto 
que: a) o dobro do produto dos catetos. b) a metade do perímetro do triângulo. c) a metade do produto dos catetos. d) o 
perímetro do triângulo. e) o dobro do perímetro do triângulo 
67. (IFRS 2016) Um torneio de basquete foi organizado de forma que os times foram divididos em 6 grupos com k times 
em cada um. Na primeira fase cada time deveria jogar uma vez contra cada time do seu grupo. Sabendo que, nesta fase, 
foram realizados 60 jogos, pode-se afirmar que o número de times que disputou o torneio é: a) múltiplo de 7. b) quadrado 
perfeito. c) um produto de fatores primos. d) ímpar. e) divisível por 4. 
68. (IDECAN 2010) Simplificando a expressão 
𝑠𝑒𝑛³ 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥
 
obtém-se: 
A) senx B) cosx C) tgx D) secx E) cotgx 
69. (Prefeitura do Crato 2021) A solução da equação complexa |z| − z − 1 − 4i = 0 é: 
𝑎)
9
2
+ 4𝑖 
𝑏)
11
2
+ 2𝑖 
 
𝑐)
17
2
+ 2𝑖 
𝑑)
15
2
− 4𝑖 
𝑒)
17
2
− 4𝑖 
 
70. (UECE/Magistério Tauá 2008) Sejam A e B dois conjuntos, tais que A ∩ B = B e A ∪ B = A. Nestas 
condições, é correto afirmar que 
A) A ≠ B 
B) A ⊂ B 
C) A ∩ B = Ø 
D) B ⊂ A 
71. (IDECAN 2010) Numa lanchonete são oferecidos sucos de fruta natural, totalizando 13 tipos de frutas, sendo 6 
amarelas, 5 vermelhas e 2 verdes. Desejando-se preparar um suco com 3 frutas distintas, sendo que pelo menos uma delas 
seja amarela, quantas opções poderão ser obtidas? A) 220 B) 251 C) 245 D) 213 E) 266 
72. (Prefeitura do Crato 2021) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5} e C = {2, 3, 4}. Efetuando a operação B − 
(A ∩ C), obtemos: A) {2} B) {5} C) {} D) {4} E) {4, 5} 
73. (Colégio Militar/PE 2011) João, aluno aplicado em matemática, recebeu do seu professor de matemática um 
desafio: “Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x + y + z  6?”. Assinale a alternativa CORRETA encontrada 
por João. 
A) 84. B) 49. D) 67. C) 75. E) 58. 
74. (IFRJ 2010) Em uma lanchonete, um copo de vitamina tem a forma de um cone de 20 cm de altura, como mostra a 
figura a seguir. 
 
Uma camada de 4 cm de “espuma” fica suspensa na parte superior do copo, deixando-o aparentemente cheio. O 
percentual do volume do copo correspondente à vitamina efetivamente contida no copo é de, aproximadamente, 
a) 20%. b) 25%. c) 33%. d) 51%. e) 80 %. 
75. (IFAL 2010) Sendo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ − {0, 1} e 𝑘 > 0 tal que 
𝑎𝑥+𝑎−𝑥
𝑎𝑥−𝑎−𝑥 = 𝑘 e 
𝑏𝑥+𝑏−𝑥
𝑏𝑥−𝑏−𝑥 = 𝑎2𝑥, então o valor de 𝑏2𝑥 é: 
a) 
𝑘+1
𝑘−1
 
b) 
𝑘−1
𝑘+1
 
c) 
𝑘
𝑘−1
 
d) 
𝑘+1
𝑘
 
e) 𝑘 
 
76. (IFRJ 2010) Considere o triângulo PQR isósceles, em que o ângulo distinto dos demais, QPR mede 20º. Sobre o lado 
PQ, marque o ponto S de forma que PRS = 30º e sobre o lado PR , marque o ponto T de forma que TQR= 40º. Então, o 
ângulo STQ mede: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 90º 
 
77. (IFRJ 2010) A parte de Matemática dessa Prova é composta de vinte questões específicas. Se um candidato decidir 
marcar, aleatoriamente, todas as questões, a probabilidade de ele acertar cinquenta por cento delas é 
𝑎) 
411
(10!)²∙519 
𝑏) 
1
510 
𝑐) 
410∙20!
(10!)²∙2510 
𝑑) 
20!
(10!)²∙220 
𝑒) 
1
2
 
 
78. (Prefeitura do Crato 2021) Fatorando o polinômio x³ + 2x²y − xy − 2y² encontramos: 
A) (x + y) (x² − 2y) 
B) (x − 2y) (x + y²) 
C) (x² − y) (x + 2y) 
D) (x − 2y) (x – y²) 
E) (x² − y) (x + y²) 
79. (UECE/Magistério Tauá 2008) A equação da reta que passa pelo ponto P(3, 0) e é perpendicular à reta de equação 
2x + y −1 = 0 é 
A) x − 2y + 3 = 0 
B) x − 2y − 3 = 0 
C) 3x − y − 3 = 0 
D) 3x + y + 3 = 0 
80. (Colégio Militar/PE 2011) Pretende-se construir uma caixa blindada na forma de um paralelepípedo retângulo cujas 
dimensões estão em progressão aritmética. Sabendo-se que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total da 
caixa blindada é igual a 694 cm², logo o volume desta caixa blindada, em cm³, mede A) 1002. B) 1155. C) 1255. D) 2000. E) 
2034. 
81. Um mastro foi erguido no centro de um pátio, cujo piso tem a forma de um paralelogramo. O topo desse mastro é 
visto com ângulos de elevação “α” e “θ” de dois de seus vértices consecutivos. Que expressão matemática modela a 
relação entre as diagonais do paralelogramo? 
a) tg α/ tg θ. 
b) sen θ/ sen α . 
c) cos θ / cos α 
d) cos α / cos θ 
e) sen α/ sen θ . 
82. Vinte homens se comprometem em fazer uma obra de 800 em 10 dias. Após o quarto dia, eles são informados de que, 
na verdade, o trabalho é de 1000 e de que devem terminar um dia antes do estabelecido. Assim, quantos trabalhadores 
com mesma capacidade devem ser contratados para que se possa realizar a obra sob as novas condições? a) 6. b) 9. c) 12. 
d) 14. e) 18. 
83. André, projetista, no momento realiza um trabalho e usa como ferramenta o Geogebra. O dispositivo que André 
elabora está indicado no desenho ao lado. 
 
O projetista afirma que o dispositivo que elabora é composto por dois hexágonos regulares congruentes. Qual é, então, o 
valor do ângulo LIA indicado no dispositivo? a) 37°. b) 45°. c) 48°. d) 53°. e) 60°. 
84. Em uma lagoa, observa-se o topo de uma flor de lótus a 1 metro acima da superfície da água. Forçada pelo vento, 
inclina-se sua base e a parte superior mergulha 2 metros para o lado. Qual é a profundidade da lagoa em metros? a) 1,8 b) 
1,5 c) 1,4 d) 1,3 e) 1,0 
85. Um homem observa um raio e, depois de um tempo t, ouve um trovão. Sendo c velocidade da luz e v o do som, a que 
distância do homem ocorreuo raio? 
 
𝑎) 
𝑡𝑣𝑐
𝑣+𝑐
 
𝑏) 
𝑡𝑣𝑐
𝑐 − 𝑣
 
𝑐) 𝑡 (
𝑐−𝑣
𝑣𝑐
) 
𝑑) 𝑡 (
𝑣−𝑐
𝑣+𝑐
) 
𝑒) 
𝑣−𝑐
𝑡𝑣𝑐
 
86. Em determinado exame, Sara obteve menos pontos que Manuel, Henrique menos pontos que Sara e Nancy mais 
pontos que Vannesa. Se Vannesa conseguiu mais pontos que Manuel, quem obteve a pontuação mais alta? a) Nancy. b) 
Manoel. c) Sara. d) Herinque. e) Vannesa. 
87. Vicente gosta muito de futebol. Indo a um evento esportivo com os filhos, levou 320 reais. Ao chegarem ao 
evento, percebem que, se pagarem os ingressos a 50 reais, Vicente não terá dinheiro suficiente. Mas, se entrarem 
pagando 40 reais por ingresso, ele ficará com dinheiro sobrando. Quantos filhos tem Vicente? 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
88. Em uma coleção de doze moedas de aparência idêntica existe uma falsa, que tem peso inferior às demais. 
Usando uma balança de pratos, qual o número mínimo de pesagens necessárias para se descobrir a moeda 
falsa? 
a) Três 
b) Quatro 
c) Cinco 
d) Seis 
e) Sete 
89. Cinco pessoas presenciaram um assalto e cada uma delas deu uma descrição do assaltante. As descrições dadas 
estão apresentadas nas alternativas abaixo. Qual delas tem mais chance de estar correta? 
a) O assaltante era alto, magro e de meia-idade. 
b) O assaltante era de altura mediana, magro e de meia-idade. 
c) O assaltante era alto, magro e jovem. 
d) O assaltante era alto, de peso médio e de meia-idade. 
e) O assaltante era alto, magro e velho. 
90. (IDECAN 2017) Márcio começou um regime e conseguiu emagrecer nos dois primeiros meses 5% do peso que tinha 
inicialmente; e nos dois meses seguintes emagreceu mais 4% do peso que havia atingido no final dos dois primeiros meses, 
atingindo 114 kg. O peso de Márcio quando ele começou o regime era um número: A) Múltiplo de 8. C) Divisível por 5. B) 
Múltiplo de 7. D) Cuja soma dos algarismos é 9. 
91. (FADESP 2012) Qual a soma dos termos de uma PG de razão 2 cuja quantidade de termos e primeiro termo são 
iguais ao primeiro termo de uma PA em que décimo termo é 51 e a soma dos 10 primeiros termos é 270? (A) 45. (B) 36. (C) 
27. (D) 21. 
92. Um professor de matemática dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é 
brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos 
de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos 
brasileiros existem na classe? 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 3 
e) 5 
 
93. Seja A um número natural menor do que 10. Qual a soma de todos os valores de A para que o número 98A6 seja 
divisível por 4? 
a) 8. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 20. 
e) 25. 
94. Raimundo tem um trabalho de 180 páginas para digitar. No primeiro dia ele digitou 1/3 do trabalho; no segundo 
dia, 1/3 do que faltava; e no terceiro dia o restante. Quantas páginas Raimundo digitou no terceiro dia? 
a) 40. 
b) 60. 
c) 80. 
d) 100. 
e) 105. 
95. Um número natural N, ao ser dividido por 10, deixa resto 9; ao ser dividido por 9, deixa resto 8 e, ao ser dividido 
por 8, deixa resto 7. Qual a soma dos dois menores valores de N que satisfazem essas condições? 
a) 360. 
b) 720. 
c) 1078. 
d) 1080. 
e) 1439. 
 
96. (UECE 2022.1) O jardim botânico, localizado em uma região serrana, é dedicado à exposição de plantas ornamentais e 
florais. Os roseirais, espaços onde são plantadas rosas, ocupam várias áreas circulares cujas muretas que as delimitam 
formam circunferências. Se a extensão de cada uma destas circunferências é 18 metros, a área ocupada por cada roseiral, 
em m², é aproximadamente 
A) 24,8. B) 24,2. C) 25,8. D) 25,2. 
97. (IDECAN 2017) O vigésimo termo de uma progressão aritmética de n termos é igual a 87. Se o primeiro termo dessa 
sequência é –27 e a soma de todos os termos é igual a 7.128, então o valor de n é: A) 47. B) 49. C) 54. D) 63. 
98. Segundo o IBGE o número de idosos no Brasil dobrou nos últimos 20 anos. Com base nesse dado o Ministério da Saúde 
realizou uma pesquisa a respeito dos acidentes domésticos, obtendo os seguintes resultados: 210 mortes causadas por 
quedas, 170 causadas por fogo ou queimaduras e 120 por envenenamento. Selecionado aleatoriamente um desses casos, 
qual a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento? a) 0,24 d) 0,58 b) 0,61 e) 0,34 c) 0,42 
99. (Ananindeua/PA 2011) Um professor de Matemática deseja doar 08 (oito) livros aos seus 08 (oito) alunos 
mais aplicados, de modo que cada um receba um só livro. De quantas maneiras este professor pode fazer a 
doação possuindo 02 (dois) livros A, 03 (três) livros B, 02 (dois) livros C e 01 (um) livro D? 
A) 8! B) 1.680 C) 35.123 D) 1.850 E) 2.400 
100. (IME 2021/22) Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a 
turma em três grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma há um casal, qual é a 
probabilidade de que o mesmo faça o trabalho junto?C) – 1 e 2. 
 
6) Enem 2015 – 2ª Azul – 163 (F) 
Na imagem, a personagem Mafalda mede a circunferência do globo que representa o planeta Terra. 
 
Em uma aula de matemática, o professor considera que a medida encontrada por Mafalda, referente à maior 
circunferência do globo, foi de 80 cm. Além disso, informa que a medida real da maior circunferência da Terra, a linha do 
Equador, é de aproximadamente 40 000 km. 
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008 (adaptado). 
A circunferência da linha do Equador é quantas vezes maior do que a medida encontrada por Mafalda? 
A) 500 
B) 5 000 
C) 500 000 
D) 5 000 000 
E) 50 000 000 
Resposta: E 
 
7) Enem 2016 – 1ª Azul – 138 (M) 
A London Eye é uma enorme roda-gigante na capital inglesa. Por ser um dos monumentos construídos para celebrar a 
entrada do terceiro milênio, ela também é conhecida como Roda do Milênio. Um turista brasileiro, em visita à Inglaterra, 
perguntou a um londrino o diâmetro (destacado na imagem) da Roda do Milênio e ele respondeu que ele tem 443 pés. 
 
Disponível em: www.mapadelondres.org. Acesso em 14 maio 2015 (adaptado). 
Não habituado com a unidade pé, e querendo satisfazer sua curiosidade, esse turista consultou um manual de unidades de 
medidas e constatou que 1 pé equivale a 12 polegadas, e que 1 polegada equivale a 2,54 cm. Após alguns cálculos de 
conversão, o turista ficou surpreendido com o resultado obtido em metros. 
Qual a medida que mais se aproxima do diâmetro da Roda do Milênio, em metro? 
A) 53 
B) 94 
C) 113 
D) 135 
E) 145 
RESPOSTA: D 
 
8) Enem 2016 – 1ª Azul – 164 (M) 
No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 
15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de combustível estava 
exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme figura a seguir. 
 
Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de abastecimento de 
combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida. 
Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não 
ficar sem combustível na estrada? 
A) 570. 
B) 500. 
C) 450. 
D) 187. 
E) 150. 
Resposta: B 
 
 
9) Enem 2016 – 2ª Azul – 141 (F) 
Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são 
conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os 
tubos de 1/2, 3/8 e 5/4. 
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos 
A) 1/2, 3/8, 5/4 
B) 1/2, 5/4, 3/8 
C) 3/8, 1/2, 5/4 
D) 3/8, 5/4, 1/2 
E) 5/4, 1/2, 3/8 
 
10) Enem 2016 – 2ª Azul – 158 (M) 
Uma empresa europeia construiu um avião solar, como na figura, objetivando dar uma volta ao mundo utilizando somente 
energia solar. O avião solar tem comprimento AB igual a 20 m e uma envergadura de asas CD igual a 60 m. 
 
Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma maquete desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de 3 : 
400. 
A envergadura CD na referida maquete, em centímetro, é igual a 
a) 5. 
b) 20. 
c) 45. 
d) 55. 
e) 80. 
Resposta: C 
 
Chama-se montante(M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a 
uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital 
aplicado é de R$ 200.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação? 
 
11) Enem 2017 – 1ª Azul – 144 (F) tag: Razões e Proporções 
Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações 
técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1000 L de água da piscina. Essa empresa foi 
contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e 
comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d'água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da 
piscina. 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações 
técnicas é 
a) 11,25 
b) 27,00 
c) 28,80 
d) 32,25 
e) 49,50 
Resposta: B 
 
Resolva a inequação: 
( )
( )
2
x4
17x3

−
−
 
 
Solução. Representando os fatores como funções e identificando concavidade e crescimento na função afim, temos: 





==−→−=





==−→−=

−
−

−
+−−
−
−
−

−
−
4;0)(
4;0)(
:4044)(
5;0)(
5;0)(
:50255255)(
0
4
255
0
4
28173
02
4
173
2
4
173
xxf
xxf
xxxxg
xxf
xxf
xxxxf
x
x
x
xx
x
x
x
x
 
 
Organizando o quadro, excluindo o zero do denominador, teremos que a solução será o intervalo    +− ,53, . 
 
12) Enem 2015 – 2ª Azul – 153 (F) 
Na construção de um conjunto habitacional de casas populares, todas serão feitas num mesmo modelo, ocupando, cada 
uma delas, terrenos cujas dimensões são iguais a 20 m de comprimento por 8 m de largura. Visando a comercialização 
dessas casas, antes do início das obras, a empresa resolveu apresentá-las por meio de maquetes construídas numa escala 
de 1 : 200. 
As medidas do comprimento e da largura dos terrenos, respectivamente, em centímetros, na maquete construída, foram 
de 
A 4 e 10. 
B 5 e 2. 
C 10 e 4. 
D 20 e 8. 
E 50 e 20. 
Resposta: C 
 
(Adriano 2021) Sabe-se que 𝑥² + 1 =
2
𝑥
. Qual o valor máximo de 𝑔(𝑥) = 7 − 𝑥 − 𝑥². 
 
(Adriano 2007) Um Neutrino viaja uma distância R (em metros) e demora cinco terços de segundos para transpor 
essa distância. Suponha que a fórmula abaixo representa a relação entre sua massa em repouso (m0) e em movimento 
(m): 
 
Determine sua massa em movimento, sabendo que m0 possui intensidade 16R. 
A) 10 B) 13 C) 16 D) 20 E) 24 
 
Solução: Note que 𝑣 =
𝑅
5
3⁄
=
3𝑅
5
 que implica 𝑣² = (
3𝑅
5
)
2
=
9𝑅²
25
. Substituindo em m, teremos: 
𝑚 =
𝑚0
√1 − 𝑣²
=
16𝑅
√1 −
9𝑅²
25
=
16𝑅
√16𝑅²
25
=
16𝑅
4𝑅
5
= 20 
 
 
Enem 2014 – Azul – 179 (M) 
Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a 
unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal 
quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço 
daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para 
comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava 
semanalmente para fazer a compra era 
A R$ 166,00. 
B R$ 156,00. 
C R$ 84,00. 
D R$ 46,00. 
E R$ 24,00. 
Resposta: B 
 
(Adriano 2021) Sabe-se que a + b = 15, p + v = m e k = 36. 
Indique a alternativa que representa o valor de (
𝑎𝑝+𝑝𝑏+5
𝑚𝑘−𝑘𝑣+12
)
2
. 
a) 
2
3
 
b) 
16
25
 
c) 
24
144
 
d) 
36
121
 
e) 
25
144
 
Solução: Vamos começar fatorando a expressão 
 (
𝑎𝑝+𝑝𝑏+5
𝑚𝑘−𝑘𝑣+12
)
2
= (
𝑝(𝑎+𝑏)+5
𝑘(𝑚−𝑣)+12
)
2
= (
15𝑝+5
36𝑝+12
)
2
= (
5(3𝑝+1)
12(3𝑝+1)
)
2
= (
5
12
)
2
= (
25
144
)
2
 
 
Enem 2017 – 1ª Azul – 173 (M) tag: frações 
Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, a capacidade do tanque de combustível de cada carro passou a ser de 100 
kg de gasolina. Uma equipe optou por utilizar uma gasolina com densidade de 750 gramas por litro, iniciando a corrida com 
o tanque cheio. Na primeira parada de reabastecimento, um carro dessa equipe apresentou um registro em seu 
computador de bordo acusando o consumo de quatro décimos da gasolina originalmente existente no tanque. Para 
minimizar o peso desse carro e garantiro término da corrida, a equipe de apoio reabasteceu o carro com a terça parte do 
que restou no tanque na chegada ao reabastecimento. 
A quantidade de gasolina utilizada, em litro, no reabastecimento foi 
a) 20/0,075 
b) 20/0,75 
c) 20/7,5 
d) 20 x 0,075 
e) 20 x 0,75 
A quantidade de gasolina é igual a: (1/3).0,6.(100000/750) = 20 / 0,75 
Resposta: B 
 
(Adriano 2021) Uma mercearia vende 20 bolas de gude por 13,00 reais. Se João Guilherme tem 52,00 reais. 
Quanto ele poderá comprar usando todo este dinheiro? 
a) 70 d) 80 
b) 60 e) 98 
c) 54 
 
Solução: Usando regra de três simples, teremos que: 
{
20 13
𝑥 52
 
Como as grandezas são diretas, fica: 
13x = 20 . 52 => x = 80. 
Logo, a alternativa será letra D. 
 
13) Enem 2016 – 2ª Azul – 163 (M) 
Um produtor de maracujá usa uma caixa-d’água, com volume V, para alimentar o sistema de irrigação de seu pomar. O 
sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma vazão constante. Com a caixa-d’água cheia, o sistema foi 
acionado às 7 h da manhã de segunda-feira. Às 13 h do mesmo dia, verificou-se que já haviam sido usados 15% do volume 
da água existente na caixa. Um dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento do sistema quando o volume restante 
na caixa é de 5% do volume total, para reabastecimento. 
Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento? 
a) Às 15 h de segunda-feira. 
b) Às 11 h de terça-feira. 
c) Às 14 h de terça-feira. 
d) Às 4 h de quarta-feira. 
e) Às 21 h de terça-feira. 
Resposta: E 
 
(Adriano 2021) Sejam p, n, v números inteiros tais que n + v = 15 e p – v = 17. 
Qual o valor da expressão np – nv + vp – v² + 27. 
a) 97 
b) 102 
c) 207 
d) 273 
e) 282 
Solução: Inicialmente vamos evidenciar as letras que estão repetindo. 
np – nv + vp – v² + 27 = n(p – v) + v(p – v) + 27 
 = (p – v)(n + v) + 27 
 = 17 ∙ 15 + 27 
 = 282 
(Adriano 2007) Dados p, q e r números reais satisfazendo pqr = 1, com p ≠ 0, q ≠ 0 e r ≠ 0. Encontre o valor de A: 
prrqrqpqp
A
++
+
++
+
++
=
1
1
1
1
1
1 
 
14) Enem 2016 – 2ª Azul – 139 (M) 
Num mapa com escala 1 : 250 000, a distância entre as cidades A e B é de 13 cm. Num outro mapa, com escala 1:300.000, a 
distância entre as cidades A e C é de 10 cm. Em um terceiro mapa, com escala 1 : 500 000, a distância entre as cidades A e 
D é de 9 cm. As distâncias reais entre a cidade A e as cidades B, C e D são, respectivamente, iguais a X, Y e Z (na mesma 
unidade de comprimento). 
As distâncias X, Y e Z, em ordem crescente, estão dadas em 
A X , Y , Z. 
B Y , X , Z. 
C Y , Z , X. 
D Z , X , Y. 
E Z , Y , X. 
Resposta: B 
 
(Adriano 2021) Dado que a = 6, b = 3 e c = 1, quanto vale 
𝑎∙𝑐
𝑏
+ 1 ? 
a) 6 d) 2 
b) 8 e) 3 
c) 7 
 
Solução: Fazendo a substituição fica: 
𝑎 ∙ 𝑐
𝑏
+ 1 = 
6 ∙ 1
3
+ 1 = 2 + 1 = 3 
Logo alternativa E. 
 
(Adriano 2021) Na loja do Sr. Adrian Lucas o quilograma de carne moída custa R$ 22,00 reais. 
 
Considere que Josy tem R$ 55,00 reais. Quantas gramas da tal carne a jovem poderá comprar? 
a) 1200 d) 2500 
b) 2000 e) 2800 
c) 2050 
Solução: Vamos lembra que 1 kg equivale a 1000 g. Usando a regra de três simples, fica: 
 
{
22 1000
55 𝑥
 
Como as grandezas são diretas, fica: 22x = 55000 => x = 55000/22 = 2500 g. 
 
15) Enem 2016 – 1ª Azul – 163 (M) 
Densidade absoluta (d) é a razão entre a massa de um corpo e o volume por ele ocupado. Um professor propôs à sua turma 
que os alunos analisassem a densidade de três corpos: dA, dB, dC. Os alunos verificaram que o corpo A possuía 1,5 vez a 
massa do corpo B e esse, por sua vez, tinha 3/ 4 da massa do corpo C. Observaram, ainda, que o volume do corpo A era o 
mesmo do corpo B e 20% maior do que o volume do corpo C. 
Após a análise, os alunos ordenaram corretamente as densidades desses corpos da seguinte maneira 
A) dBé pedra. Logo, nenhum homem é pedra. 
a) Mortal. 
b) Pedra. 
c) Todo 
d) Nenhum. 
e) Homem. 
 
(Enem) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que 
utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma 
carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim 
sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as 
cartas não utilizadas nas colunas. 
A quantidade de cartas que forma o monte é 
a) 21. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 31. 
 
Alternativa correta: b) 24 
Para descobrir o número de cartas que sobraram no monte, devemos diminuir do número total de 
cartas do número de cartas que foram utilizadas nas 7 colunas. 
O número total de cartas utilizadas nas colunas é encontrado somando-se as cartas de cada uma 
delas, deste modo, temos: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 
Fazendo a substração, encontramos: 
52 - 28 = 24 
 
(FGV/ TJ-AM) Dona Maria tem quatro filhos: Francisco, Paulo, Raimundo e Sebastião. A esse respeito, 
sabe-se que: 
I. Sebastião é mais velho que Raimundo. 
II. Francisco é mais novo que Paulo. 
III. Paulo é mais velho que Raimundo. 
Assim, é obrigatoriamente verdadeiro que: 
a) Paulo é o mais velho. 
b) Raimundo é o mais novo. 
c) Francisco é o mais novo. 
d) Raimundo não é o mais novo. 
e) Sebastião não é o mais novo. 
 
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/assunto/silogismo-todo-algum-e-nenhum
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/banca/vunesp
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/banca/vunesp
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/ano/2013
Alternativa correta: e) Sebastião não é o mais novo. 
Considerando as informações, temos: 
Sebastião > Raimundo => Sebastião não é o mais novo e Raimundo não é o mais velho 
Francisco Paulo não é o mais novo e Francisco não é o mais velho 
Paulo > Raimundo => Paulo não é o mais novo e Raimundo não é o mais velho 
Sabemos que Paulo não é o mais novo, mas não podemos afirmar que é o mais velho. Assim, a 
alternativa "a" não é obrigatoriamente verdadeira. 
O mesmo podemos dizer das letras b e c, pois sabemos que Raimundo e Francisco não são os mais 
velhos, mas não podemos afirmar que são os mais novos. 
Portanto, a única opção que é obrigatoriamente verdadeira é que Sebastião não é o mais novo. 
 
Escola de Administração Fazendária (ESAF) - 2014 - RFB - Auditor Fiscal da Receita Federal AFRF 
Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é 
necessariamente verdade que: 
a) algum adulto é aluno de matemática. 
b) nenhum adulto é aluno de matemática. 
c) algum adulto não é aluno de matemática. 
d) algum aluno de matemática é adulto. 
e) nenhum aluno de matemática é adulto. 
 
 
(CESGRANRIO – 2010) Banco do Brasil/Escriturário. Qual a negação da proposição "Algum funcionário da 
agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos"? 
a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 
b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. 
c) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. 
d) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 
e) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 
 
(FGV – 2021 – FUNSAÚDE – CE) Analista de Patologia Clínica. Hamilton, Helena e Homero disputaram 
várias partidas de tênis entre si. Nos jogos de tênis não há empates. Hamilton ganhou 3 partidas e perdeu 4. 
Homero ganhou 2 partidas e perdeu 6. Helena perdeu apenas uma partida. Assinale a opção que indica o 
número de partidas que Helena ganhou. 
a) 7. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 3. 
 
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/banca/esaf
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/ano/2014
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/orgao/rfb
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cesgranrio-2010-banco-do-brasil-escriturario
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2021-funsaude-ce-analista-de-patologia-clinica
(FGV/TRT-SC) Alguns consideram que a cidade de Florianópolis foi fundada no dia 23 de março de 
1726, que caiu em um sábado. Após 90 dias, no dia 21 de junho, a data assinalou o início do inverno, 
quando a noite é a mais longa do ano. Esse dia caiu em uma: 
a) segunda-feira 
b) terça-feira 
c) quarta-feira 
d) quinta-feira 
e) sexta-feira 
 
Alternativa correta: e) sexta-feira 
Como entre um sábado e outro temos o intervalo de 7 dias, vamos dividir os 90 por 7 para saber 
quantas semanas teremos nesse intervalo. O resultado dessa divisão é 12 semanas e sobram 6 dias. 
Contando seis dias a partir de sábado, temos a sexta feira. 
 
(Vunesp 2014) Sabe-se que é falsa a afirmação: 
 
Se Antonio é jovem, então Priscila é universitária. 
Com base nessas informações, é correto concluir que contém uma afirmação verdadeira a alternativa: 
a) Antonio não é jovem e Priscila é universitária. 
b) Antonio não é jovem e Priscila não é universitária. 
c) Antonio não é jovem ou Priscila é universitária. 
d) Antonio é jovem e Priscila é universitária. 
e) Antonio é jovem e Priscila não é universitária. 
 
(FGV – 2021 – FUNSAÚDE – CE) Analista de Patologia Clínica. Três profissionais de enfermagem atendem, 
em média, 12 ocorrências em 2 horas. Com a mesma eficiência, duas profissionais de enfermagem atendem, 
em 4 horas, em média, 
Alternativas 
a) 8 ocorrências. 
b) 9 ocorrências. 
c) 12 ocorrências. 
d) 15 ocorrências. 
e) 16 ocorrências. 
 
Raciocínio Lógico - Silogismo: Todo, Algum e Nenhum - FUNRIO Fundação de Apoio a Pesquisa, Ensino e 
Assistência (FUNRIO) - 2017 - SESAU/RO - Biomédico 
Se todo X é Y, todo Y é Z e todo W é Y, avalie se as afirmativas a seguir são falsas (F) ou verdadeiras: 
I. Todo W é X. 
II. Todo Z é W. 
III. Todo X é Z. 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2021-funsaude-ce-analista-de-patologia-clinica
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/assunto/silogismo-todo-algum-e-nenhum
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/banca/funrio
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/banca/funrio
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/ano/2017
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/orgao/sesau-ro
As afirmativas são respectivamente: 
a) F, F e F. 
b) F, F e V. 
c) V, V e V. 
d) V, F e F. 
e) F, V e F. 
 
Raciocínio Lógico - Silogismo: Todo, Algum e Nenhum - CONSULPLAN Consultoria (CONSULPLAN) - 2014 -
 MAPA - Agente Administrativo 
“Todo vegetariano é magro. Alguns magros são elegantes.” Com base na afirmativa anterior, é correto 
afirmar que 
a) todo vegetariano é elegante. 
b) alguns magros são vegetarianos. 
c) alguns vegetarianos são elegantes. 
d) alguns vegetarianos são magros e elegantes. 
 
(FGV - 2021 – IMBEL) Cargos de Nível Médio. Um funcionário da fábrica da IMBEL de Juiz de Fora pensou 
em pintar uma faixa decorativa no muro externo da fábrica com o motivo abaixo: 
I M B E L J F I M B E L J F I M B E L J F ... 
Mantendo esse padrão, a 500ª letra dessa faixa será 
a) B. 
b) E. 
c) L. 
d) J. 
e) F. 
 
(CESGRANRIO – 2010) Banco do Brasil/ Escriturário. A proposição funcional 
"Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6nhttps://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/assunto/silogismo-todo-algum-e-nenhum
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/banca/consulplan
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/materia/raciocinio-logico/ano/2014
https://www.estudegratis.com.br/questoes-de-concurso/orgao/mapa
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2021-imbel-cargos-de-nivel-medio-reaplicacao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cesgranrio-2010-banco-do-brasil-escriturario
 
3. CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS. 
 
 
(Adriano 2006) O conjunto A possui 5 elementos que são números pares e 3 elementos que são múltiplos 
de 3. Se esses elementos são do conjunto B = {1, 2, 3, ..., 19}. Qual é o número mínimo e o número máximo 
de subconjuntos de A? 
A) 32 e 64 D) 128 e 64 
B) 24 e 36 E) 128 e 256 
C) 32 e 256 
Solução: Observe que o conjunto A será máximo se possui 8 elementos. Isto ocorre, se o conjunto que tem 5 
elementos pares for disjunto do conjunto que tem 3 múltiplos de 3. Veja exemplo a seguir. 
A = {2, 4, 8, 10, 16, 3, 9, 15} e as partes de A será 28 = 256. 
Para que A seja mínimo teremos que a interseção entre os dois subconjuntos seja máxima. 
A = {2, 4, 6, 12, 18} e as partes de A será 25 = 32. 
Logo a alternativa correta é a letra C. 
 
(Adriano 2006) Consideremos os conjuntos abaixo: 
 I. X é o conjunto dos números pares maiores que zero e menores que 12. 
 II. Y é formado por todos os números naturais entre 1 e 20. 
Podemos afirmar que: 
 
A) 2  Y D) X  Y 
B) 6 e 7  X E) { }  Y 
C) 7  Y 
 
Numa escola 150 alunos estudam Matemática, 20 estudam Português e Matemática e os 30 restantes estudam outras 
disciplinas. Pergunta – se: Qual o total de alunos dessa escola? 
 
Solução. Pelo enunciado, nenhum aluno estuda somente Português. Isto é, todos os alunos que estudam 
Português estudam Matemática. Analisando os diagramas, temos: 
 
Total = 130 + 20 + 30 = 180 alunos. 
 
(Adriano 2007) Considere os conjuntos X, Y e Z na figura ao lado: 
 
Podemos afirmar que X  Y = {1, 4, 9}. 
Quantos elementos do conjunto Z – (X  Y) são números pares? 
A) nenhum D) cinco 
B) dois E) três 
C) quatro 
 
 
Considerando os conjuntos A, B e C, representados na figura, e sabendo que: 
Q(A  B) = 24, Q(A  B) = 4, Q(B  C) = 16, Q(A – C) = 11 e Q(B – C) = 10, calcule: 
 
a) Q(A – B) b) Q(A  B  C) c) Q(B – (C  A)) d) Q((A  B) – C) e) Q(B – (A  B)) 
 
Solução. Considere x, y, z, w e t as quantidades dos elementos nas regiões indicadas na figura. De acordo com as 
informações, temos: 








=+=−
==−
==−
==
==−












=+++−=
=−==+
=−==+
=−==+
=−=



=+++
=++++
12))((
3))((
7))((
1)(
8)(
5)7138(24
731010
1344
381111
81624
16
24
twBABQ
yCBAQ
tACBQ
zCBAQ
xBAQ
w
tty
zzy
yyx
x
twzy
twzyx
. 
(EFOMM 2006) Sejam os conjuntos U={ 1, 2, 3, 4} e A = { 1, 2}. O conjunto B tal que 𝐵 ∩ 𝐴 = {1} e B U A = U 
é 
A) 0 
B) {1} 
C) {1,2} 
D) {1,3,4} 
E) U 
 
(Adriano 2007) Dados A, B e C, assinale o item que representa (A – B) ∩ (B U C). 
 
 
 
 
Em um grupo de 30 crianças, todas têm olhos azuis ou estudam canto. Sabendo-se que 16 têm olhos azuis e 20 estudam 
canto, o número de crianças desse grupo que têm olhos azuis e estudam canto é: 
a) exatamente 16 b) no mínimo 6 c) exatamente 10 d) no máximo 6 e) exatamente 6. 
 
 
Solução. Representando a situação em diagramas, temos: 
Adicionando as quantidades, temos: 
16 – x + x + 20 – x = 30 => – x = 30 – 36 => x = 6. 
 
Das pessoas que frequentam, na semana, uma academia, 127 fizeram musculação, 104 fizeram aeróbica, 32 fizeram 
musculação e aeróbica, e 46 fizeram outras atividades. Frequentaram a academia, nessa semana: 
A) 245 pessoas. 
B) 277 pessoas. 
C) 213 pessoas. 
D) 267 pessoas. 
 
(EFOMM 2007) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer 
esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é 
A) 116 
B) 142 
C) 166 
D) 176 
E) 194 
 
(Adriano 2007) Considere A = [3 , 5] e B = {b   / 2  x  6}. Seja  a relação do conjunto A com B, tal que 
o par (a, b)   se aquais possamos fazer à relação A × B, qual será o valor mínimo de 
)(
)(
BAn
BAn

 , para que o número de elementos de A seja 3 e o conjunto B possua dois elementos? 
 
A) 36 
B) 34 
C) 47 
D) 23 
E) 18 
 
(EFOMM 2019) Sendo Z o conjunto dos números inteiros e Q o dos números racionais, qual dos números seguintes não 
pertence ao conjunto (Z U Q)-(Z  Q)? 
a) 2,0123 
b) 5/3 
c) 0 
d) -0,888... 
e) -2/3 
 
(Adriano 2006) Seja A o conjunto cujos elementos são os múltiplos de 32 menores que 73. Sabendo que n(B) = 13 é o 
numero de elementos do conjunto de B. 
Se n(A  B) = 5, podemos dizer que o número de elementos do conjunto A  B é igual a: 
 
A) 11 
B) 13 
C) 17 
D) 19 
E) 23 
 
O conjunto das partes de um conjunto A é indicado por P(A). Se A ={x | x é um número primo entre 4 e 15}, quantos 
elementos tem P(A)? 
 
(Adriano 2007) Dados M, N e P conjuntos finitos, tais que: 
 
M – conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30. 
N – possui 5 elementos, todos ímpares. 
P – são os divisores positivos do número 15. 
 
Seja (M  N) – P  { } e (M  P) – N  { }, podemos dizer que (N  P) – {M  (N ∩ P)} possui elementos. 
 
A) 5 
B) 3 
C) 2 
D) 1 
E) nenhum 
 
 
 
 
4. FUNÇÕES E Suas aplicações. 
 
(Adriano 2006) Explicitando o domínio D da função f, tal que sua lei de formação é: 
 
1
4
)(
−
−
−=
x
x
xxf 
 
 Assinale o item que representa a quantidade de números inteiros que pertencem ao domínio D menores que 7. 
 
A) cinco. 
B) seis. 
C) oito. 
D) nove. 
E) dois. 
(Adriano 2007) São dadas as funções f(x) e g(x), com 
 −
=
3
1 1
)(
p p
x
xf e g(f(x)) = f(x). 
Logo se calcularmos f(1) para 1326 +=− , vamos obter ( )223 −+g igual a: 
A) √3 + √2 – 2 D) √3 – √2 + 5 
B) √3 – √2 + 2 E) √3 + √2 + 6 
C) √3 + √2 – 8 
 
Um veículo tem o seu movimento descrito pela equação S = 5 – 6t + t2 com Espaço (S) em metros e Tempo (t) em 
segundos. Pede-se: 
a) Qual a posição inicial do veiculo 
b) A posição do veículo em 2 e em 6 segundos 
c) O tempo em que o veículo passa pela origem do sistema 
d) O tempo e a posição de retorno do veículo 
e) Represente graficamente, sob aspecto matemático e físico o movimentos desse móvel 
 
(Adriano 2007) Numa fabrica de calçados, o lucro da empresa é dado pela expressão matemática da função p, onde p(x) = 6 
– 3x – 2x2. (os valores do lucro são dados em milhões de reais) 
 A produção de tênis é máxima quando possui o maior número possível de funcionários trabalhando nesta empresa. 
Com base nisso, podemos afirmar que o lucro máximo (em milhões) vale . 
 
A) 7,125 D) 7,215 
B) 7,251 E) 7,225 
C) 7,521 
 
Na figura abaixo estão representadas uma parábola de equação 642 +−= xxy e uma reta que passa pela 
origem e pelo vértice da parábola. 
 
Calcule as coordenadas do ponto A. 
Solução. Calculando o vértice, temos: 
( )2,2
4
)6).(1.(416(
,
2
)4(
4
,
2
: =




 −
−
−
−=




 
−−
aa
b
Vértice 
Como temos uma reta usaremos que: 
xyouxxfaaabaxxf ====+=+= )(1220)2.(2)( 
Façamos o calculo para encontrar a interseção da parábola com a reta. 
)3,3(
33
)(2
2
15
2
)6).(1.(4)5()5(
06564
64
2
22
2
=



==
→=


=
−−−−
=
=+−=+−



+−=
=
A
yx
vérticex
x
xxxxx
xxy
xy
 
 
Ache o domínio da função 
3
2
)(
−
−
=
x
x
xf 
Seja a função f: D→ IR dada por 12)( += xxf , de domínio D = {-2, -1, 0, 2}. Determine o conjunto Imagem de f. 
 
(Adriano 2006) O gráfico ao lado é a representação geométrica do lançamento de um foguete da NASA que 
está a três milhas de uma base militar no sentido esquerda ⟶ direita. 
 Os físicos Adrian Carneiro e Simon Savchev fizeram os cálculos do lançamento e do pouso deste foguete, 
encontrando uma função ‘matemática’ do segundo grau do tipo F(x) = ax2 + bx + c. 
 
Sobre a teoria das funções do segundo grau e considerando o gráfico da trajetória do foguete, podemos 
afirmar que: 
A) F possui a maior que zero. 
B) F corta o eixo y em dois pontos. 
C) F admite mínimo igual a 4. 
D) F admite máximo maior que 3. 
D) F admite máximo menor que 4. 
 
Seja f: IR*→ IR a função dada por 
x
x
xf
1
)(
2 +
= . Qual é o valor de 





+
3
1
)3( ff ? 
Solução: Vamos atribuir a x os valores pedidos. 
3
10
3
19
3
13
)3(
2
=
+
=
+
=f
 
( )
3
10
9
30
1
3
9
10
3
1
9
10
3
1
1
9
1
3
1
1
3
1
3
1
2
====
+
=
+
=





f
 
Portanto, 
3
20
3
10
3
10
3
1
)3( =+=





+ ff
 
 
(Adriano 2006) Seja f(x) = | x + 1 | uma função modular e g(x) = 2x + 1 uma função afim, assinale a alternativa que melhor 
representa o gráfico da função composta fog(x): 
 
 
 
 
 
 
 
Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$ 10,00 sem hora marcada. Ele 
atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes sem hora 
marcada. 
a) O que é dado em função do que? 
b) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função do número x. 
c) Qual foi a quantia arrecadada num dia em que foram atendidos 16 clientes? 
d) Qual foi o número de clientes atendidos num dia em que foram arrecadados R$ 212,00? 
e) Qual é a expressão que indica o número C de clientes atendidos por dia em função de x? 
 
(adriano 2006) Sendo k um número inteiro positivo com k > 0, quais os valores de k para que f(x) = 3x2 – 
2x + k – 3 = 0 , possua duas raízes reais e diferentes. 
A) (1, 3, 5) 
B) ( 1, 4, 5) 
C) ( 1, 2, 3) 
D) ( 1, 2, 4) 
E) não existe k 
 
Seu Renato assustou-se com sua última conta de celular. Ela veio com o valor 250,00 (em reais). Ele, como uma pessoa 
que não gosta de gastar dinheiro à toa, só liga nos horários de descontos e para telefones fixos (PARA CELULAR 
JAMAIS!). Sendo assim a função que descreve o valor da conta telefônica é P = 31,00 + 0,25t, onde P é o valor da conta 
telefônica, t é o número de pulsos, (31,00 é o valor da assinatura básica, 0,25 é o valor de cada pulso por minuto). Quantos 
pulsos seu Renato usou para que sua conta chegasse com este valor absurdo (250,00)? 
a) 492 
b) 500 
c) 876 
d) 356 
 
(Adriano 2007) Dados às funções reais f(x), g(x) e h(x) definidas por: 
2
)(
)(
)( 





=
xh
xg
xf e 




=
=
−
+−
xx
xx
xh
xg
3
3
2
2
3)(
2)(
 
Podemos afirmar que o maior valor que f(x) pode assumir é: 
A) 24/9 D) 69/2 
B) 29/4 E) 62/9 
C) 39/2 
Solução: Observe que 
( )
( ) ( )23
2
33
2
1
3
3
2
3
3
222
2
2
2
2
632
3
2
3
2
)( xxxxxx
xx
xx
xx
xx
xf +−+−+−
−
+−
+−
−
+−
==








=








= . 
Vamos achar o máximo da função 
xxxp 3)(
2
+−= 
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
=
−9
4(−1)
=
−9
−4
=
9
4
 
Logo, 2
92
4
9
66)( =



=máxxf , item D. 
 
(UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = - 40x² 
+ 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima 
atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a 
(A) 6,25 m, 5s 
(B) 250 m, 0 s 
(C) 250 m, 5s 
(D) 250 m, 200 s 
(E) 10.000 m , 5s 
(Adriano 2007) Seja f(2 – k) = | 2 – k |, onde k  Z. Para que f(2.f(x)) = 10, x deve assumir quais valores:A) – 1 e 1 D) – 4 e 4 
B) – 2 e 2 E) – 5 e 5 
C) – 3 e 3 
 
(Adriano 2007) Sejam f e g funções de variáveis reais, tais que f(x)2 = x2 +3x + 6 e 
 g(x) = x2 + 3x + 4. Podemos dizer que f(x) = g(x) quando algum x pertence 
ao intervalo: 
 
A) {x є R / – 2 x² + x +2x + 2 = 0 => x(x + 1) + 2(x + 1) = 0 => (x + 1)(x + 2) = 0. 
Portanto. os valores em que f se anula, isto é, o domínio não se define, serão x = - 1 e x = - 2. 
O único intervalo que possui um do número – 1 e – 2 é o da letra D. 
 
 
 
 
5. LOGARITMOS E EXPONENCIAIS. 
 
(Adriano 2006) De volta às aulas a pequena Clara de Assis deparou – se com o seguinte problema: 
 
“Calcule x, na equação x = log 4 16 + log 3 27.” 
 
Usando os conhecimentos de logaritmo podemos dizer que a garota encontrou x igual a: 
 
A) 3 D) 11 
B) 5 E) 13 
C) 7 
 
(Adriano 2006) O Prof. Adriano Carneiro encontrou as raízes da seguinte equação exponencial: 
 
22x – 9.2x + 8 = 0 
 
Determine a diferença entre essas raízes. 
 
A) 1 D) 4 
B) 2 E) 5 
C) 3 
(Adriano 2007) Sejam f e g funções logarítmicas,onde 2
2log.3)( xxf = e xxg 2log.2)( = . Podemos afirmar que (f(x) + 
g(x)) ¼. 
 
xA 2log) 
xB 3log.3) 
xC 2log.3) 
xD 2log.2) 
2
2log.3) xE 
 
16) Enem 2016 – 1ª Azul – 160 (D) Tag: Porcentagem 
Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000°C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. 
Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11). O tempo decorrido, em hora, até 
que a liga atinja 30°C é mais próximo de 
a) 22. 
b) 50. 
c) 100. 
d) 200. 
e) 400. 
Resposta: D 
 
(Adriano 2021) Considere x e y inteiros positivos maiores que 1. Sabe-se que: 
log𝑥 2 + log𝑦 3 = 6 e log𝑦 3 + log𝑥 4 = 10 
Assinale abaixo o valor de x8 + y4. 
a) 7 d) 13 
b) 9 e) 18 
c) 11 
Solução: Façamos primeiro uma observação em log𝑥 4. 
Pela propriedade de potencia temos que log𝑥 4 = log𝑥 2² = 2 log𝑥 2. 
Atribuindo m para log𝑥 2 e n para log𝑦 3, obtemos o sistema abaixo. 
{
𝑚 + 𝑛 = 6
𝑛 + 2𝑚 = 10
 
Multiplicando a 1ª equação por – 1 e somando com a 2ª, temos que: 
m = 4 e n = 2 
 Como 
log𝑥 2 = 𝑚 = 4 => 2 = 𝑥4 => 2² = (𝑥4)2 => 𝑥8 = 4 
log𝑦 3 = 𝑛 = 2 => 3 = 𝑦2 => 3² = (𝑦2)2 => 𝑦4 = 9 
Desta forma, x8 + y4 = 4 + 9 = 13. Alternativa D. 
 
(Adriano 2007) Assinale o número de intersecções dos gráficos das funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 9 – x2, sabendo que o 
domínio de f está sendo representado pelo conjunto { (x, y) ∊ R2/ – 2 ≤ x 1/3} D) {x  R / x > 1/2} 
B) {x  R / x ≥ 1/2} E) {x  R / x > 2} 
C) {x  R / x ≥ 1/3} 
 
(Adriano 2006) Sejam x2log , y3log e z4log inversamente proporcionais a 2, 3 e 4, onde 
3
1
4logloglog 432 =++ zyx . 
Então y3 – 2.(x2 + z2) é primo com todos os números diferente de 1, 
exceto . 
A) 5 D) 13 
B) 7 E) 17 
C) 11 
(Adriano 2009) Uma das propriedades de logaritmo está relacionada abaixo: 
ba
ba =
log
 
 Adrian Lucas propôs o seguinte sistema 
20092log
20096log
20097log
20098log
)9(log
)5(log
)4(log
)3(log
72
36
27
18
=
=
=
=
+
+
+
+
x
k
x
k
x
k
x
k

 
 Sendo 2... 7321 =++++ xxxx , marque o item que representa o valor de  em função de k 
A) 2009
2
5
k= D) 15
2
7 2009 −= k 
B) 
2
3
2009k
−= E) 
5
6
2009k
−= 
C) 17
2
5 2009 −= k 
 
(Adriano 2006) Sejam S e P a soma e o produto de alguns termos que envolvem logaritmos decimais. 
 
Como S = log 3r – log (3r)2 + log (3r)3 – log (3r)4 + ... + log (3r)n – 1 – log (3r)n e o produto é da forma. 

=
−+=
n
k
kkP
2
1))1(log()(log . Para que a equação (log 2) × S = P seja verdadeira, devemos ter r igual a . 
 
 
6. TRIGONOMETRIA. 
 
Dois observadores, A e B, vêm um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°. Sabendo que a 
distância entre A e B é de 200 m, calcule a altura h do balão. 
 
(Adriano 2008) Seja 5)( −= xxf e cos 2x = cos2x – sen2x, determine 3cos2x sabendo que f(cos 2x)= 4. 
 
A) 11 C) 33 
B) 22 D) 44 
 
 
(Adriano 2021) Mostre que para x