DISTRIBUIÇÃO DISCRETA - BINOMINAL

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
1
UNIDADE 7
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA – 
BINOMIAL
1. Estimar chances pontualmente de ocorrência em situações na área de 
gestão e negócios.
2. Analisar variáveis na área de gestão e negócios que se comportam se-
gundo modelos probabilísticos.
C
O
M
PE
TÊ
N
C
IA
S
1. CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Segundo Pinheiro et al. (2012), uma variável aleatória é uma função que associa cada 
elemento de seu espaço amostral a um número real.
Geralmente não é necessário descrever o conjunto amostral ao qual pertence a variável 
aleatória, e sim definir o conjunto de valores reais que ela pode assumir e as respectivas 
probabilidades de assumir tais valores. E ainda, diremos que uma variável aleatória 
é discreta quando o número de valores que ela pode assumir é finito ou enumerável.
São exemplos de variáveis aleatórias discretas: o número de clientes e o número de 
vezes que uma moeda é lançada para cima.
Já as variáveis aleatórias contínuas são aquelas geralmente obtidas através de uma 
medição (tempo que um operário gasta em uma tarefa, diâmetros médios de parafusos, 
etc.). Assim, pode-se definir como variável aleatória contínua aquela que pode assumir 
todos os valores possíveis dentro de um intervalo de números reais.
Logo, a distribuição de probabilidade é uma função que tem por objetivo determinar 
probabilidade de eventos e/ou proposições.
Existem várias formas e maneiras de determinar uma distribuição de probabilidades, 
uma delas é pela função densidade de probabilidade, que por meio de sua integração, 
é possível obter a probabilidade de um evento.
Seguem alguns exemplos em que podem ser utilizadas as distribuições de probabilidade:
 ` Duração média de uma lâmpada;
 ` Ocorrência de 3 peças defeituosas num lote com 15 peças;
 ` Ocorrência de exatamente 1 cara no lançamento de 7 moedas.
U7
2Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta – Binomial
Existem vários tipos de distribuição de probabilidades, tanto aleatórias discretas quanto 
contínuas. Na distribuição de variável aleatória discreta, daremos enfoque na distri-
buição binomial, e na distribuição de variável aleatória contínua, será abordada a 
distribuição normal.
Para a utilização da distribuição binomial de probabilidades, é necessário que em 
cada ensaio (experimento) sejam admitidas apenas duas possibilidades: a ocorrência 
ou a não ocorrência de um determinado evento, conhecidos como a probabilidade de 
sucesso (p) e a probabilidade de fracasso (q).
Independentemente da ordem em que ocorram, se desejamos saber a probabilidade 
da ocorrência de x sucessos, então podemos dizer que a variável aleatória x admite 
distribuição binomial de probabilidades.
Observações:
 ` No experimento, deve-se contar com um número fixo de provas.
 ` As provas devem ser independentes, ou seja, a probabilidade de ocorrência de uma não 
implica na probabilidade da outra.
 ` Todos os resultados de cada prova devem ser enquadrados em duas classes: sucesso ou 
fracasso, e suas respectivas probabilidades devem permanecer constantes em cada prova.
Para determinar a probabilidade, aplicaremos a fórmula:
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
Onde:
 y → número de sucessos (quantidade de vezes que deverá ocorrer o que 
desejamos);
 n → número total de tentativas e/ou observações;
 p → probabilidade de sucesso;
q → probabilidade de fracasso;
,n yC → Combinação de n em y (quantidade de combinações que podem ocorrer os 
sucessos e fracassos). Pode ser calculada por:
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
Compreende-se como !n :
( ) ( ) ( )! . 1 . 2 . 3 . .3.2.1n n n n n= − − − …
3 Métodos Quantitativos
U7 Distribuição Discreta – Binomial
Ou seja:
5! 5.4.3.2.1 120= =
6! 6.5.4.3.2.1 720= =
Definindo:
0! 1=
1! 1=
Importante: observe que p e q são eventos complementares, ou seja, 1q p= − .
2. APLICAÇÕES UTILIZANDO DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Como já explorado, a Distribuição Binomial possibilita o cálculo da probabilidade de um 
evento definido a partir de uma variável aleatória discreta, a qual possui apenas duas 
possiblidades em seu espaço amostral. Observe alguns exemplos de aplicação:
Exercício resolvido 1
Sabe-se que em uma linha de produção há 10% de probabilidade de se encontrar peças 
defeituosa e deverão ser realizadas inspeções em 12 peças. Determine a probabilidade 
de se encontrar:
a. Exatamente uma peça com defeito;
b. Nenhuma peça com defeito;
c. No máximo duas peças com defeito.
RESOLUÇÃO
a. Exatamente uma peça com defeito;
Define-se como evento sucesso a ocorrência do defeito. Assim o número de sucessos 
buscado será 1 em 12 tentativas.
1y = e 12n =
Sabe-se que, na população estudada, tem-se que a probabilidade de um defeito é 10%, 
ou seja:
0,1p =
e
1 0,1 0,9q = − =
Antes de aplicar a fórmula da Distribuição Binomial, deve-se calcular o número de com-
binações possíveis, de 1 em 1 ( )1y = a partir de um espaço amostral formado por 12 
elementos 12n = :
U7
4Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta – Binomial
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )12,1 12,1
12! 12! 12
1! 12 1 ! 1!11!
C C= → = =
−
Aplicando a fórmula da distribuição binomial:
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) 1 12 11 12.0,1 .0,9P x −= =
( ) 111 12.0,1.0,9 0,3766 37,66%P x = = ≅ ≅
Ou seja, a probabilidade de se obter apenas 1 defeito, selecionando-se 12 peças é de, 
aproximadamente, 37,66%.
b. Nenhuma peça com defeito;
Neste caso, busca-se calcular a probabilidade do zero defeito, ou seja, 0y = para 
12n = . Aplicando a fórmula das combinações:
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )12,0 12,0
0! 0! 1
0! 12 0 ! 0!12!
C C= → = =
−
Aplicando a fórmula da distribuição binomial:
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) 0 120 1.0,1 .0,9P x = =
( ) 0 120 1.0,1 .0,9 0,2824 28,24%P x = = ≅ ≅
Portanto, a probabilidade de encontrar nenhum defeito em 12 peças é de, aproximada-
mente, 28,24%.
c. No máximo duas peças com defeito.
Compreende-se a expressão “no máximo duas peças” como ( )2P x ≤ . Para calcular 
esta probabilidade, deve-se fazer:
( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + =
5 Métodos Quantitativos
U7 Distribuição Discreta – Binomial
Já se sabe que:
( )0 28,24%P x = ≅
 e ( )1 37,66%P x = ≅
Sendo assim, necessita-se calcular ( )2P x = .
Calculando ( )2P x = :
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )12,2
12! 66
2! 12 2 !
C = =
−
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) ( )2 12 2 2 102 66.0,1 .0,9 2 66.0,1 .0,9P x P x−= = → = =
( )2 0,2301 23,01%P x = ≅ ≅
Logo,
( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + =
( )2 28,24% 37,66% 23,01% 88,91%P x ≤ = + + =
AtençãoA sentença “no máximo duas peças com defeito” significa que podemos ter 
duas peças com defeito, uma peça com defeito ou ainda nenhuma peça com defeito. 
Logo, podemos interpretar como a probabilidade de ser menor ou igual a 2, isto é,
( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + =
Exercício resolvido 2
Sabe-se que 5% das garrafas plásticas de uma determinada marca são defeituosas. 
Considerando uma amostra de 10 garrafas plásticas desta marca, escolhidas ao acaso, 
encontre a probabilidade de que:
a) Nenhuma delas apresente defeito;
b) Exatamente três delas apresentem defeito;
c) Uma ou duas apresentem defeito;
d) No máximo três delas apresentem defeito;
e) No mínimo quatro delas apresentarem defeito.
U7
6Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta – Binomial
RESOLUÇÃO
a. Nenhuma delas apresente defeito;
Sabe-se que 10n = , 0,05p = e 1 0,05 0,95q = − = . Para 0y = :
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )10,0
10! 1
0! 10 0 !
C = =
−
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) ( )0 10 0 0 100 1.0,05 .0,95 0 1.0,05 .0,95P x P x−= = → = =
( ) 0 100 1.0,05 .0,95 0,5987 59,87%P x = = ≅ ≅
A probabilidade de se encontrar nenhum defeito em 10 garrafas é de, aproximadamen-
te, 59,87%.
b. Exatamente três delas apresentem defeito;
Para 3:y =
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )10,3
10! 120
3! 10 3 !
C = =
−
( ) , . .y n y
n yPx y C p q −= =
( ) ( )3 10 3 3 73 120.0,05 .0,95 3 120.0,05 .0,95P x P x−= = → = =
( )3 0,0105 1,05%P x = ≅ ≅
A probabilidade de se encontrar 3 defeitos em 10 garrafas é de, aproximadamente, 
1,05%.
c. Uma ou duas apresentem defeito;
7 Métodos Quantitativos
U7 Distribuição Discreta – Binomial
Está se buscando a probabilidade de se ter de 1 a 2 defeitos em 10 garrafas, ou seja, 
( )1 2P x≤ ≤ . Esta situação poderá ser calculada fazendo:
( ) ( ) ( )1 2 1 2P x P x P x≤ ≤ = = + =
Calculando ( )1P x = :
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )10,1
10! 10
1! 10 1 !
C = =
−
( ) , . .y n y
n yP x y C p q −= =
( ) ( )1 10 1 1 91 10.0,05 .0,95 1 10.0,05 .0,95P x P x−= = → = =
( )1 0,3151 31,51%P x = ≅ ≅
Calculando ( )2P x = : 
( ),
!
! !n y
nC
y n y
=
−
( )10,2
10! 45
2! 10 2 !
C = =
−
( ) ( )2 10 2 2 8
10,22 .0,05 .0,95 2 45.0,05 .0,95P x C P x−= = → = =
( )2 0,0746 7,46%P x = ≅ ≅
Logo, ( )1 2 31,51% 7,46% 38,97%P x≤ ≤ = + =
d. No máximo três delas apresentem defeito.
Deve-se calcular ( )3P x ≤ , para isto se fará:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2 3P x P x P x P x P x≤ = = + = + = + =
U7
8Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta – Binomial
Sabe-se que:
( )0 59,87%P x = ≅
( )1 31,51%P x = ≅
( )2 7,46%P x = ≅
( )3 1,05%P x = ≅
Logo,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2 3P x P x P x P x P x≤ = = + = + = + =
( )3 59,87% 31,51% 7,46% 1,05% 99,89%P x ≤ = + + + =
Portanto, a probabilidade de se ter no máximo 3 defeitos em 10 garrafas é de 99,89%, 
aproximadamente.
e. No mínimo quatro delas apresentarem defeito.
Deve-se calcular ( )4P x ≥ . Para isto, poderia se fazer:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6 7 8 9 10P x P x P x P x P x P x P x P x≥ = = + = + = + = + = + = + =
Mas também, por meio do conceito e eventos complementares, pode-se concluir que:
( ) ( )4 1 3P x P x≥ = − ≤
Como já se sabe que:
( )3 99,89%P x ≤ =
( )4 1 0,9989 0,0011 0,11%P x ≥ = − = =
Ou seja, a probabilidade de se ter, no mínimo 4 defeitos e 10 garrafas é de 0,11%, 
aproximadamente.
3. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Para analisarmos o comportamento do gráfico de uma distribuição binomial, devemos 
ter o foco no parâmetro p (probabilidade de sucesso). Adote-se 12n = .
Dessa forma, existem três comportamentos:
9 Métodos Quantitativos
U7 Distribuição Discreta – Binomial
Com probabilidade de sucesso 0,1, p = temos o gráfico da Figura 01.
Figura 01. Gráfico da distribuição binomial para 12n = e 0,1p = – Assimetria à esquerda
Fonte: elaborada pelos autores.
Com probabilidade de sucesso 0,5, p = temos o gráfico da Figura 02.
Figura 02. Gráfico da distribuição binomial para 12n = e 0,5p = – Simetria
Fonte: elaborada pelos autores.
U7
10Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta – Binomial
Com probabilidade de sucesso 0,9, p = temos o gráfico da Figura 03.
Figura 03. Gráfico da distribuição binomial para 12n = e 0,9p = – Assimetria a direita
Fonte: elaborada pelos autores.
Se p for um valor abaixo de 50%, as maiores probabilidades estarão nos valores iniciais 
( ) ( ) ( )( )0 , 1 , 2P x P x P x= = = , e conforme aumenta-se os valores do parâmetro x , as 
probabilidades diminuem. Já com a probabilidade de sucesso próximo a 50%, os maio-
res valores de probabilidade estarão concentrados no centro dos valores (curva simé-
trica). Com a probabilidade de sucesso p próximo de 90%, teremos os maiores valores 
de probabilidade nos dados mais altos.
4. USO DE SOFTWARE PARA DETERMINAR A PROBABILIDADE 
UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Para se calcular as probabilidades relacionadas a Distribuição Binomial por meio do 
Excel, se fará uso da seguinte fórmula:
=DISTR.BINOM(núm_s;tentativas;probabilidade_s;cumulativo)
Onde:
num_s → número de sucessos ( )y
tentativas → número de tentativas do experimento ( )n
probabilidade_s → probabilidade de sucesso ( )p
cumulativo → para calcular a probabilidade para um valor y exato, defina como 
“FALSO”. Para calcular a probabilidade para um intervalo de valores y≤ , defina como 
“VERDADEIRO”.
11 Métodos Quantitativos
U7 Distribuição Discreta – Binomial
Exercício resolvido 3
As balas de goma BG são vendidas em pacotes sortidos com as balas nas cores amare-
la, vermelha, verde e laranja. A empresa fabricante afirma que 20% das balas de goma 
BG são amarelas. Determine:
a) A probabilidade de que, em 20 balas de goma BG escolhidas aleatoriamente, exata-
mente 3 sejam da cor amarela.
b) A probabilidade de que, em 15 balas de goma BG escolhidas aleatoriamente, exata-
mente 10 não sejam da cor amarela.
RESOLUÇÃO
a) A probabilidade de que, em 20 balas de goma BG escolhidas aleatoriamente, exata-
mente 3 sejam da cor amarela.
Para a resolução utilizando o Excel, em uma planilha em branco, digite os dados do 
problema, conforme figura a seguir:
Figura 04. Inserindo dados – Distribuição Binomial
Fonte: elaborada pelos autores.
Na célula abaixo de P(x=y), construa a fórmula inserindo cada dado no seu devido lu-
gar. No exemplo, se terá:
=DISTR.BINOM(C4;B4;B1;FALSO)
Observação: note que o atributo “cumulativo” foi definido como “FALSO” pois se está 
buscando calcular a probabilidade para um valor exato de y . Caso o problema solici-
tasse ( )3P x ≤ , deve-se alterar o atributo para “VERDADEIRO”.
O resultado será:
U7
12Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta – Binomial
Figura 05. Cálculo – Distribuição Binomial – Item A
Fonte: elaborada pelos autores.
Pode-se concluir ( )3 0,2054 20,54%P x = ≅ ≅
b) A probabilidade de que, em 15 balas de goma BG escolhidas aleatoriamente, exata-
mente 10 não sejam da cor amarela.
Note que o sucesso é definido como a bola “não ser da cor amarela”. Desta forma 
0,8p = .
Figura 06. Cálculo – Distribuição Binomial – Item B
Fonte: elaborada pelos autores.
=DISTR.BINOM(I4;H4;H1;FALSO)
Pode-se concluir ( )10 0,1032 10,32%%P x = ≅ ≅
13 Métodos Quantitativos
U7 Distribuição Discreta – Binomial
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Em um grupo de pessoas, sabe-se que a probabilidade de 1 destes sujeitos ser apro-
vado em um teste é de 24%. A partir disto, sendo selecionadas 15 pessoas, calcule a 
probabilidade de:
a. Exatamente 4 destas ser aprovada no teste.
b. No máximo 3 destas ser aprovada no teste.
c. No mínimo 2 destas ser aprovada no teste.
Exercício 1.
Em uma população, sabe-se que a probabilidade do reconhecimento de uma marca 
específica de biscoitos é de 69%. Selecionando-se 20 pessoas aleatoriamente, calcule 
a probabilidade de ao menos 16 destas reconhecerem a marca.
Exercício 2.
Jogando-se um dado 12 vezes, calcule a probabilidade de se obter um número maior ou 
igual a 4 exatamente 5 vezes.
Exercício 3.
EDUCANDO PARA A PAZ