Aula_001_Conjuntos

Prévia do material em texto

Tema : Conjuntos
Conceitos
Diagramas de Venn e operações
Número de elementos de um conjunto
1.1
Objetivos:
Familiarizar-se com a linguagem de conjuntos.
Melhorar o raciocínio lógico.
1.2Conjuntos
Importância: 
Fornece uma linguagem e ferramentas básicas que
nos ajudam no raciocínio tanto na vida cotidiana
como na manipulação de outros tópicos matemáticos.
Aula 1 : Conceitos
Conteúdo: 
Introdução
Noção intuitiva
Notação
Relação de pertinência
Definição
Descrição
Formalização
Conjunto vazio
Relações entre conjuntos
Conjunto de partes
1.3Conjuntos
Encontrar a estrutura comum a:
uma biblioteca.
um rebanho de ovelhas;
uma equipe de futebol;
Introdução: 
1.4Conjuntos: Conceitos
uma equipe de futebol é constituída por 
um grupo de jogadores;
Formação de estrutura comum:
uma biblioteca está formada por 
uma coleção de livros.
um rebanho de ovelhas é formado por
uma reunião de ovelhas;
1.5Conjuntos: Conceitos / Introdução
Formação de estrutura comum:
um rebanho de ovelhas é formado por
uma coleção de ovelhas;
uma equipe de futebol é constituída por 
uma coleção de jogadores;
uma biblioteca está formada por 
uma coleção de livros.
1.6Conjuntos: Conceitos / Introdução
equipe de futebol
rebanho de ovelhas
biblioteca
Estrutura comum: 
1.7Conjuntos: Conceitos / Introdução
está formada(o) por uma
coleção de objetos.
Um conjunto é uma coleção de objetos, 
chamados elementos.
Noção intuitiva: 
1.8Conjuntos: Conceitos
é um conjunto de jogadores.
os elementos são os jogadores
os elementos são as ovelhas
 é um conjunto de ovelhas.
os elementos são os livros
 é um conjunto de livros.
Exemplos: 
uma equipe de futebol
um rebanho de ovelhas
uma biblioteca
Invente um conjunto com 4 elementos considerando 
coisas e/ou pessoas do lugar em que você está agora.
1.9Conjuntos: Conceitos / Noção intuitiva
Meu conjunto está formado pelo(a):
monitor do computador 
teclado 
cadeira 
você mesmo
. .
.
−
1.10Conjuntos: Conceitos / Noção intuitiva
Letras maiúsculas são usadas para denotar conjuntos.
Exemplo: seu conjunto pode chamar-se A e o meu B.
Notação de conjuntos: 
1.11Conjuntos: Conceitos
Letras minúsculas são usadas para descrever os 
elementos de um conjunto.
Exemplo: os elementos do meu conjunto B podem
 ser denominados por: 
m : monitor;
t : teclado;
c : cadeira;
v : você.
Descrição de um conjunto:
O símbolo } indica o fim da descrição de um 
conjunto.
O símbolo { indica o início da descrição de um 
conjunto.
1.12Conjuntos: Conceitos / Notação
Exemplo: B = {m, t, c, v} 
Resumindo: 
Conjunto: letras maiúsculas
Elementos de um conjunto: letras minúsculas
Início do conjunto: {
Fim do conjunto: }
1.13Conjuntos: Conceitos / Notação
Noção intuitiva:
O elemento t (teclado) está no conjunto B.
O elemento r (relógio) não está em B.
Relação de pertinência: 
 Seja B = {m, t, c, v} 
1.14Conjuntos: Conceitos
Notação: x ∈ X
Definição de pertinência:
1.15Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
x pertence a um conjunto X se x é um elemento de X.
Exemplo: 
 B = { m, t, c, v } 
t pertence a B , t ∈ B 
r não pertence a B, r ∉ B
Exemplo importante: 
N
= conjunto dos números naturais
 = { 1, 2, 3, ... }
N
- 10598 ∈ 
N
- -1 ∉ 
N
- 1/5 ∉ 
N
- 2,5 ∉ 
N
1.16Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
Outro exemplo: 
C = conjunto das pessoas que são altas.
Conclusão: esta coleção não está bem definida.
1.17Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
- Se você mede 1,50 metros, está claro que você 
 não pertence a C.
- Se você mede 1,75 metros, você está em C ou não?
- Se você mede 1,95 metros, está claro que você 
 pertence a C.
Você pertence a C ?
Modificação do exemplo: 
Você pertence a C ?
Conclusão: esta coleção está bem definida.
1.18Conjuntos: Conceitos / Relação de pertinência
C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros.
 
Um conjunto é uma coleção 
de objetos, chamados elementos.
Isto é, SEMPRE podemos decidir quando um objeto
está ou não no conjunto.
BEM DEFINIDA
Definição de conjunto: 
1.19Conjuntos: Conceitos
Um conjunto é uma coleção bem definida 
de objetos, chamados elementos.
1.20Conjuntos: Conceitos / Definição 
O conjunto de números naturais que são pares;
O conjunto dos meses do ano que têm exatamente
30 dias;
O conjunto dos meses do ano que têm pelo menos
30 dias.
Exemplos:
Representação explícita
Descrição de um conjunto: 
1.21Conjuntos: Conceitos
Enumeração dos elementos do conjunto.
Representação implícita
Exemplo: 
 
C = conjunto das pessoas que têm mais de 1,75 metros 
 de altura 
Indicação da propriedade que caracteriza os elementos.
Exemplo: B = { m, t, c, v } = { 1, 2, 3, ... }
N
Representação implícita:
C = conjunto das pessoas de altura maior que 
 1,75 metros.
 
C está constituído por elementos (pessoas) x tal que 
a altura de x é maior que 1,75 metros.
ou
C = { x | altura de x > 1,75 metros } 
Levando a idéia da notação matemática: 
1.22Conjuntos: Conceitos / Descrição 
C = { x | altura de x > 1,75 metros }
Formalização: 
1.23Conjuntos: Conceitos
C está constituído por elementos (pessoas) x tal que a 
altura de x é maior que 1,75 metros.
Propriedade que caracteriza os elementos de C:
P(x) : a altura de x é maior que 1,75 metros.
 
C = { x | P(x) }
C está constituído pelos elementos x tal que verifica P(x)
Outro exemplo:
D = conjunto de números naturais maiores ou iguais a 5.
Representação explícita:
D = { 5, 6, 7, ...}
Representação implícita:
D = { x | x ∈ e x ≥ 5 }
P(x) 
N
1.24Conjuntos: Conceitos / Formalização
 = conjunto dos números reais
R
 = conjunto dos números racionais
Q
 = conjunto dos números inteiros
Z
= {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Z
= { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
N
 = conjunto dos números naturaisN
1.25Conjuntos: Conceitos / Formalização
Notação de conjuntos conhecidos
 = { x | x = p/q , p, q ∈ , q ≠ 0 }
Q
Z
O conjunto vazio, ∅ , é o conjunto que não tem 
elementos.
Conjunto especial: 
1.26Conjuntos: Conceitos
Exemplos:
Pode-se falar da representação de ∅ ?
∅ = { x | x ∈ , x > 5 e x < 0 } 
N
∅ = { x | x ∈ , 2x - 1 = 0 } 
Z
Definição de igualdade 
Os conjuntos A e B são iguais quando têm os 
mesmos elementos.
Notação: A = B
Relações entre conjuntos: 
1.27Conjuntos: Conceitos
Sejam A = { 1, 3, a } C = { 1, 3, 1, a }
 B = { 3, a, 1 } D = { 2, 3, a } 
Exemplo: 
Os conjuntos A, B e C são iguais, A = B = C
A é diferente de D, A ≠ D
Definição de inclusão 
Notação: A ⊆ B
Um conjunto A está contido em um conjunto B se
todo elemento de A é elemento de B.
1.28Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
N
 
 = { 1, 2, 3, 4, ... }
 P = { 2, 4, 6, 8, ... } 
 S = { 0, 1 } 
Exemplo 1: 
N
P está contido em , P ⊆ 
N N
S não está contido em , S ⊄ _
N
Exemplo 2: 
A = { 1, 3, a }
B = { 3, a, 1 } 
A ⊆ B e B ⊆ A 
Conclusão: A = B ⇔  A ⊆ B e B ⊆ A
(é equivalente)
1.29Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
- A está contido em B
A ⊆ B
Observação:
- A é um subconjunto de B
- B contém A ( B ⊇ A )
1.30Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
Definição de inclusão estrita:
 A ⊆ B e A ≠ B 
Notação: A ⊂ B ( A está contido estritamente em B)
1.31Conjuntos: Conceitos / Relações entre conjuntos
Observação:
Para todo conjunto A ≠ ∅ : ∅ ⊂ A
Para todo conjunto: ∅ ⊆ A
 = { 1, 2, 3, 4, ... }
 P = { 2, 4, 6, 8, ... } 
 
Exemplo 1: 
Conclusão: P ⊂ 
P ⊆ , mas 1 ∈ e 1 ∉ P
N ≠ P 
N
N N
N
Considere o conjunto A.
O conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A. 
Conjunto departes de um conjunto:
1.32Conjuntos: Conceitos 
Seja A = { 1, 2, 3 }
Exemplo: 
P(A) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
então
Observação:
Os elementos de P(A) são conjuntos:
- { 1 } ∈ P(A) pois { 1 } ⊆ { 1, 2, 3 }
- 1 ∉ P(A)
- { { 1 }, { 1, 2, 3 } } ⊆ P(A)
Exemplo: 
- { { 1 } } ⊆ P(A)
- ∅ ∈ P(A)
P(A) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
A = { 1, 2, 3 }
1.33Conjuntos: Conceitos / Conjunto de partes
Conceitos
- Conjunto
- Elemento
- Relação de pertinência
- Relações entre conjuntos:
Igualdade
Inclusão
Inclusão estrita
Conjuntos especiais
Propriedade: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A
Resumo: 
1.34Conjuntos: Conceitos
Notação
A, B, ...
a, b, x, ...
x ∈ A, (x ∉ A)
A = B, (A ≠ B)
A ⊆ B, (A ⊄ B)_
A ⊂ B, (A ⊄ B)
∅, P(A)