C27_LeiGauss

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27 - A Lei de Gauss
A lei de Gauss
27 - A Lei de Gauss
27-3 Fluxo de campo elétrico
FLUXO: quantidade de algo por unidade de área (por unidade de tempo)
Exemplo: número de autos passando pelo túnel Rebouças
Estamos interessados no campo elétrico por unidade de área
27 - A Lei de Gauss
27-3 Fluxo de campo elétrico
Campo Elétrico Uniforme e Superfície Plana
ΦΦΦΦ = E A cos θθθθ
E ∝∝∝∝ (L)-2 e dA ∝∝∝∝ (L)+2
ΦΦΦΦ possui a dimensão da constante k da Lei de Coulomb
Área
27 - A Lei de Gauss
27-3 Fluxo de campo elétrico
∫∫ ==Φ θcos. dAEAdES
rr
No caso mais geral, E e θθθθ podem variar ao longo da superfície de integração.
∫ ∫ ⊥⊥ ==Φ dAEdAE
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
0
2
2
0
2
0
2
0
4
4
1
4
1
4
1
ˆ
ε
pi
piε
piεpiε
QR
R
Q
dA
R
Q
R
QdA
dAEdAnE n
==Φ
==Φ
=⋅=Φ
∫∫
∫ ∫
r
Fluxo do Campo de uma carga puntiforme através de uma Superfície Esférica 
centrada na carga
Fluxo
0ε
Q
=Φ
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
dA cos θθθθ
dA
E
O Fluxo do Campo vale q/εo mesmo que a superfície não seja esférica.
Generalização
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
Exercício: Calcule o fluxo através do cilindro
dA
E E
E
dA
0
....
=Φ
Φ−=−=Φ
++==Φ ∫∫∫∫
b
ca
cba
EA
AdEAdEAdEAdE
rrrrrrrr
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
� O fluxo através de S1, S2 e S3 é o mesmo.
� Se a carga for 2 vezes maior, o fluxo também será.
� Se a carga for negativa, o fluxo vai ser para dentro da superfície 
(negativo).
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
� Se a carga estiver fora da superfície, o fluxo é nulo.
� Mas o Campo Elétrico NÃO!
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
Conseqüência da Lei de Gauss
)(0
32
1
zero
qq
q
S
o
S
o
S
=
+
=
=
′′
′
φφφφ
εεεε
φφφφ
εεεε
φφφφ
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
Sumário:
QAdE
QE
=
=Φ
∫
rr
.0
0
ε
ε
27 - A Lei de Gauss
27-4 A lei de Gauss
( ) qREdAE
qEdAAdE
==
==
∫
∫∫
2
00
00
4
.
piεε
εε
rr
q
2
04
1
R
qE
piε
=
27 - A Lei de Gauss
27-5 Aplicações da lei de Gauss
( ) hrhE
qAdE
λpiε
ε
=
=∫
2
.
0
0
rr
Linha infinita de carga
λλλλ
r
Eh
q = λ h
r
E
02piε
λ
=
27 - A Lei de Gauss
27-5 Aplicações da lei de Gauss
( ) AEAEA σε =+0
Plano infinito de cargaσ
EE
dA
dq = σ dA
02ε
σ
=E
27 - A Lei de Gauss
27-5 Aplicações da lei de Gauss
)(
4
1
2
0
Rr
r
qEr <= piε
Casca esférica de carga
R
q
S1
S2
)(0 RrEr <=
27 - A Lei de Gauss
27-5 Aplicações da lei de Gauss
Carga com simetria esférica
2
04
1
r
qEr piε
=
R
r
2
04
1
r
qEr
′
=
piε
3
3
3
4
3
3
4






=′
=
′
R
rqq
R
r
q
q
pi
pi
R
r
3
04
1
R
qrEr piε
=
E ∝ r E ∝ r-2
E
r
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
� Cargas em condutores isolados deslocam-se para a 
superfície externa do condutor. Nenhuma carga excedente 
permanece no interior do condutor (conseqüência da Lei de 
Gauss)
� No interior do condutor não há
campo elétrico (E=0). Se não fosse 
nulo, existiria força elétrica agindo 
sobre suas cargas livres, que se 
movimentariam.
� Distribuição de cargas na 
superfície do condutor não é
uniforme!
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
Qualquer excesso de carga num condutor em equilíbrio 
eletrostático deve estar na superfície. (Demonstra-se isso 
a partir da Lei de Gauss.) 
Intervalo de tempo necessário para um condutor atingir o 
equilíbrio é da ordem de 10-16 s. 
Rádio FM é transmitida na faixa de 100 MHz (∆ t ~ 10-8 s)
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
�As cargas no interior do condutor se redistribuem de tal forma 
que, no interior do condutor, o campo criado pelas cargas 
redistribuídas se opõeopõe ao campo criado por Q. 
�O rearranjo de cargas resulta num campo total nulo no interior do 
condutor.
�Notar que continua valendo o princípio da superposição
Condutores em Equilíbrio Eletrostático
(Ecargas vizinhas ) = - (Ecargas do condutor)
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
Campo na superfície do condutor
� O campo elétrico é perpendicular à superfície do condutor.
� O módulo do campo elétrico em pontos próximos à
superfície (mas fora dela) é igual a σσσσ/εεεε0, onde σσσσ é a carga 
por unidade de área neste ponto da superfície.
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
Se a forma do condutor for irregular a carga tende a se acumular onde a 
superfície for mais pontiaguda. (Esta propriedade poderá ser 
demonstrada mais adiante quando aprendermos o conceito de potencial.)
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
Podemos usar a lei de Gauss 
para obter a relação entre o 
campo elétrico e a densidade 
superficial de cargas sobre a 
face externa da superfície de 
um condutor em equilíbrio.
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
000
in
f E
AqAEdAE
εεεε
σσσσ
εεεε
σσσσ
εεεε
====⇒⇒⇒⇒====∫∫∫∫ ============ΦΦΦΦ ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥
Para isto é conveniente 
traçar uma superfície 
gaussiana com a forma 
de um pequeno cilindro 
com as bases paralelas à
superfície. 
Aplicando a lei de Gauss, 
neste pequeno cilindro, 
podemos calcular o 
campo na superfície do 
condutor:
Cálculo do Campo na Superfície do Condutor
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
� A carga no interior de um condutor tem que ser nula. 
� Qualquer excesso de carga, num condutor deve estar na superfície 
externa.
� Se o condutor for oco a carga em sua superfície interna tem que ser 
nula. Caso contrário E não será nulo no interior do condutor
27 - A Lei de Gauss
27-6 A lei de Gauss e os condutores
� Se num condutor oco houver uma carga não nula em sua cavidade 
interna, a carga na sua superfície interna será igual em módulo a carga no 
interior da cavidade. 
� A carga na superfície externa será igual a soma algébrica da carga 
existente no condutor com a carga existente na sua cavidade.
27 - A Lei de Gauss
27-7 Testes experimentais da lei de Gauss
δpiε +
= 2
04
1
r
qEr δ = 0 ???
< 1,0 X 10-161971E.R.Williams, J.E.Faller e 
H.A.Hill
<1,3X10-131970D.F.Bartlett, P.E.Goldhagen 
e E.A.Phillips
< 2 X 10-91936S.J.Plimpton e W.E.Lawtonn
< 5 X 10-51873James Clerk Maxwell
<0.021773Cavendish
~ 01767Joseph Priestley
~ 01755Benjamin Franklin
δdataCientistas
Liang-Cheng Tu and Jun Luo 2004 Metrologia 41 S136-S146
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
( )
4
0
2
2
23
x
qaE
piε
=
26-11 (p.44). Um tipo de quadripolo elétrico é formado por quatro cargas 
localizadas nos vértices de um quadrado de lado 2a. O ponnto P está a uma 
distância x do centro do quadripolo e sobre uma linha paralela aos dois lados do 
quadrado, conforme mostrado na Figura. Para x » a, mostre que o campo elétrico 
em P é dado aproximadamente por 
( )
4
0
2
2
23
x
qaE
piε
=
+
-+
-
2a
P
x
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
26-16 (pg 45) Uma fina haste de vidro é dobrada em um semicírculo de raio r. 
Uma carga +q é uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma 
carga -q é uniformemente distriibuída ao longo da metade inferior, conforme 
mostrado na Figura. Determine o campo elétrico em P, o centro do 
semicírculo. 
E
r
P
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
27-7 (pg 70) Uma carga pontual +q está d/2 distante de uma superfície 
quadrada com lado d e está exatamente acima do centro do quadrado como 
indicado na Figura. Determine o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: 
Considere o quadrado como uma das faces de um cubo com aresta d.)
d
d
d/2
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
27-14 (pg 70) Duas lâminas finas, grandes e não-condutoras, com positivas, 
estão frente a frente conforme indicado na Fig abaixo. Qual o campo E em 
pontos (a) à esquerda das lâminas (b) entre as lâminas, e (c) à direita das 
lâminas? Admita a mesma densidade de carga superficial ? para cada 
lâmina. Considere apenas pontos que não estejam próximos das bordas e 
cuja distância até as lâminas seja pequena em comparação com as 
dimensõesdestas. 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
27-15 (pg 70) Duas grandes placas metálicas carregadas estão frente a 
frente, conforme indicado na Fig. abaixo, respectivamente, densidade de 
carga superficial + σσσσ e -σσσσ em suas superfícies internas. Determine E em 
pontos (a) à esquerda das lâminas, (b) entre as lâminas, e (c) à direita das 
lâminas? Considere apenas pontos que não estejam próximos das bordas e 
cuja distância até as placas seja pequena em comparação com as dimensões 
destas. 
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
27-3 (pg 72) Uma pequena esfera cuja massa é de 1,12 mg tem uma carga 
q = 19,7 nC. A esfera pende no campo gravitacional da Terra de uma linha de 
seda, fazendo um ângulo θθθθ = 27,40 com uma lâmina grande, não-condutora 
e uniformemente carregada, indicada na Figura abaixo. Calcule a densidade 
de carga uniforme σσσσ para a lâmina.
+
+
+
+
+
+
+
+
θθθθ
m, q
27 - A Lei de Gauss
27 - Exercícios
27-6 (pg 72) Uma grande superfície plana e não-condutora tem densidade de 
carga, σσσσ, uniforme. Foi feito um pequeno furo circular de raio R, no centro da 
superfície, conforme mostraado na Figura. Desprezando-se as distorções nas 
linhas do campo elétrico nas proximidades de todas as arestas, calcule o campo 
elétrico no ponto P a uma distância z do centro do furo e sobre o seu eixo 
(normal ao plano da superfíície). (Sugestão: Veja a Eq. 26-19 e use o princípio 
da suuperposição.) 
P
z
R
27 - A Lei de Gauss
27 - A Lei de Gauss
27 - A Lei de Gauss
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