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Fundamentos e Unidades Métricas
1. Sistema de Numeração Decimal
O sistema de numeração que usamos é um sistema decimal, pois contamos
em grupos de 10. A palavra decimal tem origem na palavra latina decem,
que significa 10. Ele foi inventado pelos hindus, aperfeiçoado e levado para
a Europa pelos árabes. Daí o nome indo-arábico. Além disso, ele serve para
contar objetos.
Neste sistema os números são representados por um agrupamento de
símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.
Esse sistema de numeração apresenta algumas características:
Utiliza apenas os algarismos indo-arábicos 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para
representar qualquer quantidade.
Cada 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem seguinte.
Observe.
10 unidades = 1 dezena = 10
10 dezenas = 1 centena = 100
10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000
Outra característica é que ele segue o principio do valor posicional do
algarismo, isto é, cada algarismo tem um valor de acordo com a posição que
ele ocupa na representação do numeral.
Temos, então, o seguinte quadro posicional (ou de ordens):
4º ordem 3º ordem 2º ordem 1º ordem
unidade de
milhar
centena de
unidades
dezena de unidades unidades
Observe:
Neste número: 632
o algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1º ordem);
o algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale
30 (2º ordem);
o algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e
vale 600 (3º ordem).
Ou seja, 600 + 30 + 2 é igual a 632, que lemos seiscentos e trinta e dois.
Neste número: 7.156 o algarismo 6 representa 6 unidades e vale 6 (1º
ordem).
o algarismo 5 representa 5 dezenas e vale 50 (2º ordem).
o algarismo 1 representa 1 centena e vale 100 (3º ordem).
o algarismo 7 representa 7 unidades de milhar e vale 7000 (4º ordem).
2. Unidades de Medidas e Principais Grandezas
Padrões usados para avaliar grandezas físicas
São definidas arbitrariamente e têm como referência um padrão material. As grandezas
podem ser mecânicas, ópticas, geométricas, acústicas ou luminosas. Medir significa
comparar uma grandeza com uma unidade de referência da mesma espécie e
estabelecer o (inteiro ou fracionário) de vezes que a grandeza contém a unidade.
Metrologia é a ciência que estuda, normatiza e codifica os conhecimentos relativos a
medidas, padrões e unidades de medir, métodos, técnicas e instrumentos de medição.
Estimar e avaliar grandezas diversas são capacidades e habilidades desenvolvidas pela
humanidade desde o início de sua evolução cultural.
Na pré-história, o homem apenas compara volumes e peso, sem medi-los. Com o
crescimento demográfico, o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas, são
fixadas unidades que permitam uma comparação mais precisa entre objetos.
Sistemas consuetudinários
Até o final do século XVIII, todos os sistemas de medidas existentes são
consuetudinários, ou seja, baseados nos costumes e nas tradições. Os primeiros padrões
utilizados para medir são partes do corpo humano – palma da mão, polegada,
braço ou uma passada – e utensílios de uso cotidiano, como cuias e vasilhas.
Com o tempo, cada civilização define padrões e fixa suas próprias unidades de medidas.
Daí a multiplicidade de sistemas de medição existente desde a Antiguidade.
Primeiros sistemas
As diferentes civilizações começam a padronizar as unidades de medidas já na
Antiguidade. Antes disso, as medições não eram muito precisas. O côvado egípcio, por
exemplo, é uma medida de comprimento cujo padrão é a distância entre o cotovelo e a
ponta do dedo médio, estando o braço e o antebraço dobrados em ângulo reto e a mão
esticada. A milha é a distância percorrida em uma passada.
Com esses tipos de unidades, as medições podem dar resultados tão variados quantas
são as diferenças individuais do corpo humano. A padronização é feita pela definição de
unidades médias, fixadas através de padrões materiais construídos em pedra, argila ou
ligas metálicas.
Primeiros padrões
O surgimento de padrões, materiais de referência para as unidades de medidas, marca o
início da construção dos primeiros sistemas de pesos e medidas. Eles estão presentes
nas civilizações da Assíria, Babilônia, Caldéia e Egito.
Os padrões de peso mais antigos até hoje conhecidos datam do quarto milênio antes de
Cristo. São pequenos cilindros de base côncava, com cerca de 13 gramas, encontrados
nos túmulos de Amrah, no Egito.
O sistema egípcio tem grande influência sobre os povos da Antiguidade. Do vale do Rio
Nilo, espalha-se pela Judéia, Ásia Menor e Grécia, chega às colônias gregas da Península
Itálica e, mais tarde, é levado pelos romanos para as diferentes regiões da Europa.
Mistura-se, então, aos sistemas locais, assumindo novas características.
Sistemas inglês e norte-americano
A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinário de pesos e medidas logo após a
promulgação da Carta Magna, em 1215. O sistema, usado por mais de 600 anos,
também é adotado pelas ex-colônias inglesas. Os Estados Unidos usam o mesmo
sistema inglês, com pequenas modificações.
Atualmente, embora o Parlamento britânico tenha decidido pela adesão do país
ao Sistema Internacional de Unidades, a população inglesa continua utilizando o antigo
sistema em seu dia-a-dia. Nos Estados Unidos, o sistema métrico é oficialmente
permitido desde 1866 e, em 1959, as unidades de medidas tradicionais passam a ser
definidas em função do Sistema Internacional de Unidades. Nos anos 60, o país inicia um
movimento de conversão para o Sistema Internacional. A população, no entanto,
também tem resistido em abandonar as antigas medidas.
http://www.coladaweb.com/fisica/mecanica/sistema-internacional-de-unidades-(si)
2. Unidades de Medidas e Principais Grandezas
2.1. Principais grandezas
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o mais aceito em todo o mundo. No entanto,
ainda são usadas unidades tradicionais de origem consuetudinária ou de sistemas anteriores
à elaboração do SI.
COMPRIMENTO
Metro (m), unidade SI: distância percorrida pela luz no vácuo em um intervalo de tempo igual
a 1/299.792.458 s.
Unidades de comprimento tradicionais:
• Quilômetro (km): 1.000 m,
• palmo: 22 cm;
• braça: 2,2m;
• légua: 6 km;
• légua brasileira: 6,6 km.
Unidades de comprimento inglesas:
• Polegada (in): 2,54 cm ou 0,0254 m;
• pé (ft): 30,48 cm ou 0,3048 m;
• jarda (yd): 91,44 cm ou 0,9144 m;
• milha (mi): 1.609 m;
• milha náutica: 1.852 m.
Distâncias astronômicas:
• Ano-luz: distância percorrida pela luz no vácuo em 1 ano, igual a 9,46 trilhões de
quilômetros ou 946 × 1010 km;
• parsec: 3,258 anos-luz ou 30,82 trilhões de quilômetros ou 3. 082 × 10¹o km;
• unidade astronômica (uA): distância média entre a Terra e o Sol igual a 150 milhões
de quilômetros ou 150 × 106 km.
ÁREA
Metro quadrado (m²), unidade SI: área de um quadrado com lado igual a um metro.
Unidades de área tradicionais:
• quilômetro quadrado (km²): 1.000.000 m²;
• hectare (ha): 10.000 m²;
• alqueire mineiro: 48.400 m²;
• alqueire paulista: 24.200 m².
Unidades de área inglesas:
• polegada quadrada: 6,4516 cm² ou 0,00064516 m²;
• pé quadrado: 929,03 cm² ou 0,092903 m².
VOLUME
Metro cúbico (m³), unidade SI: cubo com arestas iguais a um metro.
Unidade de volume tradicional:
• Litro (l): 0,001 m³.
Unidades de volume inglesas:
• Galão inglês: 4,546 l ou 0,004546 m³;
• Galão norte-americano: 3,785 l ou 0,003785 m³.
ÂNGULO PLANO
Radiano (rad ou rd), unidade SI: ângulo plano entre dois raios de um círculo que forma um
arco de circunferência com o comprimento igual ao do raio.
Unidades de ângulo plano tradicionais –
• grau (º): /180 rad;
• minuto (‘): /10. 800;
• segundo (“): /648. 000 rad;
• número : 3,1416.
ÂNGULO SÓLIDO
Esterradiano (sr), unidade SI: ângulo sólido que, tendo o vértice no centro de uma esfera,
leva a um corte em sua superfíciecom área igual a de um quadrado com lados iguais ao raio
da esfera.
MASSA
Quilograma (kg), unidade SI: massa do protótipo internacional do quilograma, um padrão
construído com uma liga de platina e irídio.
Unidades de massa tradicionais:
• quilate: 0,2 g ou 0,002 kg;
• tonelada métrica (t): 1.000 kg.
Unidades de massa inglesas:
• libra ou pound (lb): 453,59 g ou 0,453 kg;
• tonelada inglesa: 1.016 kg; tonelada norte-americana: 907 kg;
• onça (oz): 28,35 g ou 0,028 kg;
• onça troy: 31,10 g ou 0,031 kg.
TEMPO
Segundo (s), unidade SI: tempo correspondente a 9.192. 631.770 ciclos de radiações
emitidas entre dois níveis de energia do átomo de césio 133.
Unidades de tempo tradicionais:
• minuto (min): 60s;
• hora (h): 60min ou 3.600s;
• dia (d): 24h ou 1.440min ou 86. 400s;
• ano sideral: 365d 6h 9min 9,5s;
• ano trópico: 365d 5h 48min 45,8s.
VELOCIDADE
Metro por segundo (m/s), unidade SI: distância percorrida em um segundo.
Unidades de velocidade tradicionais:
• quilômetro por hora (km/h): 1/3,6 m/s ou 0,27777 m/s.
Unidades de velocidade inglesas:
• milha por hora (mi/h): 1,609 km/h ou 0,4469 m/s;
• nó (milha náutica por hora): 1,852 km/h ou 0,5144 m/s.
Velocidade da luz: 299. 792. 458 m/s.
VELOCIDADE ANGULAR
Radiano por segundo (rad/s), unidade SI: velocidade de rotação de um corpo.
Unidade de velocidade angular tradicional:
• Rotação por minuto (rpm): p/30 rad/s
http://www.coladaweb.com/quimica/elementos-quimicos/iridio
http://www.coladaweb.com/quimica/elementos-quimicos/cesio
ACELERAÇÃO
• Metro por segundo ao quadrado (m/s²), unidade SI: constante de variação de
velocidade.
• Radiano por segundo ao quadrado (rad/s²), unidade SI: constante de variação de
velocidade angular.
FREQUÊNCIA
• Hertz (Hz), unidade SI: número de ciclos completos por segundo (Hz s-¹)
FORÇA
Newton (N), unidade SI: força que imprime uma aceleração de 1 m/s² a uma massa de 1 kg
(kgm/s²), na direção da força.
Unidade de força tradicional:
• Quilograma-força (kgf): 9,8N.
ENERGIA
Joule (J), unidade SI: energia necessária para uma força de 1N produzir um deslocamento
de 1m (J N/m).
Unidades de energia tradicionais:
• Watt-hora (Wh): 3. 600 J;
• quilowatt-hora (kWh): 3.600.000 J ou 3.600 kJ,
• eletrovolt (eV): 1,6021 × 10 J;
• caloria (cal): 4,1 J;
• quilocaloria (kcal): 4. 184 J.
POTÊNCIA
Watt (W), unidade SI: potência necessária para exercer uma energia de 1 J durante um
segundo (W J/s). O fluxo de energia (elétrica, sonora, térmica ou luminosa) também é medido
em watt.
Unidade de potência tradicional:
• Horse-power (HP) ou cavalo-vapor (cv): 735,5 W.
INTENSIDADE ENERGÉTICA
Watt por esterradiano (W/sr), unidade SI: intensidade do fluxo de energia no interior de um
ângulo sólido igual a 1sr.
PRESSÃO
Pascal (Pa), unidade SI: força constante de 1N sobre uma superfície plana de 1m² (Pa N/m²).
Unidades de pressão tradicionais:
• Milímetro de mercúrio (mmHg): 133,32 Pa;
• atmosfera (atm): 101. 325 Pa.
CORRENTE ELÉTRICA
Ampère (A), unidade SI: corrente elétrica constante capaz de produzir uma força igual a 2 ×
10 N entre dois condutores de comprimento infinito e seção transversal desprezível, situados
no vácuo e com 1 m de distância entre si.
CARGA ELÉTRICA
Coulomb (C), unidade SI: quantidade de eletricidade com intensidade constante de 1A que
atravessa a seção de um condutor durante 1s (C sA).
Unidade de carga elétrica tradicional:
• Ampère-hora (Ah): 3.600 C.
DIFERENÇA DE POTENCIAL
Volt (V), unidade SI: tensão elétrica existente entre duas seções transversais de um condutor
percorrido por uma corrente constante de 1A, quando a freqüência dissipada entre as duas
seções é igual a 1W (V W/A).
RESISTÊNCIA ELÉTRICA
Ohm (?), unidade SI: resistência de um elemento de um circuito que, submetido a uma
diferença de potencial de 1V entre seus terminais, faz circular uma corrente constante de 1A
( V/A).
CAPACITÂNCIA ELÉTRICA
Farad (F), unidade SI: capacitância de um elemento de um circuito que, ao ser carregado
com uma quantidade de eletricidade constante igual a 1C, apresenta uma tensão constante
igual a 1V (F C/V).
INDUTÂNCIA ELÉTRICA
Henry (H), unidade SI: indutância de um elemento passivo de um circuito em cujos terminais
se induz uma tensão constante de 1V quando percorrido por uma corrente que varia na
razão de 1A por segundo (H Vs/A ou Ws).
TEMPERATURA
Kelvin (K), unidade SI: fração de 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da
água, que corresponde às condições de temperatura e pressão em que a água em estado
http://www.coladaweb.com/fisica/eletricidade/corrente-eletrica
http://www.coladaweb.com/fisica/eletricidade/carga-eletrica
líquido, o vapor de água e o gelo estão em perfeito equilíbrio. O ponto zero da escala (0°K) é
igual ao zero absoluto (-273,15°C).
Unidades de temperatura tradicionais –
• Escala Celsius (°C): 0°C 273°K e 1°C 274°K;
• Escala Fahrenheit (F): 0°F 255,33°K ou -17,77°C, 1°F 255,78°K ou -17,22°C.
QUANTIDADE DE MATÉRIA
Mol (símbolo mol), unidade SI: quantidade de matéria de um sistema que reúne tantas
entidades elementares (partículas que devem ser especificadas) quanto o número de átomos
contidos em 0,012 kg de carbono.
INTENSIDADE LUMINOSA
Candela (cd), unidade SI: intensidade luminosa emitida em uma determinada direção por
uma fonte de radiação monocromática com freqüência igual a 540 × 10¹² Hz e com uma
intensidade energética de 1/683 watt por esterradiano.
FLUXO LUMINOSO
Lúmem (lm), unidade SI: fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um
ângulo sólido igual a 1sr (lm cd/sr).
ILUMINAMENTO
Lux (lx), unidade SI: iluminamento de uma superfície plana de 1 m² que recebe um fluxo
luminoso perpendicular de 1lm (lx lm/m²).
INFORMÁTICA
• Bit: menor unidade de armazenamento de informações em computadores e sistemas
informatizados.
• Byte: é a unidade básica de memória de computadores, igual a 8 bits contíguos.
• Kilobit (kbit): 1.024 bits de informação. Kilobyte (kbyte): 1.024 bytes. Megabytes:
1.048.576 bytes.
3. Conjunto Numéricos
Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela
letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o
zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
http://www.coladaweb.com/quimica/elementos-quimicos/carbono
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus
respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este
conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z),
números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais
infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal
infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas comodízimas
periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos NúmerosIrracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de
número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma
circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente,
supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-irracionais/
http://www.infoescola.com/matematica/perimetro/
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2
(1,4142135 ...)
Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos
racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.
4. Área e Perímetro
Área e perímetro são duas medidas distintas, onde a área é a medida de uma superfície e o
perímetro é a medida do comprimento de um contorno.
O contorno do mapa do Brasil é o perímetro que determina sua área total.
Perímetro
O que é perímetro? E como o calculamos?
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.
Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.
Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m
O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados,
para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
calcular a medida.
Por exemplo:
O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:
P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3
P = 18 + 4 + 9 + 5
P = 22 + 14
P = 36
A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de
comprimento: metro, centímetro, quilômetro...
Área
Área é a medida de uma superfície.
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área
será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.
A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e
outros.
Se tivermos uma figura do tipo:
Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada
dessa figura será de 4 unidades.
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma
fórmula pra calcular a sua área.
5. Unidades de Medida de Área
O cálculo de áreas é uma parte da Geometria que possui uma variedade de aplicações no
cotidiano. A área pode ser calculada através do produto entre duas dimensões do plano:
comprimento x largura ou base x altura. Existem algumas expressões algébricas
matemáticas que são associadas a figuras geométricas, possibilitando o cálculo de suas
áreas. As unidades usuais de áreas, de acordo com o SI (sistema internacional de unidades),
são as seguintes:
km² = quilômetro quadrado
hm² = hectômetro quadrado
dam² = decâmetro quadrado
m² = metro quadrado
dm² = decímetro quadrado
cm² = centímetro quadrado
mm² = milímetro quadrado
O procedimento para o cálculo da área de uma região plana exige que todas as dimensões
estejam numa mesma unidade de comprimento, que de acordo com o SI são:
km = quilômetro
hm = hectômetro
dam = decâmetro
m = metro
dm = decímetro
cm = centímetro
mm = milímetro
As unidades de comprimento e de área podem ser transformadas de acordo com as
seguintes tabelas de conversões de medidas:
Medidas de comprimento
Transformando 1 metro (m) em milímetros (mm):
1º passo: transformar metro em decímetro
2º passo: transformar decímetro em centímetro
3º passo: transformar centímetro em milímetro
Para ser mais prático, podemos multiplicar o metro por 10x10x10 (1000)
1 x 10 x 10 x 10 = 1000 →1m = 1000mm
Medidas de Área
Transformando 1m² (metro quadrado) em cm² (centímetro quadrado)
1º passo: transformar m² em dm²
2º passo: transformar dm² em cm²
Pelo processo prático podemos multiplicar o m² por 100x100 (10 000)
1 x 100 x 100 = 10 000 → 1m² = 10 000cm²
Exemplo 1
Um muro com as seguintes medidas: 20m de comprimento e 2m de altura foi construído com
tijolos de dimensões 20cm de comprimento e 20cm de altura. Quantos tijolos foram gastos
na construção desse muro, descartando a hipótese de desperdício?
Área do muro
20m x 2m = 40m²
Área do tijolo
20cm x 20cm = 400cm²
A área do muro e a do tijolo estão em unidades diferentes, para isso devemos utilizar a
tabela de conversões no intuito de igualar as medidas. Podemos escolher entre as seguintes
transformações:
m² em cm² ou cm² em m²
Vamos transformar m² em cm²:
40 x 100 x 100 = 400 000 cm²
Para descobrir quantos tijolos foram gastos, basta dividirmos a área do muro em cm² pela
área de um tijolo:
400 000 cm² : 400 cm² = 1000
Foram gastos 1000 tijolos na construção do muro.
Exemplo 2
Pedro deseja colocar cerâmica na área de lazer de sua casa, que possui 9 m de
comprimento por 6 m de largura. Se forem usadas cerâmicas quadradas com lado medindo
100cm, quantas serão gastas?
Área em m²
9m x 6m = 54m²
Área da cerâmica em m²
100cm x 100cm = 10 000 cm²
Transformando cm² em m², temos:
10 000 : 100 : 100 = 1m²
54m² : 1m² = 54
Serão utilizadas 54 cerâmicas na área de lazer da casa de Pedro.
6. Área das figuras planas
Retângulo
Quadrado
Triângulo
Paralelogramo
Trapézio
Losango
Triângulo equilátero