Operações Matemáticas e Conceito de Conjunto

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Centro Universitário UniRitter 
Disciplina de Matemática Fundamental (Arquivo 1) 
Profª Laurise Martha Pugues – laurisepugues@ibest.com.br 
 
Objetivo: 
Operações e simbologia. Intervalos numéricos e conjuntos números Naturais, 
Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais bem como suas operações básicas. 
 
Operações e simbologia 
As operações matemáticas envolvem: números e operadores. No quadro nº 1 a 
seguir, apresentam-se as operações e sua simbologia: 
Quadro 1: Operações e simbologias 
Operações Símbolos 
Adição (soma) + 
Subtração - 
Multiplicação X ou ( . ) ou * 
Divisão / ou ( : ) ou 
Potenciação 
Radiciação √ 
 
 
 Fonte: autora (2013) 
 
As operações de soma, subtração, multiplicação e divisão são as quatro operações 
básicas, utilizadas no cotidiano das pessoas e são denominadas operações 
aritméticas. 
 
Operações Algébricas Básicas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação 
e radiciação. 
 
 Lembre-se que: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 × 2 
 3 × 3 × 3 ou 3 3 
 
 Para resolver as operações algébricas segue a seguinte ordem das operações: 
 1ª) potenciação ou radiciação; 
 2ª) multiplicação e divisão; 
 3ª) adição e subtração. 
 
 Deve-se observar também, na ordem em que aparecem, as operações dos: 
 1ª) parênteses ( ); 
 2ª) colchetes [ ]; 
 3ª) chaves { }. 
 
Expressões numéricas Expressões algébricas 
7 – 1 + 4 X + y – z 
2 . 5 – 3 2x – 4a +1 
Possuem apenas números Possuem números e letras ou apenas letras 
 
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Regras: 
1) Operando com a soma de sinais: 
Ex.: 3 – 7 = - 4 (Regra: subtrai-se e fica com o sinal do maior valor numérico) 
Ex.: - 3 – 7 = - 10 (Regra: soma-se e conserva-se o mesmo sinal.) 
Ex.: 7 – 3 = 4 e 7 + 3 = 10 (subtração e adição) 
2) Operando com a multiplicação de sinais: 
Ex.: - 3 . 7 = - 21 ou 3 . (-7) = -21 (Regra: sinais diferente dá um número 
negativo) 
Ex.: - 3 . (-7) = 21 ou 3 . 7 = 21 
Errado: 3 - + 7 e 3 + - 7 ou 3 . – 7 (nunca se deve escrever dois sinais algébricos 
( +, - , . , 
 Correto: 3 – ( + 7) e 3 + (- 7) ou 3 . (-7) 
 
Esquema para multiplicação e divisão: 
 
Multiplicação Resultado Divisão Resultado 
+ vezes + = + + dividido + = + 
- vezes - = + - dividido - = + 
- vezes + = - - dividido + = - 
+ vezes - = - + dividido - = - 
 
Ordem dos fatores 
Operações Exemplo Situação 
Adição 2 + 5 = 7 ou 5 + 2 
= 7 
Permanece igual 
Subtração 2 – 5 = -3 e 5 – 2 = 
3 
Diferente 
Multiplicação 2 . 5 = 10 ou 5 . 2 = 
10 
Permanece igual 
Divisão 2 5 = 0,4 e 5 2 = 
2,5 
Diferente 
Potenciação = 2 . 2 .2 . 2 . 2 = 
32 
 = 5 . 5 = 25 
Diferente 
Radiciação √ 
 
 = 1,148698]355 
√ 
 
 = 2,236067]977 
Diferente 
 
 
Regra do arredondamento: 
0 
1 
2 do 0 ao 4 não altera o próximo número 
3 ex.: 1,148698355 = 1,148698 
4 
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5 
6 
7 do 5 ao 9 soma-se 1 
8 ex.: 2,236067977 = 2,236068 
9 
 
No caso de 2,9987, fica 3,00 
 
(Exercícios retirados de Giovanni e Giovanni Jr, 2010) 
 
Exercício 1: 
 
1) Calcule o valor numérico das expressões: 
 
a) X – y para x = 5 e y = -4 
b) 3x + a para x = 2 e a = 6 
c) 2x + m para x = -1 e m = -3 
d) X + y para x = 1/2 e y = - 1/5 
 
2) Calcule o valor numérico das expressões: 
 
a) a3 – 5a para a = -2 
b) x² - 2y para x = -3 e y = 5 
c) 3a² - b² para a = -2 e b = -7 
d) a² +4a para a = 2/3 
 
3) Calcule o valor numérico das expressões: 
 
a) a² + b³ para a = -1 e b = -2 
 2 
b) ab + c para a = 2, b = 5 e c =3 
ab – c 
 
c) a + b + 2a para a = 1 e b = - 7 
 3 5 
 
d) Calcule (x + 1) . (x + 2) . (x + 3) para x = -4 
 
 
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Conceito de Conjunto 
 
Segundo Medeiros (2009) não existe uma definição especifica para conjunto, 
podendo ser considerado uma coleção de objetos. Os objetos que fazem parte de 
uma coleção são os elementos do conjunto. 
Ex.: um ponto é um elemento de um conjunto de pontos. Um planeta é um 
elemento do conjunto de astros. 
 
Relação de Pertinência 
Para dizer que x é um elemento de um conjunto A, escreve-se: x є A (leitura: x 
pertence ao A) 
 
Para dizer que x não é um elemento do conjunto A, escreve-se: x A (leitura x 
não pertence ao A) (MEDEIROS, 2009) 
 
Representação de um conjunto 
Medeiros (2009) menciona que são utilizados dois recursos principais para a 
descrição de um conjunto: 
 
1) Quando está entre chaves, e separados por vírgulas representam os elementos 
formadores de um conjunto. 
Ex.: 
A = {a, b, c} 
B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
2) Medeiros (2009) diz “Quando escrevemos entre chaves, uma característica 
comum a todos os elementos formadores do conjunto.” 
Ex.: 
A = {x | x é vogal} = {a, e, i, o, u} 
 
Conjunto unitário 
É o conjunto que possui apenas um elemento. 
 
Ex.: 
A = {x|x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} 
 
Conjunto vazio 
É aquele que não possui elementos, sendo representado da seguinte forma: 
{ } ou 
 
A = {x|x = x² = 9 e x é par} = { } 
 
 
 
 
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Relação de inclusão 
Medeiros (2009) menciona “que se todo elemento de um conjunto A também for 
um elemento de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de 
B.” 
Para indicar que A é um subconjunto de B, escreve-se: 
 
A B (A está contido em B) 
A B (B contém A) 
 
Se o conjunto de A não for subconjunto de B, escreve-se A B (A não está contido 
em B) 
 
Operações com conjuntos 
a) União de conjuntos 
Considerando-se dois conjuntos A e B. União de A e B é: um conjunto C, onde ele 
( C ) é compreendido por todos os elementos de A e todos os elementos B. 
 
C = A U B = {x|x є A ou x є B} 
 
Ex.: 
Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6} 
Então A U B = {1, 2, 3, 4, 6} 
 
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e, f, g} 
Então A U B = {a, b, c, d, e, f, g } 
 
b) Intersecção de conjuntos 
Considerando-se dois conjuntos A e B, define-se intersecção de A e B como sendo: 
um conjunto C onde ele é compreendido somente pelos elementos comuns aos 
A e B. 
 
C = A ∩ B = {x|x є A e x є B} 
 
Ex.: 
Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6} 
A ∩B = {2, 4} 
 
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e, f, g} 
A ∩B = {c, d, e} 
 
c) Conjuntos diferença 
A diferença dos conjuntos A e B é efetuada da seguinte forma: tomando-se todos 
os elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B. 
 
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C = A – B 
 
Ex.: 
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, e, f, g, h} 
Verificar os elementos de A, que se apresentam também em B e eliminá-los, 
escrevendo assim o C. 
 
C = A – B = {a, b, d} 
 
Tipos de Números 
 
a) Números naturais (N) 
Para Medeiros (2009), o conjunto dos números naturais é importante pelo seu uso 
na contagem, ou seja, é uma classe de números usados no processo de contagem 
de objetos (concretos ou abstratos). 
 
Notação é N = {0, 1, 2, 3, 4...} 
A sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é 
obtido acrescentando- uma unidade (+1) ao número anterior. (Giovanni e Giovanni 
Jr, 2010). 
Não existe o maior número natural, a sucessão é infinita. 
 
Existindo uma sucessão de números (14, 15 e 16) são chamados números 
consecutivos. 
Sucessão dos números naturais pares = 0, 2, 4, 6, 8 ... 
Sucessão dos números naturais ímpares = 1, 3, 5, 7... 
 
b) Números inteiros (Z) 
Conforme Medeiros (2009) “o conjunto dos números inteiros é formado pelos 
elementos do conjunto dos números naturais acrescidos de seus simétricos.” 
Notação Z = {...- 2, -1, 0, 1, 2,...} 
Conjunto de números inteiros positivos (equivalente ao conjunto dos números 
naturais). 
Ex.: + 14, + 22, + 13 
 
Conjunto de números inteiros negativos 
Ex.:- 8, - 6, - 1 
 
c) Números Racionaisou fracionários (Q) 
Números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração de números 
inteiros. Tem representação decimal finita ou periódica. Para Giovanni e Giovanni Jr 
(2010) “todo numero racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, 
sendo o segundo número diferente de zero”. 
 
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Todo número racional relativo pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
, com a e b inteiros e b ≠ 0. 
 
Ex.: 
a) + 4 e – 4 são números racionais inteiros. 
4 => 4 ÷ 1 = 4 (número racional escrito na forma fracionária) ou 4 (número 
inteiro) 
 1 
b) + 5 e – 5 (números racionais na forma de fração) 
 7 7 
 
c) + 2,8 e – 2,8 (números racionais na forma decimal) 
 
d) Números Irracionais (I) 
São números cuja representação decimal é sempre infinita (não é exata), nem 
periódica, consequente, não podem ser escritos sob a forma de fração. 
 
Um número irracional nunca pode ser escrito da seguinte forma: 
 a , sendo a e b números inteiros e b ≠ 0 
 b 
 
ex.: 
 √ = 1,4142135 
√ = 3,1622776 
 
Exercício 2 (Números naturais) 
 
1) Helena e José inscreveram-se em um concurso. O número da inscrição de 
Helena é 10 010 e o de José é o antecessor desse número, Qual é o número de 
inscrição de José? 
 
2) Tiago e Guilherme moram em apartamentos vizinhos. O número do apartamento 
de Tiago é 1 009 e o de Guilherme é o sucessor desse número. Qual é o número 
do apartamento de Guilherme? 
 
3) De um lado do quarteirão existem seis casas. Os números dessas casas são 
expressos por números naturais pares consecutivos. Se o menor dos números é 
126, quais os números das outras casas? 
 
4) Uma sequência numérica é formada por oito números naturais ímpares 
consecutivos. O maior dos números dessa sequência é 311. Quais são os outros 
números dessa sequência? 
 
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5) Um fazendeiro coletou dados de sua criação de gado durante 3 anos, e os 
resultados estão na tabela abaixo: 
 
Ano Natalidade Mortalidade 
2008 120 10 
2009 80 5 
2010 70 15 
 
A quantidade inicial era de 600 cabeças de gado. Quantas cabeças de gado havia 
no final do ano de: 
a) 2008? b) 2009? c) 2010? 
 
Exercício 3 (Números inteiros) 
 
1) Ao operar com números naturais, não é possível efetuar a subtração quando o 
minuendo é menor que o subtraendo (3 – 5 = ?). Com a criação dos números 
inteiros negativos, essa subtração tornou-se possível. Em quais das seguintes 
subtrações o número representado pela letra x é um número negativo? 
a) 32 – 32 = x 
b) 10 – 40 = x 
c) 99 – 98 = x 
d) 100 – 101 = x 
 
2) A balança comercial de um país relaciona o valor das exportações (mercadorias 
vendidas para outros países) e o valor das importações (mercadorias 
compradas de outros países). Se o valor das exportações é maior que o valor 
das importações, o saldo comercial é expresso por um número inteiro positivo 
chamado de superávit comercial. Se o valor das exportações é menor que o 
valor das importações, o saldo comercial é expresso por um número inteiro 
negativo chamado déficit comercial. 
A tabela a seguir mostra os valores das exportações e das importações de 
alguns países, em bilhões de dólares: 
 
País Exportações Importações 
A 112 100 
B 82 96 
C 150 118 
D 120 120 
E 99 72 
F 101 110 
 
Em quais desses países a balança comercial pode ser representada por: 
 
a) um número inteiro positivo (superávit)? 
b) um número inteiro negativo (déficit)? 
c) saldo comercial 0 (zero)? 
 
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3) Caio escreveu em cada cartão um número inteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, colocou esses cartões em uma urna. 
a) Quantos cartões ele colocou na urna? 
b) Se ele tirar da urna um desses cartões, ao acaso, sem olhar, é maior a 
probabilidade de ele tirar um cartão em que esteja escrito um número inteiro 
positivo ou negativo? 
c) Usando frações, qual a probabilidade de sair um cartão em que esteja escrito: 
Um número inteiro positivo? 
Um número inteiro negativo? 
 
 
Exercício 4 (Números racionais ou fracionários) 
 
1) Escreva na forma irredutível os seguintes números racionais: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
2) Você sabe que todo número racional pode ser escrito na forma decimal. Escreva 
o número decimal que corresponde a cada um dos seguintes números racionais: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
- 10 
+ 26 0 -15 - 21 + 35 
+ 20 - 50 + 70 + 30 
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d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
3) Qual é o valor das somas algébricas? 
a) 
 
 
 + 
 
 
 
 
b) 
 
 
 - 
 
 
 
 
c) 
 
 
 - 
 
 
 
 
d) 
 
 
 + 2 
 
Referências 
 
MEDEIROS, Valéria Zuma (coord.). Pré-cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 
2009. 
 
GIOVANNI, José Ruy e GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. 
São Paulo: FTD, 2010.