Resumo II Unidade - Parte 2

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Resumo de Álgebra Linear II unidade 
 
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I. Matriz de uma Transformação Linear: 
 Outro modo de representar uma transformação linear é através do uso de uma matriz 
específica e em função das coordenadas dos vetores para duas bases dadas (uma do conjunto 
de chegada e outra do conjunto de partida). 
Sejam ‘V’ e ‘W’ espaços vetoriais e e bases dos respectivos espaços, podemos representar a 
transformação como: 
 
 
Onde 
 representa a matriz de transformação linear em relação às bases e . 
A matriz da transformação ‘pega’ as coordenadas do vetor do conjunto de partida, , na 
base e retorna as coordenadas de um vetor do conjunto de chegada, , na base . 
A matriz da transformação é obtida fazendo as colunas com as coordenadas dos 
transformados dos vetores da base do conjunto de partida com relação à base do conjunto de 
chegada. Ou seja, sejam e : 
 
 
Obs.: Se a transformação em questão for um Operador Linear, é comum representar a matriz 
como 
 . Se , ou ainda, se for a base canônica, . 
Ex.: Seja 
 
 
 
 tal que e dadas as bases e 
 : 
a) Ache a matriz da transformação linear 
 : 
Vamos achar os transformados dos vetores da base : 
 
i) 
Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em : 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
 
E temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ii) 
Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em : 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
 
E temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a matriz da transformação fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sendo , calcule as coordenadas desse vetor na base , depois as coordenadas 
do transformado na base . 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
E temos: 
 
 
 
 
 
Aplicando a relação 
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Autovalores, autovetores e autoespaços: 
 Alguns operadores lineares pegam um vetor e transformam em um outro vetor paralelo (ou 
LD) ao primeiro. Portanto a transformação pode ser representada por: 
 
Onde e . 
 
 Quando lidamos com esse caso, dizemos que é um autovetor associado ao autovalor 
 . 
 Autoespaços são espaços vetoriais que possuem uma base de autovetores (ou seja, 
achado um autovalor, acha-se os autovetores associados a ele e estes formam um autoespaço). 
III. Polinômio característico: 
 Seja I a matriz identidade e A a matriz da transformação, é correto escrever 
 sem alterar nada (faça no papel). Então estamos procurando uma matriz diagonal, , que 
faça a mesma transformação da matriz A. 
 Podemos escrever como . 
 Nomeamos a função 
 
de polinômio característico da matriz A. E os autovalores da transformação são as raízes 
desse polinômio. 
 
Para achar os autovalores da transformação, segue: 
 Passo-a-passo: 
1) Subtrair da diagonal da matriz de transformação; 
2) Tirar a determinante da matriz obtida (será o polinômio característico); 
3) Achar as raízes do polinômio (que serão os autovalores). 
 
 
Ex.: Sendo 
 
 
 
 onde sendo: 
 
 
 
 
Queremos achar a matriz : 
 
 
 
 
 
 
 
Então ficamos com: 
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 (subtrair da diagonal) 
E o polinômio característico é: 
 (tirar determinante da matriz) 
As raízes: 
 
 São os autovalores da transformação. (raízes do polinômio) 
Para achar o autoespaço de cada autovalor da transformação, segue: 
 Passo-a-passo: 
 Fazer para cada : 
1) Substituir em e igualar à matriz-coluna nula; 
2) Resolver o sistema; 
3) Achar os vetores de cada autoespaço na forma mais geral; 
4) Ache uma base para o autoespaço. 
 
 
Ex.: Sendo os mesmos dados do exemplo anterior, calcule os autoespaços de cada autovalor da 
transformação: 
Para : 
i) Substituir em para cada autovalor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Resolvendo o sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
iii) Na forma mais geral, temos: 
 
Então definimos que: 
 
 
 
(Parametrizei o y, note que não faz diferença). 
iv) Então uma base para é (colocando t em evidência): 
 
 é uma base (de autovetores) de . 
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Para : 
i) Substituir em para cada autovalor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Resolvendo o sistema: 
 
 
 
 
 
 
iii) Na forma mais geral, temos: 
 
Então definimos que: 
 
 
 
(Parametrizei o x, note que não faz diferença). 
iv) Então uma base para é (colocando s em evidência): 
 
 é uma base (de autovetores) de . 
 
Após achar os autoespaços, automaticamente achamos os autovetores. Estes serão os 
vetores (na forma mais geral) das bases dos autoespaços. Para o exemplo anterior, os 
autovetores da transformação são: 
IV. Diagonalização de operadores: 
 Dizemos que a transformação é diagonalizável quando podemos substituir a matriz de 
transformação por uma matriz diagonal (os cálculos ficam bem mais fáceis). Na prática, isso é 
possível se nós tivermos uma base para o espaço vetorial formada exclusivamente por 
autovetores. 
 Os autoespaços são, na realidade, subespaços do espaço maior (o que está envolvido na 
transformação, no caso anterior 
 
 
 
, então o espaço maior é 
 
), logo, a soma das 
dimensões dos autoespaços deve ser menor que ou igual à dimensão do espaço maior. 
 A transformação será diagonalizável unicamente se a soma das dimensões dos 
autoespaços for IGUAL à dimensão do espaço maior. 
 A matriz diagonal será dada tendo os autovalores como as entradas da diagonal, ou seja, 
tendo a transformação os autovalores , a matriz diagonal será: 
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No exemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
Logo, a transformação é diagonalizável e a matriz diagonal será: