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Resumo de Álgebra Linear II unidade 1 I. Transformações Lineares: Transformações lineares são simplesmente funções onde “pegamos” um vetor e transformamos em outro vetor. O modo mais comum de representar uma transformação é: Sejam „V‟ e „W‟ espaços vetoriais: ; que significa que a transformação linear T “pega” um vetor de V e “transforma” em um vetor de W. O espaço anterior à seta (no caso V) é chamado de domínio ou conjunto de partida. O posterior (no caso W) é chamado contra-domínio ou conjunto de chegada. Particularmente para o caso em que W = V, chamamos T de Operador Linear. Obs.: Em , „ ‟ é sempre um vetor do conjunto de partida. Já os vetores e (que são apenas diferentes modos de escrever o mesmo vetor, já que são iguais) são vetores do conjunto de chegada. Obs².: Durante todo o resumo, usaremos V para designar o conjunto de partida e W para o de chegada. Nem toda transformação é dita linear. Para que isso seja verdade, ela deve obedecer algumas condições: Condições: 1) O transformado de um vetor nulo de V é sempre o vetor nulo de W: . 2) A soma dos transformados é o transformado da soma: Sejam então: . 3) O transformado de um produto entre um vetor e um escalar é o produto do escalar com o transformado do vetor (é como se o escalar „saísse‟ da transformação): Seja e : . II. Núcleo de uma Transformação Linear: É o subconjunto formado por vetores do conjunto de partida tais que seus transformados são iguais ao vetor nulo do conjunto de chegada. Ou seja: (isso se lê: “O núcleo da transformação T é o conjunto de vetores de V tais que os transformados destes vetores são iguais ao vetor nulo de W”). Obs.: O núcleo de uma transformação é um subespaço do conjunto de partida. Portanto podemos achar uma base do núcleo e sua dimensão. Obs².: O núcleo sempre contém pelo menos um vetor, já que o transformado do vetor nulo de V é sempre o vetor nulo de W (condição 1). Resumo de Álgebra Linear II unidade 2 Obs³.: Quando o núcleo contém APENAS o vetor nulo de V, não podemos achar uma base e, consequentemente, a dimensão é zero. Dizemos que a transformação é então INJETORA (ou injetiva) e e . Para achar o núcleo de uma transformação basta: Passo-a-passo: 1) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada; 2) Resolver o sistema que irá surgir; 3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, usar o mesmo passo-a-passo da I unidade. III. Imagem de uma Transformação Linear: É um subconjunto formado por vetores do conjunto de chegada que contém todos os vetores (do conjunto de chegada) que estão associados a pelo menos um vetor do conjunto de partida. Ou seja: (isso se lê: “A imagem da transformação T é o conjunto de vetores de W tais que são o „resultado‟ da transformação de algum vetor de V”). Obs.: A imagem de uma transformação é um subespaço do conjunto de chegada. Portanto podemos achar uma base e a dimensão. Obs².: A imagem contém pelo menos um vetor (o vetor nulo de W), que está sempre associado a um vetor (o vetor nulo de V) (condição 1). Obs³.: Se , então dizemos que a transformação é SOBREJETORA (ou sobrejetiva). Neste caso, . Para achar a imagem de uma transformação basta: Passo-a-passo: 1) Achar uma base do conjunto de partida; 2) Dizer que a imagem vai ser gerada pelos transformados dos vetores da base encontrada; 3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, achar o conjunto LI dos geradores e calcular a dimensão. IV. Teorema do núcleo-imagem: Analisando o conjunto de partida, o núcleo e a imagem, suas dimensões se relacionam por: . Para o caso de T ser injetora: 1) Se pegamos vetores LI, seus transformados serão LI também. 2) Vetores de uma base de V são transformados em vetores de uma base de W. Resumo de Álgebra Linear II unidade 3 Obs.: Quando T for injetora e sobrejetora, chamamos de BIJETORA (ou bijetiva) e dizemos que T é um caso de ISOMORFISMO. Ex.: Dados e W e seja definida por: a) Prove que T é transformação linear. b) Determine base de e diga se T é injetiva. c) Calcule . d) Determine base de e diga se T é sobrejetiva. A) Para provar que T é uma transformação linear temos que testar as três condições necessárias: i) ; Primeira condição OK. ii) Escolhendo dois vetores de V: e Chamando , e : Separadamente: Segunda condição OK. iii) Sendo e : Resumo de Álgebra Linear II unidade 4 Terceira condição OK. Como as três condições são satisfeitas, T é uma transformação linear. B) Seguindo o passo-a-passo para achar o núcleo: i) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada: ii) Resolver o sistema: iii) Achar a base: Forma geral: Colocando „b‟ em evidência: , como é não nulo, é uma base de Ker(T). Como , T não é injetiva. C) Pelo teorema do núcleo-imagem: O conjunto é a base canônica de V, então . D) Os transformados da base de V são geradores da Im(T), usando a base do item anterior: , e Como , dois desses vetores formam uma base de Im(T): é uma base de Im(T) (os dois vetores são LI). Como , . Como , T não é sobrejetiva.
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