document (4)

Prévia do material em texto

BIOESTATÍSTICA
Unidade 4
Análise de resultados 
bioestatísticos
CEO 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Diretora Editorial 
ALESSANDRA FERREIRA
Gerente Editorial 
LAURA KRISTINA FRANCO DOS SANTOS
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
LEANDRO VINHAS DE PAULA
4 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
A
U
TO
RI
A
Leandro Vinhas de Paula
Olá! Meu nome é Leandro Vinhas de Paula. Sou bacharel 
e licenciado em Educação Física (Faculdade de Educação Física 
e Fisioterapia – Universidade Federal de Uberlândia), mestre 
em Ciências do Esporte (Escola de Educação Física, Fisioterapia 
e Terapia Ocupacional – Universidade Federal de Minas 
Gerais – EEFFTO/UFMG) e especialista em Estatística Aplicada 
(Departamento de Estatística – Instituto de Ciências Exatas – ICEX/
UFMG) com uma experiência técnico-profissional na área de 
Educação Física e esportes por mais de 10 anos em atividades 
de ensino, pesquisa e extensão na Universidade Federal de Ouro 
Preto e no meio privado. Atualmente sou doutorando na área de 
Biomecânica (EEFFTO – UFMG). Por isso fui convidado pela Editora 
Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. 
Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo 
e trabalho. Conte comigo!
5BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
ÍC
O
N
ESEsses ícones aparecerão em sua trilha de aprendizagem nos seguintes casos:
OBJETIVO
No início do 
desenvolvimento 
de uma nova 
competência. DEFINIÇÃO
Caso haja a 
necessidade de 
apresentar um novo 
conceito.
NOTA
Quando são 
necessárias 
observações ou 
complementações. IMPORTANTE
Se as observações 
escritas tiverem que 
ser priorizadas.
EXPLICANDO 
MELHOR
Se algo precisar ser 
melhor explicado ou 
detalhado. VOCÊ SABIA?
Se existirem 
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo.
SAIBA MAIS
Existência de 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundar seu 
conhecimento.
ACESSE
Se for preciso acessar 
sites para fazer 
downloads, assistir 
vídeos, ler textos ou 
ouvir podcasts. 
REFLITA
Se houver a 
necessidade de 
chamar a atenção 
sobre algo a 
ser refletido ou 
discutido.
RESUMINDO
Quando for preciso 
fazer um resumo 
cumulativo das últimas 
abordagens.
ATIVIDADES
Quando alguma 
atividade de 
autoaprendizagem 
for aplicada. TESTANDO
Quando uma 
competência é 
concluída e questões 
são explicadas.
6 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Coeficiente de correlação de Pearson ...................................... 9
Formulações para a correlação de Pearson ................................................... 9
Teste de hipóteses – coeficiente de correlação de Pearson ..................... 11
Coeficiente de correlação de Spearman ............................... 15
Teste de hipóteses-coeficiente de associação (correlação 
de Spearman) .....................................................................................................17
Caso de empates entre observações X ou Y ...............................................21
Análise de regressão linear .................................................... 24
Conceitos e formulações de modelagem estatística e de modelagem 
matemática .........................................................................................................24
Estudo de dispersão de frequência ....................................... 34
Tabelas de Contingência ..................................................................................35
Limitações do uso do χ2 ..................................................................................46
SU
M
Á
RI
O
7BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
A
PR
ES
EN
TA
ÇÃ
O
Você sabia que a bioestatística é uma ferramenta essencial 
em um mercado cada vez mais orientado por dados e evidências 
científicas? Com a explosão de informações na era digital, 
profissionais capazes de analisar e interpretar dados biológicos têm 
uma demanda crescente em diversos setores, desde a pesquisa 
acadêmica até a indústria farmacêutica e de biotecnologia.
Ao longo desta unidade, você vai mergulhar neste universo 
fascinante, onde os números ganham vida e se tornam a base 
para tomadas de decisão fundamentadas e avanços significativos 
na ciência.
Nessa jornada, exploraremos os fundamentos da análise 
de resultados bioestatísticos, desde os conceitos básicos de 
probabilidade e estatística descritiva até técnicas avançadas de 
inferência estatística e modelagem de dados. Vamos desvendar 
juntos os mistérios por trás dos testes de hipóteses, intervalos 
de confiança, regressão e análise de variância, capacitando 
você a interpretar e comunicar de forma eficaz os resultados de 
estudos biológicos.
Prepare-se para aprimorar suas habilidades analíticas, de-
senvolver seu pensamento crítico e abrir portas para oportunida-
des emocionantes em sua carreira acadêmica e profissional. Seja 
bem-vindo a esse emocionante mundo da bioestatística!
8 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 4. Nosso objetivo 
é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências 
profissionais até o término desta etapa de estudos:
1. Comparar o grau de associação entre variáveis 
(“Pearson”).
2. Comparar o grau de associação (“Spearman”) e 
concordância (“Kendall”) entre variáveis.
3. Executar o relacionamento entre variáveis contínuas.
4. Ponderar a independência de variáveis discretas.
9BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Coeficiente de correlação de 
Pearson
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de 
entender como funciona o teste de hipóteses para 
o coeficiente de correlação de Pearson. Isto será 
fundamental para o exercício de sua profissão. 
As pessoas que tentaram interpretar relações 
entre variáveis sem a devida instrução tiveram 
dificuldades em realizar análises estatísticas 
precisas e conclusivas. Compreender o teste de 
hipóteses para o coeficiente de correlação de 
Pearson é essencial para qualquer profissional 
que busque avaliar e quantificar relações entre 
variáveis em estudos biológicos. 
Este capítulo irá guiá-lo através dos princípios e 
procedimentos envolvidos nesta análise estatística, 
capacitando-o a realizar inferências confiáveis 
e embasadas sobre o grau de associação entre 
diferentes variáveis. Prepare-se para dominar 
uma habilidade indispensável no arsenal de 
ferramentas estatísticas para a pesquisa e prática 
em biologia e áreas correlatas. E então? Motivado 
para desenvolver esta competência? Vamos lá. 
Avante!
Formulações para a correlação de 
Pearson
O coeficiente de correlação de Pearson é utilizado para 
quantificar a relação linear entre duas variáveis quantitativas. 
Seu valor é determinado pelos valores dos dados amostrais 
observados. Sendo uma amostra aleatória constituída de n pares 
de observações, O coeficiente de correlação amostral de Pearson 
é calculado por meio da fórmula 1:
10 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Fórmula 1 - Coeficiente de correlação de Pearson
Sendo:
; ;
Pode ser mostrado que o coeficiente de correlação de 
Pearson está sempre entre -1 e 1. O exemplo 1 ilustra o cálculo de r.
EXEMPLO 1: Em uma agência de correios de uma cidade, 
o gerente realizou um estudo para relacionar o peso (em 
kg), do total de correspondências recebidas por dia, com 
o número efetivo de correspondências (x1000). Os dados 
obtidos da observação de 11 dias estão no quadro 4.1.
Quadro 4.1 - Dados do exemplo 1 
Dia Peso ( ) Número ( )
1 10 4,1 41
2 35 6,5 227,5
3 13 3,6 46,8
4 34 6,7 227,8
5 21 5,2 109,2
Média 22,60 5,220 652,3 (Total)
Desvio Padrão 11,59 1,388
CV% 51,28 26,59
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
Neste caso o valor do coeficiente de correlação de Pearson 
é dado por:
11BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
O valor de r indica que há uma forte relação linear entre 
os pesos total das correspondências recebidas e o número de 
correspondências recebidas diariamente, sendo que, quanto 
maior o número de correspondências recebidas, maior é o peso 
total. A correlação está bem próxima de 1. 
Teste dehipóteses – coeficiente 
de correlação de Pearson
Sendo o coeficiente de correlação populacional entre as 
variáveis aleatórias X e Y. Para testar a significância da correlação é 
necessário que as duas variáveis X e Y tenham distribuição normal. 
Caso isso aconteça podemos testar a hipótese: por meio 
da estatística t-Student dada pela fórmula 2:
Fórmula 2 - Estatística t-Student
Que sob a hipótese nula tem distribuição t-Student com 
(n-2) graus de liberdade. Seja α o nível de significância do teste, 
00, então a hipótese nula 
será rejeitada para grandes valores de t, isto é, , sendo o 
valor crítico obtido da tabela t-Student tal que 
Se a hipótese alternativa for H1:ρ0 e α=0,05. Supondo normalidade para as 
variáveis peso total e número de correspondências recebidas 
diariamente, podemos realizar o teste estatístico. Sob a hipótese 
nula, a estatística de teste t tem distribuição t-Student com 3 graus 
de liberdade. Então, o valor crítico tc será igual a t3;0,05=2,35 e a 
hipótese nula será rejeitada, o que indica que a relação linear 
positiva entre o peso total de correspondências recebidas e o 
número de correspondências recebidas diariamente é significativa 
do teste, que seria dada por , o que indica 
que sob a hipótese nula um valor de correlação da ordem 0,9704 é 
pouco provável. Na imagem 4.1, mais adiante, tem-se o gráfico de 
dispersão dos valores do peso de correspondências e do número 
de correspondências recebidas diariamente. Assim, a imagem 4.1 
indica uma relação de crescimento positivo entre duas variáveis. 
NOTA
É importante observar que para n=5 e α=0,05 a 
hipótese H0:ρ=0 seria rejeitada para qualquer valor 
de r maior ou igual a 0,805. Basta buscar os valores 
de r que satisfazem a equação a seguir:
13BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
O coeficiente de correlação de Pearson é um coeficiente 
paramétrico. Nem sempre temos dados com distribuição 
normal. Nesse caso é importante buscarmos uma alternativa não 
paramétrica para medir a relação linear entre as duas variáveis. 
No exemplo em questão, a variável número de correspondências 
recebidas é discreta e não tem distribuição normal. 
Imagem 4.1 - Gráfico de dispersão entre o peso total e o número de correspondências 
recebidas diariamente
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
14 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza 
de que você realmente entendeu o tema de 
estudo, vamos resumir tudo o que vimos. Neste 
capítulo, exploramos o teste de hipóteses para 
o coeficiente de correlação de Pearson, uma 
ferramenta fundamental na análise estatística de 
dados biológicos. 
Iniciamos compreendendo os princípios básicos 
do teste de hipóteses e sua aplicação específica 
para avaliar a relação entre variáveis. Em seguida, 
discutimos como o coeficiente de correlação de 
Pearson mede a força e a direção da associação 
linear entre duas variáveis, proporcionando 
insights sobre padrões de comportamento ou 
fenômenos biológicos.
Ao longo do capítulo, destacamos a importância 
de conduzir o teste de hipóteses de forma 
adequada, seguindo os passos necessários para 
formular hipóteses nula e alternativa, calcular o 
valor do coeficiente de correlação, determinar a 
significância estatística e interpretar os resultados. 
Reflitimos sobre como essa análise estatística 
pode contribuir para a tomada de decisões 
informadas em pesquisas científicas, planejamento 
experimental e diagnóstico de doenças. Como você 
pode aplicar esses conhecimentos em seu campo 
de atuação para investigar relações entre variáveis 
biológicas e promover avanços na compreensão 
do mundo natural?
15BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Coeficiente de correlação de 
Spearman
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de 
entender como funciona o teste de hipóteses 
para o coeficiente de correlação de Spearman. 
Esse conhecimento será essencial para embasar 
suas análises estatísticas em estudos biológicos e 
conduzir inferências precisas sobre a associação 
entre variáveis. Aqueles que se aventuraram na 
interpretação de relações entre variáveis sem uma 
compreensão adequada enfrentaram dificuldades 
em realizar análises estatísticas confiáveis e 
relevantes para suas pesquisas ou práticas 
profissionais. Portanto, este capítulo visa fornecer-
lhe os conhecimentos e habilidades necessários 
para realizar corretamente o teste de hipóteses 
para o coeficiente de correlação de Spearman, 
capacitando-o a realizar inferências significativas e 
embasadas em sua área de atuação.
Ao longo deste capítulo, abordaremos não apenas 
os princípios fundamentais do teste de hipóteses 
para o coeficiente de correlação de Spearman, 
mas também nos dedicaremos a compreender 
situações específicas, como os casos de empate 
entre observações X ou Y. Através da exploração 
desses temas, você estará preparado para enfrentar 
desafios práticos na análise estatística de dados 
biológicos, desenvolvendo uma compreensão 
aprofundada dos métodos estatísticos necessários 
para sua prática profissional. Está pronto para 
aprofundar seus conhecimentos e dominar 
essa competência essencial? Então vamos 
começar! Avante!
16 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Suponha que tenhamos uma amostra constituída de 
n pares do tipo ( ). Então, o coeficiente de correlação de 
Spearman é simplesmente o coeficiente de correlação de Pearson 
calculado com os postos das observações ( ). Dados os n 
pares de observações deve-se inicialmente ordenar os valores de 
X, do menor para o maior, colocando os pontos correspondentes 
(em caso de empates usar posto médio). Denota-se o posto de 
observação por . Posteriormente, ordena-se os valores de 
Y, do menor para o maior, colocando os postos correspondentes 
(em caso de empates usar posto médio). Denota-se o posto de 
observação por . O coeficiente de correlação de Spearman 
será dado pela fórmula 3. 
Fórmula 3 - Coeficiente de correlação de Spearman
Sendo . 
No caso de não haver empates entres as observações, o 
coeficiente de Spearman se reduz à fórmula 4:
Fórmula 4 - Coeficiente de correlação de Spearman (reduzida)
 onde 
No caso de empates, os valores e são substituídos 
por postos e . T por T* e r por r*, onde o * denota que há 
empates entre as observações, e os postos médios estão sendo 
utilizados na atribuição de postos dessas observações. 
EXEMPLO 2: Voltando ao exemplo 1, primeiramente 
ordenaríamos os valores dos pesos das correspondências 
recebidas e atribuiríamos os postos correspondentes. 
Posteriormente, o mesmo seria feito para os valores do 
17BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
número de correspondências recebidas diariamente. 
Os dados organizados dessa forma são apresentados no 
Quadro 4.2.
Quadro 4.2 - Dados de pesos de correspondências
Dia Peso ( ) Número ( )
1 10(1) 4,1(2) 1
2 35(5) 6,5(4) 1
3 13(2) 3,6(1) 1
4 34(4) 6,7(5) 1
5 21(3) 5,2(3) 0
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
Nesse sentido, o coeficiente de Spearman seria calculado 
da seguinte forma: , o que 
indica relação linear entre os postos das observações de X e Y. 
Teste de hipóteses-coeficiente 
de associação (correlação 
de Spearman)
É possível testar a significância da correlação entre X e Y 
usando o coeficiente não paramétrico de Spearman. As seguintes 
hipóteses, nula e alternativa, podem ser consideradas: 
contra
contra
contra
Onde ρ é o coeficiente de correlação populacional entre X e Y.
18 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
A distribuição de probabilidades do coeficientee de 
correlação amostral de Spearman, sob a hipótese nula, é 
determinada pelas ordenações possíveis de serem obtidas 
quando se tem n pares de n observações de X e n de Y (pares). Essa 
distribuição não depende do conhecimento da distribuição de 
probabilidades das variáveis aleatórias X e Y, sendo o coeficiente 
de correlação de Spearman não paramétrico. Existem tabelas com 
a distribuição exata de r sob a hipótese nula. No entanto, quando 
n é grande, a distribuição de r sob a hipótese nula se aproxima 
de uma distribuição normal com média zero e variância igual a 
 no caso em que não há empates entre as observações de 
X ou de Y. 
No caso (I) a probabilidade de significância de teste é dada 
por . No caso (II) a probabilidade de significância 
é dada por: . No caso (III) seja 
sendo o valor observado do coeficiente de Spearman para a 
amostra avaliada. 
No exemplo de uma agência de correios suponha que 
tenhamos as hipóteses:
 contra contra contra . Então pela tabela da distribuição 
exata de r sob a hipótese nula obtemos: . 
Isso significa que a hipótese nula seria rejeitada para qualquer nível 
de significância maior ou igual a 0,067. É importante observar que, 
não há exigência de normalidade das variáveis, para se realizar o 
teste de hipóteses relacionado ao coeficiente de associação não 
paramétrico de Spearman.
Exemplo 3. Os dados a seguir referem-se a um 
experimento para verificar o efeito de uma droga (X) no 
crescimento de um determinado tumor. Foram usadas 
7 doses diferentes de X e para casa dose observou-se a 
19BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
porcentagem (Y) de animais que desenvolveram o tumor. 
Os dados observados foram:
Quadro 4.3. Dados de efeito da droga e crescimento tumoral
Dose (X) 0,05 0,5 5,0 20 50 100 300
Posto(X) 1 2 3 4 5 6 7
% (Y) 1 0 4,9 44,2 30 86,5 56,9
Posto (Y) 2 1 3 5 4 7 6
1 1 0 1 1 1 1
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
O valor observado do coeficiente de Spearman é: 
.
A probabilidade de significância para o teste unilateral (I) 
é 0,006 indicando que existe uma associação positiva significativa 
entre a dosagem da droga e o desenvolvimento do tumor. Quanto 
maior a dose espera-se que maior será o percentual de animais 
que desenvolvem o tumor. Para o teste bilateral (III) seria 0,012. 
Usando a aproximação normal tem-se que:
20 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Imagem 4.2 - Gráfico de dispersão entre percentagem de animais que desenvolveram o 
tumor e a dosagem da droga
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
21BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
A imagem 4.2 apresenta os gráficos de dispersão da 
porcentagem de animais que desenvolveram o tumor (Y) e 
dosagem da droga (X). É possível observar que a relação entre Y 
e X aparentemente não é linear. O coeficiente de correlação de 
Spearman é na realidade um coeficiente de associação entre X e 
Y, não necessariamente essa associação é linear. Quando o valor 
é positivo há uma associação positiva entre as variáveis, ou seja, 
quando uma variável aumenta de valor a outra também tende a 
aumentar o valor (e vice-versa). 
Exemplo 4. Em uma competição de ginástica rítmica 
desportiva, dez participantes foram classificados por dois 
juízes da seguinte forma (1 é 1° colocado; 2 é o 2° colocado 
etc.).
Juiz A 2 5 6 4 1 7 9 10 3 8
Juiz B 1 4 5 6 2 7 10 8 3 9
1 1 1 4 1 0 1 4 0 1
Nesse exemplo o valor do coeficiente de correlação de 
Spearman é e a probabilidade de significância do teste 
(I) é igual 0 0,00 (aproximadamente), rejeitando-se a hipótese nula. 
Desse modo, percebe-se que os juízes foram concordantes no 
julgamento dos candidatos. 
Caso de empates entre 
observações X ou Y 
No caso de haver empates entre as observações de X 
ou de Y, utiliza-se os postos médios quando da ordenação de 
valores e a distribuição normal para o cálculo da probabilidade de 
significância. No caso de empates tem-se que:
22 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Assim, a variância do coeficiente de correlação de Spearman 
de r* será definida pela fórmula 4:
Fórmula 4 - Variância do coeficiente de correlação 
de Spearman
E utiliza-se a aproximação normal para cálculo da 
probabilidade de significância, sendo e , as frequências 
observadas de cada valor da variável X e cada valor da variável Y. 
Para efeito da correção de empates, apenas as frequências dos 
valores de X e Y, que aparecem mais de uma vez, são contabilizadas. 
RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo. 
Neste capítulo, exploramos o teste de hipóteses 
para o coeficiente de correlação de Spearman, uma 
ferramenta crucial na análise estatística de da-
dos biológicos. 
Iniciamos compreendendo os princípios subjacen-
tes ao coeficiente de correlação de Spearman, que 
difere do coeficiente de correlação de Pearson ao 
considerar relações monotônicas entre variáveis, 
ou seja, se as variáveis aumentam ou diminuem 
juntas, independentemente da magnitude desse 
aumento ou diminuição. Em seguida, nos aprofun-
damos no teste de hipóteses específico para o coe-
ficiente de correlação de Spearman, explorando os 
passos para sua realização, incluindo a formulação 
de hipóteses nula e alternativa, a determinação do 
valor crítico e a interpretação dos resultados.
23BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Ao longo do capítulo, discutimos também os 
desafios associados a casos de empate entre 
observações X ou Y, nos quais dois ou mais pares 
de dados têm os mesmos valores. Reflita sobre 
como esses casos podem afetar a interpretação 
da correlação de Spearman e como você pode lidar 
com eles em sua análise estatística. Como você 
pode aplicar esses conhecimentos em sua prática 
profissional para investigar e quantificar relações 
entre variáveis em estudos biológicos?
24 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Análise de regressão linear
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de en-
tender como funciona a análise de regressão linear, 
uma ferramenta poderosa na modelagem estatís-
tica e matemática de relações entre variáveis. Esse 
conhecimento será essencial para embasar suas 
análises e previsões em estudos biológicos, permi-
tindo a identificação de padrões e tendências nos 
dados. Esse capítulo visa fornecer-lhe os conhe-
cimentos e habilidades necessários para realizar 
corretamente a análise de regressão linear, capaci-
tando-o a realizar previsões precisas e embasadas 
em sua área de atuação.
Iremos explorar os conceitos fundamentais de mo-
delagem estatística e matemática, que são a base 
para a análise de regressão linear. Você aprenderá 
a identificar e formular modelos de regressão que 
descrevam a relação entre variáveis dependentes e 
independentes, compreendendo os pressupostos 
subjacentes à análise. Além disso, examinaremos 
as técnicas de ajuste de modelo, avaliação de sua 
adequação e interpretação dos resultados. Esse 
conhecimento permitirá que você explore e inter-
prete eficazmente as relações entre variáveis em 
seus estudos biológicos, fornecendo insights va-
liosos para a compreensão e tomada de decisões 
informadas. Está pronto para dominar essa com-
petência essencial? Então vamos começar! Avante!
Conceitos e formulações de 
modelagem estatística e de 
modelagem matemática
A análise de regressão é uma técnica de modelagem 
utilizada para analisar a relação entre uma variável resposta (Y) e 
uma ou mais variáveis explicativas X1, X2, X3 ... Xn com objetivo de 
25BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
identificar (estimar) uma função que descreva, da melhor forma 
possível, a relação entre essas variáveis. Assim pode-se predizer 
o valor que a variável resposta (Y) irá assumir para determinados 
valores das variáveis explicativas. O objetivo de empregar 
essa técnica reside na interpretação da relação possivelmente 
existente entre as variáveis a fim de entender o fenômeno, ou 
seja, predizer valores para variável resposta a partir das variáveis 
explicativas. Antes de explorar a análise de regressão linear,devemos diferenciar os conceitos de modelagem estatística e de 
modelagem matemática. 
A modelagem matemática envolve o componente 
determinístico e a modelagem estatística envolve tanto o componente 
determinístico quanto o componente estocástico. A regressão 
simples é dada pela fórmula 5 a seguir:
Fórmula 5 - Modelo de regressão linear
Onde:
 • e a variável resposta;
 • β0 e o intercepto (termo constante); 
 • β1 e o coeficiente relacionado a variável xi (fator 
multiplicador ou coeficiente de regressão); 
 • ei e o erro aleatório, pertencente ao modelo.
Para ajustar um modelo de regressão linear, devem ser 
respeitadas as seguintes suposições: 
 • ei N(0;σ2);
 • Cov(ei , ej) = 0 (Independência)
26 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Para entender os coeficientes da análise de regressão, sem 
se preocupar com as questões de estimação e incerteza, vamos 
iniciar com um exemplo que se trata de uma regressão para 
predizer o desempenho esportivo de equipes adultas femininas 
da modalidade esportiva de handebol entre os anos de 2007 e 
2017 (1ª a 24ª posições), explicada pelo número médio de partidas 
internacionais, disputadas pelo grupo de jogadoras, de cada país 
participante, de campeonatos mundiais.
Desempenho= 21,36-0,17partidas+ϵ (Modelagem estatística).
 Desempenho=21,36 -0,17partidas (Modelagem matemática).
A variável resposta “Desempenho” denota o valor predito 
ou esperado para o desempenho, dado o preditor número médio 
de partidas internacionais disputadas. Esse modelo busca explicar 
o desempenho em mundiais a partir da experiência internacional 
obtida por meio de jogos, onde -0,17 é o coeficiente de regressão, 
e o intercepto “21,36” o valor esperado para o número médio de 
partidas internacionais disputadas. Os coeficientes em um modelo 
de regressão linear são geralmente estimados pelo método dos 
mínimos quadrados ordinários. A ideia do método de Mínimos 
Quadrados é minimizar por meio das fórmulas abaixo:
Fórmula 5 - Métodos dos mínimos quadrados para 
determinação dos coeficientes do modelo de regressão
SQE(β0,β1) pode ser minimizadas por meio de suas 
derivadas:
27BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Resolvendo o sistema de equações temos:
;
Assumindo a suposição válida, ei ~ N(0,σ2), então:
• Hipótese para β0: 
• Estatística de teste: ;
• Hipótese para β1: : 
• Estatística de teste: ;
Podemos construir intervalos de confiança para os β’s 
(coeficientes) estimados:
Onde:
 •
, 
28 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
 •
, • , onde p é o número de parâmetros 
estimados pelo modelo;
 • tc é o valor crítico da distribuição de acordo com 
o nível de confiança desejado;
 • Com 95% de confiança o valor de tc é: 
O erro observado é chamado resíduo, que é dado por: 
Onde: 
Imagem 4.3 - Determinação da soma dos quadrados das fontes de variação
y
x
0 2-2 4 6 8
(Y1 - Y)
(Y1 - Y)
(Y1 - Y)
^
^
10
0
2
4
6
8
10
Fonte: Elaborado pela autoria (2023). 
29BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Os resíduos podem ser uma medida útil de quão bem a reta 
estimada se ajusta aos dados. Uma boa equação de regressão é 
aquela que ajuda a explicar uma grande proporção da variância de 
 Podemos medir a variação de ( , 
após algumas equações chegamos ao seguinte resultado:
Fórmula 6 - Somas dos quadrados das fontes de variação
+ 
+ 
Para analisar a adequação do ajuste, deve-se determinar 
o coeficiente de determinação (R2), resumindo a subdivisão da 
variação de em termos de uma análise de variância (Quadro 4.4). 
Uma medida importante para a qualidade de ajuste é dada pela 
fórmula a seguir:
Fórmula 7 - Coeficiente de Determinação
 • O valor de R2 estará sempre entre 0 e 1;
 • Um R2 = 0 (A regressão não ajuda em nada a explicar a 
variação de yi);
 • Um R2 = 1 (Ajustamento perfeito). 
30 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Quadro 4.4 - Quadro de análise variância para regressão linear
Fonte de 
Variação
Soma de 
quadrados
Graus de 
Liberdade
Quadrados 
Médios
Teste F
Regressão 1
Resíduos N-2
Total N-1
Fonte: Elaborado pela autoria (2023). 
Imagem 4.4 - Relação entre desempenho em mundiais femininos de handebol e número 
médio de partidas internacionais entre 2007 e 2017
0
60
Pa
rt
id
as
 I
nt
er
na
ci
on
ai
s
40
20
80
10
0
5 10 15 20
Desempenho
Fonte: Elaborado pela autoria (2023). 
 • Exemplo 5: A busca pela excelência no handebol induz 
(solicita demanda) treinadores e comissões técnicas 
a procurar meios e ferramentas para a análise do 
desempenho em competição, a fim de identificar as 
variáveis necessárias ao sucesso. Nesse sentido, a 
escassez de informações, oriundas de análises de 
31BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
desempenho sobre as variáveis que diferenciam 
equipes vencedoras das perdedoras, dificulta o 
planejamento de treinos e competições para melhora 
do desempenho em competições de alto nível, ou 
mesmo como referência para equipes, treinadores 
e jogadores em desenvolvimento. Dessa forma, o 
objetivo desse exemplo é estabelecer a relação entre 
desempenho classificatório em mundiais femininos de 
handebol e número médio de partidas internacionais 
entre 2007 e 2017. 
Imagem 4.5 - Correlação de Spearman e análise de regressão linear: software “R” 
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
32 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
O número médio foi de 56 ± 26 partidas internacionais 
disputadas pelas equipes. O número de partidas internacionais 
é fornecido por cada país participante, considerando amistosos 
internacionais, competições continentais, mundiais e jogos 
olímpicos. Ao todo, n= 89 dados foram disponibilizados via 
internet entre os anos de 2007 a 2017. O grau de associação 
entre partidas e a posição em mundiais se testou por meio do 
teste de correlação de Spearman (ρ), e um modelo de regressão 
linear, entre o desempenho obtido em função das partidas 
internacionais, foi construído.
A relação estabelecida mostrou que o aumento médio de 
participação, em um jogo internacional, melhora em 0.17 vezes a 
posição obtida em mundiais (Desempenho = 21,36 - 0,17 partidas, 
intercepto e coeficiente de regressão significativos, p(χ²) será fundamental pa-
ra embasar suas interpretações e inferências em 
estudos biológicos, permitindo uma análise mais 
completa e precisa dos dados. Aqueles que tenta-
ram realizar estudos de dispersão de frequência 
sem uma compreensão adequada dos conceitos 
subjacentes muitas vezes enfrentaram dificulda-
des em interpretar corretamente os resultados e 
fazer inferências válidas. Portanto, este capítulo 
visa fornecer-lhe os conhecimentos e habilidades 
necessários para conduzir corretamente o estudo 
de dispersão de frequência, capacitando-o a reali-
zar análises estatísticas robustas e embasadas em 
sua área de atuação.
Durante este capítulo, exploraremos as tabelas de 
contingências, que são uma ferramenta podero-
sa para descrever a relação entre duas variáveis 
categóricas em estudos biológicos. Além disso, 
discutiremos as limitações do uso do teste do qui-
-quadrado (χ²) como método de análise estatística, 
incluindo situações em que sua aplicação pode ser 
inadequada ou produzir resultados enganosos. Ao 
compreender esses conceitos, você estará prepa-
rado para interpretar corretamente os resultados 
de estudos de dispersão de frequência e utilizar 
essa análise estatística de forma eficaz em sua 
pesquisa ou prática profissional. Está pronto para 
desenvolver esta competência essencial? Então va-
mos começar! Avante!
35BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Tabelas de Contingência
As respostas obtidas na experimentação em animais e 
humanos geralmente são quantitativas. Considerando fatores 
circunstanciais, como tempo, amostra e infraestrutura disponíveis, 
sempre um delineamento adequado pode ser definido para 
analisar esse tipo de resposta. As respostas qualitativas exigem 
uma estratégia diferenciada de análise por sua natureza. Caso um 
ensaio seja planejado para se obter respostas qualitativas de cada 
animal, por efeito de tratamentos impostos pelo pesquisador, é 
preciso criar um critério de variabilidade de respostas observadas 
dentro de cada tratamento. Como as respostas são qualitativas, 
a abordagem de análise mais indicada envolveria métodos 
Existem situações, entretanto, nas quais as respostas qualitativas 
são julgadas pela frequência em que elas ocorrem dentro 
de um subuniverso estudado. Isso ocorrerá em basicamente 
dois grandes grupos de estudo de dispersão de frequência:
a. A variável estudada apresenta-se dicotomicamente 
(sim ou não, presença ou ausência, animais positivos 
ou negativos etc.) e indicará apenas um resultado 
percentual de ocorrência da resposta alvo. Como 
exemplo podemos citar a ocorrência de brucelose em 
bovinos de um município (positivo ou negativo);
b. A variável estudada, ainda qualitativa, é pesquisada em 
grupos diferentes e se deseja conhecer se a dispersão 
das respostas observadas (dicotômicas ou não) se 
apresenta igualmente para todos os grupos, ou se a 
dispersão parece variar dependendo do grupo em que 
a resposta foi estudada (Imagem 4.6). Essa situação 
está mais ligada à ação planejadora do pesquisador 
do que na situação anterior, na qual, pela operação de 
levantamento, não está implícita a imposição de grupos 
36 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
experimentais ou de tratamentos. Por exemplo, em uma 
criação leiteira, estuda-se se a retenção de placenta 
está associada ou ocorre mais frequentemente em 
algum grau de sangue para vacas paridas. Percebe-se 
que a resposta de retenção de placenta é dicotômica 
(sim ou não) e podem existir mais de dois graus de 
sangue discriminados pelo pesquisador, para verificar 
se existe diferença no percentual de animais paridos 
com retenção entre aqueles graus de sangue. Esses 
estudos são denominados de tabelas de contingência, 
apresentadas a seguir.
Imagem 4.6 - Estudo de dispersão de frequência
Estudo de 
Dispersão de 
Frequência
Tabela de 
Contigência
Teste de Qui - 
quadrado (x2)
Limitações do 
uso do x2
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
Enquanto nos levantamentos estuda-se tão somente 
a frequência de evento dicotômico dentro de um universo 
amostral, as tabelas de contingência envolvem o estudo de 
frequência de eventos dicotômicos ou não, mas que trazem 
consigo, naturalmente ou pressuposta pelo pesquisador, uma 
distribuição esperada. 
Suponhamos que em uma fazenda de exploração leiteira 
tenha havido 180 nascimentos no último ano. Para esse tipo de 
exploração o evento mais desejável é de produtoras do plantel. 
A segregação genética para sexos de 1:1 é bem conhecida, 
deverá prevalecer e, portanto, estaremos esperando 90 fêmeas 
e 90 machos entre bezerros nascidos. Se observássemos que 
realmente nasceram 90 machos e 90 fêmeas, nada de novo teria 
acontecido que ameaçasse a esperada segregação de nascimentos 
na proporção 1 macho para 1 fêmea (1:1). 
37BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Caso o evento observado fosse, entretanto, de 92 fêmeas 
e 88 machos, consideraríamos a mesma segregação, já que os 
desvios ocorridos entre as frequências observadas e esperadas 
foram muito pequenos. Supostamente, se apresentasse 120 
fêmeas e apenas 60 machos, esses desvios nos pareceriam mais 
substanciais e, alternativamente, julgaríamos: ou algo muito 
difícil de acontecer está ocorrendo ou alguma coisa pode estar 
efetivamente alterando a proporção esperada de 1:1. Nesse 
sentido, para julgarmos um evento como esse, por meio da 
avaliação dos desvios observados, é necessário:
a. Estabelecer as hipóteses de testagem e um índice para 
medir a magnitude de desvios (fórmula 8), por meio do 
índice afastamento de qui - quadrado (χ2);
Hipóteses:
H0: Não existe associação entre as variáveis, e não 
discrepância entre as frequências esperada e observada 
( ). 
H1: Há associação entre as variáveis, há discrepância entre 
as frequências esperada e observada ( > ).
Fórmula 8 - Índice afastamento qui – quadrado (χ2)
Onde é a frequência observada, 
a frequência esperada e segue uma distribuição de 
qui – quadrado com k-1 graus de liberdade para um total k de 
grupos. A exemplo do cálculo do desvio padrão, os desvios foram 
elevados ao quadrado, pois sua soma simples resultaria no valor 
38 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
0, e seriam relativizados pela frequência esperada pertinente, 
logo, o índice obtido é adimensional.
EXEMPLO: Considerando a mesma fazenda de pecuária 
leiteira, a primeira situação em que verifica-se 92 fêmeas 
e 88 machos o índice de afastamento seria: 
Na segunda situação em que verifica-se 92 fêmeas e 
88 machos o índice de afastamento seria:
Tabela 4.1 - Tabela de Contingência 2 x 2
Variável 1
Variável 2
Nível A Nível B Total
Nível A N11 N12 N1+
Nível B N21 N22 N2+
Total N+1 N+2 N++
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
Logo, o valor do índice de afastamento qui – quadrado 
para o nascimento de bezerros da fazenda na primeira situação 
é menor que na segunda situação (a zero indicarão desvios meramente causais, dentro do 
critério de tipificar sempre 95% das respostas possíveis (p ).
Quadro 4.7 - Estatística de teste qui – quadrado e p-valores para distribuições de trimestres 
de nascimento nas categorias juvenis, juniores e adultos (feminino e masculino) da 
modalidade esportiva de handebol (*indica discrepâncias significativas com valor de pvizinhas adotando um critério racional, até que 
a soma de frequência seja maior que 1.
b. As situações experimentais, com frequências totais 
reduzidas, não poderão ter suas dispersões devidamente 
estudadas e comparadas. Caso as observações de um 
grupo forem distribuídas em k classes de respostas, 
o ideal seria obter 15*k indivíduos para esse grupo. 
Assim, para o valor mínimo de k=2 deveríamos contar 
com 30 indivíduos por grupo.
c. Como a distribuição dos valores de χ2 é contínua e 
as frequências estudadas são variáveis discretas, um 
ajuste, para corrigir pequena diferença no cálculo da 
área sob a curva da distribuição, pode ser efetuada, 
logo, o teor de ajuste proposto é:
47BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
A alteração proposta só diminui discretamente o valor final 
de χ2 quando, sem o ajuste do valor, ele não for significativo ou 
então for muito maior que o tabelado, a correção de continuidade 
não afetará a conclusão inicialmente tomada. Por outro lado, o 
valor significativo de χ2 estiver próximo ao valor tabelado, seria 
interessante procedermos à correção, cujo valor ajustado de χ2 
seria igual a:
O valor anterior do índice de afastamento era de 5,079, 
mostrando a significância dos desvios observados, superior ao 
valor tabelado de 3,84 com 1 grau de liberdade. O valor ajustado é 
superior ao tabelado, confirmando a associação entre fertilidade 
e diluente.
RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu 
mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza 
de que você realmente entendeu o tema de 
estudo. Começamos discutindo as tabelas de 
contingências, que são utilizadas para descrever a 
relação entre duas variáveis categóricas. Reflitimos 
sobre como essas tabelas podem ser úteis na 
identificação de padrões e associações entre 
diferentes categorias de dados biológicos e como 
podemos aplicar esse conhecimento na pesquisa 
ou na prática profissional.
48 BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
Além disso, discutimos as limitações do uso do 
teste do qui-quadrado (χ²) como método de 
análise estatística. Agora, estamos preparados 
para aplicar com confiança o estudo de dispersão 
de frequência na análise estatística de dados 
biológicos, utilizando-o como uma ferramenta 
valiosa para explorar e interpretar relações entre 
variáveis categóricas.
Nesta unidade, você também teve acesso a 
conceitos sobre associação e relacionamento de 
variáveis e estudo de dispersão de frequência 
com o uso do software “R”! Finalizamos nossas 
atividades neste curso, esperamos que você tenha 
gostado! Agora é com você! 
 
49BIOESTATÍSTICA
U
ni
da
de
 4
CRAWLEY, M. J. The R book. San Francisco: John Wiley & Sons, 2007. 
SHAHBABA, B. Biostatistics with R. New York: Springer, 2012. 
SIQUEIRA, A. L.; TIBÚRCIO, J. D. Estatística na área da Saúde: 
conceitos, metodologia, aplicações e prática computacional. Belo 
Horizonte: Coopmed, 2011. 
SAMPAIO, I. B. Estatística aplicada à experimentação animal. 
Belo Horizonte: FEPMZ, 2010. 
PAGANO, M.; GAUVREAU, K. Princípios de Bioestatística. 2. ed. 
São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2004. 
ZAR, J. H. Biostatistical analysis. New Jersey: Prentice-Hall.1984. 
RE
FE
RÊ
N
CI
A
S
	Coeficiente de correlação de Pearson
	Formulações para a correlação de Pearson
	Teste de hipóteses – coeficiente de correlação de Pearson
	Coeficiente de correlação de Spearman
	Teste de hipóteses-coeficiente de associação (correlação de Spearman)
	Caso de empates entre observações X ou Y 
	Análise de regressão linear
	Conceitos e formulações de modelagem estatística e de modelagem matemática
	Estudo de dispersão de frequência
	Tabelas de Contingência
	Limitações do uso do χ2