DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

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Curso: Disciplina: Álgebra e Geometria Analítica Turma: 
Turno: Período: Professor: Zeca Dutra
DETERMINANTES
Determinante é o número real associado a uma matriz quadrada, obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos da matriz. 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [aij].
Por definição, o determinante de A é igual ao número aij.
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produtos dos elementos da diagonal secundária.
Dada a matriz A = , indicamos seu determinante por:
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3
Consideremos a matriz genérica de ordem 3:
A = 
Exemplos:
01. Calcule o determinante da Matriz 
A = 
02. Dadas as matrizes A = e B = , determine x para que se tenha det A = det B.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n 2. É igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Para resolver o determinante pelo teorema de Laplace fixamos uma linha ou coluna. Qualquer que seja a linha ou coluna o resultado será o mesmo.
Exemplo: Calcular o determinante da matriz 
A = ,utilizando o teorema de Laplace.
Determinante de uma matriz de ordem maior que 3.
Para calcular um determinante de ordem maior que 3, aplicaremos o teorema de Laplace, tantas vezes quantas forem necessárias, até chegar a um determinante de ordem 3. Daí, podemos aplicar a regra de Sarrus.
Exemplo: Calcular o determinante da matriz 
M = .
Propriedades dos determinantes
1ª propriedade:
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero.
Exemplo:
A = 
2ª propriedade:
Se duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu determinante é nulo.
Exemplo:
B = 
N = 
3ª propriedade:
Se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada for combinação linear de outras duas linhas (ou colunas), seu determinante é nulo.
Exemplo:
A = 
4ª propriedade:
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At, ou seja, det A = det At.
Exemplo: Dada a matriz A = .
5ª propriedade:
Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz.
Exemplo:
A = 
6ª propriedade:
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) por um número real k, o determinante da nova matriz é o produto de k pelo determinante da primeira matriz.
Exemplo:
A = 
7ª propriedade:
Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados acima ou abaixo da diagonal principal forem nulos, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
A = 
Teorema de Jacobi
Se adicionarmos a uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada A uma outra linha (ou coluna) multiplicada por número k qualquer, o determinante da matriz B obtida será igual ao da matriz A.
Exemplo:
A = 
Substituindo a 2ª linha de A pela soma dessa linha com o produto da 1ª linha por – 3, temos:
 B = 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S e m equações em n incógnitas que pode ser representado da seguinte forma:
 a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
 a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
S . . .
 . . . 
 . . . 
 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
 Exemplo:
Dizemos que (1, 2, 3, ..., n) é solução de um sistema linear quando (1, 2, 3, ..., n) colocados no lugar das incógnitas satisfaz todas as equações simultaneamente.
Exemplo:
1) O par (5, 10) é solução do sistema 
s 2x + 3y = 13
 3x – 5y = 10
 
2º) A sequência (1, 3, - 2) é solução do sistema
s x + 2y + 3z = 1
 4x – y – z = 3
 x + y – z = 6 
SISTEMAS LINEARES 2 X 2
Resolver um sistema linear significa descobrir o seu conjunto solução s, formado por todas as soluções do sistema.
Exemplo: Ache a solução de cada sistema a seguir:
1º) 3x – y = 10
 2x + 5y = 1
2º) x – 2y = 5
 2x - 4y = 2
3º) 2x – 6y = 8
 3x - 9y = 12
SISTEMA LINEAR EQUIVALENTE
Dois sistemas são ditos equivalentes quando admitem o mesmo conjunto solução.
e x – 2y = -3 3x – 4y = -5 
 2x + y = 4 x + 2y = 5
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções em da seguinte forma:
Sistema linear
Impossível:
Quando
 não 
admite 
solução
Possível:
Quando
 
admite 
solução
Indeterminado:
Admite
 infinitas soluções
Determinado:
Admite
 uma única solução
MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR
Seja o sistema linear de m equações e n incógnitas:
 a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
 a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
 . . .
 . . . 
 . . . 
 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
Matriz completa
 A = 
Matriz incompleta
 A = 
Resolução de sistema pela regra de Cramer
Seja o sistema: 
Para resolver o sistema pela regra de Cramer necessitamos dos determinantes:
D = , Dx = 
Dy = e Dz = 
A solução do sistema será dada pelos valores de x, y e z, calculados da seguinte forma:
x = , y = e z = 
Exemplo: Resolver os sistemas:
 a) 
b) 
c) 
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO
Um sistema é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas:
 x + 3y = 4 
 0x – 5y = 1
 x + 2y - z = 2
 0x +5y + z = 1
 0x + 0y – z = 7 
Observe que, nestes exemplos, na primeira equação aparecem todas as incógnitas, na 2ª desaparece a incógnita x, 3ª equação, quando há desaparece a incógnita y, assim sucessivamente.
Método do escalonamento
É o processo usado para resolução de um sistema linear que envolve eliminação de incógnitas.
Este método procura transformar o sistema dado em sistemas equivalentes, até chegar a um sistema escalonado, usando as seguintes transformações elementares sobre as equações do sistema dado:
Trocar as posições de duas equações.
Multiplicar uma das equações por um número real diferente de zero.
 Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a outra equação.
Exemplos:
1. Resolver os sistemas:
a) 4x – 3y = - 2
 2x + 4y = 10
b) x + 2y + 4z = 5
 2x – y - 2z = 8
 3x - 3y – z = 7 
c) x + y + z = 12
 3x – y + 2z = 14
 2x - 2y + z = -3 
d) 4x - 4y + z = 3
 3x + y + 4z = - 1
 5x - 2y + 3z = 2