5ª Lista de Exercício

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 05: Aulas 11 e 12.
1. Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada no ponto x = a das func¸o˜es:
(a) f(x) =
1√
2x
(b) f(x) = e2x, sabendo que lim
h→0
eh − 1
h
= 1
2. Verifique se a func¸a˜o definida por
f(x) =


x2 , se x ≥ 0
x2 sen (
1
x
) , se x < 0
e´ deriva´vel em x = 0.
3. Em cada caso abaixo, encontre a equac¸a˜o de uma reta tangente ao
gra´fico da func¸a˜o f(x) e paralela a reta r dada:
(a) f(x) = x3 e r : y = x+ 5
(b) f(x) =
1
1 + x2
e r : 25y − 4x = 1 (Sugesta˜o: Procure uma ra´ız
inteira da equac¸a˜o resultante).
4. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) =
x
1 + x2
(b) f(x) = tg x
(c) f(x) = ex cosx
(d) f(x) = x2 + x+ 1 + x−1 + x−2
5. A lei dos gases ideais que relaciona a pressa˜o P , o volume V e a temper-
atura T e´ PV = nRT , onde n e R sa˜o constantes. Supondo a temperatura
constante e igual a 10, e supondo nR = 1, encontre a taxa de variac¸a˜o
do volume em relac¸a˜o a` pressa˜o quando a pressa˜o e´ 20.
1
6. A taxa de variac¸a˜o da massa M em relac¸a˜o ao tempo t de uma
substaˆncia radioativa e´ proporcional a` sua massa, isto e´M ′(t) = −λM(t),
onde λ e´ uma constante. Encontre a func¸a˜o que satisfaz esta equac¸a˜o, com
M(0) = M0. Qual o tempo t0 para o qual M(t0) =
1
2
M0?
2