C31_CircuitosCC

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31 - Circuitos CC
Circuitos CC
31 - Circuitos CC
31-1 Corrente elétrica
� Cargas em repouso : eletrostática.
� Cargas em movimento: corrente elétrica.
� Descrevem a taxa de passagem de cargas elétricas através de 
certa região do espaço.
� A maioria das aplicações práticas envolve cargas em movimento.
� Equipamentos domésticos operam com correntes alternadas.
� Corrente Elétrica: movimento de 
cargas, do mesmo sinal, numa 
mesma direção.
� Considera-se uma superfície de 
área A perpendicular ao movimento 
das cargas.
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31-1 Corrente elétrica
� Corrente: a taxa de passagem da carga através dessa superfície.
� Imed = ∆Q /∆t ( carga total / intervalo de tempo)
� Iinstântanea = dQ / dt
� Ampère = 1 C/s
� Sentido da corrente: cargas positivas.
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31-2 Força eletromotriz
� Bateria elétrica : inventada em 1800 por Alessandro 
Volta (1745-1827) constitui a descoberta prática mais 
importante da ciência.
� Base para desenvolvimento de tecnologia da 
eletricidade.
Bateria elétrica
Pilha de Volta Pilha seca (lanterna)
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31-2 Força eletromotriz
Força eletromotriz (ε ou f.em.) – elemento de um circuito 
que fornece energia, ou melhor uma diferença de 
potencial a um circuito.
Ela realiza trabalho nas cargas que nela entram.
+
-
ε
+
-
i
i
i
ε
ε= dW/dq (trabalho por unidade de carga)
Unidade = J/C = Volt
f.e.m. fonte de energia
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31-3 Análise de circuitos
Corrente elétrica→ relação com transporte de carga
� Volume de elemento de 
comprimento ∆x e área A
� V = A ∆x
� n → densidade de portadores de 
cargas móveis por unidade de 
volume
n ∆x A → no de portadores por unidade de volume
∆Q = q . n ∆x A → carga no elemento de volume
I = ∆Q/∆t = q n A ∆x/∆t = q n A v
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31-3 Análise de circuitos
I = q n A v Qual a velocidade de propagação dos 
eléctrons em cobre?
Hipóteses: 
� cada átomo de cobre contribui com 1 eléctron 
� I = 1 Ampère
� Secção do fio = 1 mm2
� q = 1,6 X 10-19 C
� MCu = 64 g/mol
� NAvogadro = 6,0 X 10
23 átomos/mol
� ρCu = 9,0 g/cm3
n = ρCu NAvogadro/ Mcu = 9,0 X 6,0 X 1023/64 
V = 1/(1,6 X 10-19 0,84 X 1023 X 0,01) cm/s = 7,4 X 10-2 mm/s 
Leva 37 horas para atravessar a sala!
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31-3 Análise de circuitos
EEEE
Velocidade de arastamento dos elétrons 
(não é a velocidade de propagação de sinais no fio!)
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31-3 Análise de circuitos
Lei de Ohm: 
A resistividade (ou condutividade) de uma material é
independente da intensidade, direção e sentido do campo 
elétrico.
Tradução: num resistor ∆V = R I
A
I
B
Potencial mais baixo
Potencial mais alto
VA – VB = R I
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31-3 Análise de circuitos
A
B
Potencial mais alto
Potencial mais baixo
VB – VA = ε
++++----
Lei de Kirchhoff: A soma algébrica dos potenciais 
em qualquer circuito fechado é zero
Esta lei é consequência da conservação da energia
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31-3 Análise de circuitos
A
B
Potencial mais alto
Potencial mais baixo
VB – VA = ε
++++----
Lei de Kirchhoff: A soma algébrica dos potenciais 
em qualquer circuito fechado é zero
Esta lei é consequência da conservação da energia
31 - Circuitos CC
31-3 Análise de circuitos
Lei de Kirchhoff: A soma algébrica das correntes 
em qualquer nó de um circuito é zero
Esta lei é consequência da conservação da carga
i3
i4
i1
i2
- I1 + i2 + i3 – i4 = 0
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31-4 Campos elétricos em circuitos
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31-5 Resistores em série e em paralelo
∑=
+=
∆
+
∆
=
∆
n neq
eq
eq
RR
RRR
R
V
R
V
R
V
11
111
21
21
R1
R2
i1
i2
a b
ia b
i = i1 + i2 ∆V = Req i
∆V1 = i R1 ∆V = i Req
∆V2 = i R2
Req = R1 + R2
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31-6 Energia em um circuito elétrico
i
dt
dq
dt
dWP
dqdW
fem εε
ε
===
=
Esta quantidade é a taxa com que a 
bateria transfere energia para o resto 
do circuito
∆ VR = i R
∆U = dq ∆ VR
( ) ( )Jouleefeito
2
2
R
VP
RiP
ViV
dt
dq
dt
dUP
R
R
R
RRR
∆
=
=
∆=∆==
+
-
i
i
i
i
i
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31-7 Circuitos RC
C
q
dt
dqR
C
qiR
+=
+=
ε
ε
∆∆∆∆VR = i R
∆∆∆∆VC = q/Cε
q
dt
dqRCC +=ε
Por análise dimensional, RC tem 
dimensão de tempo!
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31-7 Circuitos RC
q
dt
dqRCC +=ε RC = T0 onde T0 é uma constante
Defino variável adimensional:
τ = t/T0 = t/RC
Cq
d
dq
ε
τ
=+
Para entender esta equação, 
vamos examinar uma forma mais 
simples dela, onde ε = 0 
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31-7 Circuitos RC
AP
dt
dP
=
P
Tdt
dP
0
1
=
Vamos examinar a equação:
( ) 





===
==
=
=
∫∫
0
000
0
expln
/onde
T
tPePPPP
d
P
dPd
P
dP
Tt
P
d
dP
ττ
ττ
τ
τ
P.ex. a variação de população é proporcional à
própria população
População cresce exponencialmente!!!
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31-7 Circuitos RC
AP
dt
dP
−=
P
Tdt
dP
0
1
−=
( )






−==
−=
−=
−
0
00
0
exp
ln
T
tPePP
PP
P
d
dP
τ
τ
τ
P.ex. a variação de população decresce 
proporcionalmente à população
População decresce exponencialmente!!!
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31-7 Circuitos RC
( )τ−+= exp)( BAtq
q
d
dqC +=
τ
ε
Solução mais geral
como ( )τ
τ
−−= expB
d
dq
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31-7 Circuitos RC
)exp()(
então
logo
)exp()exp(
RC
tBCtq
AC
BABC
−+=
=
−++−−=
ε
ε
ττε
Se q(t=0) = 0 → B = - ε C
( )( )RCtCtq −−= exp1)( ε
Exercícios
Em um tubo de raios catódicos, a corrente 
medida do feixe é de 30 µA. Quantos 
elétrons colidem com a tela do tubo a 
cada 40 s?
Exercícios
A quantidade de carga q que passa através de uma 
área com 2 cm2 varia com o tempo segundo a 
expressão q (t) = 4t 3 + 5t + 6, onde t é dado em 
segundos. 
i) Qual a corrente instantânea através da superfície em 
t = 1s? 
ii) Qual é o valor da desnsidade de corrente para o 
mesmo instante de tempo?
Exercícios
Suponha que a corrente de um condutor decresça 
exponencialmente com o tempo de acordo com a 
seguinte expressão I (t) = I0 e
-t/τ
, onde I0 é a 
corrente inicial e τ é uma constante de tempo. 
Considere um ponto de observação fixo dentro 
de um condutor. (i) Qual a quantidade de carga 
que passa através deste ponto entre t = 0 e t = τ 
? (ii) Qual a quantidade de carga que passa 
através deste ponto entre t = 0 e t = 10τ ? (iii) 
Qual a quantidade de carga que passa através 
deste ponto entre t = 0 e t = τ �?
Exercícios
Um circuito RC ligado em série é alimentado por uma 
fonte de f.e.m. com valor ε. No instante t = 0, o 
capacitor está descarregado. Mostre que, após um 
tempo muito longo, metade da energia fornecida 
pela bateria estará armazenada no capacitor e a 
outra metade terá sido dissipada na resistência.
Exercícios
No circuito ao lado, o capacitor está inicialmente 
descarregado, com a chave aberta. Em t=0 a chave é
fechada. Responda, justificando: 
(i) qual é a corrente fornecida pela fonte de f.e.m. logo 
após a chave ser fechada; 
(ii) qual é a corrente muito tempo após a chave ser 
fechada?
Exercícios
Na figura abaixo o potencial no ponto P é de 100 V. 
Qual o potencial no ponto Q?
V2V1
R1
R2
Q
P
Exercícios Ponte de Wheastone
Na figura na próxima página, RS precisa ser ajustado 
até que os pontos a e b estejam ao mesmo 
potencial. Mostre que quando o ajustamento é feito, 
a seguinte relação pode ser usada:
1
2
R
RRR Sx =
Uma resistência desconhecida (Rx) pode ser medida 
em função de um padrão (Rs).
Exercícios
Na figura abaixo o potencial no ponto P é de 100 V. 
Qual o potencial no ponto Q?
R2R1
Rx
R0
Rs
ε
a
b