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Centro Universitário UniRitter Disciplina de Matemática Fundamental (Arquivo 2) Profª Laurise Martha Pugues – laurisepugues@ibest.com.br Objetivo: Porcentagem, Regra de três simples e composta. Porcentagem Conceito: expressão que vem do latim per centum, por cento, e significa por cem. (GIOVANNI E GIOVANNI JR, 2010) Símbolo: % Exemplo: Segundo uma pesquisa feita em 2007 sobre as estradas brasileiras: “Naquele ano, 80% das estradas não apresentariam buracos e 71% teriam sinalização regular, boa ou ótima.” (GIOVANNI E GIOVANNI JR, 2010) 80% (oitenta por cento) das estradas brasileiras não apresentariam buracos, significa que a cada 100 estradas, 80 não apresentariam buracos, ou seja: 80% = 80 (80 em cada grupo de 100) 100 Exemplos: (GIOVANNI E GIOVANNI JR, 2010) 1) Numa cidade, havia cerca de 25.000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500.000 habitantes. Qual era o índice, em porcentagem, de desempregados nessa cidade? 25.000 = 0,05 *100 = 5 = 5% 500.000 100 100 Portanto, 5% da população economicamente ativa estava desempregada nessa cidade. 2) Uma empresa tem 28 funcionários. Um levantamento feito pelo departamento de recursos humanos dessa empresa mostrou que 22 desses funcionários têm menos de 40 anos. Qual a taxa, em porcentagem de funcionários com menos de 40 anos nessa empresa? 22 = 0,785 *100 = 78,5 = 78,5% 28 100 100 Logo, 78,5% dos funcionários dessa empresa tem menos de 40 anos. Centro Universitário UniRitter Exercícios (retirados de Giovanni e Giovanni Jr, 2010) 1) Uma equipe de voleibol venceu 78% das partidas que disputou. Qual o significado dessa afirmação? 2) A tabela seguinte mostra a taxa de crescimento populacional do Brasil, de acordo com dados do IBGE. Observe: Brasil – Taxa de crescimento populacional Década Porcentagem 1941 – 1950 1,49% 1951 – 1960 2,39% 1961 – 1970 2,99% 1971 – 1980 2,89% 1981 – 1990 2,48% 1991 – 2000 1,93% 2001 – 2010 1,64% Agora, responda: a) Em qual década a taxa de crescimento populacional foi maior? b) E a menos dessas taxas, foi registrada em qual década? 3) O cientista John Dalton é bastante conhecido por suas contribuições para a Física e a Química. Uma dessas contribuições foi a descrição de uma doença hereditária, chamada daltonismo, que impossibilita o indivíduo de distinguir a cor verde da cor vermelha. Uma pesquisa feita entre os 25 funcionários de determinada empresa mostrou que, no grupo, havia 2 daltônicos. Qual a taxa percentual de daltônicos entre os funcionários dessa empresa? 4) Sabe-se que a área ocupada pelos oceanos é de 361 milhões de quilômetros quadrados, enquanto a área ocupada pelos continentes é de 149 milhões de quilômetros quadrados. A área ocupada pelos continentes representa quanto por cento da área ocupada pelos oceanos? 5) A tabela seguinte mostra o desempenho de 3 jogadoras de uma equipe de basquete em relação aos lances livres cobrados e convertidos em determinada partida. Qual o índice, em porcentagem, de aproveitamento de cada uma dessas jogadoras? Qual delas apresentou melhor índice? Aproveitamento dos arremessos Jogadora Lances livres cobrados Lances livres convertidos A 15 6 B 10 4 C 8 5 6) Em uma pesquisa de opinião sobre alimentos transgênicos, foram entrevistadas 2000 pessoas. Dos entrevistados 624 pessoas já tinham ouvido falar sobre esse tipo de alimentos; 1323 nunca tinham ouvido falar, e 53 não opinaram. Qual a taxa, em porcentagem, do número de pessoas que: a) Já tinham ouvido falar em transgênicos? b) Nunca tinham ouvido falar nesse tipo de alimento? Centro Universitário UniRitter 7) Um professor de matemática aplicou uma prova aos seus 22 alunos. A distribuição das notas obtidas está no quadro seguinte: 40 20 10 20 70 60 90 80 30 50 50 70 50 20 50 50 10 40 30 20 60 60 Qual a porcentagem dos alunos que fizeram a prova e tiraram nota 50 ou maior que 50? 8) Em um campeonato de futebol realizado em turno e returno, cada equipe deve jogar 46 vezes, disputando um total de 138 pontos. Qual é o índice de aproveitamento de uma equipe que no fim do campeonato acumulou 96 pontos? 9) Nas eleições de 2008, foram eleitos 15.491 prefeitos nos municípios brasileiros, dos quais 1.721 eram mulheres. Qual a taxa percentual de mulheres eleitas nessa ocasião? 10) Uma pesquisa feita sobre a altura dos 20 alunos de uma classe trouxe como resultado os dados apresentados na tabela a seguir: Altura dos alunos Altura Número de alunos Até 160 cm 6 Mais de 160 cm e até 170 cm 7 Mais de 170 cm e até 180 cm 4 Mais de 180 cm 3 Qual a taxa percentual de alunos: a) Com até 160 cm de altura? b) Com mais de 160 cm e até 170 cm de altura? c) Com mais de 180 cm de altura? d) Com até 180 cm de altura? e) Com mais de 170 cm ou menos de altura? Resolvendo problemas com porcentagem Exemplo 1: Uma urna tem certa quantidade de bolinhas numeradas. Sabe-se que 52% dessas bolinhas trazem números pares, o que corresponde a 13 bolinhas. Quantas bolinhas há nessa urna? Representando por X a quantidade de bolinhas que há na urna, podemos escrever: 52% de x é igual a 13. Como 52% = 52 = 0,52, temos: 100 0,52 * X = 13 X = 13 0,52 X = 25 (podemos dizer que há 25 bolinhas nessa urna) Centro Universitário UniRitter Exemplo 2: Uma empresa de turismo está oferecendo um pacote para Florianópolis com um desconto de 8% sobre o preço normal. Se Helena pagou 690,00 pelo pacote promocional, qual o preço original desse pacote? Se o desconto foi de 8%, o preço pago representa 100% - 8% = 92% do preço original. Representado por x o preço original desse pacote turístico, podemos escrever: 92% de x é igual a 690 Como 92% = 92 = 0,92, temos: 100 0,92 * X = 690 X = 690 0,92 X = 750 (Logo, o preço original do pacote turístico é R$ 750,00) Exercícios (retirados de Giovanni e Giovanni Jr, 2010) 1) O Brasil ocupa uma área de, aproximadamente, 8.500.000 quilômetros quadrados. As terras indígenas, de acordo, com os dados da Funai, abrangem o equivalente a 12% do território brasileiro. De quantos quilômetros quadrados é a área das terras indígenas? 2) Uma empresa apurou que 52% dos funcionários vão para o trabalho de ônibus, 34% vão de metrô, e os restantes vão de carro. Sabendo que são 35 funcionários que vão para o trabalho de carro, qual o total de funcionários dessa empresa? 3) Uma pesquisa realizada sobre a preferência entre marcas de automóveis mostrou que 31,5% dos entrevistados preferiam o carro da marca A. Se foram entrevistadas 2000 pessoas, quantas tinham preferência pelo carro da marca A? 4) Um recipiente, com capacidade total de 8m³, tem 75% de sua capacidade preenchida por certo líquido. Sabendo que 1m³ = 1000 litros, quantos litros desse líquido faltam para completar a capacidade total desse recipiente? 5) Uma pesquisa realizada pela Associação Brasileira dos clubes da Melhor Idade, cujos associados são pessoas com mais de 60 anos, mostrou que 85% dos seus associados viajam pelo menos três vezes ao ano. Esse valor corresponde a cerca de 187.000 associados. Qual o número total de associados? 6) A viação Ouro Branco faz a linha entre duas cidades, que distam 800 quilômetros uma da outra. Por questão de segurança, na viagem, são feitas duas paradas obrigatórias para o revezamento dos motoristas. O primeiro trecho da viagem corresponde a 40% de todo o trajeto, e o segundo trecho, a 55% do restante. Calcule, em quilômetros, a distância que é percorrida: a) No primeiro trecho da viagem b) No segundo trecho da viagem c) No terceiro trecho da viagem Centro Universitário UniRitter Regra de trêsRegra de três simples Exemplo 1: Calcula-se que para a produção de 1 tonelada de papel, seja necessária a derrubada de aproximadamente 20 árvores de grande porte. Quanto árvores são necessárias para 5,5 toneladas? Se 1 tonelada de papel corresponde a 20 árvores. 5,5 toneladas de papel correspondem a x árvores. Interpretando os dados: Quantidade de papel (em t) Número de árvores derrubadas 1 20 5,5 X Dobrando-se a quantidade de papel (de 1 tonelada para 2 toneladas), o número de árvores derrubadas também dobrará (de 20 para 40 árvores). Então as duas grandezas são diretamente proporcionais. Daí, podemos escrever: 1 = 5,5 20 x 1* x = 20*5,5 X = 110 (devem ser derrubadas aproximadamente 110 árvores de grande porte para produzir 5,5 t de papel) Exemplo 2: Ao participar de um treino de Fórmula Indy, um competidor fez o percurso em 20 segundos, desenvolvendo uma velocidade média de 180 km/h. Se a velocidade fosse 200 km/h, qual o tempo que seria gasto? Velocidade média: 180 km/h correspondem a um tempo de percurso de 20 segundos Velocidade média: 200 km/h correspondem a um tempo de percurso x. Interpretando os dados: Velocidade média (em km/h) Tempo do percurso 180 20 200 X Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso cairá para a metade, logo as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, podemos escrever: 180 = x 200 20 180* 20 = 200*x X = 18 (se a velocidade do competidor fosse 200 km/h, ele teria gasto 18 segundos para completar o percurso) Centro Universitário UniRitter Exercícios (retirados de Giovanni e Giovanni Jr, 2010) 1) As mais recentes pesquisas mostram que a dimensão da tela do aparelho de TV e a distância mínima entre as pessoas e o aparelho são proporcionais. Para um aparelho de 20 polegadas, por exemplo, a distância mínima deve ser de 2 metros. Qual deve ser a distância mínima para um aparelho de 48 polegadas? 2) Usando, seu palmo, Lucas mediu o comprimento e a largura do tampo de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos no comprimento e 5 palmos na largura. Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual seria, em palitos de fósforo, a largura do tampo da mesa? 3) Para fazer uma geleia, Helena usou 3kg de açúcar e 4,5 kg de frutas. Se ela tem 6kg de frutas, que quantidade de açúcar, em quilograma, ela deve usar para fazer a mesma geleia? 4) Uma ponte foi feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores fosse 24 quantos dias seriam necessários para a construção da mesma ponte? 5) Uma banana de 84g tem 60 calorias de energia. Quantas calorias de energia terá uma banana de 98g? 6) Para cobrir o chão de uma sala que tem 140 metros quadrados de área foram usados 560 pisos de cerâmica. Quanto pisos iguais a esse seriam usados para cobrir o chão de uma área de 350 metros quadrados? 7) Uma empresa paga parte da mensalidade do plano de saúde de seus funcionários. Se o funcionário tem um salário de R$ 900,00, a empresa contribui com R$ 50,00 para a mensalidade do plano. Sabendo que a parte paga pela empresa é inversamente proporcional ao salário do funcionário, com quantos reais essa empresa vai contribuir no caso de um salário de R$ 1500,00? 8) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia produz 162.000 impressões em um mês. Aumentando em 2 horas o seu funcionamento por dia, quantas impressões seriam produzidas em 1 mês? Centro Universitário UniRitter Regra de três composta Exemplo 1: A fábrica de toalhas bateu o recorde de produção esse mês. Funcionando 6 dias por semana, 10 máquinas produziram 800 peças. Seu Oswaldo, dono da fábrica, disse que, para atender à demanda do mês que vem, 15 máquinas iguais a essas vão funcionar durante os 7 dias da semana. Para resolver esse problema: 1) Levantar os dados: 10 máquinas em 6 dias produzem 800 peças 15 máquinas em 7 dias produzem x peças 2) Interpretar os dados: Número de máquinas (A) Número de dias (B) Número de peças (C) 10 6 800 15 7 X Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C: Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também dobrará. Logo, as grandezas B e C são diretamente proporcionais. Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C: Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças também dobrará. Logo, as grandezas A e C também são diretamente proporcionais. Quando uma grandeza é diretamente proporcional a duas outras, a variação da primeira é diretamente proporcional ao produto da variação das outras duas. De acordo com a tabela, temos: 10 x 6 = 800 15 7 X 60 = 800 105 X 60 . X = 105 . 800 60X = 84.000 X = 84.000 = 1400 60 Analisando o resultado obtido, concluímos que, se as máquinas funcionarem durante 7 dias, serão produzidas 1.400 peças. Centro Universitário UniRitter Exercícios (retirados de Giovanni e Giovanni Jr, 2010) 1) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários, que produzem, em 8 horas diárias de trabalho, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? 2) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando certo número de horas por dia, produzem 90.000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135.000 peças? 3) Uma tonelada de ração alimenta 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilogramas de ração são necessários para alimentar 30 vacas durante 75 dias? Referências: GIOVANNI, José Ruy e GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2010.
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