Aula_003_Número de elementos de um conjunto

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Aula 3 : Número de elementos de um conjunto 
3.1
Conteúdo:
Conceitos iniciais
Introdução ao princípio aditivo
Introdução ao princípio da inclusão e exclusão
 
Faz sentido saber quantos elementos tem um 
conjunto?
É sempre possível contar os elementos de um 
conjunto?
Tem uma fórmula para calcular o número de 
elementos de A ∪ B ?
Conceitos iniciais:
3.2Conjuntos: Número de elementos 
Questão 1:
O vaqueiro João cuida das vacas da fazenda "Três 
Irmãos". Ele leva as vacas para pastar nos campos 
fora da fazenda. Ele não pode perder nenhuma vaca. 
Então o que ele faz ? Conta as vacas que formam o 
gado antes e depois do pastoreio.
Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ?
Exemplo 1: 
3.3Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Conjunto de 
vacas depois 
do pastoreio.
=>Conjunto de 
vacas antes do 
pastoreio.
=>
Você deu dez notas de R$ 1,00 para um amigo fazer 
compras. No retorno, você contou o dinheiro que 
sobrou (3 notas de R$ 1,00 ).
Questão 1:
Exemplo 2: 
3.4Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ?
Resposta: SIM
n(A) : é o número de elementos do conjunto A (ou 
 cardinalidade de A).
n(A) = 7
Exemplo 1: 
3.5Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Notação:
= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
A = { x ∈ | |x| ≤ 3 } = 
Z
{ x ∈ | -3 ≤ x ≤ 3 }
Z
Questão 2:
É sempre possível contar os elementos de um conjunto ?
A = { x ∈ | |x| ≤ 3 } = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } 
Z
- Como contamos os elementos de A ?
Exemplo 1: 
3.6Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
=> Enumerando seus elementos:
1 é o número -3
2 é o número -2
7 é o número 3
......
=> Acabamos a enumeração em 7
Questão 2:
Exemplo 2: 
= { 2, 4, 6, ... }
Podemos ir enumerando seus elementos mas nunca 
acabaremos a enumeração.
B = { x ∈ | x é par } 
N
3.7Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
É sempre possível contar os elementos de um conjunto ?
Resposta: NEM sempre
Definição:
Um conjunto é finito se é possível contar o número 
de seus elementos. 
Um conjunto é infinito se não é possível contar o 
número de seus elementos. 
3.8Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Exemplo 1: 
, , , , são conjuntos infinitos.N Z
Q
IR
A = { x ∈ ||x| ≤ 3 } é finito 
Z
B = { x ∈ | x é par } é infinito 
N
- n(C) é um número que não conhecemos
3.9Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais
Conclusão: Embora tenhamos um conjunto finito, 
 pode ser impraticável contá-lo.
É sempre possível contar os elementos de um conjunto
finito. 
então:
C = { x | x é uma pessoa que nasceu antes de 2000 } 
- C está bem definido 
- C é finito
Exemplo: 
Mas, será que sempre conseguimos contar ?
Assumimos, nesta aula: 
A é um conjunto finito;
É possível determinar o número de elementos 
de A, n(A).
Questão 3:
Tem uma fórmula para calcular o número de 
elementos de A ∪ B ?
3.10Conjuntos: Número de elementos / Conceitos iniciais 
Dados os conjuntos A e B,
calcular n(A ∪ B)
Problema inicial:
{
Introdução ao princípio aditivo:
Encontrar uma fórmula para calcular n(A ∪ B).
Objetivo:
3.11Conjuntos: Número de elementos
então n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 
Princípio aditivo (para dois conjuntos)
Se A e B são disjuntos, A ∩ B = ∅, Α ΒU
Dados n(U) = 300, n(A) = 150, n(B)= 40
Determinar o número de alunos do IL que está 
no 1o ou no 4o ano do curso de inglês.
U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL } 
A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } 
B = { x ∈ U | x está no 1o ano do curso de inglês } 
A ∩ B = ∅ => n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 190
Problema: 
Exemplo 1: 
3.12Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
3.13Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
Problema:
Dados os conjuntos A, B e C,
calcular n(A ∪ B ∪ C){
Prova:
n(A ∪ B ∪ C) = n((A ∪ B) ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) 
(A ∪ B) ∩ C = ∅
A ∩ B = ∅
= n(A) + n(B) + n(C)
então n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) 
Se A, B e C são disjuntos dois a dois: 
Princípio aditivo (para três conjuntos)
A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅ 
U Α Β
C
Princípio aditivo (para quatro conjuntos)
Se A, B, C e D são conjuntos disjuntos dois a dois
( A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D = B ∩ C = B ∩ D = C ∩ D = ∅ )
então n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)
Tente fazer a prova aplicando o raciocínio anterior. 
3.14Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
 Prova
Prova: n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n((A ∪ B) ∪ C ∪ D)
Voltar
3.15Conjuntos: Número de elementos /
 Introdução ao princípio aditivo 
isto é, (A ∪ B), C e D são disjuntos dois a dois.
Logo, estamos nas condições do problema anterior, portanto temos:
 n((A ∪ B) ∪ C ∪ D ) = n(A ∪ B) + n(C) + n(D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)
pois, A ∩ B = ∅
Quer dizer, provamos que
n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)
como A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D = B ∩ C = B ∩ D = C ∩ D = ∅
resulta (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = ∅
 (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) = ∅
 C ∩ D = ∅
Encontrar uma fórmula para n(A ∪ B).
Objetivo:
Problema inicial:
A e B podem não ser disjuntos
 A ∩ B ≠ ∅
Introdução ao princípio da inclusão e exclusão:
3.16Conjuntos: Número de elementos 
Dados os conjuntos A e B,
calcular n(A ∪ B){
Reescrever A ∪ B como conjuntos disjuntos. 
Estratégia:
n(A ∪ B) = ?
U
Α Β
Como reescrever A ∪ B como união de conjuntos 
disjuntos?
U
U
Α Β
Dados A, B, A ∩ B ≠ ∅
Disjuntos Voltar
3.17Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
U
União
U
União
ΒΑ
U
 ∩
Β Α
Α 
− Β
Β −
 
Α
Α 
−
 
Β
Β −
 
Α
A
 ∩
 B A - B = A ∩ B
_
B - A = B ∩ A
_
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
A = (A - B) ∪ (A ∩ B)
B = (B - A) ∪ (A ∩ B)
Voltar Voltar
Voltar
3.18
n(A ∪ B) = n(A - B) + n(A ∩ B) + n(B - A)
Conclusão: A ∪ B = (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A)
 n(A ∪ B) = n( (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A) )
 = n(A − B) + n(A ∩ B) + n(B − A)
U
Α
U
A
 ∩
 B
U
=>
=>
A = (A − B) ∪ (A ∩ B)
B = (A ∩ B) ∪ (B − A)
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
A
 - 
B
B
 - 
A
A
 ∩
 B
3.19
n(B) = n(B − A) + n(A ∩ B)
 
n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B) 
 
U
Β
Resumindo:
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.20
n(A ∪ B) = n(A − B) + n(A ∩ B) + n(B − A)
 
n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B)
 
n(B) = n(B − A) + n(A ∩ B)
 
=>
=>
 n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
 n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = [ n(A) − n(A ∩ B) ] + n(A ∩ B) + [ n(B) − n(A ∩ B) ]
= n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Princípio da inclusão e exclusão (para dois conjuntos)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Interpretação visual
U Α Β
Observação: estamos contando 2 vezes 
os elementos da interseção, então 
devemos subtrair um deles.
Dados A e B, 
então 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
∩ Voltar
3.21
U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL }
A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } 
B = { x ∈ U | x está no 2o ano do curso de francês } 
Exemplo 2: 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.22
então o número de alunos do IL que cursam o 4o ano 
 de inglês ou o 2oano de francês é:
= 40 + 20- 2 = 58 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(B) = 20
dados: n(U) = 300 n(A) = 40
n(A ∩ B) = 2
Questão:
Como calcular n(A ∪ B ∪ C) usando o Princípio da 
inclusão e exclusão para dois conjuntos ?
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
n(A ∪ B ∪ C) = n( (A ∪ B) ∪ C ) {
3.23
= [ n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ] + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) 
- [ n(A ∩ C) + n(B ∩ C)) - n((A ∩ C) ∩ B ∩ C) ]
A ∩ B ∩ C
{ {
= n(A ∪ B) + n(C) - n( (A ∪ B) ∩ C ) {
= n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Princípio da inclusão e exclusão (para três conjuntos)
Interpretação gráfica:
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.24
U
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) 
 - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) 
 + n(A ∩ B ∩ C) 
Dados A, B e C,
então
U = { x | x é aluno do Instituto de Línguas IL }
A = { x ∈ U | x está no 4o ano do curso de inglês } 
B = { x ∈ U | x está no 2o ano do curso de francês } 
C = { x ∈ U | x está no 1o ano do curso de italiano } 
Exemplo 3: 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.25
Dados: n(U) = 300 , n(A) = 40 , n(B) = 20 , n(C) = 30 
n(A ∩ B) = 2 n(A ∩ C) = 5
n(B ∩ C) = 3 n(A ∩ B ∩ C) = 1
então o número de alunos do IL que estão cursando 
 o 4o ano de inglês ou o 2oano de francês ou o 
 1o ano de italiano é:
Exemplo 3 (continuação): 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.26
n(A ∪ B ∪ C) = 40 + 20 + 30 - 2 - 5 - 3 + 1 = 81 
n(A ∪ B ∪ C) =
 = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= ∑
4
i=1
n(Ai) - ∑
4
i, j=1
i < j
n(Ai ∩ Aj) + ∑
4
i, j, l = 1
i < j
j < l
i < j < l
n(Ai ∩ Aj ∩ Al) - n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4)
Prove o princípio da inclusão e exclusão no seguinte caso:
Dados A1 , A2 , A3 e A4 ,
então n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.27
n(A1) + n(A2) + n(A3) + n(A4) −
− n(A1 ∩ A2) − n(A1 ∩ A3) − n(A1 ∩ A4) − n(A2 ∩ A3) − n(A2 ∩ A4) −
− n(A3 ∩ A4) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A4) + n(A2 ∩ A3 ∩ A4) −
− n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) 
=
 Fórmula Voltar
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
3.28
Prova: n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4) = n((A1 ∪ A2) ∪ A3 ∪ A4)
Voltar Prova
n( A1 ∪ A2 ) = n(A1) + n(A2) − n(A1 ∩ A2)
− n((A1 ∪ A2) ∩ A3) − n((A1 ∪ A2 ) ∩ A4) − n(A3 ∪ A4 ) + n((A1 ∪ A2) ∩ A3 ∩ A4) 
n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = n((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ∪ A4 )) = n(A1 ∪ A2 ) + n(A3 ) + n(A4 ) −{
{ {n((A1 ∪ A2) ∩ A3) = n((A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3)) =
= n((A1 ∩ A3) + (A2 ∩ A3) − n((A1 ∩ A3) ∩ (A2 ∩ A3)) 
A1 ∩ A2 ∩ A3
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4
n((A1 ∪ A2) ∩ A3 ∩ A4) = n( [(A1 ∪ A2) ∩ Α3 ] ∩ A4) =
 = n( [(A1 ∩ A3) ∪ (A2 ∩ A3) ] ∩ A4) = n[(A1 ∩ A3 ∩ A4) ∪ (A2 ∩ A3 ∩ A4)] =
 = n(A1 ∩ A3 ∩ A4) + n(A2 ∩ A3 ∩ A4) − n((A1 ∩ A3 ∩ A4) ∩ (A2 ∩ A3 ∩ A4))
{ {
A1 ∩ A2 ∩ A4
n((A1 ∪ A2) ∩ A4) = n((A1 ∩ A4) ∪ (A2 ∩ A4)) = 
= n(A1 ∩ A4) + n(A2 ∩ A4) − n((A1 ∩ A4) ∩ (A2 ∩ A4)) 
Observação:
A partir de n(A ∪ B) podemos obter outras relações.
Determine a quantidade de números naturais que existe
entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5.
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
Exemplo: 
{ x ∈ | x ∈ C, x ∉ A e x ∉ B } 
N
3.29
C = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 } 
N
= {2, 4, 6, ... ,100}A = { x ∈ | x ∈ C, x = 2k, k ∈ } 
N N
= {5, 10, 15, ... ,100}B = { x ∈ | x ∈ C, x = 5k, k ∈ } 
N N
{ x ∈ | x ∈ C e x ∉ A e x ∉ B } 
N
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
= C - (A ∪ B)
= { x ∈ | x ∈ C e x ∉ (A ∪ B) } 
N
= { x ∈ | x ∈ C e ( x ∈ A
_
 ∩ B
_
 ) } 
N
= { x ∈ | x ∈ C e ( x ∈ A
_
 e x ∈ B
_
 ) } 
N
3.30
N
= { x ∈ | x ∈ C e x ∈ (A ∪ B) } 
_____
Determine a quantidade de números naturais que
existe entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem 
por 5.
Lembremos o enunciado do exemplo: 
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
C
A B
N
Pede-se n( C - (A ∪ B) )
Conclusão:
3.31
Observe que:
( C - (A ∪ B) ) ∪ (A ∪ B) = C
e ( C - (A ∪ B) ) ∩ (A ∪ B) = ∅
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio da inclusão e exclusão 
 
n(C - (A ∪ B)) = n(C) - n(A ∪ B) =>
3.32
=>n((C - (A ∪ B)) ∪ (A ∪ B)) = n(C - (A ∪ B)) + n(A ∪ B) 
princípio 
 aditivo
n(C)
Conjuntos: Número de elementos / 
 Introdução ao princípio de inclusão e exclusão 
Devemos calcular n(C - (A ∪ B)) = n(C) - n(A ∪ B) 
n(C) = 100
Resumindo:
3.33
C = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 } 
N
= 50 + 20 - 10 = 60
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
 princípio 
 inclusão e exclusão
logo, n(C - (A ∪ B)) = 100 - 60 = 40 
Resposta: A quantidade de números naturais que existe 
entre 1 e 100 e não são divisíveis por 2 nem por 5 é 40. 
A = { x ∈ | x ∈ C , x = 2k , k ∈ } 
N N
= {2, 4, 6, ... , 100}
B = { x ∈ | x ∈ C , x = 5k , k ∈ } 
N N
= {5, 10, 15, ... , 100}
3.34Conjuntos: Número de elementos
Resumo:
Conceitos:
- Número de elementos de um conjunto, n(A) - 
 (cardinalidade) 
- Conjunto finito
- Conjunto infinito
- Introdução ao princípio aditivo:
 (Número de elementos da união de conjuntos disjuntos dois a dois)
• A1 e A2 disjuntos => n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) = ∑
2
 i=1
n(Ai) 
• A1, A2 e A3 disjuntos => n(A1 ∪ A2 ∪ A3) =
 = n(A1) + n(A2) + n(A3) = ∑
3
 i=1
n(Ai)
• Ai disjuntos dois a dois => n(∪
4
i=1
Ai) = ∑
 4
 i=1
n(Ai) 
Resumo:
Conceitos:
- Introdução ao princípio da inclusão e exclusão:
(Número de elementos da união de conjuntos não necessariamente disjuntos)
• n(A1 ∪ A2) = n(A1) + n(A2) - n(A1 ∩ A2) = ∑
2
i=1
n(Ai) - n(A1 ∩ A2)
• n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) - n(A1 ∩ A2) - n(A1 ∩ A3) -
 - n(A2 ∩ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = ∑
 3
 i=1
n(Ai) - ∑
3
i , j=1
i < j
n(Ai ∩ A2) + n(∩
3
 i=1
Ai)
• n(∪
4
i=1
Ai) = ∑
4
i=1
n(Ai) - ∑
4
i, j=1
i < j
n(Ai ∩ Aj) + ∑
4
i, j, l = 1
i < j
 j < l
i < j < l 
n(Ai ∩ Aj ∩ Al) - n(∩
4
 i=1
Ai)
3.35Conjuntos: Número de elementos
1. Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto 
universo U tais que B ⊆ A. Usando o princípio aditivo 
prove que n(A − B) = n(A) − n(B).
Exercícios
2. Quantos números inteiros entre 1 e 100 são 
divisíveis por 3 ou por 7.
3.36Conjuntos: Número de elementos 
Dica: Considere
 A = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 e x =3k para algum k ∈ }
 B = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 100 e x =7k para algum k ∈ }
 e use o princípio de inclusão e exclusão. 
Z N
Z N
3. Use os princípios aditivo ou de inclusão e exclusão 
para determinar, em cada caso, a quantidade de números
naturais entre 1 e 60 que verificam: 
(i) são divisíveis por 2 e por 3
(ii) são divisíveis por 2 ou por 3
(iii) não são divisíveis nem por 2 nem por 3
(iv) são ímpares divisíveis por 3 ou são divisíveis por 2
(v) são divisíveis por 2 ou por 3 ou por 5
3.37Conjuntos: Número de elementos 
4. Foram consultadas 200 pessoas que estavam 
pesquisando preços de televisores em lojas de 
eletrodomésticos. As respostas foram as seguintes:
 - 40% perguntaram pela marca A; 
 - 35% pela marca B;
 - 10% pelas marcas A e B; 
 - 25% somente perguntaram por outras marcas.
Use o princípio de adição ou o princípio da inclusão e
exclusão para determinar:
3.38Conjuntos Número de elementos 
(i) quantidade de pessoas que perguntarampelos
preços das televisões de marcas A ou B.
(ii) número de pessoas que perguntaram pela marca A
e não pela marca B (lembre-se do exercício 1).
4. (continuação)
3.39Conjuntos: Número de elementos