Cálculo I - Lista de Exercícios

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Ciências da Natureza - CCN
Departamento de Matemática
Lista de exercícios 1 - Cálculo I - EC
Professor: Ítalo Melo
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→1
x2 + 3x− 1
x2 + 2
;
(b) lim
x→1
x2 − 9
x− 3
;
(c) lim
x→1
x3 − 1
x− 1
;
(d) lim
x→1
x3 − 1√
x− 1
;
(e) lim
x→1
x3 + 2x− 1
x4 + 6x− 1
;
(f) lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
;
(g) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
(h) lim
x→0
sen 7x
5x
;
(i) lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1
;
(j) lim
x→0
x3sen
(2
x
)
cosx;
(k) lim
x→π
senx
x− π
;
(l) lim
x→a
senx− sen a
x− a
;
(m) lim
x→0
tg x
sen 2x
;
(n) lim
x→1
xn − 1
x− 1
, com n ∈ N.
(o) lim
x→1
3
√
x+ 7− 2
x− 1
(p) lim
x→π/2
1− senx
2x− π
;
(q) lim
x→0
senx+ x
x2 − senx
;
(r) lim
x→a
cosx− cos a
x− a
;
(s) lim
x→a
tg x− tg a
x− a
;
(t) lim
x→2
√
6− x− 2√
3− x− 1
;
2. Calcule lim
x→0
|2x− 1| − |2x+ 1|
x
.
3. Calcule lim
x→0
3
√
1 + cx− 1
x
, onde c é uma constante.
4. Encontre números a e b tais que lim
x→0
√
ax+ b− 2
x
= 1.
5. Mostre pela definição que
lim
x→p
ax+ b = ap+ b.
6. Mostre pela definição que
lim
x→1
x2 = 1.
7. Seja f : I → R uma função real definida no intervalo aberto I. Mostre que se lim
x→a
f(x) = L > 0 então
existe um r > 0 tal que se 0 0.
8. Seja f : I → R uma função real definida no intervalo aberto I tal que lim
x→a
f(x) = L2. Mostre que
existe δ tal que |f(x)| 1. O limite abaixo existe?
lim
x→0
1
1 + a1/x
14. Existe um número a tal que lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista? Caso exista, encontre a e o valor do limite.
15. Sabendo que a função abaixo é contínua, calcule o valor de a.
f(x) =
 x2
sen 2x
, se x ̸= 0
a, se x = 0
16. Mostre que a função
f(x) =
{
x, se x ∈ Q
−x, se x /∈ Q
é contínua no ponto 0. A função f é contínua no ponto p com p ̸= 0 ?
17. Suponha que |f(x)− f(1)| ≤ (x− 1)2 para todo x. Mostre que f é contínua em 1.
18. Seja f : R → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ Q. Mostre que f(x) ≥ 0 para
todo x ∈ R.
19. Para todo número real x, indiquemos com ⌊x⌋ o maior inteiro menor ou igual a x. Mostre que se a e b
são números positivos então
lim
x→0+
x
a
⌊ b
x
⌋
=
b
a
.
20. Esboçe o gráfico e determine os pontos de descontinuidade da função f : R → R onde
f(x) = 10x− ⌊10x⌋.
21. Sejam f : Df → R e g : Dg → R funções reais tais que Imf ⊂ Dg, lim
x→a
f(x) = L e
lim
y→L
g(y) = R ̸= g(L), podemos concluir que lim
x→a
g(f(x)) = R?
22. Seja a > 0 e a ̸= 1. Mostre que
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a.
23. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→+∞
5x4 − 3x2 + 3
2x4 + 7x− 20
;
(b) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + 5x+ 100
;
(c) lim
x→+∞
x√
x2 + 1
;
(d) lim
x→+∞
1− 3x√
x2 + 1
;
(e) lim
x→−∞
1− 3x√
x2 + 1
;
(f) lim
x→+∞
x−
√
3x3 + 2;
(g) lim
x→+∞
ex − e−x
ex + e−x
;
(h) lim
h→0
eh − 1
h
;
(i) lim
x→+∞
(
1 +
3
x
)x
;
(j) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
;
(k) lim
x→+∞
(x+ 2
x+ 1
)x
;
(l) lim
x→0
(1 + 2x)x;
(m) lim
x→+∞
e−2x cosx;
(n) lim
x→−∞
1 + x6
1 + x4
;
(o) lim
x→∞
ln(x+ 1)
lnx
;
24. Calcule lim
x→+∞
f(x) sabendo que para todo x > 1,
10ex − 21
2ex