RESMAT Momento de Inércia

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I – Professor Paulo José Barreto 
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CAPÍTULO VI 
6.1- MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA – CENTRÓIDE DE 
UMA ÁREA 
 Dois conceitos fundamentais para a resistência dos materiais, e para as 
engenharias de maneira geral, são os de momento estático e centróide de 
uma área. Esses conceitos são amplamente utilizados no estudo de elementos 
sujeitos à flexão, sendo definidos a seguir: 
• Momento estático – O momento estático de um elemento de superfície, 
em relação a um eixo, situado no mesmo plano que a superfície 
considerada, é o produto da área do elemento pelo sua distancia ao eixo 
dado; 
• Centróide ou centro de gravidade – O centróide de uma superfície é o 
ponto por onde passam todas as retas do plano da superfície, em 
relação as quais é nulo o momento estático. 
Analisando sob o aspecto do equilíbrio, o centróide da área A é definido 
como o ponto C de coordenadas x e y (figura abaixo) que satisfazem as 
relações: 
 
 
Figura 18 – Centróide de uma área A qualquer. 
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 Para a maioria dos problemas práticos de resistência dos materiais e 
engenharia, o calculo da área pode ser feito utilizando-se uma decomposição 
da área total A, para áreas menores compostas por figuras conhecidas, 
dispensando-se a necessidade de integração. Assim, o momento Q estático de 
uma área será dado por: 
 
 Quando houver dois eixos de simetria, como por exemplo, num circulo e 
num retângulo, o centróide coincidira com o centro geométrico da figura. Como 
exemplos são apresentadas as figuras abaixo: 
 
Figura 19 – Centróide coincidindo com o centro geométrico. 
 As coordenadas do centróide de algumas figuras são apresentadas na 
tabela a seguir: 
 
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6.2- MOMENTO ESTÁTICO E CENTRÓIDE DE UMA ÁREA 
COMPOSTA 
 Para encontrar-se o momento estático de uma área composta por várias 
figuras geométricas simples, basta somar-se o momento estático de todas as 
figuras compõe a área principal (figura abaixo). 
 
Figura 20 – Centróide de uma área composta. 
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 O momento estático Qx de uma área em relação ao eixo x é 
representado pela integral ydA, estendida a toda a área A. Se a área A for 
dividida nas partes A1, A2, A3, pode-se escrever: 
 
 Como a maioria das figuras a serem trabalhadas nesta matéria possuem 
uma área de fácil determinação, pode ser utilizada a seguinte expressão, onde 
está dispensado o uso da integral. 
 
 
 Onde y1, y2, y3, são as ordenadas dos centróides de cada área 
resultante da divisão da figura. Estendendo esse resultado para uma divisão 
em um número qualquer de partes, pode-se escrever para Qx e Qy : 
 
 
 Para determinação das coordenadas X e Y do centróide C de uma área 
composta A, utiliza-se a expressão a seguir: 
 
 
 
 
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Exercício Resolvido 
 Determinar o centróide C da figura a seguir: 
 
 Para facilitar deve-se adotar o eixo y sobre o eixo de simetria da figura. Tem-se 
então X = 0, devendo-se calcular apenas Y. A orientação dos eixos é apresentada 
na figura a seguir: 
 
 Dividindo-se A nas partes A1 e A2 utiliza-se a última equação da página 56 para 
determinar-se a ordenada Y do centróide. O cálculo se simplifica se for feita uma ta- 
bela, conforme abaixo: 
 
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7ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
Lembretes: 
 
 
7.1- Determinar a distância c do centroide da figura abaixo: 
Dados: b = 10cm; e = 2,5cm; h = 20cm; h1 = 17,5cm. 
 
 
7.2 – Determinar a coordenada y do centróide da seção abaixo: 
 
 
RESPOSTAS: 
7.1 – c = 7,61 cm 
7.2 – y = 2,35 cm. 
 
 
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6.3- MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA 
 Considerando-se uma área A situada no plano xy (figura abaixo), e o 
elemento de área dA de coordenadas x e y. O momento de inércia da área A 
em relação ao eixo x e o momento de inércia de A em relação ao eixo y são 
definidos, respectivamente, como: 
 
 
 As integrais apresentadas acima são chamadas momentos de inércia 
retangulares, uma vez que são calculadas pelas coordenadas retangulares do 
elemento dA. Cada uma dessas integrais é, na verdade, uma integral dupla. 
Em muitas aplicações, no entanto, é possível reduzir o problema ao cálculo de 
uma integral em uma variável, escolhendo para dA elementos na forma de 
faixas horizontais ou verticais. 
 Se houver necessidade da utilização de coordenadas polares (por 
exemplo, para o cálculo de eixos circulares), torna-se necessária a utilização 
do momento de inércia polar (Jo) da área A em relação ao ponto O. Definido 
como a integral: 
 
 
 
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 Onde ρ é a distância de O ao elemento dA (figura abaixo). A integral 
anterior pode ser reduzida a uma integral em uma variável, no caso de uma 
área circular, se escolhermos os elementos de área na forma de anéis 
circulares. 
 
É importante ressaltar que os momentos de inércia de uma área são 
grandezas positivas. No Sistema Internacional de Unidades (SI), são 
usualmente expressos em m4 ou mm4. Pode-se estabelecer uma relação entre 
o momento de inércia polar Jo e os momentos de inércia retangulares Ix e Iy, 
dada pela expressão a seguir: 
 
 
 Para o cálculo do momento de inércia da maioria das áreas a serem 
utilizadas na resistência dos materiais, torna-se necessária a utilização de mais 
um conceito que é o do teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner. 
 
6.4- TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS – TEOREMA DE 
STEINER 
 Considerando-se o momento de inércia Ix de uma área A em relação a 
um eixo x arbitrário (figura a seguir). Chamando-se de y a distância de um 
elemento de área dA até esse eixo, tem-se que: 
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 Desenhando-se o eixo centroidal x’, ou seja, o eixo paralelo ao eixo x 
que passa pelo centróide C da área. A distância do elemento dA até o eixo será 
chamada de y’, e tem-se y = y’ + d, onde d é a distância entre os dois eixos. 
Substituindo-se o valor de y na integral Ix, encontra-se: 
 
 A primeira integral a equação acima representa o momento de inércia Ix 
da área em relação ao eixo centroidal x’. A segunda integral representa o 
momento estático Qx, da área em relaçao ao eixo x’. Esse momento estático é 
nulo, uma vez que o eixo x’ passa pelo centróide C. A terceira integral da 
equação é igual a área total A. dessa forma tem-se: 
 
 Essa é a fórmula usual na resistência dos materiais, e indica que o 
momento de inércia Ix de uma área em relação a um eixo arbitrário x é igual ao 
momento de inércia Ix, da área em relação ao eixo centroidal x’ paralelo ao eixo 
x, somado ao produto Ad² da área. Esse conceito é o chamado teorema de 
Steiner. 
 
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Exercício Resolvido 
 
 
 
 
 
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 SOLUÇÃO: 
 
 
Logo, os momentos de inércia para a seção inteira serão: 
 
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CAPÍTULO VII 
7.1- FLEXÃO EM VIGAS 
 Para estudar-se o comportamento à flexão de vigas supõe-se que as 
forças, ou binários, estejam num plano que contenha o eixo da barra. 
Consideram-se forças perpendiculares ao eixo e o plano que contem essas 
forças é, por hipótese, um plano de simetria da viga. 
7.1.1- Tipos de flexão 
 Quando só atua momento fletor, nas seções transversais, diz-se que a 
viga é solicitada por flexão pura. Por exemplo, na viga da figura abaixo a parte 
central (compreendida entre as duas cargas P) está solicitada por flexão. 
Chama-se de flexão simples quando as seções da viga são solicitadas, 
simultaneamente, por momento fletor e força cortante. 
 
No caso de flexão pura, só ocorrem tensões normais nas seções 
transversais. Na flexão simples, as tensões normais aparecem 
simultaneamente com as tensões tangenciais ou de cisalhamento. 
7.1.2- Comportamento de uma viga sujeita a carregamento 
 Para entender-se o comportamento de uma viga sujeita a um 
carregamento transversal, deve-se imaginar que a mesma seja composta por 
um número infinito e fibras longitudinais. Sendo assim, após a aplicação do 
carregamento a viga fletirá, encurvando-se para baixo (figura a seguir). Com 
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isso as fibras na parte superior se encurtarão (compressão); enquanto as da 
parte inferior se alongarão (tração). 
 
 As variações de comprimento dão origem a tensões normais nas fibras. 
Aquelas que se alongam estão submetidas à tensões de tração, paralelas ao 
eixo da viga; aquelas que se encurtam estão submetidas a tensões de 
compressão. 
 Ao conjunto de fibras que não estão submetidas à tração ou compressão 
é dado o nome de superfície neutra da viga ou plano neutro (figura a). A 
interseção do plano neutro com a seção transversal considerada recebe o 
nome de linha neutra ou eixo neutro (figura b). 
 
 
 
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7.1.3- Tensões normais nas vigas 
 Numa viga em que a seção transversal contém um eixo de simetria, e 
está submetida à ação do momento fletor M a tensão que atua na fibra, a uma 
distância y da linha neutra é dada por: 
 Onde: 
σ é a tensão normal no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção 
transversal afastado y do eixo neutro; 
M é o momento interno resultante determinado pelas equações de equilíbrio; 
I é o momento de inércia da área da seção transversal, calculado entorno do 
eixo neutro; 
y é a distância perpendicular do eixo neutro a um ponto qualquer da seção, 
distante y do mesmo (figura abaixo). 
 
 Observe que o sinal negativo da expressão acima é necessário, já que 
está de acordo com os eixos x, y e z definidos. Pela chamada “regra da mão 
direita”, M é positivo ao longo do eixo z, y é positivo para cima e, portanto, σ 
deve ser negativa (compressão), uma vez que age na direção negativa de x. 
Se for necessário obterem-se as tensões máximas (bordos superior e 
inferior da viga), será utilizada a distância c. Esta distância representa a 
medida entre as fibras mais tracionadas ou comprimidas e a linha neutra (figura 
a seguir), e é dada por: 
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 Na equação acima é possível observar que a relação I / c só depende da 
geometria da seção transversal. Essa relação é chamada de módulo 
resistente ou momento resistente e é expressa pela letra W. Tem-se que: 
W = I / c 
 Substituindo W por I / c na equação abaixo, pode-se escrever essa 
relação de uma outra forma: 
 
 Esta expressão é apresentada em diversos livros de resistência dos 
materiais, onde o valor de W aparece tabelado de acordo com o tipo de perfil e 
seção. 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Resolvidos 
 
 
 
 
 
 
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8ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
Lembretes: 
 
 
8.1- A viga simplesmente apoiada, de seção transversal retangular, 
representada na figura abaixo suporta a carga uniformemente distribuída de 
3,35 kN/m. Desprezado o efeito do peso próprio, determine a tensão normal 
máxima na face superior da viga. 
 
 
 
8.2- Determine o momento M que deve ser aplicado à viga da figura abaixo, de 
modo a criar uma tensão de compressão no ponto D no valor de 30 MPa. Além 
disso, calcule a tensão máxima desenvolvida na viga. 
 
 
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8.3- A viga da figura abaixo é composta por quatro peças de madeira coladas. 
Se o momento que age na seção transversal for M = 450 N.m, determine a 
força resultante que a tensão de flexão produz na peça superior A e na peça 
lateral B. 
 
 
8.4- Determine a força resultante que as tensões de flexão produzem na tábua 
superior A da viga na figura abaixo, se M = 1,5 kN.m. 
 
 
 
 
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8.5- Sabendo-se que o momento M mostrado na figura abaixo atua no plano 
vertical, determine: a) a tensão no ponto A; b) a tensão no ponto B. 
 
8.6- A área da seção transversal de uma escora de alumínio tem forma de cruz 
(figura abaixo). Se ela for submetida ao momento M = 8 kN.m, determine a 
tensão de flexão máxima na escora. 
 
8.7- Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento da figura 
abaixo se ele for submetido a um momento fletor interno M = 40 kN.m. 
 
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8.8- O elemento tem seção transversal com dimensões mostradas na figura a 
seguir. Determine o maior momento M que pode ser aplicado sem ultrapassar 
as tensões de tração e compressão admissíveis de (σt)adm = 150 MPa e (σc)adm 
= 100 MPa, respectivamente. 
 
8.9- Se a viga da figura a seguir tiver seção quadrada de 225 mm em cada 
lado, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga. 
 
8.10- A viga tem a seção transversal mostrada na figura abaixo. Se P = 1,5 kN, 
determine a tensão de flexão máxima na viga. 
 
 
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 CAPÍTULO VIII 
8.1- CISALHAMENTO EM VIGAS COM SEÇÃO SIMPLES 
 O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensão de 
cisalhamento transversal que age na seção da viga. Devido à propriedade 
complementar de cisalhamento, observa-se que tensões de cisalhamento 
longitudinaisassociadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da 
viga. 
 Se um elemento for retirado de um ponto interno da seção transversal, 
ele estará sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal como 
mostra a figura a seguir. 
 
 Como resultado da tensão de cisalhamento, serão desenvolvidas 
tensões de deformação que tenderão a distorcer a seção transversal de uma 
maneira bastante complexa. Para mostrar isto, considere uma barra feita com 
alto grau de deformação, sobre a qual é construída uma grade de linhas 
horizontais e verticais (figura a). Quando for aplicado um cisalhamento V, as 
linhas de grade tendem a se deformar conforme o mostrado na figura (b). Essa 
distribuição não uniforme da deformação por cisalhamento na seção 
transversal fará com que ela se deforme, não permanecendo plana. 
 
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 No capítulo anterior, desenvolveu-se a fórmula da tensão normal 
baseada na hipótese das seções permanecerem planas e de uma distribuição 
linear de tensões. Para o cisalhamento transversal, a distribuição das tensões 
ao longo da altura da viga passa a ser expressa por uma função de segundo 
grau. 
 Nas figuras abaixo são esquematizadas a distribuição de tensões de 
cisalhamento ao longo da altura de uma viga com seção retangular. 
 
 
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 Para calcular-se a tensão de cisalhamento usa-se a expressão abaixo. 
 
 Onde: 
τ = Tensão de cisalhamento no elemento, em um ponto localizado a uma 
distância y’ do eixo neutro; 
V = É a força de cisalhamento interna resultante; 
Q = Momento estático da seção, ou seja, Q = y . A, onde A é a seção superior 
(ou inferior) da área da seção do elemento; 
I = Momento de inércia da seção transversal inteira, calculado em torno do 
eixo neutro; 
t = É a largura da área da seção transversal do elemento, medida no ponto 
onde a tensão τ será determinada. 
 Por uma questão de didática serão vistos primeiramente exemplos de 
cálculo de tensões em seções de área simples. As áreas compostas serão 
vistas no item subseqüente. 
 Somente para as seções transversais retangulares tem-se a seguinte 
expressão simplificada: 
 
 
 
 
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Exercícios Resolvidos 
 
 
 
 
 
 
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9ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
Lembretes: 
 
 
9.1- A viga da figura abaixo tem seção transversal retangular e é feita de 
madeira. Se for submetida a um cisalhamento V = 20 kN, determine a tensão 
de cisalhamento máxima. 
Dados: valor de a = 250 mm 
 
9.2- O raio da haste de aço da figura a seguir é de 30 mm. Se ela for submetida 
a um cisalhamento V = 25 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. 
 
Iret = 1/12 ( b. h³) 
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9.3- A viga simplesmente apoiada, de seção transversal retangular, 
representada na figura abaixo suporta a carga uniformemente distribuída de 
3,35 kN/m. Desprezado o efeito do peso próprio, determine a tensão de 
cisalhamento máxima.